函数的最大值含解析.docx

第2课时函数的最大（小）值根底过关练题组一求函数的最大（小）值1.函数F（X）在-2,2上的图象如下图,那么此函数的最小值,最大值分别是OA.-2）,OB.0,2C.-2）,2D.（2）,22 .（2021北京房山高一上期中）函数片21-2尸1在区间-1,1上的最小值为（）13223 .函数度匕+431VV;的最大值是（）4 .（2021北京丰台高一上期中）x>2,函数尸味+x的最小值是O5 .（2021北京石景山高一上期末）函数/（x）±WX+1（1）判断函数f（x）在区间0,+8）上的单调性,并用定义证明；（2）求函数Ax）在区间2,9上的最大值与最小值.题组二函数最大（小）值在实际问题中的应用6 .某商场经营一批进价为每件30元的商品,在市场试销中发现,该商品销售单价x（不低于进价，单位:元）与日销售量y（单位：件）之间有如下关系：X4550y2712（1）确定X与y的一个一次函数关系式*f（x）（注明函数的定义域）；（2）假设日销售利润为户（单位:元），根据（1）中的关系式写出尸关于X的函数关系式,并指出当销售单价为多少元时,能获得最大的日销售利润.7 .（2021山东济南历城二中高一上期末）有一批材料,可以建成长为24OnI的围墙.如图，如果用这批材料在一面靠墙的地方围成一块矩形的场地,中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形,怎样围才能使矩形场地的面积最大?最大面积为多少？题组三函数最大（小）值在求参中的应用8 .假设函数y=al在1,2上的最大值与最小值的差为2,那么实数a的值是O或-29 .（2021山东淄博高一上期中）假设函数G）=V+（*D户3在区间5）内存在最小值,那么m的取值范围是（）A.(5,9)B.(-11,-7)C.5,9D.-11,-710 .(2021江苏南通如东高一上期中)设，(力=/-2aAl,x0,2,当才3时，才)的最小值是,假设F(X)的最小值为1,那么a的取值范围为.11 .函数,()=-+2ax+l-a.(1)假设正2,求函数f(x)在区间0,3上的最小值；(2)假设函数F(X)在区间0,1上有最大值3,求实数a的值.题组四函数的最大(小)值在方程与不等式中的应用12 .假设V*w(0,1,都有不等式r+a+120成立,那么a的最小值为()512213 .函数F(X)=-V+4x+他假设m*£0,1,x)=0,那么R的取值范围是()A.-4,+)B.-3,+8)C.-3,0D.-4,014. (2021天津南开学校高一上期中)假设对任意x>0,MTGWa恒成立,那么a的取值范围为.15. 函数F(X)=W,x3,5.X+2(1)判断函数F(X)的单调性并证明；(2)假设不等式f(x)>a在3,5上恒成立,求实数a的取值范围；(3)假设不等式F(X)>a在3,5上有解,求实数a的取值范围.16. (2021安徽合肥八中高一上期中)二次函数Fa)满足F(X)-F(1)=2G1,且F(X)的图象经过点(2,-4).(1)求F(x)的解析式;(2)假设x-3,2,不等式F(X)77x恒成立,求实数力的取值范围.能力提升练题组一求函数的最大(小)值1. (2021天津滨海高一上期末,/?)给定函数F(X)=尤g(x)=户2,VXR,用"(x)表示F(X),g(x)中的较大者,记为M(x)=max"(x),g(x),那么U)的最小值为()2. (2021河北承德一中高一上月考,*台)函数F(X)=2x不！的最小值为0171998843. (多项选择)(2021江苏徐州六县高一上期中,钠函数Ir(X>1),那么该函数。I-XA.最大值为-3B.最小值为1C.没有最小值D.最小值为-34. (2021山西太原高一上期中，")假设函数f(x)=尸211÷1的最大值为小,最小值为,那么11F.5. (2021江西临川一中高一上月考,*)函数f(x)=v+2kl,XW-1,1.假设",求函数F(X)的最值；(2)假设aR,记函数f(x)的最小值为g(a),求g(a)关于a的函数解析式.题组二函数最大(小)值的综合应用6. (2021河南洛阳一中高一上月考,不)假设函数受F(X)=*3尸4的定义域为0,4，值域为卜表一对,那么初的取值范围是()A.(O,41B,1,4C,3d,÷oo)7. (*?)函数f(x)二广工2,x<0,g()=U5-2A(A>0),假设对任意的m-1,1,总存在及CT,1使得幻<g(j成立,那么实数k的取值范围为。A.(0,2B.(0,三c.(0,3D.(1,28.(多项选择)(*?)函数F(X)=-2户1(x-2,2),g(x)=32(0,3),那么以下结论正确的选项是0A. Vx-2,2,/V)>a恒成立,那么a的取值范围是(-8,一3)B. 3x-2,2,F(X)>a,那么a的取值范围是(-8,-3)C. 3x0,3,g(>)=a,那么a的取值范围是T,3D. x-2,2,3r0,3,f(x)=g(t)9.(多项选择)(2021山东济南高一上期末,*9一般地,假设函数F(X)的定义域为用，值域为Ika,的,那么称HzJ为Ax)的'”倍跟随区间.特别地,假设函数Ax)的定义域为O",值域也为a,6,那么称a,切为f(x)的“跟随区间”.以下结论正确的选项是0A.假设1,6为F(X)=V-2户2的跟随区间，那么Zf=3B.函数f(x)=2-之不存在跟随区间Xc.假设函数/U)二片不！存在跟随区间，那么77(-i,oD.二次函数F(X)=TV+x存在“3倍跟随区间"(-(l)YOI)假设F(O)是F(M的最小值,那么X+-+,X>0.实数a的取值范围为.IL(2021北京房山高一上期中，*)定义在实数集R上的函数F(X),如果存在函数以必=4户8(4,3为常数)，使得F(*)2g(*)对一切实数>都成立,那么称g(>)为函数F(*)的一个承托函数.(1)判断函数g(x)=x是不是函数F(X)=2*的一个承托函数,并说明理由；(2)请写出函数F(X)=IXl的一个承托函数；(3)假设函数g(x)=2xa为函数F(X)=a/的一个承托函数,求实数a的取值范围.答案全解全析根底过关练1 .C由题图可知,此函数的最小值是f(-2),最大值是2.2 .C因为尸的图象开口向上,对称轴为直线后，所以在区间T,1上，当产：时，函数取得最小值应选C.3 .C当水1时，函数T=N3单调递增，有X4,无最大值；当时，函数尸一产6单调递减,在A=I处取得最大值5.所以该函数的最大值为5.4 .Cx>2,那么2>0,44y=+x=+(2)+2x-2X-22(-2)+2=6,y-2当且仅当白2,即户4时等号成立，函数的最小值是6.应选C.5.解析(1)函数F(X)在区间0,+8)上是增函数.证明如下：任取X,0,+8),且X1<2,那么r-f=-Xi+1X2+l_(2*13)(%2+D(2X23)(如+1)(X1+1)(x2+l)(xt+l)(x2+l)_5(4-M)(X+l)(x2+l)"Vxl<x2,-2<0f又Xi,也0,+8),(*+l)(及+D>0,；f(M)-fC¾)<0,即F(XI)<F().函数F(X)在区间0,+8)上是增函数.(2)由(1)知函数Fa)在区间2,9上是增函数,故函数F(X)在区间9上的最大值为久9)工署号，最小值为F(2)=与等q.6 .解析因为M是一次函数,所以设r=(a0).由题中表格可得配:吃能解得隹：意,所以产F(X)=-3户162.又y20,所以30x54,故所求函数关系式为尸F(X)=-3户162,XG30,54.(2)由题意得，万(尸30)尸(尸30)(162-3入)=-39+2524860=-3(42)2+432,x30,54.所以当方42时,凡432,即当销售单价为42元时，能获得最大的日销售利润.7 .信息提取一批材料可以建成长为240米的围墙;用这批材料在一面靠墙的地方围成一块矩形的场地;中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形.数学建模以建造矩形场地为背景构建函数模型,利用根本不等式求解问题.解析设每个小矩形与墙垂直的一边长为aid,其邻边长为期,其中z>0,y>0,依题意可知4内3片240,那么0<K60.故矩形场地的面积5=3盯=x(240-4x)=4*(60-x)W4X(k詈，=3600,当且仅当后30时取等号,所以当产30时,矩形场地的面积最大,为3600m2.8 .C由题意知a0,当a>0时，函数产a户I在1,2上单调递增，有(KD=2,解得42;当XO时，函数y=axl在1,2上单调递减,有(a+1)-(2m4)=2,解得a=-2.综上知，a=+2.9 .B由题意可得3等<5,解得T1<:水-7.应选B.10 .答案-7;(-8,0解析当a=3M,/(x)=Y-6a÷1在x0,2上单调递减，r(x)i=f(2)=-7.由函数的解析式知F(O)=1,假设F(M的最小值为1,那么AM在x0,2上单调递增，而F(X)=/-2axH的图象开口向上,对称轴为直线X=a.a0,即a的取值范围是(-,O.11 .解析(1)假设声2,那么U)="+4尸1=-(尸2)2+3,该函数的图象开口向下，图象的对称轴为直线产2,.函数f(x)在区间0,2上单调递增,在区间3上单调递减，又f(0)=T,f(3)=2,(x)in=f(0)=-1.(2)易知函数F(X)的图象开口向下,对称轴为直线2a,当a0时，函数F(X)在区间0,1上单调递减，那么F(X)Ila工=F(O)=I-/=3,解得a=-2当(K水1时，函数f(x)在区间0,司上单调递增,在区间a,1上单调递减，那么F(X)皿=F(a)=J-a+l=3,解得a=2或a=l,均不符合，舍去；当a21时，函数AX)在区间0,1上单调递增,那么F(X)E=F(I)=T+2K1-炉3,解得才3.综上所述，a-2或43.12 .D设/(x)=-A÷a+l,由不等式-a+K120对任意x(,都成立,可得)ni110.因为f(x)在(0,寺上是减函数,所以当(,时,仔吗所以*20,即心W，所以in=-.应选D.13 .C函数f(x)=2+4科川的图象开口向下,对称轴方程为产2,函数Fa)在区间0,1上单调递胤.'/V)皿"(l)=3+z¾f()1g"(0)=%,即函数F(X)的值域为初,研3.由方程f(x)=0有解,知0%,*3,因此O,且/320,解得-3Wt0.应选C.14 .答案E，+)解析.>0,>0,根据题意知a>0.xz+3x+lx111.+-+3.XXV>0,a÷-+3>23F+3=5(当且仅当X=I时取等号)，X7X-5t：.a-.aS15.解析f(>在3,5上为增函数.证明：任取汨，X23,5,且XKX2,那么r-2)=Ht2;.Xi+2a+2(%+2)(+2)V3Xi<a5,x1-a<O,(xi+2)(t2+2)>0,£(为)-£(就<0,即fU)<U),力在3,5上为增函数.(2)由不等式f(x)>a在3,5上恒成立,知/(x)B111>a.由(1)知F()在3,5上为增函数，X)Mf4*>4,即瞪故实数a的取值范围是(-8,(3)由不等式F(x)>a在3,5上有解,知FCr)BaX>a由(1)知£5)在3,5上为增函数,F(x)皿=F(5)=*'3>a,&P水；,故实数a的取值范围是98,分.16.解析设U)=a+bx+c(ciO),那么f(x-l)=a(x-l)2+b(x-i)+c=a+(-2a+Z?)a卅c,所以乳力-f(kD=2ax/b、又因为F(X)-F(AH)=2户1,所以£：；=,解得所以F(X)=X2+2÷c.因为F(X)的图象过点(2,-4),所以-4=2>2X2+c,解得GT2,所以F(x)二三+212.(2)由题意知，V+2x12Wmx,Xe-3,2,所以Y+(2-/77)尸12WO,Xe-3,2.记gx)-X(2-fl-2tx-3,2.那么g(x)皿W0,由以才)的图象开口向上,知函数gx的最大值是g(2)或(-3),所以皑黑艮唱:舞;。，解得一2W%W3,所以加e-2,3.能力提升练1.B在同一直角坐标系中,作出函数f(x)=g(*)=x+2的图象，由M(x)的定义知,函数/>)的图象如图中实线局部所示.由图象知，当x=-l时,/x)取得最小值1.应选B.2.A设QTTVFO),那么=T(20),所以以。=2(落1)一片2，片2(。0).易知函数式力=2落卜2在o,上单调递减,在E，+8)上单调递增，.F()tlin=g("lliryW应选A.3.ACV>1,.,.÷%)w-2值(-l)-1=-2-1=-3,当且仅当二；二1,即下2时取等号，X-I.函数的最大值为-3,无最小值,应选AC.4 .答案0解析当K-I时，F(x)=-+2+户1=3,当TWX2时，f(M)=-+2-1=-2x+1,此时)i11=2)=-3,ftix=-l)=3,当x>2时，F(X)=2-1=-3.综上，f(x)的最大值t=3,最小值f=-3,所以加炉0,故答案为0.5 .解析(1)当a=时，r=+x-l,XeT,1,其图象开口向上,且对称轴方程为尸函数尸f(x)在卜1,-引上单调递减,在卜上单调递增，fa)的最小值为/(4)H>又F(T)=T,F(I)=I,F(x)的最大值为F(I)=I,最小值为弓)*(2)函数F(*)=V+2a尸1的图象开口向上,且对称轴方程为产-当-<a-l,即al时，*f(x)在T,1上单调递增，.f(x)nin=F(T)=-2a;当T<-a<l,11-l<a<l时,尸F(X)在T,-司上单调递减,在1上单调递增，f(x)in=f(-a)=-a2-l;-al,即a-l时,j=f(*)在T,1上单调递减,U)nl11=(l)=2a.-2a,a1,-a2-l,-1<a<lt2a,a-1.6C.产F(X)=二1-步章.y-%且/(0)=/(3)=-4,由及二次函数的图象可知,/的值最小为条最大为3,即/的取值范围是停，3,应选C.7. A在函数f(x)中，当XG-1,0)时，f(x)是减函数,因此,f(x)(2,3;当Xe0,1时,f(x)也是减函数,因此,f(x)2,3.当一1,U时，f(x)2,3,即/V)tox=3.在函数g(x)中，由心0知,g(x)在-1,1上单调递增，:g(x)BO=以1)=-5-2-5-2假设VXleT,1,总存在aeT,1使得/(x)WgC½),刃K么35-A,解得kM2,又A>0,.,.0<A2.应选A.8. AC在A中，因为r=-2A÷l(-2,2)是减函数,所以当户2时，函数取得最小值,最小值为-3,因此水-3,A正确；在B中，因为=-2+i-2,2)是减函数,所以当产-2时，函数取得最大值,最大值为5,因此水5,B错误;在C中,(x)=-2x=(-D2-I(x0,3),当=1时，函数取得最小值,最小值为T,当户3时,函数取得最大值,最大值为3,故函数的值域为T,3,由g(x)=a有解,知a-1,3,C正确;在D中,Vx-2,2,3f0,3,F(X)=g(t)等价于f(x)的值域是以力的值域的子集,而M的值域是-3,5,以t)的值域是T,3,故D错误.应选AC.解题模板不等式恒成立(有解)等问题的求解,常将问题转化为最大(小)值问题,记住以下转化有利于解题:F(X)>3恒成立QF(x)nQa;F(X)<a恒成立QF(X)皿<a;F(X)>a有解u>F(x)mx>a;汽x)<a有解=F(x)n<a9. BCD对于A,因为/V)=f-2/2在区间1,句上为增函数,故其值域为1,Z292,假设1,6为F(X)=V-2户2的跟随区间，那么i-2b+2=bt解得Zt=I或b=2,因为力1,所以b=2.故A错误.对于B,因为函数f(x)=2-在区间(-8,0)与(0,+8)上均为增函数,所以假设F(x)=2q存在跟随区间a",那么有"F即a"为2*=X的两根.b=2÷X因为*-2户3=0无解,所以函数F(X)=2=不存在跟随区间.故B正确.X对于C,因为F(X)=厂VF钉为减函数,所以假设函数F(X)=ZZrK存在跟随区间a,8,那么b=mI,那么ej-F11-m,a<btIQ=n-yjb+1,所以(a6)(+l+b÷1)=(5+1)-(Zh1)=a-b,因为a¥b,所以，Q+l+b+1=1.易得0Wyfa+l4Jb+11.所以a=nr-Ib+l=m-(1-+1),令t=ya+1,那么/-t-m=O,同理t=7b+1也满足落片犷0,即夫f犷O在区间0,1上有两个不相等的实数根，故P+盘>"解得m三(-lo,故C正确.对于D,假设F(X)=W2+x存在“3倍跟随区间，那么可设定义域为a",值域为3耳30.当a<b1时，易得F(X)A*2+在区间出加上单调递增,此时易得a,b为方程-%U=3x的两根,解得产0或=-4.故存在定义域为-4,0,使得值域为T2,0.故D正确.应选BCD.10. 答案0,2解析当x>0时，F(x)=户工+a22x-+a=2+a1XYX当且仅当仁,即41时,等号成立,此时F(X)有最小值2+a因为F(O)是F(X)的最小值，所以当x0时，/W(入)=(尸向2单调递减,故a2O,此时最小值0)=Z故2+a2a；解得T<aW2,又a20,所以0Wa2.故实数百的取值范围为0,2.11. 解析函数g(x)二才不是函数F(X)=2/的一个承托函数，当W时，以力=；，MX)1,此时尸(x)<g(x),不满足承托函数的定义，故函数g(x)=X不是函数F(X)=2V的承托函数.(2)根据承托函数的定义可得函数f(x)二|3的一个承托函数是£(入)弓反(答案不唯一)(3)假设函数g(x)=2xa为函数F(X)=的一个承托函数，那么a2xa对一切实数X都成立，即ax2x+a0对一切实数X都成立，当小0时,g(x)=2x,f(x)=0,此时g(*)不是F(X)的承托函数，当a0时,要满足题意,那么有0解得心1,故实数a的取值范围为1,+8).