刘蒋巍：双变量任意与存在问题考察的5个视角.docx
双变量任意与存在问题考察的5个视角文/刘蒋巍一.双变量任意与存在问题1 .若於)，g(%)的值域分别为A,B,则:(1)(“任意=存在"型)/加£。，m%2E,使得於)=g(2)成立，则AG8；(2)(“存在=存在''型)mxO,3x2E,使得凡n)=g3)成立，则Ani0.2 .不等问题：(1)(“任意N仁、>>V)任意”型)VmO,X2E,均有yU)>g(2)恒成立，则y(x)min>g(x)max.注：防止误将VX均有/U)>g(x)恒成立，转化为/U)min>g(x)max,一般应作差构造函数Fa)=AX)g(X),转化为Hx)min>0恒成立；(2)("任意N(>、<)存在''型)VxO,3x2E,使得QH)>g3)成立,则«Y)min>g(X)min.(3)(”存在(>、<)存在''型方xZ3X2E,使得7UD>g(x2)成立，则yx)max>g(x)min.注：防止误将mXO,均有於)>g(x)恒成立，转化为/)max>gQ)min,一般应作差构造函数Fa)=u)-g0),转化为Fa)n三>o恒成立.二.考察的5个视角视角1：形如“对任意XUA,总存在X23,使得4Xl)=g(#2)成立”191例1已知函数U)=3x2+2-/2,g(x)=%H-1若对任意Xi总存在X20,2,使得yU)=ga2)成立，求实数。的取值范围.【解答】y(x)=3x2+2-a(a+2)=3(x+g)26?2一所以yU)min=4-=/2。一又g(x)的值域是卜点6,由题意可知，段)的值域是g(x)的值域HT)W6,一;，61的子集，所以I-a2-2a-,解得一2WaW0,故实数a的取视角2：形如“存在mA及肛£8,使得凡n)=g(x2)成立“例2已知函数4r)=2x,xO,g,函数g(x)=A-2女+2(k>0),x0,；,若存在x0,T及X20,I,使得/(x1)=g(x2)成立，求实数的取值范围.【解答】由题意易得函数/U)的值域为g(x)的值域为22幺2-yj,且两个值域有公共部分.当两个值域没有公共部分时，22上>1或2一|左<0,解得k；或Q*所以要使两个值域有公共部分，实数的取值范围是区变式已知函数次式)=#+工，g(x)=ln(x+l)-，若存在Xi,X20,2Jj使得yU)=g(2),求实数Q的取值范围.【解答】-X)的值域A=0,4,g()的值域B=-,ln3-由存在X20,2,使得於)=g(M,知A3W0.由An8=0得4<一。或ln3-o<0,解得V4或>ln3,故当AnBW。时，-4aln3,所以。的取值范围是-4,ln3.视角3：形如“对任意xA,任意m3,使得y)>g(x2)成立“例3已知函数"x)=x2+4x+q-5,g(x)=%4'i?+8.(1)若函数.v=U)在区间LI上存在零点，求实数。的取值范围；【解答】由题意得，函数yu)图象的对称轴为工=-2,故函数yu)在区间一-l)0,1.i上为增函数.因为函数y在区间-1上存在零点，所以匕、八即80,解得OWaW8,故实数。的取值范围为。8.Iae0,(2)当。=0时，若对任意的Xi,X20l,2,y)Wg3)恒成立,求实数机的取值范围.【解答】由题意，函数7U)在1,2上的最大值小于等于函数g。)在1,2上的最小值.当。=O时，7U)=f+4-5=0+2)29,易知函数7U)在1,2上的最大值为负2)=(2+2)29=7.方法一：当>0时，函数g(x)=%4L?+8在1,2上为增函数，则g(X)min=g=8>7,符合题意；当m<0时，函数(x)=zn4v-,-w÷8在1,2上为减函数，贝Ug(x)min=g(2)=3"z+827,解得一.当m=0时，g(x)=8>7,符合题意.综上，实数机的取值范围为一/+8).方法二：由题意知办4门一用+827对任意x1,2都成立.因为lx2,所以1W4ATW4,0W4Ar1W3.当w=0时,显然成立；当m0时,，%与一下算7对任意X1,2都成立，令函数)，=一FtP其在区间1,2上为增函数，故)，max=所以机2一/综上，实数机的取值范围为一；，+8)变式已知函数.ZU)=%22x+3,g(x)=log2x+m,对任意的Xi,X2l,4,有yU)>gS)恒成立，则实数小的取值范围是一(一8,0).【解析】(X)=X2-2x+3=(-l)2+2,当X£1,4时,y(x)min=y(l)=2,g0)max=g(4)=2+m,则於)min>g(x)max,即2>2+"7,解得?<0,故实数机的取值范围是(一8,0).视角4：形如“对任意XIA,总存在也£j使得AXIAg(M)成立”例4已知函数火X)=IOga(x2-)(4>0,且4l),若对任意的x£2,3,总存在X23,4,使得加)>log(8f),则实数a的取值范围是施【解析】由题意得.Wmin>lg.(8-X)min当时，10g«(8-X)min=lg4,故只需/U)min>0g04,所以32-X)min>4,即加一人斗对字八七已恒成立.分离11111nl3参数得4方+口令I=店WzwR,贝J>43+f,即o>(4r2+f)max=(4r2+"_=，,3故。>2；当0<<lfl,log«(8x)min=log<?5,故只需DInin>lga5,所以(OX2一11X)max<5,且2X)min>,即OVaV2一无<5对2,3恒成立.分离参数得产4力5_1n1l8÷2,令1=Alf<刃，贝1，<。<5户+/,即2=fmaVV（5於+f）min=（5l+f）1=9,1z-故5<<S综上，实数的取值范围是Q,9）U（2,+o°）.视角5：形如“存在mA及幻£8,使得/(x)>g(M)成立”例5已知函数7U)=*+x,(x)=ln(x+l)-a,若存在x,X20,2,使得7UD>g(x2),则实数的取值范围是一(一4,+8).【解析】I可题可转化为兀V)max>g(x)min,易得x)max=4,g(x)min=-Cl,由y(x)max>g(x)min,得4>一(I,所以4>4.
