六年级奥数题及答案：容斥原理问题（高等难度）.docx

六年级奥数题及答案：容斥原理问题高等难度容斥原理问题：（高等难度）在多元智能大赛的决赛中只有三道题.：（1）某校25名学生参加竞赛，每个学生至少解出一道题；（2）在所有没有解出第一题的学生中，解出第二题的人数是解出第三题的人数的2倍：（3）只解出第一题的学生比余下的学生中解出第一题的人数多1人；（4）只解出一道题的学生中，有一半没有解出第一题，那么只解出第二题的学生人数是容斥原理问题答案：根据每个人至少答出三题中的一道题可知答题情况分为7类：只答第1题，只答第2题，只答第3题，只答第1、2题，只答第1、3题，只答2、3题，答1、2、3题。分别设各类的人数为al、a2、a3,al2、al3.a23、al23由（1）知：al+a2+a3+al2+al3+a23+al23=25由（2）知：a2+a23=（a3+a23）2由（3）知：al2+al3+al23=al-l由（4）知：al=a2+a3再由得a23=a2a32再由得al2+al3+al23=a2+a3-l（6）然后将代入中，整理得到a24+a3=26由于a2、a3均表示人数，可以求出它们的整数解：当2=6、5、4、3、2、1时，a3=2、6、10、14、18、22又根据a23=a2a32可知：a2a3因此，符合条件的只有a2=6,a3=2o然后可以推出al=8,al2÷al3+al23=7,a23=2,总人数=8+6+2+7+2=25,检验所有条件均符。故只解出第二题的学生人数a2=6人。