创新设问试题公开课教案教学设计课件资料.docx

创新设问试题一、题型说明1 .填空题结论开放2 .选择题条件探究类3 .解答题(1)选择条件(2)呈现学生思维过程(判断纠错或方案选择类)(3)统计中的方案决策及建议(4)函数性质探究及建议(5)探究结论类(6)选择不同小题不同分值类二、教学建议解题关键：阅读理解题意，生活中问题转化为数学问题1 .判断纠错类：代数类明确算理2 .几何条件选择：明确三角形全等、三角形相似的判定平行四边形及特殊四边形判定3 .函数性质探究：从增减性、对称性、最大(小)值4 .统计中的方案选择：从中位数，众数，方差(标准差)，加权平均数考虑，明确各类统计量的意义.5 .探究结论类：通过从特殊到一般，理解各量之间的内在联系.三、典型试题IL如图.AABC的外向平分线BK与AC的延长线相交于点E.(I)若乙4=20。，Z.£=40。,求乙”而的度数.(2)设乙=SE=64C8="写出af.足的等量关系,并说明理由.I如图，在aZBC中，AB=AC=Sf点P在8。边上.G(1)有下列三组条件：PB=3,PC=3iPB=2,PC=4；PB=3,PC=5,分1I别求以2的值.(2)根据(1)的解答过程，观察并思考为2与PaPC之间满足的等量关系，提出猜'I想并证明.小Il14.在一堂研究性学习课上,老师和同学们经历了下面的研究过程.I.（1）完成下列三个多项式的因式分解：x2_2y=;x2-4j2=；2-41y+4y2=.|（2）老师追问：“把三个因式分解的结果分别记为，,0.它们有什么共同特点？“请你回答这个b问题.OIl（3）老师惠次追问：.加果三个等式+=；+=；+=要同时成立，X和y的值得满1Il足什么关系？“窿丽同学说：“只有当X=N=O时,三个等式能同时成立,其他xN的值都不能使之同时成I一立.”丽京同学的说法正确吗？为什么？½三ssssssss三s三s=三三sssssssssssssss!I .填空题结论开放II .（2021丽水）要使式子3W有意义，则，可取的一个数是4（答案不唯一）.11.（2023宁波）请写出一个大于2的无理数：如Jq（答案不唯一）.11.（2021舟山、嘉兴）己知二元一次方程x+3y=14,请写出该方程的一组整数解_,x="Iy=l（答案不唯一）.14. （2023上海）一个二次函数y=0r2+公+c的顶点在），轴正半轴上，且其对称轴左侧的部分是上升的，那么这个二次函数的解析式可以是.15. （2022台州）如图的解题过程中，第步出现错误，但最后所求的值是正确的，则图中被污染的X的值是.3X先化简，再求值：+1，其中X二米x-43X解：原式=2（x-4）+（x-4）x-4=3x+x-4=-113.（2022嘉兴）小曹同学复习时将几种三角形的关系整理如图，请帮他在括号内填上一个适当的条件.2.选择题条件探究类9.（2022杭州）己知二次函数y=f+r+b（b为常数）.命题：该函数图像经过点（1,0）；命题：该函数的图像经过点（3,0）：命题：该函数的图像与X轴的交点位于y轴的两侧；命题：该函数的图像的对称轴为直线X=L如果这四个命题中只有一个命题是假命题，则这个假命题是（）A.命题B.命题C.命题D.命题3. （2023宁波）如图，以钝角三角形ABC的最长边BC为边向外作矩形BCDE,连结AE,ADf设4£：£）,AfiE,aACO的面积分别为S,Si,SA若要求出S-Sl-S2的值，只需知道（）A.ZA8E的面积B.ZXACD的面积C.ZA8C的面积D.矩形BCDE的面积【解答】解：作AG_LE。于点G,交BC于点F,四边形BCDE是矩形，；NFBE=NBEG=FGE=90°,BC/ED,BC=ED,BE=CD,四边形BFGE是矩形，ZAFB=ZFGE=90o,：.FG=BE=CD,AFLBCf：.S-Si-Si=-ED-AG-BE-EG-CD-DG=-ED-AG-FGED=-BCAF=S222222ABCf，只需知道SaASC,就可求出S-SLS2的值，故选：C.10.（2022宁波）将两张全等的矩形纸片和另两张全等的正方形纸片按如图方式不重叠地放置在矩形ABC。内，其中矩形纸片和正方形纸片的周长相等.若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（）A.正方形纸片的面积B,四边形瓦G”的面积C.二BEF的面积D.AAEH的面积解答题1.选择条件17.（2023杭州）设一元二次方程x2+>+c=0.在下面的四组条件中选择其中一组儿。的值，使这个方程有两个不相等的实数根，并解这个方程.b=2,c=l；b=3,c=l；b=3,c=-1；b=2,c=2.注：如果选择多组条件分别作答，按第一个解答计分.19.（2021杭州）在Ao=AE,®ZABE=ZACD,FB=FC这三个条件中选择其中一个，补充在下面的问题中，并完成问题的解答.问题：如图，在aABC中，NABC=NAC8,点。在AB边上（不与点A,点B重合），点E在AC边上（不与点A,点C重合），连接BE,CD,BE与8相交于点F.若,求证：BE=CD.注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分.19.（2023衢州）已知：如图，在aABC和aOE/中，B,EtC,尸在同一条直线上.下面四个条件：AB=DE；®AC=DF；BE=CF;NABC=NDEF.（1）请选择其中的三个条件，使得aA8CgZOE尸（写出一种情况即可）.（2）在（1）的条件下，求证：4ABC94DEF.AD2.呈现学生思维过程（判断纠错或方案选择类）18.（2023嘉兴、舟山）小丁和小迪分别解方程±3=1过程如下:-22-小丁：解：去分母,得x-（x-3）=x-2 去括号,得 x-x+3=x-2 合并同类项,得3=x-2 解得，1=5原方程的解是x=5小迪：解：去分母,得x+（x-3）=1 去括号,得 +"+3=l 合并同类项,得2x-3=1 解得，k2经检验宓=2是方程的增根,原方程无解。你认为小丁和小迪的解法是否正确？若正确,请在框内打“J”；若错误,请在框内打“X”,并写出你的解答过程.2_115.（2023江西）化简（一+工）三二L下面是甲、乙两同学的部分运算过程:x+1-lX解：原式=甲同学(x+l)(x-l) (x-l)(x+l)炉一X解：原式.至二1 +三.之二1 %+l X - X乙同学；（填序号）（1）甲同学解法的依据是,乙同学解法的依据是等式的基本性质；分式的基本性质；乘法分配律；乘法交换律.（2）请选择一种解法，写出完整的解答过程.18.（2022台州）小惠自编一题：“如图，在四边形ABCO中，对角线AC,BD交于点0,AC±BD,OB=OD,求证：四边形ABCO是菱形”，并将自己的证明过程与同学小洁交流.小息：证明1AClBD.OB=OD.ACtBD.：.ABAD.(BCD,小沽：这个题目还跳少条件.禽要 补充一个条件才能证明.内边形48CD足菱彩.若赞同小惠的证法，请在第一个方框内打“/'；若赞成小洁的说法，请你补充一个条件,并证明.20. （2023贵州）如图，在RtZXABC中，NC=90°,延长CB至。，使得BO=C8,过点A,。分别作AEB。，DE/BA,AE与。E相交于点£下面是两位同学的对话:XX:由题目的已知条XX:由题目的已知条件，若连接BE,则可件，若连接CE,则可证明BE0CD.证明CE=DE.（1）请你选择一位同学的说法，并进行证明；（2）连接A。，三AD=52，*J，求4。的长Av33.统计中的方案决策及建议21. （2022金华）学校举办演讲比赛，总评成绩由“内容、表达、风度、印象”四部分组成.九（1）班组织选拔赛，制定的各部分所占比例如图，三位同学的成绩如下表.请解答下列问题：三位同学的成绩统计表内容XXXXXX总评成绩8788m78897.8579777.8（I）求图中表示“内容”的扇形的圆心角度数.（2）求表中?的值，并根据总评成绩确定三人的排名顺序.（3）学校要求“内容”比“表达”重要，该统计图中各部分所占比例是否合理？如果不合理，如何调整？演讲总评成绩各部分所占比例的统计图【解答】（3）班级制定的各部分所占比例不合理.可调整为：“内容”所占百分比为40%,“表达”所占百分比为30%,其它不变（答案不唯一）.21. （2023嘉兴、舟山）小明的爸爸准备购买一辆新能源汽车.在爸爸的预算范围内，小明收集了A,B,C三款汽车在2022年9月至2023年3月期间的国内销售量和网友对车辆的外观造型、舒适程度、操控性能、售后服务等四项评分数据，统计如下:2022年9月钿23年3月A、B、C激新能源汽车月销售量统计图90(X) 8000 7000 600()50004000 30002000100081536307-34573279 1563247509 1011 D 01 0%。3 % 份2822 1725224849223057八销售量（辆）88407015153()4667雪 301524792022年9月治023年3月A、B、C三款新能源汽车网友评分数据统计图（1）数据分析:求B款新能源汽车在2022年9月至2023年3月期间月销售量的中位数;若将车辆的外观造型、舒适程度、操控性能，售后服务等四项评分数据按2：3：3：2的比例统计，求A款新能源汽车四项评分数据的平均数.（2）合理建议:请按你认为的各项“重要程度”设计四项评分数据的比例，并结合销售量，以此为依据建议小明的爸爸购买哪款汽车？说说你的理由.【分析】（1）根据中位数的定义解答即可；根据加权平均数的计算公式计算即可；（2）根据加权平均数的意义解答即可.【解答】（2）比如给出1：2：1：2的权重时，A、8、C三款汽车评分的加权平均数分别为67.8分，69.7分，65.7分，结合2023年3月的销售量，可选B款.【点评】本题考查了中位数，扇形统计图以及加权平均数，掌握中位数，加权平均数等概念是关键.22. （2023台州）为了改进几何教学，张老师选择A,B两班进行教学实验研究，在实验班8实施新的教学方法，在控制班A采用原来的教学方法.在实验开始前，进行一次几何能力测试（前测，总分25分），经过一段时间的教学后，再用难度、题型、总分相同的试卷进行测试（后测），得到前测和后测数据并整理成表1和表2.表1：前测数据测试分数XOVXW55VxW1010<x1515<x2020<x25控制班A289931实验班82510821表2：后测数据测试分数X0<x55<x1010<x1515VX<2020<x25控制班A14161262实验班86811183（I）A,8两班的学生人数分别是多少？（2）请选择一种适当的统计量，分析比较A,B两班的后测数据.（3）通过分析前测、后测数据，请对张老师的教学实验效果进行评价.17.（2023河南）蓬勃发展的快递业，为全国各地的新鲜水果及时走进千家万户提供了极大便利.不同的快递公司在配送、服务、收费和投递范围等方面各具优势.樱桃种植户小丽经过初步了解，打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作，为此，小丽收集了10家樱桃种植户对两家公司的相关评价，并整理、描述、分析如下：配送速度得分（满分10分）：甲：66777899910乙：67788889910项目×xx×xxxx×公司配送速度得分服务质量得分XXX中位数XXXXX甲7.8m7乙887根据以上信息，回答下列问题：（1）表格中的川=75；S甲2VSJ（填，=，或，）；（2）综合上表中的统计量，你认为小丽应选择哪家公司？请说明理由；（3）为了从甲、乙两家公司中选出更合适的公司，你认为还应收集什么信息（列出一条即可）？【解答】（3）还应收集甲、乙两家公司的收费情况.（答案不唯一，言之有理即可）21.（2023河南）某健身器材专卖店推出两种优惠活动，并规定购物时只能选择其中一种.活动一：所购商品按原价打八折；活动二：所购商品按原价每满300元减80元.（如：所购商品原价为300元，可减80元，需付款220元；所购商品原价为770元，可减160元，需付款610元）（1）购买一件原价为450元的健身器材时，选择哪种活动更合算？请说明理由；（2）购买一件原价在500元以下的健身器材时，若选择活动一和选择活动二的付款金额相等，求一件这种健身器材的原价；（3）购买一件原价在900元以下的健身器材时，原价在什么范围内，选择活动二比选择活动一更合算？设一件这种健身器材的原价为。元，请直接写出。的取值范围.【分析】（1）根据已知列式计算即可；（2）设一件这种健身器材的原价为X元，可得且x=x-80,即可解得答案；10（3）分两种情况：当3OOtz<6OO时，。-80V0.8。，当600<900W,a-160<0.8,分别解不等式可得答案.【解答】解：（3）当300WV600时，a-80<0.8,解得V400；300<400;当600WV900时，a-160<0.8,解得“V800;600<800:综上所述，300<400E600<800.【点评】本题考查一元一次方程，一元一次不等式的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程和不等式解决问题.21.（2023新疆）随着端午节的临近，A,B两家超市开展促销活动，各自推出不同的购物优惠方案，如下表：A超市B超市优惠方案所有商品按八折出售购物金额每满100元返30元（1）当购物金额为80元时，选择A超市（填“A”或"B”）更省钱；当购物金额为130元时，选择8超市（填“A”或"B”）更省钱；（2）若购物金额为4（OWXV200）元时，请分别写出它们的实付金额y（元）与购物金额4（元）之间的函数解析式，并说明促销期间如何选择这两家超市去购物更省钱？（3）对于A超市的优惠方案，随着购物金额的增大，顾客享受的优惠率不变，均为20%（注：优惠率=购物钙-型'金额义100%）.若在B超市购物，购物金额越大，享购物金额受的优惠率一定越大吗？请举例说明.【分析】（1）根据A、B两超市的优惠方案分别计算即可；（2）分04VIOo和IOoWXV200两种情况分别计算；（3）当100V200时，设优惠率为P,则有P=当900j11V1000时，设优惠率X为。，则有Q=型,然后计算P-Q分析即可.xI【解答】解：（3）不一定，例:当100V200时，设优惠率为P,则有P=毁,当900WXlVI（X）O时，设优惠率为Q,则有。=2"0=30270二30（x9x）Vxri>0,当Xi-9XVO时，P-Q<O,即购物金额小时，享受的优惠率大，在8超市购物，购物金额越大，享受的优惠率不一定越大.21.（2022衢州）【新知学习】在气象学上，“入夏”由两种平均气温与22C比较来判断:衢州市2021年5月5日5月14日的两种平均气温统计表（单位：°C）2021年5月5日6日7日8日9日1011121314日日日日日X（日平均气温）20212221242625242527（五天滑动平21.622.823.62424.825.4均气温）注：“五天滑动平均气温”指某天及其前后各两天的日平均气温的平均数，如：G58日='（5月6日+5月7日+5月8+5月9日+5月10日）=4（21+22+21+24+26）=22.855（）.已知2021年的G从5月8日起首次连续五天大于或等于22C,而刀5月8H对应着刀5月6日¥5Ji10其中第一个大于或等于22C的是75月7日，则5月7日即为我市2021年的“入夏日”.【新知应用】已知我市2022年的“入夏日”为图中的某一天，请根据信息解决问题:衢州市2022年5月24*6月2日的两种平均气温折线统计图（1）求2022年的丫5月27H.（2）写出从哪天开始，图中的J连续五天都大于或等于22°C.并判断今年的“入夏日”.（3）某媒体报道：“夏天姗姗来迟，衢州2022年的春天比去年长.”你认为这样的说法正确吗？为什么？（我市2021年和2022年的入春时间分别是2月1日和2月27日）4.函数性质探究及建议20. （2021舟山）根据数学家凯勒的“百米赛跑数学模型”，前30米称为“加速期”，30米80米为“中途期”，80米100米为“冲刺期”.市田径队把运动员小斌某次百米跑训练时速度y（加S）与路程X（M之间的观测数据，绘制成曲线如图所示.（1） y是关于X的函数吗？为什么？（2） “加速期”结束时，小斌的速度为多少？（3）根据如图提供的信息，给小斌提一条训练建议.Ms）O1530SO100x(m)20. （2023嘉兴）6月13日，某港口的湖水高度），（c?）和时间4（）的部分数据及函数图象如下:X(/7)Il12131415161718y(.cm)18913710380101133202260（数据来自某海洋研究所）（I）数学活动：根据表中数据，通过描点、连线（光滑曲线）的方式补全该函数的图象.观察函数图象，当x=4时，y的值为多少？当y的值最大时，X的值为多少？（2）数学思考：请结合函数图象，写出该函数的两条性质或结论.（3）数学应用:根据研究，当潮水高度超过260,时，货轮能够安全进出该港口.请问当天什么时间段【分析】（1）先描点，然后画出函数图象；利用数形结合思想分析求解；（2）结合函数图象增减性及最值进行分析说明；（3）结合函数图象确定关键点，从而求得取值范围.【解答】解：（1）如图：y(cm)通过观察函数图象，当x=4时，y=200,当y值最大时，x=21：（2）该函数的两条性质如下（答案不唯一）：当2WxW7时，y随X的增大而增大；当=14时，y有最小值为80；（3）由图象，当y=260时，x=5或x=10或x=18或x=23,当5VXVIo或18VXV23时,j>260,即当5VV10或18VV23时，货轮进出此港口.【点评】本题考查函数的图象，理解题意，准确识图，利用数形结合思想确定关键点是解题关键.21. （2023丽水）我市“共富工坊”问海借力，某公司产品销售量得到大幅提升.为促进生产，公司提供了两种付给员工月报酬的方案，如图所示，员工可以任选一种方案与公司签订合同.看图解答下列问题：（1）直接写出员工生产多少件产品时，两种方案付给的报酬一样多；（2）求方案二y关于X的函数表达式；（3）如果你是劳务服务部门的工作人员，你如何指导员工根据自己的生产能力选择方案.【分析】（1）根据图图象的交点回答即可;（2）设方案二的函数图象解析式为），二履+力，将点（0,600）、点（30,1200）代入即可；（3）对生产件数的范围进行讨论，从而得出正确的方案.【解答】解：（3）由两方案的图象交点（30,1200）可知：若生产件数X的取值范围为OWXV30,则选择方案二，若生产件数X=30,则选择两个方案都可以，若生产件数X的取值范围为x>30,则选择方案一.【点评】本题考查的是求解一次函数解析式以及一次函数的实际应用，解题关键是会看图，理解横轴与纵轴表示的实际意义，掌握用待定系数法求函数解析式.23.（2023重庆）如图，是边长为4的等边三角形，动点E,尸分别以每秒1个单位长度的速度同时从点A出发，点E沿折线AfBfC方向运动，点尸沿折线AfCf8方向运动，当两者相遇时停止运动.设运动时间为，秒，点E,尸的距离为y.（1）请直接写出y关于r的函数表达式并注明自变量t的取值范围；（2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；（3）结合函数图象，写出点E户相距3个单位长度时，的值.yO 1 23456789 t98【分析】（1）根据动点E、尸运动的路线和速度分段进行分析，写出不同时间的函数表达式并注明自变量t的取值范围即可；（2）根据画函数图象的方法分别画出两段函数图象，再根据图象写出函数的一个性质即可；（3）根据两个函数关系式分别求出当y=3时的f值即可解决问题.【解答】解：（2）由（1）中得到的函数表达式可知：当Z=O时，y=0；当/=4时，y=4；当t=6时，尸0,分别描出三个点（0,0）,（4,4）,（6,0）,然后顺次连线，如图：该函数的其中一个性质:正确即可)【点评】本题是三角形综合题，主要考查等边三角形的性质、一次函数的图象和性质，以及次函数的应用，深入理解题意是解决问题的关键.5.探究结论类21. (2021绍兴)如图，在AABC中，ZA=40o,E分别在边48,AC上，连结CO,BE.(1)若N48C=80°,求NBoC,NABE的度数；(2)写出NBEC与/8。C之间的关系，并说明理由.【分析】(1)根据等腰三角形的性质得到/3。C=NBCQ=工(180°-80°)=50°,根据2三角形的内角定理得到NACB=I80°-40°-50°=60°,推出48CE是等边三角形，得到NE8C=60°,于是得到结论；(2)设N8EC=,BOC=,由于=A+A8E=40°+/ABE,根据等腰三角形的性质得至IJNcBE=NBEC=,求得NABC=ZABE+ZCBE=NA+2N48E=40°+NA8E,推出NCBE=NBEC=,于是得到结论。【解答】(2)/8EC与NBOC之间的关系：NBEC+NBDC=ITO：理由：设NBEC=,NBOC=,在aABE中，=NA+NA8E=40°+ZABEyTCE=BC,：.ZCBE=ABEC=a,/.ZABC=ZABE+ZCBE=NA+4NABE=40°+ZABEj：CE=BC,：NCBE=NBEC=a,.*.ZABC=ZABE+ZCBE=NA+2NABE=400+2ZABE,在aBOC中，BD=BC,ZBDC+ZBCD+ZDBC=6+40o+2ZBE=180o,=70o-ZABE,+=40o+ZABE+70a-ZABE=UOo,，NBEC+NBoC=IlOo.22. （2022绍兴）如图，在aABC中，ZABC=40o,ZACB=90o,AE平分N84C交BC于点E.P是边BC上的动点（不与5,C重合），连结AP,将aAPC沿AP翻折得?!?£>,连结Z)C记NBCz)=.（1）如图，当尸与E重合时，求a的度数.（2）当尸与E不重合时，记N84D=,探究（X与的数量关系.【分析】(1)由N8=40°,NACB=90°,得NB4C=50°,根据AE平分NBAC,P与E重合，即得NACo=NADC=65°,从而=NACB-NACO=25°：(2)分两种情况：当点P在线段BE上时，可得NAOC=NACo=90°a,根据NADC+ZBAD=ZB+ZBCD,即可得2-=50°；当点P在线段CE上时，延长A。交BC于点尸,由ZADC=NACO=90°-,XZADC=ZAFC+ZBCD,ZAFC=NABC+NBA。可得90°-=40°+,2+=50°.【解答】解：（2）当点P在线段BE上时，如图：DBC:将aAPC沿AP翻折得aAPD,：.AC=AD, ：BCD=a,NACB=90°,ZADC=ZACD=90o-,又.AOC+NBAO=N8+N8CO,NBAO=,NB=40°, (90°-a)+=40o+a,.2a-=50°,如图2,当点P在线段CE上时，延长A。交BC于点尸，如图: 将4APC沿AP翻折得aAPO,：.AC=AD, ：BCD=a,NAC8=90°,ZADC=ZACD=90o-a,又.NAOC=NA7C+NBCO,ZAFC=ZABC+BAD,ZADC=ZABC+ZBAD+ZBCD=40o+a,90o-a=40o+a+,2a+=50o：综上所述，当点P在线段BE上时，2a-=50°；当点P在线段CE上时，2a+=50°23.（2022台州）一一图1中有四条优美的“螺旋折线”，它们是怎样画出来的呢？如图2,4在正方形ABCD各边上分别取点用，C1,Dl,A，使Aq=8G=CR=O4=gA8,依次连接它们，得到四边形4耳GA；再在四边形4瓦。1A各边上分别取点层，c2,D2,4,使AB?=BG=CR=da?=Wab依次连接它们，得到四边形4打。2。2；如此继续下去，得到四条螺旋折线.图1（1）求证：四边形AAGA是正方形；（2）求的值；AB（3）请研究螺旋折线88避2员中相邻线段之间的关系，写出一个正确结论并加以证明.【分析】（I）证明人与A也ABCM,则A4=4C,同理可证B1C1=C1D1=D1A1=AiBl,再证明有一个角为直角，即可证明四边形为正方形；（2）勾股定理求解A瓦的长度，再作比即可；（3）两个结论：螺旋折线88#,反中相邻线段的比均为生叵或姮；螺旋折线17588/2员中相邻线段的夹角的度数不变，选一个证明即可，证明过程见详解.【小问1详解】在正方形ABC。中，AB=BC,NA=N8=90。，4又AB1=BQ=CDi=DAi=-ABf AAi=BBi .AB119BC1B1. Ag=B1C1,NA34=NBCIBi.又.NBClBl+ZBB1C1=90o, ZBB1C1+ZAB1A1=90o.ZAiBlCl=90o.同理可证：BICl=C1D1=D1A1=AiBi. 四边形A1MGA是正方形.【小问2详解】4VABl=BCl=CDi=DAi设A8=5,则AS=4。.：.BTB=AAi=a.由勾股定理得：ABT=历a.A1B1厉a7AB5a5【小问3详解】结论1：螺旋折线BqB2员.中相邻线段的比均为微限或半.4证明：A3=gA8,BBl=AB.同理，BiB2=AiBl.B_AB5717同理可得刍”=%叵，B2B317螺旋折线BBl与以中相邻线段的比均为生叵或叵.175结论2：螺旋折线84层员中相邻线段的夹角的度数不变.BxBB1Bi1证明：釜=B=7,NA4=NABC=90。，oC1O1C24 BB1C1SB1B2C2, ZBB1C1=ZB1B2C2.同理得：ZB1B2C2=ZB2B3C3, ZC1B1B2=ZC2B2B3=90°, NBBICl+ZC1B1B2=ZB1B2C2+ZC2B2B3,即ZBB1B2=ZB1B2B3.同理可证ZB1B2B.=ZB2B3B4=. 螺旋折线鸟与与员中相邻线段的夹角的度数不变.24.（2023衢州）小东在做九上课本123页习题：“1：E也是一个很有趣的比.已知线段AB（如图I）,用直尺和圆规作AB上的一点P,使AP：AB=I:近J小东的作法是:如图2,以AB为斜边作等腰直角三角形ABC再以点A为圆心，AC长为半径作弧，交线段AB于点P,点P即为所求作的点.小东称点P为线段AB的“趣点”.（1）你赞同他的作法吗？请说明理由.（2）小东在此基础上进行了如下操作和探究：连结CP,点。为线段AC上的动点，点E在AB的上方，构造£>?£：,使得aOPEsZcp8.如图3,当点。运动到点A时，求NCPE的度数.如图4,Z7E分别交CP,CB于点M,N,当点。为线段AC的“趣点”时（COVAD）,猜想：点N是否为线段ME的“趣点”？并说明理由.【分析】(1)由菱形的性质得C8=AB,CD=AD,可证明aA8OgZXCBO,得NCBD=Azabc,而NCBG=LNEbc,所以ndhg=工(abc+nebc)=90°；222(2)连结AC交BO于点K,交,DE于点、L,由NAK8=90°,AB=5fDK=BK=LBD2=3,根据勾股定理可求得AK=4,则AC=8,即可由S变形abcd=-ACBD求出菱形ABCD2的面积;先由N。KL=NQ3G=90°证明AC/BG,则匹=IK=1,所以DL=GL=DGtGLBK2再由。G=2GE得GE=工。G,贝JQA=GL=GE即可由CO48,得SL=IL=工，2ALEL2可求得CL=IAC=8,所以KL=4-£=&,再求出tanNB)E的值即可；3333(3)过点G作G7BC,交AE于点T,由NDKL=NDBG=90°可知，当NZMB的大小发生变化时，始终都有8GAC,由A8GESAALE得股=EE=1,所以EG=LG,1.GAB同理可得OL=LG,再证明4ETGsZsE4O,得虹=上工=上色=工，即可求得GT=S,DAEAED33说明Gr为定值，再求出Er的值即可.24.(2021舟山)小王在学习浙教版九上课本第72页例2后，进一步开展探究活动：将一个矩形A8C。绕点A顺时针旋转(0°<90o),得到矩形AB'C,。'，连结BD探究如图1,当=90°时，点C'恰好在08延长线上.若AB=I,求Be的长.探究2如图2,连结AC',过点。'作O'MAC,交.BD于点M.线段。M与DM相等吗？请说明理由.探究3在探究2的条件下，射线。8分别交40',AC于点尸，N(如图3),发现线段OMMN,PN存在一定的数量关系，请写出这个关系式，并加以证明.D,D'D'【分析】(1)如图1,设BC=x,由旋转的性质得出AD,=AD=BC=x,D,C=AB,=AB=1,证明ADCBszAQ8,由相似三角形的性质得出D'=D'B,由比例线段得ADAB出方程上壬L,求出X的值即可得出答案；X1(2)连接。，证明aACONZO8A(SAS),由全等三角形的性质得出NDAC=NAD8,由等腰三角形的性质得出NAOZy=NA。，证出NMOO=NMOO,则可得出结论：(3)连接AM,证明AAO'ZAOM(SSS),由全等三角形的性质得出NK4。=NMA。，得出MN=AM证明4N¾sAnao,由相似三角形的性质得出更少,则可得出结论.ANDN矩形ABC。绕点A顺时针旋转90°得到矩形AB'C'D',点A,B,Dt在一条线上，：.AD'=AD=BC=x.D,C=AB=AB=f：.DB=AD'-AB=x-1,TNBAD=NO'=90°,D,CDA,又Y点C在OB的延长线上，.DzC'D'B Z219ADAB 1-l 1='，解得Xl=上巫，X2=上Y5(不合题意，舍去),22C=J-2(2) D,M=DM.ZADtM=ZD1AC,VAD,=AD,NAZ)C=NoAB=90°,D,C=AB,ACD,DBA(SAS),.NOXC=NAO8,ZADB=ZADtM,AD'=AD,/.ZADD'=ZAD,D,.*.ZMDD'=AMDD,C-DM=DMx(3)关系式为Ma=PNDN.AD'MDM(SSS),/.ZMAD'=ZMAD,；NAMN=NMAD+NNDA,ZNAM=ZMAD'+ZNAP,，ZAMN=ZNAM,：.MN=AN,在4¼P和4NZM中，ZNP=ZDNA,NAP=ZNDA,：4NPASRNAD,.PNrN*AN"DN,：.AN1=PNDNf：.M砧=PN*DN.【点评】本题是四边形的综合题，考查了旋转的性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质及相似三角形的判定与性质是解题的关键.24.（2022湖州）已知在RtZA8C中，NACB=90°,“，b分别表示NA,NB的对边，a>b.记aABC的面积为S.（1）如图1,分别以AC,CB为边向形外作正方形ACDE和正方形8G"t.记正方形ACDE的面积为Sl,正方形BGFC的面积为S2.若Si=9,52=16,求S的值；延长EA交GB的延长线于点M连结尸M交BC于点、M,交AB于点”.若F”_LA8（如图2所示），求证：Si-S=2S.（2）如图3,分别以AC,CB为边向形外作等边三角形ACD和等边三角形C8E,记等边三角形ACo的面积为Si,等边三角形CBE的面积为S2.以A8为边向上作等边三角形ABF（点C在AAB尸内），连结EF,CF.若EF±CFf试探索S2-Si与S之间的等量关系，并说明理由.先证明五NSZ¾8,得出里望，进而得出"+房=2,即可证明S2-Si=2S;ANNB(2)先证明aABCg尸BE(SAS),得出AC=尸E=b,NFEB=NACB=900,求出N/EC=30°,利用三角函数得出b=返小进而得出S=M=®/,利由等边三角形_224的性质求出Sl巫b4So-a2*通过计算得出S2-Si=工Xla2,即可证明S2142444-Si=K4【解答】(I)解：.S=9,52=16,'b=3,=4,VZACB=90o,S=-