刘蒋巍：用外接圆与椭圆定义直观求解两类三角形周长、面积范围.docx

用外接圆与椭圆定义直观求解两类三角形周长、面积范围文/刘蒋巍【一般性的命题（一）】锐角三角形ABC中，A=6>,0（0,生），角A、B、C所对边分别为。、b、c,2其中人为定值。（2） （1÷sincos）Z?<Cac5<（1+tan+）bCOSe【命题（一）问题（1）命题分析】边人、角。，均为已知定值。要保证三角形ABC为锐角三角形。可以先画出角A,在边AB上，取点稣、B2,使得ZABoC=90"、NACB2二时（取直角三角形ABC为临界状态，来进一步研究）。若B点在A综段（不包含A与综）或4层的延长线上，此时，三角形ABC为钝角三角形。（不符合题意）要保证三角形ABC为锐角三角形，则B点在综修段。将C综视为三角形ABC的高，AB视为三角形ABC的底。当点B在为层段运动时，从练到打，三角形ABC的面积逐渐变大。因此，SgC凤VSMCBVSgCB2，只需用边匕、角。表不出SMe殳、SAAC叫即可。TFl-b2sincosCtan*刖b2sinCb2tan于是，有：<<，亦即：一-<5ac<-【命题（一）问题（2）命题分析】边人、角。，均为已知定值。且由（1）的命题分析，可知：要保证三角形ABe为锐角三角形，则B点在综修段。+c什么时候最小，什么时候最大呢？可以运用椭圆的定义去转化。【用椭圆定义转化求解】以A、C为焦点，绘制一个经过点B的椭圆，作线段Ae的垂直平分线，交该椭圆于D点。运用椭圆的第一定义以及三角形中“大角对大边”的性质，可知：2AD0=AD。+C"=B0+CB0<a+c<AB2+CB2=AD2+CD2=2AD2【直观角度，迅速求解】从直观角度看，点D从A）运动到O2,AD是逐渐变大的。因此，当点B在综修段运动时，从BO到B?,三角形ABC的周长也逐渐变大。【注】当然，也可以不用“椭圆的第一定义”转化，直接用三角形中“大角对大边”的性质去比较判断。结论也是一样的。于是，有：（l+sin+cos）Z?<<（l+tan+-）Z?COSe【一般性的命题（二）】锐角三角形ABC中，A=,0（0,M）,角A、B、C所对边分别为。、b、c,2其中。为定值。（3） （1+工+'）.。*1+与）。SIn夕tan，Sing2【命题（二）问题（1）命题分析】注意到：定边。所对角。为定值，属于“定弦定角”，故构造三角形ABC的外接圆。还是找临界状态，一个“临界状态”是N4）CB=90"或乙”C=9（时；另一个“临界状态”是点A到边BC距离最远时，此时点A在线段BC的垂直平分线上。若A点在优弧44段（不包含B、C、4、A3）,此时三角形ABC为钝角三角形。（不符合题意）若A点在4或A3处，此时NA）CB=90°或ZAIC=90'。（不符合题意）要保证三角形ABC为锐角三角形，则A点在劣弧44段。当点A从4运动到A2时，点A到边BC距离越来越大；当点A从A2运动到&时，点A到边BC距离越来越小。底边BC不变，则三角形ABC的面积随着点A到边BC距离的增大而增大，减小而减小。故，SjCB=A3CB<AACB2CB于是'有：鼻<S12tan4tan2【命题（二）问题（2）命题分析】【用椭圆定义转化求解】以B、C为焦点，绘制一个经过点A的椭圆，作线段BC的垂直平分线，交该椭圆于D点。运用椭圆的第一定义以及三角形中“大角对大边”的性质，可知：2CD0=BDO+CD。=Bii+CA<b+cBA2+CA2=2CA2【直观角度，迅速求解】从直观角度看，点D从。O运动到&，CD是逐渐变大的。因此，当点A从4运动到4时，三角形ABC的周长越来越大；当点A从A2运动到A3时，三角形ABC的周长越来越小。当点A在线段BC的垂直平分线上（即A2时），三角形ABe的周长最大。故，CAAoCB= C14jC8< ACB - 2CB于是，有：（1+工+JH）"<CM（l+-Sln夕tansin22作者简介：刘蒋巍，中国数学会会员，中学数学创新思维联盟公益大使，江苏高考数学复习指南、学会编题:教师培训用书、新时代人力资源管理教程等20余本图书作者。联系作者：2733725655(QQ.com或15050646023