前12个微专题.docx

20172021年真题;匚编解析几何12个微专题分类解析五年全国卷高考解析几何试题数据分析表2021年2020年2019年2018年2017年全国1卷（甲）彭赛列定理与双切线处理极点极线结构抛物线的焦半径椭圆的极点极线结构斜率乘积为定值过定点全国2卷（乙）抛物线阿基米德三角形基础定义椭圆第三定义抛物线的焦点弦定点问题全国3卷（丙）解析几何中的全等型抛物线阿基米德三角形椭圆的焦半径抛物线的焦点弦新课标1卷平面几何四点共圆斜率乘积为定值过定点目录第1讲：圆锥曲线的双切线处理技巧第2讲：抛物线阿基米德三角形第3讲：圆锥曲线中的四点共圆第4讲：极点极线结构及非对称韦达定理第5讲：与斜率和，斜率积有关的定点定值第6讲：抛物线焦半径与焦点弦第7讲：解析几何中的全等型第8讲：椭圆中的焦半径与中点弦第9讲：椭圆的第三定义第10讲：双曲线渐近线几何性质研究第11讲：椭圆左右顶点的极点极线结构第12讲：圆锥曲线切线的处理手法第13讲：角度模型与角度转化第14讲：蒙日圆模型第15讲：面积问题第16讲：线段比值与坐标处理第17讲：轨迹问题第18讲：二次曲线系及应用第19讲：直线参数方程及应用第20讲：重要二级结论汇编第1讲：圆锥曲线的双切线处理技巧1.知识要点.这道试题主要的点在算理，即计算中如何合理的处理双切线，我总结如下:已知曲线外一点A1(x0,y0),向二次曲线C引两条切线44,A4,设A2(xl,yl)9A3(x29y2).第1步，分别写出切线AA的方程(注意斜率%第2步，联立AA2MH与曲线C的方程，利用相切条件，得到代数关系，式从而以A的X。或先坐标为参数，进一步构造4,A点横或纵坐标满足的同构方程方程；第3步，利用方程根与系数的关系判断人2&与曲线的位置关系，或完成其他问题.1.抛物线C的顶点为坐标原点。.焦点在X轴上,直线/：AT=I交C于P,Q两点,且OP_LOQ.已知点M(2,0),且M与/相切.(D求C,CM的方程；(2)设A，4*3是C上的三个点，直线AA2,AA均与M相切.判断直线&A与M的位置关系，并说明理由.【详解】(1)依题意设抛物线C：y2=2px(p>0),尸(1,%),Q(1,-N0),OP±OQ,:.OPOQ=I-yl=-2p=0,.2p=,所以抛物线。的方程为'2=X,M(0,2),M与，r=I相切，所以半径为1,所以M的方程为(x-2)2+V=h(2)设A(XIX),&(牛力)，A(X3,左)若A4斜率不存在，则AA方程为X=I或=3,若AA方程为X=I,根据对称性不妨设4(1,1),则过A与圆M相切的另一条直线方程为.v=l,此时该直线与抛物线只有一个交点，即不存在&,不合题意;若AA方程为X=3,根据对称性不妨设(3,3),A2(3,-3),则过A与圆M相切的直线为y_g=*(X3),又LJf=蒋=4，兄=0，M-X3y+%3+%3巧=0,A,(0,0),此时直线A4,关于X轴对称，所以直线与圆M相切;若直线A4，AA，4A斜率均存在，,111则L=诏,k=w,k=诉,所以直线A4方程为v-凹=三1"(*")，Zl+Z2整理得-(y+，2»'+b力=°，同理直线AA的方程为a-(X+y3)y+yly3=o9直线4A的方程为I-(+为外=0，A4与圆历相切，I 2 +JJ2 I -1 +(y + y2)2整理得(犬-1)只+2,必+3"=0,AA与圆历相切，同理+2)仃3+3-W=O所以y2，工为方程（y；T）y2+2My+3-y；=。的两根,2yl3-y%+为=一一r2-y3=-r-7XTYTM到直线44的距离为:2 + >r2l+(y2 + y3)2K+1-W+1J(K2-1)2+4)厂4+1所以直线&A与圆M相切;综上若直线AAdA与圆M相切，则直线AA与圆M相切.解析几何试题知识点多、运算量大、能力要求高，综合性强，在高考试题中大都是以压轴题的面貌出现，是考生“未考先怕”的题型，不是怕解题无思路，而是怕解题过程中繁杂的运算.而选取什么量可将题目中的信息联系起来，又如何将已知信息转化到所设变量上去，困惑到底开始是“设点”还是“设线，因此，在遵循“设列解”程序化解题的基础上，先突出解析几何“设”的重要性，以克服平时重思路方法、轻运算技巧的顽疾，突破如何避繁就简这一瓶颈.l设线解析几何解答题设而不求标准方.程 一般方程一.知识回顾：1. （2020.浙江杭州市府三期中）在平面直角坐标系Xoy中，点"的坐标为（一1,2）,且OM+ON=O,动点?与M，N连线的斜率之积为则动点F的轨迹方程为一，APMN面积的取值范围是.2. (2018浙江卷)已知点P(0,1),椭圆彳+y2=11(">l)上两点A,8满足#=2彷，则当初=时，点8横坐标的绝对值最大.二.高考再现抛物线。2：=2川(>0),点【例1】(2020浙江卷)如图,已知椭圆G：工+y2=,2-4是椭圆G与抛物线G的交点，过点A的直线/交椭圆G于点B,交抛物线G于M(BM不同于A).若存在不过原点的直线/使M为线段AB的中点，求P的最大值.【例2】(2019浙江卷)如图，已知点F(l,0)为抛物线V=2px(p>0)的焦点.过点尸的直线交抛物线于A,B两点，点C在抛物线上，使得aABC的重心G在X轴上，直线AC交X轴于点Q,且Q在点尸的右侧.记aAR7,ZkCQG的面积分别为Si,§2.(1)求P的值及抛物线的准线方程；(2)求名的最小值及此时点G的坐标.【变式训练】L已知抛物线G=2x,过直线Ly=+2上点尸作抛物线C的切线PA,PB,其中4B为切点，则直线AB恒过定点，且IAM的最大值是【变式训练】2.(2020台州期末评估)设点P为抛物线八y2=x外一点，过点P作抛物线的两条切线雨，PB,切点分别为4,B.(1)若点P为(-1,0),求直线48的方程；(2)若点尸为圆(x+2)2+j2=1上的点，记两切线用，PB的斜率分别为心，依，求_L_J.的取值范围.L小结：点，直线，曲线作为几何中的基本图形，构建起我们研究的解析几何对象。解析几何的基本方法是坐标法，因此要将几何关系转化为点的坐标，直线，曲线方程中的有关系数等变量，无论是“设点”还是“设线”的核心都是在建立起众多变量之间的联系。2.一般来说，“设线”是至多只有两个变量，表达出“问题所需量”时，具有变量少，运算思路简洁的特点。而“设点”相对而言变量更多，相关变量间的关系更好杂，运算能力要求更高，思维量的提升往往带来运算量的降低，特别是当直线无法方便的将“问题所需量”与之联系起来时，“设点”往往是较优方案。总结：常规“设线”，优化“设点”，简单“设线”，复杂“设点”，有时点线同设，互相辅助。乙丫三.当堂巩固1. （2020.浙江三校三联）已知过原点。的射线/与圆*-1）2+。-1）2=I2交于点P,与椭圆,+V=I交于点Q,则IopIOQl的最大值为A.4B.22C.23D.22. （2020.浙江高三月考）己知抛物线V=4,过点A。,2）作直线/交抛物线于另一点8,。是线段AB的中点，过。作与了轴垂直的直线小交抛物线于点C,若点尸满足QC=CP,则lOPl的最小值是.3. （2020宁波模拟）若抛物线Ci：V=2px（p>0）上横坐标为3的点与抛物线焦点的距离为4.（1）求P的值；（2）设尸（均，儿）（OV沏2）为抛物线G上的动点，过尸作圆（x+l）2+y2=1的两条切线分别与），轴交于48两点，求IA用的取值范围.4. （2020浙江高三期中）己知直线/：丁="+占S>0）与抛物线C：y=4x交于A、B两点，P是抛物线C上异于A、8的一点，若?/记重心的纵坐标为g,且直线办、PB的倾斜角互补.（1）求攵的值.（2）求APAB面积的取值范围.5. （2020.浙江高三期中）设抛物线£:丁=2小上一点P（5,%）到焦点的距离等于6,过M(O,-1)作两条互相垂直的直线和，2,其中4的斜率为以左0),且与抛物线交于不同的两点AB,4与抛物线的准线交于点C,若AM=ZlM8,点、N满足NA=九NB(1)求抛物线E的方程；(2)求ACMN的面积的取值范围.第2讲：抛物线阿基米德三角形(2019年全国三卷)已知曲线O为直线产-;上的动点，过。作。的两条切线，切点分别为4,B.(1)证明：直线AK过定点：(2)若以E(0,2)为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形AObE2的面积.(1)证明：设。”,一；)，A(X,凹),则X=；再2.又因为y=Jd,所以y=.乙乙乙故M+；=Xl(Xl。，整理得2处-2y+1=0.设B(X2,%)，同理得2%-2%+1=0.A(X,y1),(x2,y2)都满足直线方程2tr-2y+l=0.于是直线2-2y+l=0过点A,3,而两个不同的点确定一条直线，所以直线A8方程为2x-2y+l=0.即2x+(-2y+l)=0,当2x=0,2y+1=0时等式恒成立.所以直线AB恒过定点(0,g).(2)由(1)得宜线A3的方程为y=fx+g1y=rr+52，可得一2比一1=0,V=一2于是.t+X2=->xx2=-1，y+>2=«工1+*2)+1=2产+1IABI=Jl+*1-X21=+t2y(xy+x2)2-4x12=2(r2+1).设4,4分别为点D,E到直线AB的距离，则4=，因此，四边形ADBE的面积S=：IABI(4+4)=(产+3)r7+T.设M为线段AB的中点，则例，,r+g由于EM_LA8,而七用=«,产一2),AB与向量(IJ)平行，所以，+(产-2)，=0,解得f=0或f=±1.当，=0时，S=3；当f=±l时S=4&因此，四边形A短踮的面积为3或4J5.第3讲：圆锥曲线中的四点共圆1 .基础知识：(1)圆锥曲线四点共圆：若两条直线/,“一凡=L(X-%)(i=l,2)与二次曲线：小+处2+以+内+«=03Hb)有四个交点，则这四个交点共圆的充要条件是仁+&=0.(2)相交弦定理：2 .典例(2021新高考1卷)在平面直角坐标系xy已知点K(-7,),F2(折,0)LlTM局=2,点M的轨迹为C.(1)求C的方程；(2)设点/在直线K=L上，过T的两条直线分别交。于A、8两点和尸，Q两点，且TTB=TPTQ9求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和.解析：因为IMGIT咋|=2忻图=2折,所以，轨迹C是以点入、K为左、右焦点的双曲线的右支，22设轨迹。的方程为T-m=l(0>0>0),则2a=2,可得=l,7=11三=4所以，轨迹C的方程为f一看=l（l）;（2）设点7'（J,1,若过点了的直线的斜率不存在，此时该直线与曲线。无公共点,12/不妨直线48的方程为y-r = K1)X2 J,即 y = Kx + 7-/,联立2+ 16 = 0»y=kX+t2k,消去】并整理可得6x2-y2=6(16)2+(2fK)X+(r5K设点A（XQI）、（,y2）则不；且；由韦达定理可得""记*-=2+ 16Ar12-16所以,研附=（1+特）卜一品xl ÷ x2 1)(r2+12)(l + 2)2-16'设直线PQ的斜率为取，同理可得7H|丁。|=（上?'也）k-16因为7½7Bl = ITpH图,即(r2 +12)(1+ 12) (r2 + 12)(l + j)k-6k： 16,整理可得4 =后，即（K_/）（K+自）=0，显然仁_左2工0，故K+%2=°因此，直线A3与直线PQ的斜率之和为03.练习（2016年高考四川卷第20题）已知椭圆/九£+=1（。力0）的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点。追，；在椭圆EE(1)求椭圆E的方程；(2)设不过原点。且斜率为！的直线/与椭圆E交于不同的两点A,B,线段AB的2中点为直线QM与椭圆E交于C,Dt证明：IMAHMBl=IMCHMX2解(1)(过程略)椭圆E的方程是、+V=L4(2)设A(MyJ,B(x2,y2),线段AB的中点为M(Xo,%).可得f+yj=,与+必2=1，把它们相减后分解因式(即点差法)，再得(xl+x2)(x1-x2),、，、1/y-y2÷j-=-(y1+j2)(yl-y2)彳=怎B="JJ、=三42xl-x2-4(y1÷y2)-4y0%=&=-1所以心"+电)=()，由推论1得A,8,C,D四点共圆.再由相交弦定理，立Ao2得IMAHM耳=IMCHM胃.第4讲：极点极线结构及非对称韦达定理1.基础知识:极点极线椭圆极点和极线的定义与作图：已知椭圆C:4+1=1(a>b>O),则称点P(X(PyO)ab和直线誓+誓=1为椭圆的一对极点和极线.极点和极线是成对出现的.ab从定义我们共同思考和讨论几个问题并写下你的思考：(D若点P(%,%)在椭圆上，则其对应的极线是什么？(2)椭圆的两个焦点对应的极线分别是什么？(3)过椭圆外(上、内)任意一点PaO,%),如何作出相应的极线？如图，若点P在曲线外，过点P作两条割线依次交曲线于E,RG,“且石H与R7交于N,延长FHyEG交于点M,则直线MN即为点P所对应的极线.22假设椭圆方程为a+方=Ie>。)(D焦点与准线：(c,0)点与直线X=(2)点(加,0)与直线X=<cm2 .非对称韦达定理在一元二次方程Ca2+7+c=0(Ho)中，若>(),设它的两个根分别为玉,马，bc则有根与系数关系：X1+X.=-,X1X,=-,借此我们往往能够利用韦达定理来快速处aa理k-w|、-+x；+/2之类的“对称结构力但有时，我们会遇到涉及的不同系数XX2的代数式的应算，比如求三、丸+之类的结构，就相对较难地转化到应用韦达定理%来处理了.特别是在圆锥曲线问题中，我们联立直线和圆锥曲线方程，消去1或y,也得到一个一元二次方程，我们就会面临着同样的困难，可采用反过来应用韦达定理，会有较好的作用.3 .典例(2020一卷)已知A、8分别为椭圆&4+/=1(>l)的左、右顶点，G为E的上顶Q-点，AGGB=S,P为直线x=6上的动点，力与E的另一交点为C,PB与E的另一交点为D.(1)求E的方程；(2)证明：直线CD过定点.2解析：由椭圆方程b=y2=(>)可得：A(rz,0),0),G(,l)a.AG=(,l),GB=(,-l)AGGB=a2-i=S>'a2=92.椭圆方程为：+/=19(2)证明：设p(6,%),则直线”的方程为：>,=(x+3)>即：=(+3)联立直线A尸的方程与椭圆方程可得：X 21+y =I9y = (x+3)整理得:(y02+9)x2+6x+9-8l=0,解得：x7或kj3"+j7%+9将戈=zM代入直线y=个a+可可得：j=¾所以点C的坐标为j,K,一学.I%+9+9；同理可得：点。的坐标为,-¾1%+y0+U当火3时,整理可得.2jJ>o(>Q2÷3)r-33L>0Jo2+16(9-y04)Jo2+1J6(3-y02)+lJ整理得:)-4%2y0_4y°G33(3-%2)-33(3-y02)l2J所以直线CO过定点1|,0当此=3时，直线CO：x=,直线过点|,0故直线CD过定点g,0、.4 .练习，(2010江苏)在平面直角坐标系.MV中，如图，已知椭圆二十二=1的左、右95顶点为A、B,右焦点为F.设过点T(t,m)的直线TA、TB与椭圆分别交于点M(J,yj、N(x2,y2)9其中m>0,J1>0,y2<0.(1)设动点P满足PF2一尸吕2=4,求点P的轨迹;(2)设/=2,/=；，求点T的坐标；(3)设/=9,求证：直线MN必过X轴上的一定点(其坐标与In无关)解：(1)设点P(x,y),则:F(2,OXB(3,OXA(-3,0).Q由尸尸2尸2=4,得(X2>+y2Q-3)2+y2=4,化简得x=3。9故所求点P的轨迹为直线2(2)将再=2,9=；分别代入椭圆方程，以及M>0,为<0得：M(2,-XN(-,)339直线MTA方程为：=二手，即r=!x+l,直线NTB方程为：二0二F3一02+33.a-01-3393n55即V=-X62X=7联立方程组，解得：10,所以点T的坐标为(7,3)y=-33(3)点T的坐标为(9,机)直线MTA方程为：上二9=主吃，即y=%(+3),m-09+312直线NTB方程为：yl=lt即v=2(-3)m-09-362V2分别与椭圆j+J=1联立方程组，同时考虑到玉-3,工3,95asza3(80-W2)40/7?3(h2-20)20m解伶：IvJ(,7)、N(,7)80+"T80+W20+m20+m20m3(420)y4yX5-(方法1)当玉工X2时，直线MN方程为:20+n220+/H240？I20m3(80)3(团？-20)80+疗20+Wgo+/H220+z2令y=0,解得：x=l此时必过点D(1,0)：当K二公时，直线MN方程为：X=I,与X轴交点为D(L0)。所以直线MN必过X轴上的一定点D(1,0)(方法2)若X=X,则由2丫-3"=一6,及fn>0,得，=2加，80+420+w2此时直线MN的方程为x=l,过点D(1,0)40/7?若内声乙，贝打"2加，直线MD的斜率勺笫=80+加：_=3md240-340-M80+/H2"-20m直线ND的斜率L=C2?+*=芈1,得AMD=的°，所以直线MN过D点。3m-6040-w20+tn2因此，直线MN必过A轴上的点(1,0).第5讲：与斜率和，斜率积有关的定点定值221 .基本结论:设P(X0,y0)为椭圆p-÷r=l(47>>O)上的定点，A8是椭圆上一条动弦,直线A3,PAPB的斜率分别为k,km(1)若Z,=,则有与。OM=一&,a,则直线A3过定点,(3)若K+22=0,则有为0,Z=-上/，ay0(4)若K+%20,则直线44过定点.2 .典例L(2020新高考卷)已知椭圆J5+，=1(。>八0)的离心率为乎，且过点A(2,l).(1)求C的方程：(2)点M,N在。上，且AM_LAN,ADLMNtQ为垂足.证明：存在定点。，使得为定值.J也a2解析：(1)由题意可得:41、-+TT=1，解得：a?=6,b?=c2=3»q-b-2I22才=r+C故椭圆方程为：+=1.63(2)设点历(大,乂),"(9,必)，若直线MN斜率存在时,设直线MN的方程为：y=kx+m9代入椭圆方程消去V并整理得：(l+2k2)x2+4hwc+2/7?-6=0,-rza4km2n2-6可得。+%=-,'中2=p'因为AM_LAV,所以AMAN=0，即(2)(Z-2)+(yT)(%T)=0,根据vl=G+见为=心2+机,代入整理可得：(k1+l)jc2+(加一&-2)(x+x2)+(11-1)2+4=0,所以俨+1)申W+WT-2),t%+5-1)2+4=0,整理化简得I十乙K11十乙K,(22+3m+l)(2"+m-l)=O,因为A(2,D不在直线MN上，所以2t+m-l0,故2Z+3m+l=0,kl,于是MN的方程为y=k(x-弓)一;(女01),3)3所以直线过定点直线过定点p(g,-g).当直线MN的斜率不存在时，可得N(Xl,由AM/2=O得：(X-2)(x1-2)+(y1-l)(-y,-1)=0,得(玉2)?+1才=0,结合E+,=可得：3-8xl+4=0,解得：=：或±二2(舍).此时直线MN过点，(|,一；).令。为Ap的中点，即Q-,-,若。与。不重合，则由题设知AP是RdAOP的斜边，故IJ3)I。I = JAPI = 言，若Q与尸重合,则口。I=TAPl,故存在点QNG,使得|"2|为定值.典例2.(2018年1卷)设椭圆U，+V=1的右焦点为尸，过户的直线/与。交于A,8两点，点M的坐标为(2,0).(1)当/与I轴垂直时，求直线4例的方程；(2)设。为坐标原点，证明：NOMa=NOMB.由已知可得，点A的坐标为解析：(1)由已知得'(l,0),I的方程为X=L所以AA/的方程为y=+&或y=K-J(2)当/与'轴重合时，ZOMA=ZOMB=Oo.当/与1轴垂直时，QM为AB的垂直平分线，所以NoMA=NQWB.当/与1轴不重合也不垂直时，设/的方程为y=M%-l)(k0),4&,)。8(孙必)，则'1<y2,x2<>/2,直线MA、MB的斜率之和为ZMa+2kxxx1-3A:(x1+x2)+4Z:由X=3一%，%二"2A得MA+MR7KTO-(x,-2)(x2-2)将)，=攵(X-I)代入+V=得(2后2+1)工2-4欠21+2欠2-2=0.2k2-22F + 14%2所以，A1+S=R二7,NS乙KI1则附“32奴=以如禁产出从而/八+七8=°，故MA、地的倾斜角互补，所以NQMA=NQM3.综上，NQMA=NQM8.典例3,(2017一卷)22/a/a已知椭圆C:+方=i(4>h>0),四点6(1,1),5(M),鸟(-1,已-)，8(1,已-)中恰有三点在椭圆。上.(1)求椭圆C的方程；(2)设直线/不经过A点且与C相交于A8两点，若直线6AAB的斜率之和为-1,证明：直线/过定点.解析：(1)由于巴两点关于y轴对称，故由题设知C经过匕，生两点.1113一又由r+>F+:7知，C不经过点Pi,所以点Pz在C上.a-b-a4b1=1r,h2a=4Y2因此13,解得/_故C的方程为'+V=1.万+犷=1=(2)设直线PM与直线PzB的斜率分别为k,k2,如果/与X轴垂直,设/:x=t,由题设知f0,且W<2,可得A,8的坐标分别为(3与乙),(如一立三).2则攵+正Z2,gr+2=,得/=2,不符合题设.1-2t2t从而可设/：y=kx+m(加。1).将P=履+加代入土+丁二i得4'(4公+1)/+Shwc+4m2-4=0,由题设可知八二16(4公-w2+l)>0.设 A (x, y), B (*2, V2),则 x+*2= -Skm4F÷T4-4XiXz=4r+1而用+胃kxl+m- + kx2+m- 2kxx2 +(zz-l)(x1 +x2) 玉XXIX2由题设K +&2 =T，故(22 + 1)4马+(6-。(玉+w) = 0即(2E) + (") .前"解得.w + l当且仅当m>-l时，>0,欲使/：y=x+11tBPy+1=(x-2),所以/过定点(2,-1)第6讲：抛物线焦半径与焦点弦1.常用结论抛物线的焦点弦具有丰富的性质，它是对抛物线定义的进一步考察，也是抛物线这节中最重要的考点之一，下面罗列出常见的抛物线焦点弦性质：假设抛物线方程为y2=2px.过抛物线焦点的直线/与抛物线交于AB两点,其坐标分别为A(XPyJ,B(x2,y2).性质LIA/I=XA+与|8用=+gI叫=再1+/+。.证明：性质1的证明很简单，由抛物线的定义即可证得.如上图，过A,3向准线引垂线，垂足分别为M,N.由定义可知：AM=AF,BNBF.代入坐标即可证得相关结论.性质2.抛物线y2=2px的焦点为F,A(X1,y),3(/,%)是过尸的直线与抛物线的两个交点,求证：中2=£，%=-/证明：A(三,凹),3(芸,力)，则AB的方程为-y=3-(x-g),整理可得：22必+%2(V-必)(凶+%)=2zr-y：，即可得A3的方程为：(%+%丁=22氏+到必最后，由2于直线A3过焦点，代入焦点坐标可得%为=-2.再代入抛物线方程不=£-性质3.已知倾斜角为直线的/经过抛物线y2=2px的焦点尸，且与抛物线交于A,B两点，则(1) AFI=R,BFI=-+=-.I-CoSal+cosaFAIFBlp(2) =-,SAOAB=/叫=2Pd).证明：略性质4.抛物线的通径(D.通径长为2.(2) .焦点弦中，通径最短.(3) .通径越长，抛物线开口越大.性质5.已知直线/经过抛物线V=2的焦点尸，且与抛物线交于A,8两点，若弦八3中点的坐标为(%,%),JMlA例=2CrO+5).证明思路：中点弦问题，点差法即可.性质6.以焦点弦为直径的圆与准线相切.2典例.例1.(2019年全国1卷)已知抛物线方程C：V=3.x的焦点为/L斜率为1的直线/与。交于AB两点，与入轴交点为P.(1)若IA尸+5用=4,求/的方程；(2)若AP=3P8,求IA8|3解析：(1)设直线/方程为：y=x+m,4(,y),B(x2,%)45由抛物线焦半径公式可知：AF+BF=x.+2+=4.xx+x2=-_3联立得：9x2+(12w-12)x+W=0j2=3x则二(12加一121一144m2>O-m<L12m125AZJySS7.X1+X)=»解得；m=一1928.37.直线/的方程为：y=-即：12x-8y-7=02o/、9(2)设Pa,0),则可设直线/方程为：X=jj+r2X=-V+/、联立3得：y2-2y-3t=O72=3x则A=4+12>0.,.r>-1.+%=2,乂%=一3/AP3pbM=-3%二1，>=3y),2=-3贝!l4/=JiTJd()，+%)24/图=半J4+12=例2.(2018年全国2卷)设抛物线C9二叙的焦点为尸，过户且斜率为以女>0)的直线/与。交于A,3两点，AB=S.(1)求/的方程；(2)求过点A,8且与。的准线相切的圆的方程.解：(D由题意得F(1,0),/的方程为y=k(XT)(A>0).设A(x,y),B(X2>yz).由'一")得二工2_(2公+4)/+公=0./=4x') = 16 欠 2+ 16 = 0,故菁+工22二+4 i4”24-4所以IAB卜AF+忸Fl=(X+1)+(七+1)=k+4由题设知竺F=8,解得A=-I(舍去)，k=l.k因此/的方程为y=-l.(2)由(D得A8的中点坐标为(3,2),所以A8的垂直平分线方程为y-2=-(x-3),即y=-x+5.设所求圆的圆心坐标为(o,yo),则y0=-x0+5,11、Aft=3,xft=11,(v-v+)2解得。或)a(x0+l)"=_-_-+16.%=2y0=-6.2因此所求圆的方程为(x3+(y2)2=16或(工一11)2+(>+6)2=144.第7讲：解析几何中的全等型1.基本知识：“一线三垂直”的证明1.如图，ABLBDt4CJ_CE,EDLBDt且AC=CE求证：RtABCRtCDE.证明：在Rt2XABC中，ZA+ZABC+ZACB=180oVZBCD是平角：ZACB+ZACE+ZXE=180oVZABC=ZACE=90oZA=ZDCE,VAC=CERtABCRtCDE（AAS）.典例（2020三卷）已知椭圆U4+W=l（0小5）的离心率为义），A,4分别为C的25w24左、右顶点.（1）求C的方程；（2）若点P在。上，点。在直线=6上，且IBQI=I伙2,BPIBQ,求-APQ的面积.【详解】工+ jl 2 Ka.C的方程为：25 %丫 ，即± +出_ = 1； -2525（2）不妨设匕。在X轴上方点P在C上，点Q在直线x=6上，且IBPRBQBPVBQ9过点尸作八轴垂线，交点为M,设x=6与不轴交点为N根据题意画出图形，如图IBPHBQ9BP±BQ9/PMB=/QNB=90。,又/PBM+ZQBN=90o,/BQN+AQBN=90o,/./PBM=ZBQN,根据三角形全等条件“A45，可得：APMB三ABNQ,+-=1,2525.B(5,0),PM=BN=6-5=1,设P点为(XP,力)，可得夕点纵坐标为%=1,将其代入工+&!=1,可得：五+竺=1,25252525解得：/=3或XP=-3,.尸点为(3,1)或(一3,1),当P点为(3,1)时，故IM即=5-3=2,PMBBNQ9:.MB=NQ=2,可得：Q点为(6,2),画出图象，如图(-5,0),(6,2),可求得直线AQ的直线方程为：2x-lly÷10=0,根据点到直线距离公式可得P到直线AQ的距离为：d=2x3llxl+10=且22+ll21255根据两点间距离公式可得：AQ=7(6+5)2+(2-O)2=55,.APQ面积为：1×55×=-;252当月点为(Tl)时，故IM却=5+3=8,PMBBNQ9MB=7Vl=8,可得：。点为(6,8),画出图象，如图A(-5,0),Q(6,8),可求得直线AQ的直线方程为：8x-lly+40=0,根据点到直线距离公式可得夕到直线AQ的距离为：|8x(-3)-llxl+40|=|5|=582+ll21851851根据两点间距离公式可得：A=5(6+5)2+(8-0)2=85,.aAPQ面积为：×185×-=,综上所述，&APQ面积为：2Vl85，2第8讲：椭圆中的焦半径与中点弦1.基础结论r2V2.椭BlF+=1（。>>0）两焦点为F（-C,0）,居（c,（）,IABI=2a+e®+4）（过左a"b焦点）A8=2-e（+%）（过右焦点）其中e是椭圆的离心率.22.椭圆+J=1（>b>0）I481=2一e（y+%）（过左焦点）IAB=2a+e（y+yB）ab"（过右焦点）2 .焦半径公式:设P（,X）是椭圆上一点，那么IPFJ=。+*,IPBI=。%，进一步，有.卜照卜/一夕2从,叫3 .中点弦公式：（所谓中点弦公式是直线与圆锥曲线相交时，两交点中点与弦所在直线的关系，一般不联立方程，而用点差法求解）椭圆：交点在X轴上时直线、，=&+,与椭圆»叱。>。）相交于点A、BA(xl,y1),B(x2,j2)+=1.VA B在椭圆上2222xI -y2 _ % 一 内b2即上卜 222Xi -x2 a即(9)(g Yx1 -x2 xl +x2 a2222®-(2W：X|/2+y,v2=Oa-h-则心/.二一一7（其中M为A、B中点，。为原点）a同理可以得到当焦点在y轴上，即椭圆方程为2i+=>>o）ab-当直线交椭圆于A、B两点，M为A、B中点2则AABA（W=-不2.典例（2018三卷）已知斜率为k的直线/与椭圆G4+4=1交于A,B两点,线段AB的中点为"（I,a）W>°）.（1）证明：k<-i2（2）设尸为C的右焦点，P为C上一点,且Q+E4+F8=0.证明：I刑，WPl，I闵成等差数列，并求该数列的公差.z丫2222详解：设Aa,y）,5（孙y2）,则号=1号+5-二1.两式相减，并由S=A得山+江%M=O.由题设知山=1,空空=相，于是X1-V24322%=<-.由题设得（）vm<3,故攵<一,.4m22（2）由题意得”（1,0）,设。（七,丹），则（FTy3）+（石-1，乂）+（£-1，必）=（0，0）.由（1）及题设得工3=3-（与+9）=1,必=一（乂+%）=-2m<0.又点P在C上，所以相3 - 2 -IFP于是F = (x1-l)2 + y12=FT2+31 2告同理I闵=2-5所以IEl因=4-；（为+工2）=3.成等差数列.设该数列的公差为d,则故2同卜丽+回,pFA,FP,FB2J=FB-E4Mxl-X2=；J(X+x2f-4中237将，二W代入得上=一1.所以/的方程为y=-+Z'代入C的方程'并整理得7f14x+；=O.故-1+x2=2,x1x2=表,代入解得同=嗜!所以该数列的公差为通或一通.2828第9讲：椭圆的第三定义1.基础知识:如图,椭圆靛