刘蒋巍：一道三角函数填空题的命制——听吴莉娜专题报告受启发而命制.docx

一道三角函数填空题的命制听吴莉娜专题报告受启发而命制文/刘蒋巍2023年4月14日，江苏省常州高级中学吴莉娜老师在“江苏省2023年高中数学新高考研讨活动”中作专题报告。在专家报告环节，吴莉娜老师指出：”教材是高考数学试题的源头。教材是数学知识和数学思想方法的载体，又是教学的依据。因此在教学中应充分发挥教材作为试题的根本来源的功能，每年均有一定数量的试题是以教材习题为素材的变式题，通过变形、延伸与拓展来命制高考题笔者在学习吴莉娜报告后，研读教材，命制了一道三角函数填空题。下面将试题命制过程及参考解答呈现给大家。请批评指正。【命制过程】(苏教版必修2第79页探究拓展第19题部分)由倍角公式COS2x=2cs2-1,可知cos2x可以表示为COSx的二次多项式.对于cos3x,我们有cos3x=CoSQX÷x)=cos2xcosx-sin2xsinx=(2cos2X-I)COSX-2(SinXCoSX)SinX=2cos3X-CoSX-2(1-COS2x)cosx=4cosix-3cosx可见cos3x可以表示为COSX的三次多项式.笔者思考：1+cos3xN0恒成立，即：4cos3x-3cosx+l0½-2-,亦即4-3f+l0对于reT,l恒成立，将“4”令为参数求参数a的值.于是有如下问题：问题1:已知，(，)="_3/+1对于/-1,1总有/(f)0成立，则a=显然，这就是2008年江苏高考卷第18题的命制思路。如此命制，已落入俗套。参考上述问题1的命制方法“演绎法+代换法”，命制新问题。【新问题的命制过程】l-sin4 = (l-sin2 6>)(l + sin2 ) = (l-sin219) sin2 <9(公式的演绎过程:sin=(l-sin2)sin26(1+)=(l-sin2)(1-cos26)(1+)sinsin。用“代换法”过程：由此可见，x=l是方程(X-Sin2。)(X-COS2)(x+=)=1-sin"。的机Sirre将方程左侧多项式展开，整理得：P(X)=CoS2。+(疝2cos2Z-)x+(zl)x2+X3sin-Sine令Sin2。=l，则COS2。=,，tan2=9P(tan2)=P(I)=l-sin4=224此时,于是，得到以下新问题：【新问题】已知P(X)=/+a/+/+/,若Sin20、cos2gnL是方程SineP(x)=0的根，则P(tan2)=【参考答案】-4