函数的单调性与最值及参考答案.docx

函数的单调性与最值镇教财产基固市激活思维1.(人A必一P79例3改)函数T(X)=+:()A.在(0,+8)上单调递增B.在(1,+8)上单调递增C.在(0,1)上单调递减D.在(-8,1)上单调递减22.(人A必一P81例5改)已知函数y=T7(x(2,6),则()A./W的最大值为2,最小值为0.4B./U)的最大值为2,没有最小值C.yu)没有最大值，最小值为0.4D.U)的最大值与最小值都没有3 .已知函数,v=(x)在0,+8)上是减函数，若M=/(J),N=J(a2-a+),则M,N的大小关系为.4 .(人A必一PlOO复习参考题4)已知函数/)=4?一去一8在5,20上具有单调性，则实数k的取值范围为.5 .已知函数y=U)的定义域为(0,+),且7U)在其定义域上单调递减，那么不等式五f)42丫+3)的解集为.基础回归1 .函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义在函数.y=U)的定义域内的一个区间A上，如果对于任意的两个数XI,X2A:当Xl<X2时，都有HK)>).那么就说函数段)在区间A上当汨42时，都有yu)v)那么就说函数7U)在区间A上是增函数是减函数图象描述自左向右看，图象是上升的自左向右看，图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数y=U)在区间A上是增函数或是减函数，那么称A为单调区间.(3)复合函数的单调性对于函数)，=火)和"=g(x),如果当x(,历时，"(如)，且“=g()在区间(,Z?)上和y=/()在区间(加，)上同时具有单调性，那么复合函数y=i(x)在区间(。，力)上具有单调性，并且具有这样的规律：同增异减.2 .若函数火X),g(x)在区间B上具有单调性，则在区间B上具有以下性质：(i)yu)与yu)+qc为常数)具有相同的单调性.(2)段)与4(x),当4>0时，具有相同的单调性；当4<0时，具有相反的单调性.(3)当NQ恒不等于零时，心)与六具有相反的单调性.八XJ(4)当yu),g(幻都是增(减)函数时，yu)+g0)都是增(减)函数.3 .函数的最值前提函数y=U)的定义域为D条件(1)对于任意X都有_/(x)f；(2)存在xo0,使得加)=M(3)对于任意都有_；(4)存在xoD使得/Uo)=M结论M为最大值M为最小值几何意义函数.v=U)图象上最高点的纵坐标函数尸危)图象上最低点的纵坐标4.常用结论(1)函数单调性的两个等价结论设Tr,玄£。(加¥及)，则/(Xl)二,X2)>0(或S-网)段2)>0)例(组在D上单调递增；A(IX2守旦0(或一见一U2)<0)号危)在D上单调递减.XX2(2)函数最值存在的两条结论闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值，当函数在闭区间上单调时最值一定在端点取到；开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值.举题说法目标Il求具体函数的单调区间例1函数y=m2-2x-8)的增区间是(D)A.(8,-2)B.(-,1)C.(1,+o0)D.(4,+o0)【解析】由X22x8>0,得危)的定义域为xX>4或xv2.设/=*2x-8,则y=lnf为增函数.要求函数/U)的增区间，即求函数/=$-2r-8的增区间(定义域内).因为函数r=x2-2x-8在(4,+8)上单调递增，在(-8,一2)上单调递减，所以函数7(1)的增区间为(4,+).(2)函数v=L2+2x+1I的增区间是一1一01,"+、反+8).【解析】作出函数的图象如图所示，由图象知，其增区间是口一啦，1,l+2,+o°).确定函数单调性的四种方法：定义法，导数法，图象法，性质法.Y变式(I)函数yu)=m言的增区间是(B)A.(-8,-1)B.(-U)C.(l,+8)D.(-8,-1),(1,+)【解析】当x0时,段)=一Ly,因为在(-1,0),(0,1)上单调递减，x+LX所以於)在(一1,1)上单调递增，即段)的增区间是(T,1)(2)函数,/U)=-2的减区间是L2_.【解析】KV)='Y:作出yu)的大致图象如图所示，由图象知-j-t2x3x<2.7U)的减区间是HZ.(变式)目标日利用函数的单调性求参数例2(1)已知函数./U)是定义在(0,+8)上的增函数，若4o2-)M+3),则实数a的取值范围为(-3,-1)U(3,+8).【解析】由已知可得。+3>0,解得一3VV1或>3,所以实a1-a>a+3,数。的取值范围为(-3,-1)U(3,+).(2)已知函数fix) = <ax- 1, x<l,满足对DX1, X2R且XlWX2,有二警守成立,则实数。的取值范围是【解析】因为对Dxhx2R,且XlWl2,有空三詈>0成立，所以函数a>0f2危)在R上单调递增，所以J6i1,解得0q?、一1124,(3)若函数LLC在(T，+8)上单调递增，则一的取值范围是一(一8,-3._-a-2+a-3,a3,.,3VO,【解析】y=1+7,由逊忌知c"将x-a-2x-a-2+2<-l,3,所以。的取值范围是(一8,3.总结提炼A利用单调性求参数的范围(或值)的方法：(1)视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；(2)若函数在区间。，以上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的.变式(1)若函数>=在R上单调递增，且12加一3)次一机)，则实数m的取值范围是(C)A.(oo,1)B.(1,+)C.(1,+)D.(-,1)【解析】因为“r)在R上单调递增，y(2n-3)>(-w),所以2m-3>-mi解得机>1,所以实数机的取值范围为(1,+8).x2+-2,x1,(2)已知函数./U)=2若/U)在(0,+8)上单调递增，则ax-a,x>l,实数a的取值范围为(12.【解析】由题意得12+-20,则2,因为y=ax-a(Ql)是增函数，故a>l,所以。的取值范围为4l<W2.目畅日求函数最值例3若函数式X)=而一3在x1,4上的最大值为M,最小值为?，则M一相的值是（A）11a1【解析】因为%）=5一丁在I。上是增函数,所以M=/（4）=2一m=诂31"2=U）=0,因此M一相=.X2,x1,（2）已知函数Kr）=<6,那么/U）的最小值是2、16.jv+-6,x>l,IX，【解析】当XWl时，%）min=0;当工>1时，-）min=26-6,当且仅当X=加时取到最小值.因为26-6<0,所以段）min=2%-6.1 .函数危）=一叶：在-2,一学上的最大值是（）38A-2B-3C.-2D.2x+1,x0,2. （2022南通海安期末汜知函数段）=,2八若加）=型），则IaG1）、x>o.例的最大值为.-cx+1,x<a,3. （2022.北京卷）设函数危）=，7、若加）存在最小值，则a的-2）,xa.一个取值可以为；。的最大值为.<总结提炼A利用单调性求最值：（1）直接单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值；（2）导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值.随堂内化1 .（2022武汉武昌模拟）下列函数中，定义域是R且为增函数的是（）A.y=x÷sinxB.y=exC.y=lnxD.y=x2.已知/（x）=0r2+1是定义在R上的函数，若对于任意的IWXl-W3,都有包三蚂一2,则实数。的取值范围是（）XlX2A.0B.0,+8）c-y+8）D.昌,o）3.（多选）若函数）=*言，x（zn,川的最小值为0,则机的取值可以为（）A.-2B.-1C.0D.14. （2022.福建诊断性检测）写出一个同时具有下列性质的函数危）定义域为R；值域为（-8,1）;对任意X,12仁（0,+8）且RWX2,均有73）一危一XX21.X+3,x2,5. （2022南京考前辅导）已知函数儿E）=XJ,x>2.（1）不等式式3工一1）勺（x2）的解集为_；（2）若关于X的方程3'+2一。）=2有两个不相等的实数根，则实数。的取值范围为.参考答案函数的单调性与最值保教初二有基固市激活思维1.(人A必一P79例3改)函数段)=-+:(B)A.在(0,+8)上单调递增B.在(1,+8)上单调递增C.在(0,1)上单调递减D.在(一8,1)上单调递减22.(人A必一P81例5改汜知函数&)=e(x(2,6),则(C)A/m)的最大值为2,最小值为0.4B.iU)的最大值为2,没有最小值c.yu)没有最大值，最小值为0.4D.1U)的最大值与最小值都没有3 .已知函数y=(x)在0,+8)上是减函数，若M=dN=f,a2-a+),则M,N的大小关系为MNN.3【解析】根据函数单调性的定义，只需比较;与/一。+1的大小即可.因为a?q+l=(-:>+12*所以,与/+1都属于0,+).又因为y=()在0,+8)上是减函数，所以胃空2一+),即M2M4 .(人A必一PlOO复习参考题4)已知函数./U)=4f一履一8在5,20上具有单调性，则实数&的取值范围为(-8,401Un60,+8).【解析】函数./)的图象的对称轴是直线当於5或於20,即Z40或k2160时，7U)在5,20上是单调函数，所以实数k的取值范围为(-8,40U160,+8).5 .已知函数y=(x)的定义域为(0,+),且7U)在其定义域上单调递减，那么不等式而)>+3)的解集为(-1,0)U(0,3).01产则<0，3【解析】由2x+3>0,得Jx>2，解得一l<x<0或0<x<3.x2<2x+3,2o。/八Ixz-2-3<0,基础回归I.函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义在函数y=U)的定义域内的一个区间A上，如果对于任意的两个数XI,X2A:当X<X2时，都有fix)>f(X2),那么就说函数/U)在区间A上是减函数当加令2时，都有儿TDVZte),那么就说函数7U)在区间A上是增函数图象描述VA与"_1Iy!/()'G)!:rO自左向右看XiXiX图象是_下降的OXiXiX自左向右看，图象是_上升的(2)单调区间的定义如果函数y="r)在区间A上是增函数或是减函数，那么称A为单调区间.(3)复合函数的单调性对于函数y=(")和u=g(x),如果当X£(，份时，w(w,)，且w=g(x)在区间(。，份上和)=_/()在区间(加，)上同时具有单调性，那么复合函数.v=(g(x)在区间3,b)上具有单调性，并且具有这样的规律：同增异减.2.若函数7U),g。)在区间3上具有单调性，则在区间B上具有以下性质：(DTU)与火)+C(C为常数)具有相同的单调性.(2)Kr)与U),当心0时，具有相同的单调性；当<0时，具有相反的单调性.(3)当./U)恒不等于零时，)与白具有相反的单调性.Jx)(4)当於)，g()都是增(减)函数时，yu)+g(x)都是增(减)函数.前提函数y=U)的定义域为。条件(1)对于任意X都有；(2)存在xoWO,使得兀3)=M对于任意X都有_ZUBM；(4)存在xoZ使得/Uo)=M结论M为最大值M为最小值几何意义函数.v=U)图象上最高点的纵坐标函数尸危)图象上最低点的纵坐标4.常用结论(1)函数单调性的两个等价结论设/幻，X2ZXX1X2),则"?二，")>0(或S及)伏R)-/(X2)>O)钝/U)在D上单调递增；Xl2/U1)二段2)<0(或但一火段2)<0)U段)在D上单调递减.XlX2(2)函数最值存在的两条结论闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值，当函数在闭区间上单调时最值一定在端点取到；开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值.HI题组二融会贯通举题说法目标n求具体函数的单调区间例1(1)函数./U)=ln(x22-8)的增区间是(D)A.(8,-2)B.(-,I)C.(1,+o0)D.(4,+o0)【解析】由f-2-8>0,得“X)的定义域为小>4或x<-2.设f=f-2x-8,则y=lnf为增函数.要求函数火X)的增区间，即求函数=/一级-8的增区间(定义域内).因为函数t=x1-2-S在(4,+8)上单调递增，在(-8,2)上单调递减，所以函数Ar)的增区间为(4,+8).(2)函数y=Lf+2x+ll的增区间是.1一、份，IL-1+'历，+8).【解析】作出函数的图象如图所示，由图象知，其增区间是1一啦，1,l+2,+).(例K2)总结提炼A确定函数单调性的四种方法：定义法，导数法，图象法，性质法.变式(1)函数=者的增区间是(B)A.(oo,1)B.(-1,DC.(l,+8)D.(-8,-1),(1,+)【解析】当XWO时,於)=,因为y=x+J在(1,0),(0,1)上单调递减，所以7U)在(一1,1)上单调递增，即yu)的增区间是(2)函数=k2k的减区间是一口,2.X22xx22【解析】於)=2,：':作出yu)的大致图象如图所示，由图象知xz+2x,x<2./W的减区间是fl,2(变式)目标用利用函数的单调性求参数例2(1)已知函数./U)是定义在(0,+8)上的增函数，若大/一GMa+3),则实数a的取值范围为(3,-1)U(3,+8).(。2。>0,【解析】由已知可得*+3>O,解得TVaV-I或公3,所以实.cr-a>a+3,数。的取值范围为(-3,-1)U(3,+8).JV(2)已知函数fix)=2J1满足对TX1,2R且X1X2,有x4,-2ax,1吗妾一成立,则实数。的取值范围是IL【解析】因为对T幻，A2R,且为#及，有曲呼2>0成立，所以函数X1X2a>0,27U）在R上单调递增，所以JWl,解得OqWT«-1WL24,(3)若函数尸LcL2在(T，+8)上单调递增，则。的取值范围是8,-3._-a2+a-3,a3,.,3<0,【解析】y=1+由逊忌知)待uWx-a-2x-a-2+2-l,3,所以a的取值范围是(一8,3.总结提炼A利用单调性求参数的范围(或值)的方法：(1)视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；(2)若函数在区间。，句上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的.变式若函数y=於)在R上单调递增，且彤l3)次一机)，则实数m的取值范围是(C)A.(-8,-1)B.(-l,+8)C.(l,+)D.(-,1)【解析】因为儿I)在R上单调递增，y(2H-3)>(-w),所以2m-3>-tn,解得相>1,所以实数机的取值范围为(1,+8).r2+zfl-2,x1,(2)已知函数./U)=j2若7U)在(0,+8)上单调递增，则实数a的取值范围为(1.2.【解析】由题意得12+-20,则2,因为y=a-a(Ql)是增函数，故4>l,所以。的取值范围为4l<aW2目标且求函数最值例3(1)若函数Kr)=点一=在戈1,4上的最大值为M,最小值为孙则M一7的值是(A)A.¾B,2Io八9CilC.4d411Ol【解析】因为危)=G一了在【1,4上是增函数,所以M=(4)=2=诂31m=T(D=0,因此Mm=讳.x21xl,(2)已知函数TU)="6那么ZU)的最小值是2、，-6.x+-6,x>l,【解析】当XWl时，t(x)min=O;当A'>1时，/(x)min=266,当且仅当X=#时取到最小值.因为2%6V0,所以>U)min=2%-6.题组整瞿1.函数Kr)=一-+:在-2,一;上的最大值是(A)3-2A.8-3-BC.-2D.2【解析】因为函数尸一工和尸;在-2,一?上均为减函数，所以於)在1113一2,上是减函数，所以U)max=(-2)=2-x+1,x0,2(2022南通海安期末汜知函数/H(L阴q0,若H则广例的最大值为.x+1,x0,【解析】令心)=型)一，作出於)=7)2,3的图象和直线尸,如图所示.(第2题)由图知0<f<l,不妨设。幼,若求I。一切的最大值,则+l=f,(b-l)2=t,所以a=t-,b=y't+,所以b=3+l-(f1)=/+3+2=+*当3即T时，取得最大值/即IaiI的最大值为.ax+1,x<a,3. (2022北京卷)设函数段)=I(l2)i2.若©存在最小值，则的一个取值可以为0(答案不唯一)；的最大值为1.1,x<0,【解析】若。=0,则於)=375所以/U)min=0;若。<0,则Ia2)。X0,当X<S时，J(x)=-ax+单调递增，当,L8时，J()-OOj故於)没有最小值，不符合题目要求；若。>0,则当x<时，fix)=-ax+单调递减，jx>fia)|0,0<<2,=/+1,当Q。时,yU)min=J/c、2所以一片+120或一/+12(a-2Y,G2,2)2,解得O<Wl.综上可得OWaWL总结提炼A利用单调性求最值：(1)直接单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值;(2)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值.随堂内化1 .(2022武汉武昌模拟)下列函数中，定义域是R且为增函数的是(A)A.y=x÷sinxB.y=exC.y=lnxD.y=x【解析】对于A,函数y=x+sinx的定义域是R,且y'=l+cosx0,所以)，是R上的增函数，满足题意；对于B,函数y=er=g)是R上的减函数，所以不满足题意；对于C,函数y=lnx的定义域是(0,+),所以不满足题意；X,x0,对于D,函数y=R=C在定义域R上不是单调函数，所以不满足题t-X,x<0意.2.已知yU)=x2+l是定义在R上的函数，若对于任意的IWXlq2&3,都有空上皿>一2,则实数。的取值范围是(C)XX2A.0B.0,+8)cy+8)D.昌,0)【解析】因为IWXV2W3,所以由曲三妈一2,得於)一段2)一28X1尤2X2),则大汨)+1¥1勺(及)+212.构造函数9。)=/)+2,由/Ul)+2x勺母2)+2X2,得g(xi)<g(X2).因为IWXla2/3,所以函数g(x)=/U)+2x=x2+l+2X是1,3上的增函数.当。=0时，函数g(x)=l+2x是1,3上的增函数，符合题意；当W0时，函数g(x)=0x2+l+2的图象的对称轴为X=当。>0时，显然函数g(x)=Or2+l+2x是1,3上的增函数，符合题意；当<0时，要想函数g(x)=r2+l+2%是1,3上的增函数，只需3-,解得心T而d<0,所以一卜。<0.综上所述，实数。的取值范围是一/+8).3.(多选)若函数>=常，x(n,川的最小值为0,则m的取值可以为（BCD）A.-2B.-1C.OD.12x3（X+1）3【解析】函数），=於）=干=JH=M_1在区间（一I,+8）上是减函数，且/（2）=0,所以=2.根据题意，当x（m,时，ymin=O,所以加的取值范围是1,2）,故机可以取一1,0,1.4. （2022福建诊断性检测）写出一个同时具有下列性质的函数fix）=1一*（答案不唯一）.定义域为R；值域为（-8,1）;对任意汨，X2（0,+8）且国WX2,均於2-XX2【解析】U）=1一/,定义域为R.>0,7U）=l-*vl,值域为（-8,I）,且是增函数，满足对任意Xi,x2（0,+8）且;nWx2,均有空空电0.x-Xi1.X+3,x2,5. （2022南京考前辅导）已知函数"r）=）J,x>2.（1）不等式式3xi）勺2）的解集为号&JW_；（2）若关于X的方程乂8+2一，=2有两个不相等的实数根，则实数。的取值范围为（1,+8）.【解析】作出函数,信）的图象，如图所示，该函数为“不增”函数.（第5题）x2<3-1,35r-（1）由图可知LC解得V-令<也，所以所求的解集为»<2,2(2)由图可得叩十三一=l,令z=e"则/2-(+l"+l=0在区间(O,+)C。+1>0,上有两个不相等的实数根，则有仁户4>。，解得AL