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圆锥曲线几何条件的处理策略圆锥曲线处理心法：一、几何条件巧处理，事半功倍！二、谋定思路而后动，胸有成竹！三、代数求解不失分，稳操胜券！四、解后反思收货大，触类旁通！1.平行四边形处理策略几何性质代数实现对边平行斜率相等，或向量平行对边相等长度相等，横(纵)坐标差相等对角线互相平分中点重合例题1、已知椭圆C:9f+y2=6直线/不过原点。且不平行于坐标轴，/与。有两个交点4,B,线段AB的中点为M.(I)证明：直线OM的斜率与/的斜率的乘积为定值；(D)若/过点(g,m),延长线段OM与C交于点尸，四边形QAPB能否为平行四边形？若能，求此时/的斜率，若不能，说明理由.2.直角三角形处理策略几何性质代数实现(1)两边垂直斜率乘积为T,或向量数量积为O(2)勾股定理两点的距离公式(3)斜边中线性质(中线等于斜边一半)两点的距离公式22人例2.椭圆二+5=1(>7>0)的离心率为孚，长轴端点与短轴端点间的距离为止，a2b22(1)求椭圆的方程；+/=14(2)过点。(0,4)的直线/与椭圆C交于两点瓦尸，O为坐标原点，若AO所为直角三角形，求直线/的斜率3.等腰三角形处理策略几何性质代数实现(1)两边相等两点的距离公式(2)两角相等底边水平或竖直时，两腰斜率相反(3)三线合一(垂直且平分)垂直：斜率或向量平分：中点坐标公式例3.在直角坐标系XOy中，已知点A(-6,0),B(6,0),E为动点,且直线EA与直线E3斜率之积为-；，(1)求动点E的轨迹C方程；(2)设过点F(LO)的直线/与椭圆C交于两点M,N,若点P在)，轴上，且IPMI=IPN求点尸的纵坐标的范围4 .菱形的处理策略例4.椭圆M：÷4=1(4>h>0)过点(0,-1),且离心率为立ab3(1)求椭圆M的方程；(2)是否存在菱形ABC。，同时满足以下三个条件：点A在直线y=2上；点8,C,。在椭圆M上；直线3。的斜率等于1；如果存在，求出点A的坐标，如果不存在，说明理由。5 .圆的处理策略几何性质代数实现(1)点在圆上点与直径端点向量数量积为零(2)点在圆外点与直径端点向量数量积为正数(3)点在圆内点与直径端点向量数量积为负数例5.已知椭圆点小C分别是椭圆M的左焦点、左顶点,过点K的直线/(不与X轴重合)交M于AB两点，(1)求M的离心率及短轴长；(2)是否存在直线/,使得点B在以线段AC为直径的圆上，若存在，求出直线/的方程；若不存在,说明理由.6.角的处理策略几何性质代数实现(1)锐角，直角，钝角角的余弦(向量数量积)的符号(2)倍角，半角，平分角角平分线性质，定理(夹角到角公式)(3)等角(相等或相似)比例线段或斜率例6,椭圆C*£+，=1(。>0)的左、右焦点分别是弱，离心率为日，过片且垂直于X轴的直线被椭圆C截得的线段长为1。求椭圆C的方格(11)点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接设NGPK的角平分线交。的长轴于点/(727,0),求相的取值范围；一5<"7V5【对点训练】1 .【转化为平行的处理】已知抛物线C:y2=2的焦点为尸，平行于X轴的两条直线44分别交C于48两点，交C的准线于P,Q两点.(I)若厂在线段AB上，K是PQ的中点，证明ARQ；(II)若尸。尸的面积是的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程.2 .【转化为等腰三角形处理】本题满分15分)如图，设椭圆十丁=1(>d.a(I)求直线严自+1被椭圆截得的线段长(用。、攵表示)；(II)若任意以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围.(第19题图,、2=1(« > Z? > 0)的离心率为,223【转化为等腰三角形处理】如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆少点且右焦点F到左准线/的距离为3.(1)求椭圆的标准方程；(2)过F的直线与椭圆交于48两点，线段48的垂直平分线分别交直线/和48于点P,C,若PC=2AB,求直线/48的方程.4【圆的处理】.设。为坐标原点，已知椭圆Cj*方=l(>b>0)的离心率为坦，抛物线。2：炉=Fy的准线方程为)，=；.(1)求椭圆Cl和抛物线C2的方程；(2)设过定点M(0,2)的直线Z与椭圆G交于不同的两点RQ,若。在以尸。为直径的圆的外部，求直线/的斜率&的取值范围.5【角的处理】(本小题满分14分)设椭圆二十?=1)的右焦点为尸，右顶点为A,已知a3+-=-,其中°为原点，e为椭圆的离心率IOFIOAIIEAl(I)求椭圆的方程；(II)设过点A的直线/与椭圆交于点B(B不在X轴上)，垂直于/的直线与/交于点M,与丁轴交于点H,若BF.LHF,且NmAWNM40,求直线的/斜率的取值范围.参考答案例题1、【答案】（助详见解析；（团）能，4一"或4+7【解析】试题分析：（助题中涉及弦的中点坐标问题，故可以采取“点差法”或“韦达定理”两种方法求解：设端点AB的坐标，代入椭圆方程并作差，出现弦48的中点和直线/的斜率；设直线/的方程同时和椭圆方程联立，利用韦达定理求弦48的中点，并寻找两条直线斜率关系；（0）根据（助中结论，设直线OM方程并与椭圆方程联立,求得M坐标，利用XP=2xm以及直线I过点（y,m）列方程求k的值.试题解析：（13）设直线/:y=履+b（Z0,b0）,A（x1,y1）,B（x2,y2）fM（XM,加）.将y=京+人代入9f+/=r112得（左2+9）x2+2kbx+b1-m2=0,故XM=-，yvf=+=-F-.于是直线OM的斜率ZQjW=垃=一二，即KwZ=-9所以直线QM的斜率与/的斜K+9xmk率的乘积为定值.（0）四边形尸8能为平行四边形.因为直线/过点（生,加），所以/不过原点且与C有两个交点的充要条件是左0,k3.922QV=XIti由（团）得。M的方程为y=-'x.设点P的横坐标为与.由厂k'得,即kr222弼+819x-+y=m,xp=km.将点（生,团）的坐标代入直线/的方程得8二四a,因此XW=M",3）.四边形QA心为3护石33w3（F+9）平行四边形当且仅当线段AB与线段OP互相平分，即为,=2%.于是-Fm-=3V+9= 1,2,所以当/的斜率为2/吗-3)解得k=4-7,2=4+7.因为匕>0£。3,yK')4-7或4+J7时，四边形。!尸8为平行四边形.考点：1、弦的中点问题；2、直线和椭圆的位置关系.例2.解析：（2）根据题意，过点。（0,4）满足题意的直线斜率存在，设/:=履+4,联立y=履+4消去y得（I+4/）/+32丘+60=0,+y=1=(3202-240(1+4/)=64/一240令(),解得。11。4设旦厂两点的坐标分别为(X,y),(/，%)，则X+/=_SjE，XIx2=I'(1)当NEO尸为直角时，所以OE。尸=0,即XX2+,必=0,所以(I+/)Hr2+4&(%+/)+16=0所以+ 4 = 0,解得Z = ±M15(l+*2)32女21+4r1+4/(2)当NQE户或NOjra为直角时，不妨设NOEF为直角，此时AA=-1,所以工上WXX1x2O即R：=4M-y；又十+%2=，将代入，消去X得3y,+4y-4=0,解得y=§或,=一2(舍去)将y=2代入得入=±26，所以攵=21二±=±褥，经检验所得值均符合题意，33X1综上，攵的值为=±M和女=±有例3.解析：(1)设动点E的坐标为(x,y),依题意可知尸一7=-!整理得上+y2=i("±也),x+>2x-2222所以动点E的轨迹C的方程为y+y2=l(x±2)(2)当直线/的斜率不存在时，满足条件的点P的纵坐标为0,当直线/的斜率存在时，设直线/的方程为y=A(x-l),将y=-l)代入'+V=,并整理得，(2r+i)2-4Ar+2%2-2=0,=82+8>0设Ma,y),N(X2,%)，则N+"2，xx2=0,21Zk+1Zk+12k2k2rk设MN的中点为Q，则a=W7,兀=4一D=一赤7,所以1汨一赤7)'乙KIi乙KI1/MI1乙KI1k12k2由题意可知ZW0,又直线乂1的垂直平分线的方程为丁+而7=-元节)，令无=0解得p=-=J-,当人0时，因为2Z+,2,所以OeyKj=2k2+2%+lk224I当RcO时，因为2Z+-2应，所以0>%,-壶=一¥，综上所述，点P的纵坐标的范围是一乎,乎b=i例4.解析：(1)由题意得I£=远解得/=3,从=1；所以椭圆M的方程为工+/2=a33a2-b2=c2(2)不存在满足题意的菱形ABCD,理由如下：假设存在满足题意的菱形ABCD,设直线8。的方程为y=x+m,且B(,),D(x2,y2),r2-L3V23线段的中点Q(Xo,%), A(t,2),则由<可得4y2-2相丁+m2-3=0,由=（2加产一6（二3）>0y=x+m可得一2<根<2,又%+%=£，所以N。="A=?，若四边形ABa)为菱形，则Q是AC的中点，C点的纵坐标九=2%-2=3一2<-1,又因为点C在椭圆上，所以y,l与y,<T矛盾，故不存在满足题意的菱形ABC。221例5.解：(1)由三+二=1得q=2=G,所以M的离心率为,，短轴长为26；432(2)方法一：由题意知C(-2,0),K(TO)设8(戈0，%)(一2</<2),则因为BEBC=(-1-/,一%)(-2一毛,-)=2+3xq+=了+3x0+5>0rr所以NB(0,X),所以点B不在以AC为直径的圆上，即不存在直线/,使得点8在以线段AC为直径的圆上。2方法二、由题意可设直线的方程为x=y-1,A(xl,yl),B(x2,y2)£=由，4+3可得(3z112+4)y2-6my-9=0所以M+%=、TJMy2=尸713w+43m+4X=my所以CAC8=(+2,y1)(¾+2,y2)=(w2+l)y1j2+w(y1+y2)+l=(w2+1)÷ah-+13m+436+4=75<0,因为COSC=且/"(-l,0)所以NC(工,为，所以NB(2,m,所以点8不在以AC为3加+4CACB22直径的圆上，即不存在直线/,使得点B在以线段4C为直径的圆上。例6.解析：(11)法一：由(I)知片(一6,0)，E(Ji,0)则I峙|=后+“，IMKl=G-机,由椭圆定义得IPFl+PF21=4,2-3<|P<<2+3因为PM平分/耳尸鸟,所以"!=3=W1%,则IP用=L'7,所以IPG=与x4=如野PF2MF23-wPFlPF2+m+3-w'263所以2-62(史加)<2+后,即3<加<3下22、土一百"i*-左PFJPMPF2PMgPFPMPF2PM法一：由题意可知，!=,即一!：=：,IP耳IlPMlIPF2IlPMIPGlPF23设PaO,%),其中/2w4,将向量坐标代入并化简得m(4x0216)=3xo312%,因为/2。4,所以m=j/而'(2,2),所以7(二,)22【跟踪变式训练】1 .【答案】(I)见解析；(II)/=X-I.【解析】由题设尸(；9).设，i：y=4,2：y=6,则4b*0,且畤,0)：呜J(9)&；"(总等).记过4/两点的直线为/,贝M的方程为2x-(+6)y+而=03分(I)由于尸在线段45上，l+=0.记的斜率为左1，世的斜率为左2，则瓦=f2=-=-=-b=k2,l+'a-abaa所以施世5分1Ill11II1It?h(Il)设/与X轴的交点为。(X,0),则Smbf=7-FD=-6fx1-,Sapqf=-.1. .1a-b由题设可得自一。|为一5二LyL,所以=。(舍去)，玉=L设满足条件的AB的中点为E(X,y).当43与X轴不垂直时，由L=L可得*=±(2).而等所以(户1).当AB与X轴垂直时，E与。重合，所以，所求轨迹方程为V=T“分2.【答案】(I)ll标,(ID 0<Ty=kx+【解析】(I )设直线y =丘+1被椭圆截得的线段为AP,由、得(1+6/2/)/+22=0,+r=a故玉=0,X2=空0.因此IAPl=J1+、II2J+22.（三）假设圆与椭圆的公共点有4个，由对称性可设y轴左侧的椭圆上有两个不同的点尸，Q,满足IAPI=IAQ.记直线AP,AQ的斜率分别为占，k且尤，&>0,k.k2.由（I）知I,MPI=2片商正g.IAQlj讽叵,故2/周7正=2也用严F,1÷ak1+ak+ak;1+ak所以（2：_g）口+匕2+g+/0一叫好句=。由于产22，k、,&>0得1+%+攵£+片（2/快:g=0,因此（y+l）（yy+l）=1+"（a?-2）,仆“2因为式关于匕，网的方程有解的充要条件是1所以0>J7.因此，任意以点A（0,l）为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为1V。应，由二£=业得，所求离心率的取值范围为0ve立.aa22X21*y=11.13.【答案】（1）2（2）y=或y=+.【解析】试题分析（1）求椭圆标准方程，只需列两个独立条件即可：一是离心率为也，二是右焦点F到左准线I2的距离为3,解方程组即得（2）因为直线AB过F,所以求直线AB的方程就是确定其斜率，本题关键就是根据PC=2AB列出关于斜率的等量关系，这有一定运算量.首先利用直线方程与椭圆方程联立方程组，解出AB两点坐标，利用两点间距离公式求出AB长，再根据中点坐标公式求出C点坐标，利用两直线交点求出P点坐标，再根据两点间距离公式求出PC长，利用PC=2AB解出直线AB斜率,写出直线AB方程.试题解析：（1）由题意，得£=也且c+=3,解得a=0，C=I,则8=1,a2c2所以椭圆的标准方程为5+V=1.（2）当AB_Lx轴时，AB=又CP=3,不合题意.当AB与X轴不垂直时，设直线AB的方程为y=&（xT）,A（,y）,B（x2,y2）,将AB的方程代入椭圆方程，得（1+2左2）f一必2%+2（42一）=。，C的坐标为1 + 2公'1 + 2公,±a2(1÷).2-1,o/2ab=J(WF'(/-y)2=J(+4)(f)2=).若A=O,则线段AB的垂直平分线为）'轴，与左准线平行，不合题意.k12k1从而攵工。，故直线PC的方程为y+-%卜一E则P点的坐标为-2,5r+2(1 + 2)J,从而PC2(3j12 + 1)1 + F闷0 + 2公)因为PC = 2AB,所以2(3F + l)i+F阳(1 + 2公)42(1÷2)1 + 2公此时直线AB方程为y=%-1或y=-+.【考点定位】椭圆方程，直线与椭圆位置关系4.【答案】（1）x2=-2y,y+y2=l;（2）Z（-2,-亭）u与2.试题分析：（1）抛物线的准线为J=：,所以=2,抛物线方程为/=一2），根据离心率C=£=中,c=3b=1,所以椭圆的方程为J+=1；设直线，:y=辰+2：尸（演M©（孙必）,a24联立直线的方程和椭圆的方程，消去y,由于直线和椭圆有两个交点，所以判别式大于零，写出根与系数关系，“。在以PQ为直径的圆的外部”等价于正诙0,将根与系数关系代入求得上的取值范围是试题解析：（1）由题意得=.=2,故抛物线C2的方程为=-2y,又e=9,：,c=6：.b=l,422从而椭圆G的方程为一+y2=5分（2）显然直线X=O不满足题设条件，可设直线/:y=依+2,P（%,y）,Q（X2,%）由口+)'=1,得(1+4/)/+16"+12=0y=kx+2,+8300,2VA=(16)2-4x12(1+4A:2)>0,:ks-6k12=Hk2=由，根据题意，得0°<NPOQ<90°u>0POQ>0,OPOQ=x1x2+yxy2=x1X2+(例+2)(依+2)=(1÷A2)x1x2÷2(xl+X2)+4芈+4=1+4F1+4/16 4k + 4k2；>0.11 分考点：直线与圆锥曲线位置关系.225.【答案】(I ) + = 1 (II)43,2( N：.-2<k<2,综上得Z -2,- 212分,÷oo)【解析】(I )解:设F(c,0),由1 3e1=0F 0A FA即1 = c-,可得 /= 3c2,又 ac a a(a-c)2=b2=3,2 2所以C?=1,因此/=4,所以椭圆的方程为一 + 21 = 1. 43(II)解：设直线/的斜率为力(&W0),则直线/的方程为y = A(x-2).设B(4,%)，由方程组41 ,消去y,整理得(422+3)/一16左2+i6%2-12 = 0.y = k(x-2)8F-6Sk2-64F+34F+3Q-4Ar2 12k由(I)知，r(1,0),设"(0,%),有产"=(T%),3=GE奈T).Jk I 5 tK I J由BF_L”F,得5“尸=0,所以4/一9 1264/+3 + 4/+39-4A:2 解得W=H1 . 9-Ak2v7a+ 2k 消去 y， y = k(x-2)19-4k2因此直线M的方程为y=-x+.设M(Xw,为)，由方程组，kYlk解得XM=20；+9在AM4O中，NMQANMAOM4MMO|,即(XM-2/+yj%12(A+1)化简得x,m1,即2。.+94解得z一半或2监所以，直线/的斜率的取值范围为12(2+l)44tP(0>÷Jtoo-)9v119v