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平面解析几何讲义1 .直线的倾斜角与斜率直线的倾斜角定义：当直线/与X轴相交时，我们取X轴作为基准，X轴正向与直线/向上方向之间所成的角«叫做直线/的倾斜角；规定：当直线/与X轴平行或重合时，规定它的倾斜角为S范围：直线的倾斜角Cr的取值范围是0,11）.直线的斜率定义：当直线/的倾斜角以名时，其倾斜角的正切值tan”叫做这条直线的斜率，斜率通常用小写字母A表示，即&=tan;斜率公式：经过两点小,对，P?/,力心喝的直线的斜率公式为A=总.2 .直线方程的五种形式名称几何条件方程适用条件点斜式过一点、斜率J-Jo=Ar(X-Xo)与X轴不垂直的直线斜截式纵截距、斜率y=kx+b两点式过两点J-JlX-XiJ2-Jl-X2-Xl与两坐标轴均不垂直的宜线截距式纵、横截距a+b=1不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线一般式Ax+By+C=Q(A2+B20)所有直线注：（1）求直线方程时要注意判断直线斜率是否存在；每条直线都有倾斜角，但不一定每条直线都存在斜率.（2）根据斜率求倾斜角，一是要注意倾斜角的范围；二是要考虑正切函数的单调性.（3）截距为一个实数，既可以为正数，也可以为负数，还可以为0,这是解题时容易忽略的一点.3 .线段的中点坐标公式若点尸1,尸2的坐标分别为(处，y),(X2,九)，线段P1P2的中点M的坐标为(By)9,此公式为线段PiPz的中点坐标公式.4 .两条直线的位置关系两条直线平行与垂直两条直线平行：a.对于两条不重合的直线小2,若其斜率分别为肌、k29则有八，2-1=幻.b.当直线小/2不重合且斜率都不存在时，两条直线垂直：a.如果两条直线小/2的斜率存在，设为右、k19则有UbUh也=一1.b.当其中一条直线的斜率不存在，而另一条的斜率为。时，1±Z2.两条直线的交点直线人Alx+B1y+C=()9l2iA2x+B2y+C2=(9则/1与，2的交点坐标就是方程的解.Ax+Bj+C=Oa2x+®+C2=O5 .几种距离两点P(x,Vl),P2(2,y2)之间的距离IPPzl=yxr-xiH-y-y点PO(X°,yo)到直线/：4x+8y+C=0的距离d=;?一yA2-rB2(3)两条平行线Ax+By+Ci=0与Ax+By+C2=O(其中C1C2)间的距离d=q-C2Ai+Bi*6 ,几个重要的结论(1)一般地，与直线AX+By+C=O平行的直线方程可设为Ar+By+/%=。；与之垂直的直线方程可设为B-Ay+n=().(2)过直线小4x+By+G=O与£A2x+34+C2=0的交点的直线系方程为Ax+Bj+C+2(A2x+2j+C2)=0UR),但不包括Z2.(3):Ax+Bj+C=O,Z2:A2x+B2y+C2=则/i/2QA%-A23i=0,AiC2-A2Ci0.lA.l2AA27.圆的定义和圆的方程定义平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆方程标准式(工一a)2+。一)2=r2(r>0)圆心C3,b)半径为r一般式x2+y2+Dx+Ey+F=0充要条件：O2÷f2-4F>0圆心坐标：(一芋，一9半径r=D2+E2-4F8.点与圆的位置关系平面上的一点M(X°,加)与圆C:(Xa)?+。-b)2=rz之间存在着下列关系：()d>rM在圆外，即(XO)2+(yo-)2>2qM在圆外；(2)d=r=f在圆上，即(XO-。尸+。-b)2=r2M在圆上；(3)dvr=M在圆内，即(XO>+0。一bpVr2QAf在圆内.9 .直线与圆的位置关系(-a2+y-b2=29由L+&+C=O(1)设圆。：(X。/+。一。)2=户，直线AAx+By+C=0,圆心C(,5)到直线/的距离为d,消去y(或X),得到关于x(或y)的一元二次方程,其判别式为4则直线与圆的位置关系如下表一_方法位置关系几何法代数法相交d<rJ>0相切d=rA=O相离d>rJ<010 .圆与圆的位置关系设两个圆的半径分别为R,r,R>r9圆心距为心则两圆的位置关系可用下表来表示：位置关系外离外切相交内切内含几何特征d>R+rd=R-rR-r<d<R+rd=R-rd<R-r代数特征无实数解一组实数解两组实数解一组实数解无实数解公切线条数4321011几个重要的结论过圆2+y2=r2(r>0)上一点M(XO,yo)的切线方程为xox+w=r2;过圆x2+y2+Ey+尸=O(D2+加一4户>0)外一点N(,b)引切线，有两条，求方程的方法是待定系数法，切点为万的切线长公式为INTl=NC2一3(其中C为圆C的圆心，为其半径).(3)求圆的弦长的常用方法几何法：设圆的半径为r,弦心距为d,弦长为则g)2=户一代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式：设直线与圆的交点为A(X1,j),B(x2,y)9则IAbl=N1+&2|XiX2=1+H+必2-4X1X2.12.椭圆(1)定义：在平面内与两定点尸人尸2的距离的和等于常数(大于IB尸2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.(2)集合：若集合P=MM尸i+MP2=2q,FF2=2c,其中2q>2c>0,即0>c>0,则”的轨迹是以后、B为两焦点的椭圆，且EBI=2c是椭圆的焦距.椭圆的标准方程和几何性质标准方程a+方=13>90)y2X2%+r=13>A>0)图形a1B2吸一y4?AikAOCFyA2XBi外bOB2xy范围-a<<a-b<y<b-b<x<b-ayfl对称性对称轴：X轴、V轴对称中心：(0,0)顶点AlGa,0),A2(a,0)B(Orb),B2(0fb)A(0,-),A2(O,a)31(也0),B2(¼0)轴长轴4遇2的长为2a短轴B1B2的长为2b焦距F1F2=2c离心率e=(O<e<l)a9b,c的关系a2=b2+c222注：对于方程，|>0).当m>n>()时，方程表示焦点在X轴上的椭圆.当心机>0时，方程表示焦点在y轴上的椭圆.当椭圆焦点不明确时，要分焦点在X轴上与J轴上两种情况进行讨论求解.13 .双曲线(1)定义：平面内动点P与两个定点尸1、尸2(|尸1尸2=2c>0)的距离之差的绝对值为常数20(0v2v2c),则点尸的轨迹叫双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距.(2)集合：若集合P=MIMPILlMF2=20,IA尸2=2c,其中2c>20>0,即c>>O,则尸点的轨迹是以尸1、尸2为两焦点的双曲线，且I尸IBI=2c是双曲线的焦距.实轴线段44叫做双曲线的实轴，它的长IAlA2=2叫做双曲线的半实轴长虚轴线段8/2叫做双曲线的虚轴，它的长|Bi&|=2b力叫做双曲线的半虚轴长。、b、C的关系c2=24-b2(c>>O,c>b>O)注：渐近线为mx±ty=O对应的双曲线方程为n2-ly=Z当双曲线焦点不明确时,要分焦点在X轴上与y轴上两种情况进行讨论求解.14 .抛物线平面内与一个定点厂和一条定直线尸曲）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点，直线/叫做抛物线的准线.其数学表达式：IMFl=d（其中d为点M到准线的距离）.抛物线的标准方程和几何性质图形TKNT.计生木标准方程y2=2px(P>0)y2=-2px(P>O)x2=2py(P>0)x2=2py(p>0)P的几何意义：焦点F到准线/的距屋;顶点0(0,0)对称轴J=Ox=0焦点哈。）代,o)2)加芍）离心率e=l准线方程x2x2y=-2y=范围x0,jR<0,jRj0,xRy0,xR开口方向向右向左向上向下（4）与焦点弦有关的常用结论如图，A3是过抛物线V=2p（p>0）的焦点弦.设A（XI,Jl）,B（X29J2）,则有2®yyip29XIX2=4,AoaAob=-4（定值）.好+1 ®A.B=x+xi+p=jX2P = SiIl2 夕(A为直线/13的斜率，夕为倾斜角)，当夕=90。时，AB=2p即为通径(最短的焦点弦).15 .直线与圆锥曲线的相交弦长问题设斜率为网时0)的直线/与圆锥曲线C相交于A,B两点,A(x19ji),(x29y2),则A=y+k2X-X2=1÷Ar2X+x22-4X1X2l+ly-J2=l+jl+j22-4jj2.16 .“点差法”求解弦中点问题的步骤设点一设出弦的两端点坐标代入一代入圆锥曲线方程作差一两式相减，再用平方差公式把上式展开整理一转化为斜率与中点坐标的关系式，然后求解17 .曲线与方程一般地,在直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程人工，y)=0的实数解建立了如下的关系：曲线上点的坐标都是这个方程的解.以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线.18 .求动点的轨迹方程的一般步骤建系建立适当的坐标系.(2)设点设轨迹上的任一点P(x9y).(3)列式列出动点尸所满足的关系式.(4)代换一依条件式的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为X,y的方程式，并化简.证明证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程.（二）考点剖析考点一：求直线的方程例h（1）根据基本几何条件求直线方程求经过点（一2,3）在y轴上的截距为一1的直线/的方程；待定系数型直线方程一条直线经过点A（-2,2）,并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1,求直线的方程.解：（1）法一：（两点式）直线/即经过两点（一2,3）与（O,-1）由两点式得三言=：二，二即2x+y+l=0.法二：（点斜式）可设直线/的方程为丁一3=左（某+2）.令*=0得/在），轴上的截距b=2k+3.3+3=-1,.A=-2解得所求的直线方程为j-3=-2（x+2）,即2x+y+l=0.法三：（截距式）可设直线/的方程为2+*=1.231;，过点（一2,3）,-+=1,解得。=一3UX/所求的直线方程为+嗨=1,即2x+y+l=0-2设所求直线的方程为科方=L224（-2,2）在此直线上，一£+1=1/1）又因直线与坐标轴围成的三角形面积为1,3他I=L由可得,a-b=l, ab=2(a-b= -19 或.ab=-2.解得a=29力=1故所求的直线方程为5+；=1或自+支=1，即x+2j-2=0或2x+y+2=0.考点释疑：求直线方程的两种基本思路直接利用直线方程的四种形式；根据给出的条件用相应的方程形式设出直线方程，然后利用待定系数法求解，但要注意斜率是否存在.考点二：两直线平行与垂直例2：已知直线11：x+2y+6=0和b：x+（a-l）y+a2-l=Q.（I）试判断A与是否平行；(2)当/1_U2时，求。的值.解：(1)法一：当。=1时，直线11的方程为x+2y+6=0,直线/2的方程为x=0,11不平行于小当=0时，直线八的方程为y=-3,直线/2的方程为xy1=0,11不平行于12;当l且0时，两直线的方程可化为J=一枭-3,y=4二x一(+l),_a1由hh一2一1一优解得rt=-1.-3-(+1),综上可知，当。=一1时，6/2,否则八与，2不平行.法二：由A1B2-A2B=O,得。3-1)k2=0；由A1C2A2GO,得。(层一1)lx60,«(«-1)-1×2=0,fa2-fl-2=0因此、,工6彳，、口=>a=-l9a(a2-1)1×60,(2-1)6故当=-1时，1，2，否则/1与，2不平行.(2)法一：当。=1时，直线/i的方程为x+2y+6=0,直线/2的方程为X=0,/1与，2不垂直，故Q=I不成立.当=0时，直线八的方程为y=-3,直线/2的方程为xy1=0,/1不垂直于，2当l且0时，直线的方程为尸一条一3,直线心的方程为y=-(+4LCl1)，,«1.2由(-5E=-f2法二：由AK2+81H2=O,得+23-I)=O.，=§,考点释疑：(1)当含参数的直线方程为一般式时，若要表示出直线的斜率，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意X,J的系数不能同时为零这一隐含条件.(2)在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论.(3)根据垂直或平行关系将相关的问题转化与化归或应用方程思想是解决直线与直线垂直或平行问题的关键.考点三：两直线相交与对称问题例3：(1)两直线相交求经过直线人3x+2y1=0和6:5x+2y+l=0的交点，且垂直于直线h：3x5j+6=0的直线I的方程.对称问题1已知直线心3-y+3=0,求：点P(4,5)关于直线I的对称点；直线-y-2=0关于直线，对称的直线方程.解：(1)法一：先解方程组,l得小，2的交点坐标为(一1,2),5x+2j+l=0,再由h的斜率与求出Z的斜率为一；，于是由直线的点斜式方程求出/：j-2=-(x+l),即5x+3y-l=0.法二：由于LLL故/是直线系5x+3y+C=0中的一条，而/过，2的交点(-1,2),故5x(l)+3x2+C=0,由此求出C=-1,故/的方程为5x+3j-l=0.法三：由于/过九/2的交点，故/是直线系3x+2yT+2(5x+2y+l)=0中的一条，将其整理，得(3+5r+(2+物+(-1+2)=0,其斜率为一|$券一；解得V代入直线系方程得I的方程为5x+3j-l=0.(2)设P(x9刃关于直线Z：3-j+3=0的对称点为Pu,jr).：kppk=-1,BP×3=-1.(i)又PP的中点在直线3-y+3=0上，.34-空+3=0(ii)r,-4x+3j-9"'=5由(i)(ii)得.(iii)3x+4y+3I/=-5把x=4,y=5代入方程组(道)，得=一2,V=7,P(4,5)关于直线I的对称点尸的坐标为(-2,7).将方程组(适)分别代换-y-2=0中的,y,得关于直线/对称的直线方程为4x+3j-93x+4j+3也但,1一f-2=0,化简得7x+j+22=0.考点释疑：两直线交点的求法：求两直线的交点坐标，就是解由两直线方程组成的方程组，以方程组的解为坐标的点即为交点.关于轴对称问题的处理方法：点关于直线的对称求已知点)关于已知直线Ay=Ax+的对称点AYX0,")的坐标，一般方法是依据/是线段的垂直平分线，列出关于“0,yo的方程组，由“垂直”得一方程,由“平分''得一方程.直线关于直线的对称此类问题一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行.考点四：求圆的方程例4：(1)过两点与一条直线确定圆已知圆心为C的圆经过点A(0,6),B(l9-5),且圆心在直线/：-j+l=0±,求圆的标准方程.三个条件确定圆圆心在直线y=-4x上，且与直线/：x+y1=0相切于点P(3,-2),求圆的标准方程.解：(1)法一：设圆的方程为炉+丁2+£)工+切+/=0(£>2+£24?>0),则圆心坐标D+E10=0P-E-2=0 ,解得(-6)2-6E+F=0由题意可得P+(-5)2+。-5E+尸=0,消去F得,.D-E-2=0D=6£=4，代人求得”=-12,所以圆的方程为2+V+6+4y-12=0,法二：因为A(0,-6),3(1,-5),所以线段的中点。的坐标为Q,-yj,直线AB的斜率MB=T3"“Li,因此线段A3的垂直平分线的方程是y+5一GT)即x+j+5=0.圆心C的坐标是方程组的解,解得士,所以圆心C的坐标是(一1xy+1=0U=-23,-2).圆的半径长r=AC=(0+3)2+(-6+2)2=5,所以圆心为C的圆的标准方程是(x+3)2+(y+2)2=25.设所求方程为(X.to)2+(y-yo)2=r2,Xo= 1,解得 JjO=-4,.r=22.3,o=-4xo,(3-o)2+(-2-jo)2=r2,根据已知条件得1IXO+川-1|I-=G因此所求圆的方程为(x-1)2+G+4)2=8.考点释疑：求圆的方程，主要有两种方法：几何法：具体过程中要用到平面几何中有关圆的一些常用性质和定理.如：a.圆心在过切点与切线垂直的直线上；b圆心在任意弦的中垂线上.代数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件列出等式，求出相关量,一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式.不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式.考点五：求椭圆的标准方程例5：根据定义求标准方程已知椭圆GIm»>0)的左、右焦点为用、F2,离心率为由过尸2的直线/交C于A、B两点.若尸山的周长为4j,求C的标准方程.根据几何性质求标准方程求过点(5,-5),且与椭圆会+9=1有相同焦点的椭圆的标准方程.解：由e=坐，得A=坐.又AAP/的周长为43,由椭圆定义，得4=43,得a=y9代入得c=l,"2=层一。2=2,故C的方程为(+¥=122(2)法一：椭圆会+5=1的焦点为(0,4),(0,4),即c=4.由椭圆的定义知，Ia=3-O2H5÷42÷3-O2H5-42,解得=2琳.由°2=。2一加可得/,2=4.所求椭圆的标准方程为哈+1=L/U法二：所求椭圆与椭圆为4=1的焦点相同，其焦点在J轴上，且c2=259=16.设它的标准方程为A+g=l(>b>O)VC2=16,c2=a2-b29故丹一炉=16又点(小，一)在所求椭圆上，谭+曙=1，B+=l由得加=4,a2=20,所求椭圆的标准方程为哈+?=1.考点释疑：(1)求椭圆的方程时，首先利用定义定形状，一定要注意常数20>B尸2这一条件.求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法，具体过程是先定形，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后再根据条件建立关于。，力的方程组.如果焦点位置不确定,要考虑是否有两解,有时为了解题方便,也可把椭圆方程设为fnx2+ny2=l(m>0f:>0,/"z)的形式.考点六：椭圆的离心率例6：(1)代数关系确定离心率设B,尸2分别是椭圆G*+g=13>>>0)的左，右焦点，M是C上一点，且MF2与X轴垂直，直线MFl与。的另一个交点为N,若3-直线MN的斜率标，求椭圆C的离心率.(2)几何关系确定离心率已知尸1、尸2是椭圆C的左、右焦点，点尸在椭圆上，且满足IPRI=2Pg,NPPI产2=30。，求椭圆C的离心率.解：根据及题设知M(c,3- 4="一。五¾,将出=2一。2代入22=30c,解得§=5，§=-2(舍去).故C的离心率为;.在户1尸2中，由IPMI=2PB,NPPl尸2=30。，ZPF2Fi=y.设IPBI=L贝!1IPFII=2,F2F=3.离心率C卫=亚2a 3考点释疑：求椭圆的离心率问题的一般思路:求椭圆的离心率或其范围时，一般是依据题设得出一个关于。，b9。的等式(或不等式)，利用2="+c2消去儿即可求得离心率或离心率的范围.考点七：椭圆中的定值、最值与范围问题例7：定值问题如图，椭圆E：+g=13>30)经过点A(0,-1),且离心率为近2求椭圆E的方程；经过点(1,1),且斜率为的直线与椭圆E交于不同的两点P,。(均异于点A),证明:直线AP与A0的斜率之和为2解：(1)由题设知(=乎，b=l,结合次=方2+c2,解得=iU4所以椭圆的方程为rf+V=L证明：由题设知，直线PQ的方程为y=A(I)+1仅2),代入各产匕得(1+2k2)x2-4k(k-l)x+2k(k-2)=0.由已知>0,设P(X1,y)9Q(X2,y2)9X1X2O>,I4&(A-1)2&(A-2)则“+*2-+2k29iM+242ri一士小,.,v+1.V2+lkx+2-k.kxi+lk从而直线AP9AQ的斜率之和kAP+kAQ=+=;+;2112=2A+(2T)4+J=2k+(2-k)X1+x2X1X2=2k+(2-k)4A(A-1)2(-2)=2-2(-1)=2.即直线AP与AQ的斜率之和为2.(2)最值问题平面直角坐标系My中，过椭圆M：1+:=1(心力>0)右焦点的直线x+y-5=0交M于4,B两点,尸为AB的中点，且。尸的斜率为求M的方程;C,。为M上的两点，若四边形AC80的对角线CD_L4反求四边形ACB。面积的最大值.解：设A(XI,y),B(x2,y2)9P(X0,Jo),由此可得J；：=；，：=1.因为xi+x2=2xo,ji+j2=2jo,资=；，所以02=2以XO4又由题意知，M的右焦点为(5,0),故q2-"=3./y2因此层=6,加=3.所以M的方程为+毛=LOJ由'43 =3x=0,因此A8=-R由题意可设直线CD的方程为y=x+(一§<<小)，设C(X3,丁3),D(X4,J4).由得3x2+4x+22-6=0.于是X3,4=§因为直线CD的斜率为1,所以CO=iX4X3I=；9-A由已知，四边形ACBD的面积S=TlCDA3=当=0时，S取得最大值，最大值为竽，所以四边形AeB0面积的最大值(3)范围问题已知椭圆f+y2=1的左焦点为尸，O为坐标原点.设过点尸且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A,B两点，线段AB的垂直平分线与X轴交于点G求点G横坐标的取值范围.解：(3)设直线AB的方程为y=A(x+l)(AO),代入£+整理得(1+2公)必+42木+2公一2=0.V直线AB过椭圆的左焦点F且不垂直于X轴,方程有两个不等实根.如图，设A(X1,Ji),5(X2,y)9AB的中点N(xo,J0),；AB的垂直平分线NG的方程为y泗=-xo）.A“E2k?k?k2令y=0,得XG=XO+3O=-2必+1+2&2+1=_2&?+1=一/4&?+2,时0,，一；VXGV0,点G横坐标的取值范围为（一；，0）.考点释疑：（1）求定值问题常见的方法有两种：从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关.直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.圆锥曲线中的最值或范围问题解决方法一般分两种：一是代数法，从代数的角度考虑，通过建立函数、不等式等模型，利用二次函数法和基本不等式法、换元法、导数法等方法求最值；二是几何法，从圆锥曲线的几何性质的角度考虑，根据圆锥曲线几何意义求最值或范围.考点八：椭圆中定点与探索性问题例8：已知椭圆E的中心在原点，焦点在X轴上，椭圆上的点到焦点的距离的最小值为加一1,离心率e=乎.（1）求椭圆E的方程；过点（1,0）作直线/交E于P,。两点，试问：在X轴上是否存在一个定点使MPM。为定值？若存在，求出这个定点M的坐标；若不存在，请说明理由.a-c=y2-l9解：（1）设椭圆E的方程为*+*=l（>5>0）,由已知得1色也解得所以乂=02一。2=1.所以椭圆E的方程为9+V=L假设存在符合条件的点M（吗0）,设P（X1,Jl）,。（工2,J2）,则MP=(Xlm，j),MQ=(x2-m9y)9MPMQ=(x-m)(x2-m)+yy=xX2m(x+x2)+m2+yy2.当直线/的斜率存在时，设直线/的方程为y=A(-l),j+j2=bv=Zr-l,4人2则©+m=汨不PIk1-I XIX2=2/+1，得x2+22(-l)2-2=0,即(2公+1)d-4公工+2公一2=0,2k2+VJ1J2=2(X1-I)(X2-l)=k2XiX2-(Xl+x2)+l=crr屋晨2”2_4k2,心(2产4加+1)42+(加22)所以MPM°-2&2+y,fv2k2+m2k2+1-2k2+1.TT5因为对于任意的A的值，MPM。为定值，所以2产4次+1=2。/2),得m=*所以陪，0),此时MPM0=一卷当直线/的斜率不存在时，f(,0),P(L,(l,-,MPMQ=(-,申)(一1近127不"2>=16-4="l6综合得存在定点M（今0）使得MPMQ为定值.考点释疑：（1）圆锥曲线中定点问题的两种解法引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化的量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点.特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.存在性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在.解决存在性问题应注意以下几点：当条件和结论不唯一时要分类讨论；当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要思维开放，采取另外的途径.考点九：双曲线的定义与标准方程例%（1）双曲线的定义及应用已知尸为双曲线0Ak1的左焦点，Pt。为C上的点.若尸。的长等于虚轴长的2倍，点A（5,0）在线段PQ上，则P。F的周长为.双曲线的标准方程如图所示，已知双曲线以长方形ABC。的顶点A,B为左、右焦点，且双曲线过C,。两顶点.若A=4,BC=39则此双曲线的标准方程为解：(1)由双曲线方程知，b=4,=3,c=5,则虚轴长为8,则IPQl=I6.由左焦点尸(-5,0),且A(5,0)恰为右焦点，知线段PQ过双曲线的右焦点，则P,。都在双曲线的右支上.由双曲线的定义可知IP川一IRIl=2g,QP-Q4=20,两式相加得，|尸为+应川一(PA+QA)=4at则IPFl+1QFI=4+PQ=43+16=28,故APQF的周长为28+16=44.X2V24a2+b294 9LL(2)设双曲线的标准方程为了一方=l(>0,b>Q).由题意得3(2,0),C(2,3),2=l,v2解得片3,双曲线的标准方程为,V=L考点释疑：(1)双曲线定义的应用主要有两个方面：一是判定平面内动点与两定点满足某种关系的轨迹是否为双曲线(或是双曲线的某一支)，进而根据要求可求出曲线方程；二是在“焦点三角形”中，常利用正、余弦定理，经常结合IlPBl-IP尸2=20,运用平方的方法，建立与IP尸P尸2的联系.待定系数法求双曲线方程具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据。，b9c9e及渐近线之间的关系，求出，b的值.如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可设有公共渐近线的双曲线方程为也-=M0),再由条件求出2的值即可.考点十：双曲线的几何性质例10：(1)双曲线的基本性质已知尸为双曲线G2一,町2=3机(雨>0)的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为.代数关系确定离心率直线/过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直,，与。交于A,B两点,IAbl为。的实轴长的2倍，则C的离心率为.(3)几何关系确定离心率已知A9B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，ABM为等腰三角形，且顶角为120。，则E的离心率为.解：（1）双曲线C的标准方程为/一=1（加>0）,其渐近线方程为y=±x,即赤y=±,不妨选取右焦点FN3w+3,0）到其中一条渐近线.L迎y=0的距离求解,得d=y3m+3m+l=3一X2V2不妨设双曲线方程为了一台=l（>0,>0）,由题意知/的方程为X=±c.代入,一方=1得，尸吒i）=,R=±+即IABI=张，手=4.则c2-a2=2a2.2=3.e=3不妨取点M在第一象限，2y2如图所示，设双曲线方程为了一方=I（G>0,b>0）,则BM=AB=2a9NMAr=180°120°=60°,所以AJ点的坐标为2,3.因为M点在双曲线上，所以挈一¥=1,。=儿所以c=，i。，e=2.考点释疑：（1）利用双曲线的几何性质求解相关问题时要注意点（顶点、焦点、中心）、轴长（实轴长，虚轴长，焦距）、渐近线、离心率之间的关系，根据条件列出关系式.求双曲线离心率的三种方法：代数法：根据,b9Cd=M+加）的关系，整体求出亲几何法：根据几何条件，建立a,b,c的关系式，从而求出离心率.渐近线法：若双曲线的渐近线方程为y=±依，当焦点在X轴上，则离心率e=yl+k29当焦点在y轴上，则离心率考点十一：抛物线的定义及其应用例11:（1）定义的基本应用。为坐标原点，F为抛物线c：V=4i的焦点，尸为C上一点，若IPFl=4L则4POF的面积为.在求最值中的应用已知抛物线V=2x的焦点是F,点P是抛物线上的动点，又有点A（3,2）,求IRM+P尸曲最小值，并求出取得最小值时点尸的坐标.解：（1）设Pa0,jo）,则IPFl=M+i=4i,，工o=3i,jJ=42xo=42×32=24,.ly0=26.VF(2,O),SoF=OFM=×y!2×2y6=2y3.(2)将x=3代入抛物线方程V=2,得y=ii1 ；%>2,A在抛物线内部，如图.2 /7设抛物线上点尸到准线人X=一；的距离为d,由定义知P4+PFJ/当RllJ时，E4+d最小，最小值为不，即|网+IPPI的最小值为小此时尸点纵坐标为2,代入V=2,得x=2,，点尸的坐标为(2,2).考点释疑：利用抛物线的定义解决此类问题，应灵活地运用抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价转化.“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的有效途径.考点十二：抛物线的标准方程与几何性质例12：(1)求标准方程抛物线V=2pMp>0)的焦点为凡O为坐标原点，”为抛物线上一点，且IMPI=4|0尸ZkMFO的面积为4小，则抛物线方程为.抛物线与其它曲线的关系已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为;，E的右焦点与抛物线C:V=8的焦点重合，A98是。的准线与E的两个交点，则H明解:(1)依题意，设M(X,y)90F=2>所以IAfPI=2p,x+g=2p,X=羊y=yp9又aMFO的面积为45,m×3p=43,解得=4,所以抛物线方程为产=8xCI抛物线V=8x的焦点为(2,0),椭圆中c=2,又合今U/2»2a=4,b2=a2-c2=l29从而椭圆方程为云+色=LIOLZV抛物线V=8x的准线为x=-2,：心=XjB=-2,将xa=-2代入椭圆方程可得WI=3,由图象可知|4*=211=6.考点释疑：(1)求抛物线的标准方程的方法：求抛物线的标准方程常用待定系数法，因为未知数只有p,所以只需一个条件确定夕值即可.因为抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量.确定及应用抛物线性质的技巧：利用抛物线方程确定其焦点、准线等性质时，关键是将抛物线方程化成标准方程.要结合图形分析，灵活运用平面几何的性质以图助解.(3)利用抛物线的对称性可以较简便解决与圆、椭圆、双曲线相关的问题.考点十三：抛物线的焦点弦例13：(1)求焦点弦长(2014高考新课标全国卷11)设尸为抛物线C:=3x的焦点,过户且倾斜角为30。的直线交C于A,B两点,则A3=.焦点弦的性质1设抛物线V=2px(p>0)的焦点为F9经过点F的直线交抛物线于A、B两点,点C在抛物线的准线上，且轴.证明：直线AC经过原点。.解：(I)TF为抛物线C:V=3的焦点，总，0),.,.AB的方程为JO=tan30。(#即y=*x乎._7.,221g,21X1+X2=一7=爹,BPxa+xb=Y3213由于A3=XA+切+p,所以ABI="+=12.(2)证明：设45：x=wj÷2>代入y2=2px,得产一2p冲一p2=0.由根与系数的关系，得JQ5=-p2,即如=一9.TBC工轴，且C在准线M=一乡上，C(一9y).则AoC=；直线AC经过原点O._p_JaXa2考点释疑：求焦点弦的三种方法：定义法：AB=xl+x2+p;倾角法：IA阴=悬；1+42酬率法：AB=-j-×2p.考点十四：弦长问题例14：设凡，尸2分别是椭圆E:x2+=1(°V8V1)的左、右焦点，过尸I