四年级奥数——追及问题（剖析版）.docx

第26讲追及问题教学目标策根据“路程和=速度和X时间”解决简单的直线上的追及问题荣通过画图使较复杂的问题具体化、形象化，融合多种方法达到正确理解题目的目的知识梳理有两个人同时行走，一个走得快，一个走得慢，当走得慢的在前，走得快的过了一些时间就能追上他.这就产生了“追及问题''.实质上，要算走得快的人在某一段时间内，比走得慢的人多走的路程，也就是要计算两人走的路程之差（追及路程）.如果设甲走得快，乙走得慢，在相同的时间（追及时间）内：追及路程=甲走的路程-乙走的路程二甲的速度X追及时间-乙的速度X追及时间=（甲的速度-乙的速度）X追及时间=速度差X追及时间.一般地，追击问题有这样的数量关系：追及路程=速度差X追及时间，即j=t100米例如：假设甲乙两人站在100米的跑道上，甲位于起点（0米）处，乙位于中间5米处，经过时间f后甲乙同时到达终点，甲乙的速度分别为师和y乙，那么我们可以看到经过时间，后，甲比乙多跑了5米，或者可以说，在时间f内甲的路程比乙的路程多5米，甲用了时间，追了乙5米。米5米典例分析例1、小明步行上学，每分钟行70米.离家12分钟后，爸爸发现小明的明具盒忘在家中，爸爸带着明具盒,立即骑自行车以每分钟280米的速度去追小明.问爸爸出发几分钟后追上小明？当爸爸追上小明时他们离家多远？【解析】小明12分钟走的路程人70米/分<>200米/分当爸爸开始追小明时，小明已经离家：70×l2=840（米）,即爸爸要追及的路程为840米,也就是爸爸与小明的距离是840米，我们把这个距离叫做“路程差”，爸爸出发后，两人同时走，每过1分，他们之间的距离就缩短280-70=210（米），也就是爸爸与小明的速度差为280-70=210（米/分），爸爸追及的时间：840:210=4（分钟）.当爸爸追上小明时，小明已经出发12+4=16（分钟），此时离家的距离是：70x16=1120（米）例2、下午放学时，弟弟以每分钟40米的速度步行回家.5分钟后，哥哥以每分钟60米的速度也从学校步行回家，哥哥出发后，经过几分钟可以追上弟弟？（假定从学校到家有足够远，即哥哥追上弟弟时，仍没有回到家）.【解析】若经过5分钟，弟弟己到了A地，此时弟弟己走了40x5=200（米）；哥哥每分钟比弟弟多走20米，几分钟可以追上这200米呢？40×5÷（60-40）=200÷20=l0（分钟），哥哥10分钟可以追上弟弟.例3、甲、乙两架飞机同时从一个机场起飞，向同一方向飞行，甲机每小时行300千米，乙机每小时行340千米，飞行4小时后它们相隔多少千米？这时候甲机提高速度用2小时追上乙机，甲机每小时要飞行多少千米？【解析】（1）4小时后相差多少千米：（340-300）×4=160（千米）.（2）甲机提高速度后每小时飞行多少千米：160÷2+340=420（千米）.例4、王芳和李华放学后，一起步行去体校参加排球训练，王芳每分钟走110米，李华每分钟走70米，出发5分钟后，王芳返回学校取运动服，在学校又耽误了2分钟，然后追赶李华.求多少分钟后追上李华？【解析】已知二人出2分钟后，王芳返回学校取运动服，这样用去了5分钟，在学校又耽误了2分钟，王芳一共耽误了5×2+2=12（分钟）.李华在这段时间比王芳多走：70x12=840（米），速度差为：110-70=40（米/秒），王芳追上李华的时间是：840:40=21（分钟）例5、两地相距90。米，甲、乙二人同时、同地向同一方向行走，甲每分钟走80米，乙每分钟走100米,当乙到达目标后，立即返回，与甲相遇，从出发到相遇共经过多少分钟？【解析】甲、乙二人开始是同向行走，乙走得快，先到达目标.当乙返回时运动的方向变成了同时相对而行，把相同方向行走时乙用的时间和返回时相对而行的时间相加，就是共同经过的时乙到达目标时所用时间：900÷l0=9（分钟），甲9分钟走的路程：80x9=720（米），甲距目标还有：900-720=180（米），相遇时间：180÷（l+80）=l（分钟），共用时间：9+1=10（分钟）.例6、龟、兔进行I（X）O米的赛跑.小兔斜眼瞅瞅乌龟，心想：“我小兔每分钟能跑100米，而你乌龟每分钟只能跑10米，哪是我的对手.”比赛开始后，当小兔跑到全程的一半时，发现把乌龟甩得老远，便毫不介意地躺在旁边唾着了.当乌龟跑到距终点还有40米时，小兔醒了，拔腿就跑.请同学们解答两个问题：它们谁胜利了？为什么？IOoO米入±1上兔子乌龟.上起点亍J终点500米40米【解析】（1）乌龟胜利了.因为兔子醒来时，乌龟离终点只有40米，乌龟需要40÷l0=4（分钟）就能到达终点，而兔子离终点还有500米，需要500÷100=5（分钟）才能到达，所以乌龟胜利了.（2）乌龟跑到终点还要40÷l0二4（分钟）,而小兔跑到终点还要100o÷2÷100=5（分钟）,慢1分钟.当胜利者乌龟跑到终点时，小兔离终点还有：IoOXI=Ioo（米）.例7、小红和小蓝练习跑步，若小红让小蓝先跑20米，则小红跑5秒钟就可追上小蓝；若小红让小蓝先跑4秒钟，则小红跑6秒钟就能追上小蓝.小红、小蓝二人的速度各是多少？【解析】小红让小蓝先跑20米，则20米就是小红、小蓝二人的路程差，小红跑5秒钟追上小蓝，5秒就是追及时间，据此可求出他们的速度差为20+5=4（米/秒）；若小红让小蓝先跑4秒，则小红6秒可追上小蓝，在这个过程中，追及时间为6秒，根据上一个条件，由追及差和追及时间可求出在这个过程中的路程差，这个路程差即是小蓝4秒钟所行的路程，路程差就等于4x6=24（米），也即小蓝在4秒内跑了24米，所以可求出小蓝的速度，也可求出小红的速度.综合列式计算如下：小蓝的速度为：20÷5x6÷4=6（米/秒），小红的速度为：6+4=10（米/秒）例8、刘老师骑电动车从学校到韩丁家家访，以10千米/时的速度行进，下午I点到；以15千米/时的速度行进，上午11点到.如果希望中午12点到，那么应以怎样的速度行进？【解析】这道题没有出发时间，没有学校到韩丁家的距离，也就是说既没有时间又没有路程，似乎无法求速度.这就需要通过已知条件，求出时间和路程.假设有A,B两人同时从学校出发到韩丁家，A每小时行10千米，下午1点到；B每小时行15千米，上午11点到.B到韩丁家时，A距韩丁家还有10×2=20（千米），这20千米是B从学校到韩丁家这段时间B比A多行的路程.因为B比A每小时多行15/0=5（千米），所以B从学校到韩丁家所用的时间是20：（15-10）=4（时）.由此知，A,B是上午7点出发的，学校离韩丁家的距离是15x4=60（千米）.刘老师要想中午12点到，即想（127二）5时行60千米，刘老师骑车的速度应为60÷（12-7）=12（千米/时）.例9、甲、乙二人分别从山顶和山脚同时出发，沿同一山道行进。两人的上山速度都是20米/分，下山的速度都是30米/分。甲到达山脚立即返回，乙到达山顶休息30分钟后返回，两人在距山顶480米处再次相遇。山道长多少米。【解析】甲、乙两人相遇后如果甲继续行走48°÷20=24（分钟）后可以返回山顶，如果乙不休息，那么这个时候乙应该到达山脚，所以这个时候乙还需要30分钟到达山脚，也就是距离山脚还有30x30=900（米），所以山顶到山脚的距离为900+24x（20+30）=900+1200=2100（米）。例10、如下图，某城市东西路与南北路交会于路口4.甲在路口A南边560米的8点，乙在路口4.甲向北，乙向东同时匀速行走4分钟后二人距A的距离相等.再继续行走24分钟后，二人距A的距离恰又相等.问：甲、乙二人的速度各是多少？一【解析】本题总共有两次距离A相等，第一次：甲到A的距离正好就是乙从A出发走的路程.那么甲、乙两人共走了560米，走了4分钟，两人的速度和为：560÷4=140（米/分）。第二次：两人距A的距离又相等，只能是甲、乙走过了A点，且在A点以北走的路程=乙走的总路程.那么，从第二次甲比乙共多走了560米，共走了4+24=28（分钟），两人的速度差：560÷28=20（米/分），甲速+乙速=140,显然甲速要比乙速要快；甲速-乙速二20,解这个和差问题，甲速=（140+20）+2=80（米/分），乙速=140-80=60（米/分）.例11、早晨，小张骑车从甲地出发去乙地.下午1点，小王开车也从甲地出发，前往乙地.下午2点时两人之间的距离是15千米.下午3点时，两人之间的距离还是15千米.下午4点时小王到达乙地，晚上7点小张到达乙地.小张是早晨出发.【解析】由“下午2点时两人之间的距离是15千米.下午3点时，两人之间的距离还是15千米”可知：两人的速度差是每小时30千米，由3点开始计算，我们知：小王再有一小时就可走完全程，在这一小时当中，小王比小张多走30千米，那小张3小时多走15+30千米，故小张的速度是15千米/小时，小王的速度是45千米J、时.全程是45x3=135（千米），135÷15-7=2（小时），即上午10点出发.例12、甲、乙二人分别从A、B两地同时出发，如果两人同向而行，甲26分钟赶上乙；如果两人相向而行，6分钟可相遇，又已知乙每分钟行50米，求A、B两地的距离.先画图如下:【解析】若设甲、乙二人相遇地点为C,甲追及乙的地点为D,则由题意可知甲从A到C用6分钟.而从A到D则用26分钟，因此，甲走C到D之间的路程时，所用时间应为：（266）=20（分）。同时，由上图可知，C、D间的路程等于BC加BD.即等于乙在6分钟内所走的路程与在26分钟内所走的路程之和，为50x（26+6）=1600（米）.所以，甲的速度为1600-20=80（米/分），由此可求出A、B间的距离。50×（26+6）÷（26-6）=50×32÷20=80（米/分），（80+50）×6=130×6=780（米）实战演练课堂狙击1、哥哥和弟弟在同一所学校读书.哥哥每分钟走65米，弟弟每分钟走40米，有一天弟弟先走5分钟后，哥哥才从家出发，当弟弟到达学校时哥哥正好追上弟弟也到达学校，问他们家离学校有多远？【解析】哥哥出发的时候弟弟走了：40x5=200（米），哥哥追弟弟的追及时间为：200÷（65-40）=8（分钟），所以家离学校的距离为：8×65=520（米）.2、一辆慢车从甲地开往乙地，每小时行40千米，开出5小时后，一辆快车以每小时90千米的速度也从甲地开往乙地.在甲乙两地的中点处快车追上慢车，甲乙两地相距多少千米？【解析】慢车先行的路程是：40x5=200（千米），快车每小时追上慢车的千米数是：90-40=50（千米），追及的时间是：200÷50=4（小时），快车行至中点所行的路程是：90x4=360（千米），甲乙两地间的路程是：360x2=720（千米）.3、六年级同学从学校出发到公园春游，每分钟走72米，15分钟以后，学校有急事要通知学生，派李老师骑自行车从学校出发9分钟追上同学们，李老师每分钟要行多少米才可以准时追上同学们？【解析】同学们15分钟走72x15=1080（米），即路程差.然后根据速度差=路程差追及时间，可以求出李老师和同学们的速度差，又知道同学们的速度是每分钟72米，就可以得出李老师的速度.即l080÷9+72=192（米）.4、甲、乙二人都要从北京去天津，甲行驶IO千米后乙才开始出发，甲每小时行驶15千米，乙每小时行驶10千米，问：乙经过多长时间能追上甲？【解析】出发时甲、乙二人相距10千米，以后两人的距离每小时都缩短15-10=5（千米），即两人的速度的差（简称速度差），所以10千米里有几个5千米就是几小时能追上.10÷（15-10）=10÷5=2（小时），还需要2个小时。5、小王、小李共同整理报纸，小王每分钟整理72份，小李每分钟整理60份，小王迟到了1分钟，当小王、小李整理同样多份的报纸时，正好完成了这批任务.一共有多少份报纸？【解析】本题可用追及问题思路解题，类比如下：路程差：小王迟到1分钟这段时间，小李整理报纸的份数（60份），速度差：72-60=12（份/分钟）.此时可求两人整理同样多份报纸时，小王所用时间，即追及时间是60÷12=5（分钟）.共整理报纸：5×72×2=720（份）6、甲、乙两车同时从A地向8地开出，甲每小时行38千米，乙每小时行34千米，开出1小时后，甲车因有紧急任务返回A地；到达A地后又立即向8地开出追乙车，当甲车追上乙车时，两车正好都到达8地，求A、B两地的路程.【解析】根据题意画出线段图：从图中可以看出，当甲开始追乙的时候两车的路程差正好是乙车已经行驶的2小时的路程,那么根据追及路程和速度差可以求出追及时间，而追及时间正好是甲车从人地到B地所用的时间，由此可以求出A、B两地的路程，追及路程为：34x2=68（千米），追及时间为：68+G8-34）=17（小时），A、8两地的路程为：38x17=646（千米）.课后反击1、上一次龟兔赛跑兔子输得很不服气，于是向乌龟再次下战书，比赛之前，为了表示它的大度，它让乌龟先跑10分钟，但是兔子不知道乌龟经过锻炼，速度已经提高到5倍，那么这一次谁将获得胜利呢？【解析】由乌龟速度提高到5倍，可知乌龟现在的速度为10x5=50（米/分），乌龟先跑10分钟，即兔子开始跑时，乌龟已经跑了50x10=500（米），还剩IOoO-500=500（米），需要500÷50=10（分钟）就可以到达终点，而兔子到达终点需要的时间是：IoOO÷100=10（分钟），所以，兔子和乌龟同时到达终点.2、一辆汽车和一辆摩托车同时从甲、乙两地出发，向同一个方向前进，摩托车在前，每小时行28千米，汽车在后，每小时行65千米，经过4小时汽车追上摩托车，甲乙两地相距多少千米？方法一：根据题意，画出线段示意图：汽车（65千米/小时）*托车（28千米.、时）甲Li温地点【解析】从图中可知，甲、乙两地间的距离就是汽车与摩托车所行的路程差.先求出汽车追上摩托车时，两车分别行驶的路程，再求出两地的路程，即65x4-28x4=260-112=148（千米）3、甲、乙二人练习跑步，若甲让乙先跑10米，则甲跑5秒钟可追上乙；若甲让乙先跑2秒钟，则甲跑4秒钟就能追上乙.问：甲、乙二人的速度各是多少？【解析】若甲让乙先跑10米，则10米就是甲、乙二人的路程差，5秒就是追及时间，据此可求出他们的速度差为1°÷5=2（米/秒）；若甲让乙先跑2秒，则甲跑4秒可追上乙，在这个过程中，追及时间为4秒，因此路程差就等于2x4=8（米），也即乙在2秒内跑了8米，所以可求出乙的速度，也可求出甲的速度.综合列式计算如下：乙的速度为：1°÷5x4÷2=4（米/秒），甲的速度为：1°+5+4=6（米/秒）4、甲、乙二人沿着同一条100米的跑道赛跑，甲由起跑线上起跑，乙在甲后8米处起跑，当甲离终点还有12米时，乙追上甲，那么当乙跑到终点时，甲离终点还有多少米？【解析】甲、乙两人的运动时间相同，所以，甲的路程÷甲的速度=乙的路程÷乙的速度，而甲、乙的速度都不变，所以，乙的路程变为原来的几倍，甲的路程也变为原来的几倍>终点100米由图可知，甲跑lT2=88（米），乙跑88+8=96（米）,所以当乙跑8+1OO=Io8（米）时，甲跑：108÷9688=99（米）,即当乙跑到终点时，甲离终点还有0°-99=i（米）5、小叶子上学时骑车，回家时步行，路上共用50分钟，如果往返都步行，则全程需要70分钟，求往返都骑车所需的时间是多少？【解析】一个单程步行比骑车多用70-50=20（分钟），骑车单程（50-20）÷2=15（分钟），往返骑车的时间15×2=30（分钟）.6、八戒和悟空两家相距255千米，两人同时骑车，从家出发相对而行，悟空每小时行45千米，八戒每小时行40千米.两人相遇时，悟空和八戒各行了多少千米？【解析】要求他们各行了多少千米，那么就必须知道他们行驶的时间：255÷（45+40）=3（小时）.悟空：45x3=135（千米），八戒：40x3=120（千米）.直击赛场1、甲、乙两车同时从A、B两地沿相同的方向行驶。甲车如果每小时行驶60千米，则5小时可追上前方的乙车；如果每小时行驶70千米，则3小时可追上前方的乙车。由上可知，乙车每小时行驶千米（假设乙车的行驶速度保持不变）。【解析】利用追及路程一样有，5x（60-乙速）=3x（70乙速），解得乙速=45千米/小时名师点拨追及问题：同时不同地：前者走的路程+两者间距离=追者走的路程，同地不同时：前者所用时间-多用时间=追这所用时间；追及路程÷速度差二追及时间追及路程;追及时间=速度差速度差X追及时间=追及路程追及路程÷速度差二追及时间追及路程÷追及时间=速度差速度差X追及时间二追及路程学霸经验本节课我学到了我需要努力的地方是