导数不等式证明18种题型归类.docx

导数不等式证明18种题型归类遇内容速览> 一、知识梳理与二级结论>二、热考题型归纳【题型一】不等式证明基础令令【题型二】三角函数型不等式证明0【题型三】数列“累加型”不等式证明令【题型四】双变量构造换元型不等式证明令令【题型五】同构型不等式证明O令【题型六】双变量“比值代换”型不等式证明Q【题型七】凸凹反转型不等式证明令令【题型八】极值点偏移型不等式证明>令【题型九】“极值型偏移”不等式证明>【题型十】三角函数型极值点偏移不等式证明【题型十一】三个零点型不等式证明【题型十二】三个极值点型不等式证明【题型十三】系数不一致型不等式证明【题型十四】极值构造(利用第一问结论)【题型十五】先放缩型不等式证明【题型十六】切线放缩型不等式证明【题型十七】利用韦达定理置换型不等式证明【题型十八】泰勒展开型不等式证明三、高考真题对点练四、最新模考题组练曼知识梳理与二级结论1、应用导数证明不等式基础思维：(1)直接构造函数法:证明不等式/(x)>g(x)(或/(x)Vg(X)转化为证明/(x)-g()>o(或/(x)-g(x)<0),进而构造辅助函数MX)=/()g();(2)适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；(3)构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.2.“切线放缩”是处理不等式问题的一种技巧.如：J'=e'在点(0)处的切线为>=x+l,如图所示，易知除切点(°/)外，V=e，图象上其余所有的点均在产"1的上方,故有e'x+l.该结论可构造函数"x)=e'-l并求其最小值来证明.显然，我们选择的切点不同，所得的不等式也不同.3、泰勒公式形式：泰勒公式是将一个在与处具有阶导数的函数利用关于(X-%)的次多项式来逼近函数的方法.若函数/()在包含方的某个闭区间。,切上具有阶导数，且在开区间(。/)上具有(+1)阶导数，则对闭区间上任意一点4,成立下式：/(*1)=/(o)+*(xo)(v-xo)+2»、+：o)(X_*o)"+R(X)其中：/(")(%)表示/(%)在X=XO处的阶导数，等号后的多项式称为函数/(%)在/处的泰勒展开式,剩余的R(X)是泰勒公式的余项，是(-0r的高阶无穷小量.4.常见函数的泰勒展开式：(1)ev=1+j-6,其中(O<e<l);I!2!3!！(n+l)v7(2) ln(l÷x)=x-÷+(-1)1-,其中凡=(T)”J、jI；v72!3!fnnv,(w+l)!U+<JYr5.l/I2/+1(3) SinX=X+÷(-l)TJ-+/?,其中K=(T)F-cos；3!5!(2AT)!"、/(2%+l)!Y4.2*-22R(4) cosx=l+(-I)-+1,其中R=(-1)-一UCoSe”；214!v7(2-2)!"火,"/(2)!，(5) =1+x+x2+xh+o(x11)；1-x(6) (l+x)”=l+,rr+O(X2)；(7) tanx=x+:-+-a5+o(2n);(8) 1+x=i+-X-X2+-X3+o(x).2816v75、麦克劳林(MaClaUrin)公式/(X)=/(O)+/(0)x+q2+/"*x÷RIt(X)虽然麦克劳林公式是泰勒中值定理的特殊形式，仅仅是取XO=O的特殊结果，由于麦克劳林公式使用方便，在高考中经常会涉及到.6、常见函数的麦克劳林展开式:X2Xn(1)ex=l+x+2!！Sinx= X-匕+工-3! 5!+(-l)2n(2/7+1)!COSx = I-+-+(-l)rt2! 4! 6!÷o(x2+2)÷ O(X2w)v.23间ln(l + x) = x-+-+(T) “ -+ O(Xe)2 3/? + 1= 1 + x + x2 + ÷x÷ o(xn)1 X(6)(1+x)”=1+"'+Oa2)7、两个超越不等式：(注意解答题需先证明后使用)(D、对数型超越放缩：lnxx-l(x>0)X(2)、指数型超越放缩：x+lJ一(x<l)8.极值点偏移问题的一般题设形式：(1) .若函数/(X)存在两个零点X,%2且再入2，求证：Xi+/？/(XO为函数/(X)的极值点)；(2) .若函数/(%)中存在再,工2且再jc2满足/区)=f(X2)f求证：xI+X2>2%(X。为函数/(X)的极值点)；(3),若函数/(X)存在两个零点再/2且范工2，令XO=再I求证：/'(%)>0:(4) .若函数/(X)中存在再,工2且再x2满足/区)=/。2)，令Xo=m，求证：,()>A热考题型归纳【题型一】不等式证明基础【典例分析】已知函数/(x)=XlnX.(1)求曲线y=()在点(I,/)处的切线方程；(2)求证：f(x)<x2+x.【提分秘籍】刘甬尊双福丽不等王焚琳五有的不丁.!一、比较简单的不等式证明，不等式两边作差构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出函数的最值即;可；二、较为综合的不等式证明，要观察不等式特点，结合己解答的问题把要证的不等式变形，并运用己证结L论先行放缩，然后再化简或者进一步利用导数证明.【变式演练】1 .(甘肃省武威市凉州区2022届高三下学期质量检测数学(文)试题)设函数/(x)=(-2x)/+“0-"Inxle+2e其中e为自然对数的底数，曲线y=(x)在(2J(2)处切线的倾斜角的正切值为5,+二(1)求。的值;(2)证明：/(x)>0.2 .已知函数/(x)=lnx+x2-ax.(1)若函数/U)在定义域内为增函数，求实数的取值范围；(2)若=0且x(0,l),求证：xl+x2-/(x)<(l+x-x3)ex.【题型二】三角函数型不等式证明【典例分析】(北京市第八中学2023届高三上学期12月测试数学试题)已知函数/(x)=x"'2-x"cosx(其中Z).(1)若=T,判断函数/(x)在(。弓)上的单调性；(2)若=1,判断函数/(x)零点个数，并说明理由；(3)若=0,求证：/(x)+2->0.【变式演练】(江苏省连云港市灌南高级中学、灌云高级中学20222023学年高三上学期10月联考数学试题)已知函数.Sinxf(x)=X.(1)当x>o时，/()q,求实数。的取值范围；(2)证明：iex>tInX+sinX.【题型三】数列“累加型”不等式证明【典例分析】(2023四川成都石室中学校考模拟预测)已知函数=若/(x)0,求实数a的值；(2)已知wN,且2,求证：l+-+-<lnw.23n【提分秘籍】一分友我三有存双型不薪注丽丁症丽恿花而国司不1导致证丽恿露二致;对于三希两薮王夏瓦正茶瓦要充分利用正余弦函数的有界性。*变式演菊(2023贵州黔东南凯里一中校考三模)已知函数/(x)=lnx-(1)证明:/(x)0;/c、Tn口1CIn3ln4ln(z+l)1(2)证明：ln2+-r+、-+-J->1,eN.2232n2+1【题型四】双变量构造换元型不等式证明【典例分析】(2021黑龙江校联考模拟预测)已知/(x)=F.(1)求关于X的函数g(x)=/G)-4(r)-5X的单调区间;(2)已知。>方，证明：幺zJ a-b11<-ea +eh +4e6I【提分秘籍】海及函函而双零点间瓶不音再加的庭而不委豆而不辱,二-这星号菌薮的面而不辱下一布是把反变隹而辱'式或不等式转化为一元变量问题求解，途径都是构造一元函数.【变式演练】17(2021广东统考一模)已知/(x)=lnx,g(x)=-x2+wx+-(w<0),直线/与函数/、g(x)的图象都相切,且与函数/(x)的图象的切点的横坐标为1.(I)求直线/的方程及加的值；（三）若力()=(+l)-g'()(其中g'(x)是g(x)的导函数)，求函数M%)的最大值；(In)当OCbCa时，求证：f(a+b)-f(2a)<-.2a【题型五】同构型不等式证明【典例分析】/()=gw=1÷(四川省乐山市高中2022届第一次调查研究考试数学(理)试题)已知函数''X,''X其中“eR.(1)试讨论函数'U)的单调性；(2)若=2,证明：xf(x)g(x).【提分秘籍】.莉甬函薮同等菱舷通还逐锈硬酒薮薪胫升稻作菱形苒商逐厂对原不等式面裤变形瓶琬布被密商S构造辅助函数.IIIiii夜式演菊(2022贵州黔东南统考一模)已知函数/(X)=巫G"0)nix(1)试讨论函数/(X)的单调性；(2)对Vaw(Le),a>br证明：ab+l>ba+l.【题型六】双变量“比值代换型”不等式证明【典例分析】(2020黑龙江哈尔滨哈尔滨三中校考三模)函数/(x)=InX-喑D(1)求证：函数/(x)在(0,”)上单调递增；II0(2)若孙为两个不等的正数,试比较型二竺与的大小,并证明.m-nm+n【提分秘籍】r½sw½w;:1.一般当有对数差时，可以运算得到对数真数商，这是常见的比值代换形式i2.两个极值点(或者零点)，可代入得到两个“对称”方程!3.适当的恒等变形，可构造出“比值”型整体变量。【变式演练】(2022湖北黄冈统考一模)己知函数/(x)=InX-?x+m.(1)求函数/(x)的单调区间；(2)若/卜)0在X(O,+")上恒成立，求实数巾的取值范围;【题型七】凸凹反转型不等式证明【典例分析】(宁夏青铜峡市高级中学2022届高三上学期第一次月考数学(理)试题)已知函数/(x)="Tnx,aeR.(1)求函数/(%)的单调区间；(2)当t(0,e时，求g(x)=/X-InX的最小值；(3)当Xe(O,e时，证明：e2x-Inx-.X2【提分秘籍】类型特征：(1)特殊技巧；(2)分开为两个函数，各自研究，甚至用上放缩法。【变式演练】(陕西省西安市高新第一中学2021-2022学年高三上学期第一次月考理科数学试题)已知函数/(x)=InX-X<1)讨论函数g(x)=/(>一巴(。=0,4eR)的单调性;X(2)证明：(x)>-+l.【题型八】极值点偏移型不等式证明【典例分析】已知函数/(x)=lnx÷-.X(1)求人。的最小值；(2)若方程/(x)=0有两个根,x2(x1x2)>求证t*+x2>2.【提分秘籍】刷甬耳薮症明示哮天西冗奚顿廨血锭哈；!(1)构造差函数刀(x)=(x)-g(x),根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关1系，进而证明不等式；三(2)根据条件，寻找目标函数，一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、I等量代换将多元函数转化为一元函数.ii1.-夜式演菊已知函数/(x)=InX-T双、1.(1)讨论函数/(X)的单调性；(2)当。=1时，设函数/(x)的两个零点为X,X2,试证明：x1+X2>2.【题型九】“极值型偏移”型不等式证明【典例分析】(湖北省新高考联考协作体2021-2022学年高三上学期12月联考数学试题)已知函数+X13g(%)=5X+2)x+5”(QeR)(1)求函数/(x)的单调区间；(2)若>l,(x)=(x)+g(x),x1,大为MX)的两个极值点，证明：(x,)+(x,)<y.【变式演练】(2023贵州毕节校考模拟预测)已知函数/(x)=(2x+)lnx-3(x-),>O.(1)当x21时，/(x)0,求的取值范围.(2)若函数/(x)有两个极值点和声，证明：x,+2>2e【题型十】三角函数型极值点偏移不等式证明【典例分析】(2022河南郑州校联考二模)已知函数/(x)=ersinx,x(,).求函数/(x)的单调区间；(2)若MHX2，且/(占)=/(X2)，证明：X+%2>:.【变式演练】(2023福建宁德统考模拟预测)已知函数/(x)=W竺,xe(0").e若/(x)l,求实数。的取值范围;(2)若=4,且/(*)=/'(占)，玉<工2，求证：R+Z且曰9<sim【题型十一】三个零点型不等式证明【典例分析】(浙江省舟山中学2021-2022学年高三上学期12月月考数学试题)已知函数/(x)=(x+l)lnx+(IheR.求函数=八、)的最小值；(2)若/(x)有三个零点Xj,X2,Xj,求。的取值范围；八1113求证：嬴金+1”二+嬴金<7【提分秘籍】;对于三不派值点或者三个摹点鹿型，可以看以下悟见思维:；1.可以通过代换消去一个极值点。三2.一些函数也可以求出具体的极值点I3.通过分类讨论可以“锁定”一个的取值范围，适当放缩。【变式演练】(浙江省杭州市第十四中学2021届高三下学期5月模拟考试数学试题)已知函数/(x)=xlnr,g(x)=÷0r-U/?.(D若对任意X4,+功,不等式二。”。名恒成立,求”的取值范S;(2)已知函数MX)T/(“)卜"有3个不同的零点七户2，毛(芯<<七).(0求。的取值范围；(ii)求证：Xy-X2>Jl+2-Jl-2.【题型十二】三个极值点型不等式证明【典例分析】已知函数/(x)=(x-2)e"+.(1)讨论/Cr)的极值点的个数；(2)若/(X)有3个极值点X”XUX3(其中XlVX2<X3),证明：XiX3<X22【变式演练】2已知函数/(X)=史尹(其中。为常数).(1)当=0时，求函数/(X)的单调减区间和极值点；(2)当。0时，设函数/(X)的3个极值点为X,X29Xy9且求。的取值范围；2证明：当Ovavl时，玉+”3>工.【题型十三】系数不一致型不等式证明【典例分析】(浙江省浙南名校联盟2021-2022学年高三上学期期末联考数学试题)设实数且函数/(x)=WTogA£(。，+8)(1)求函数/(X)的单调区间；(2)若函数J=(x)有两个不同的零点人"2(须</)(i)求"的取值范围；(ii)证明：x+2x2>3a.【提分秘籍】秦薮不二致期氢专看M盘家布-温值点或著一至点S1.可以借助“比值”等代换方式引入参数，转化为一个变量。5可以利角-Z极值点”值彩构造薪函数证丽。一夜式演菊(浙江省绍兴市诸暨市2021-2022学年高三上学期期末数学试题)已知函数43,/(x)=(x-l)ex-(x+l)2-a(aR)(I)当a=0时，求y='()在(OJ(O)处的切线方程；(2)若T=/(x)有两个极值点X、X2,且演<七.(i)求实数。的取值范围；(ii)求证：<+3.【题型十四】极值构造型(利用第一问结论)【典例分析】(2022海南统考一模)已知函数)=x-e'+lMeR.(1)求/(x)的单调区间；(2)若/(x)0在X6/?上恒成立，求实数。的取值集合；(3)当。=1时，对任意的0<?<，求证：l_1</(lnzz)-/(lnw)<l_1nn-mm【提分秘籍】一些衽期，可以逋过对第一间分类i登，落田一些不尊式放缔支手或暑放猫向1 .可以利用第一问单调性提炼出不等式2 .可以利用第一问极值或者最值提炼出常数不等式3 .可以利用题干和第一问结论构造新函数(新不等式)【变式演练】(2023吉林统考模拟预测)已知函数/(x)=XInX-Za-1),且/3之0.(1)求实数加的取值范围；求人的最小值;(2)设为整数，且对任意正整数，不等式(Wl+,l+")<女恒成立,(3)证明:2023Y024J2023Y2024)<e<2Q24)【题型十五】先放缩型证明不等式【典例分析】(2022届高三普通高等学校招生全国统一考试数学信息卷(二)已知函数/U)="SinX-'cosg(x)=lnx+x÷3在下列三个条件中任选一个填在下面的横线上，解答下列问题.+b=O,。-力=1,a+b=-1.(O(i),曲线/(x)在点(兀JS)处的切线经过点(0,兀7),求实数的值；(ii)求证：y=2x+2是曲线g(x)的一条切线.(2)xef,当=2,6=0时,求证：/(x)+>g(x).【提分秘籍】'½:i L根据已知条件适当放缩；1 2.利用常见放缩结论；I常见的切线不等式放缩思维【变式演练】(山东省2021-2022学年高三上学期12月备考监测第二次联合考试数学试题)函数八力=InX-数十1.(1)若“立。恒成立，求。的取值范围.(2)证明：(当+1卜-'+1)<：+1.【题型十六切线放缩型不等式证明【典例分析】f(x)=m-klnx)+we*"(L",-0r+4(2021年高考数学押题预测卷(天津卷)01)已知函数12JLI4其中e=2718是自然对数的底数，/'(")是函数/(X)的导数.(1)若/=1,=0时.(Z)当攵=1时，求曲线/(X)在X=I处的切线方程.(ii)当人0时，判断函数/(x)在区间零点的个数.7(2)若7=0,W=I,当Q=G时，求证：若X尸X2，且+丫2=-2,贝1/(苦)+/(工2)>2.O【变式演练】(江苏省泰州市姜堰中学2020-2021学年高三上学期12月月考数学试题)已知函数“、)=。(工-1)/,。工0.(1)讨论/W的单调性；(2)当。=1时，求函数在4=1处的切线/,并证明O<<l,函数/(#图象恒在切线/上方；若/(x)=m有两解,天，且XIVX2,证明/-x2<'-m【题型十七】利用韦京定理置换型不等式证明【典例分析】(山西省山西大学附属中学2021届高三下学期三月模块诊断理科数学试题)已知函数/(x)=f-r+"nx,&wR.(1)讨论函数/(x)的单调性；(2)若/U)有两个极值点阳，x2,证明：|/(演)-/(七)|<：-2%.【提分秘籍】；吊置羊察布天姿薮亮马荡薮就玩x1；0有荚；”.利用韦达定理代换：可以消去x1,X2留下参数ii1.彳寂演菊-"'i已知函数/(x)=；x2+hu+rv,(/n).(1)若/(4)存在两个极值点，求实数，的取值范围；(2)若占，七为/()的两个极值点，证明：/叫/(/)_/(里卜.【题型十八】啊泰勒展开型不等式证明【典例分析】(2022辽宁沈阳东北育才学校校考模拟预测)给出以下三个材料：若函数/(x)可导，我们通常把导函数/'(X)的导数叫做/(x)的二阶导数，记作(x).类似地，二阶导数的导数叫做三阶导数，记作广(力，三阶导数的导数叫做四阶导数一般地，n-1阶导数的导数叫做阶导数，记作/(")(力=产)刚,让4。若62，定义!=”(-1)'(-2”，3、2、1向若函数/(力在包含与的某个开区间(。,6)上具有阶的导数，那么对于任一xw(,6)有g3=(z)+J(XT。犷华j+年4一/7+°我们将g(x)称为函1!2!3!数/'(X)在点X=Xo处的阶泰勒展开式.例如，y=e'在点X=O处的阶泰勒展开式为l+x+:i+上2n根据以上三段材料，完成下面的题目：(D求出i(x)=sinx在点X=O处的3阶泰勒展开式g/x),并直接写出(x)=coSX在点x=0处的3阶泰勒展开式gz(x)；(2)比较(1)中工(力与g(x)的大小.(3)证明：ev+sinx+cosx2÷2x.【提分秘籍】；刘南泰新公式拉丽不尊式：若函数/(X)在含有/的某区间有定义,并且有宜到(-1)阶的各阶导I数,又在点/处有阶的导数/(")(Xo),则有公式i/(x)=/(工。)+/；。)(X-%)+/；。)("-)2+/-J""-)""+""(")!在上述公式中若凡(X)0(或&(X)0),则可得1/W/(X0)÷2(x-Xo)+Zl2(-x0)2+.+-x0)1!2!！:或“丫、+'(XO),丫丫、+/"(/)&v2,/(°(xorr(«)ij)jo)+-(X-X0)+-(X-X0)+(X-X0)i1!2!nIiI彳变式演练(2022春广东广州高三校级联考)已知函数/(x)=In(X7)-%(x-l)+l.(I)求函数/(X)的单调区间；CHHM2ln3ln4Inzz*(2)证明：+<-(wN,>1).345n+4上高考真题对点练1. (2023天津统考高考真题)已知函数/(x)=6+gn(x+l).(1)求曲线y=(x)在=2处切线的斜率；(2)当x>0时，证明:/(x)>l;(3)证明：,+2. (2022全国统考高考真题)已知函数/(X)=纪-lnx+x-.若/(x)",求。的取值范围；(2)证明：若/'(X)有两个零点芯,电，则XIX2<1.3. (2022北京统考高考真题)已知函数)=e*ln(l+x)求曲线y="x)在点(OJ(O)处的切线方程；设g(x)='(x),讨论函数g(x)在0,+)上的单调性；(3)证明：对任意的s,e(O,+),有G+f)>(s)+(f).4. (2021浙江统考高考真题)设mb为实数,且函数/(x)=/-bx+(xwR)(1)求函数/(x)的单调区间；(2)若对任意6>2,函数/(x)有两个不同的零点，求的取值范围；当时，证明：对任意函数/(力有两个不同的零点再/2，仇>玉)，满足吗演+限2eb(注：e=2.71828是自然对数的底数)5. (2021全国统考高考真题)设函数/(x)=ln(-x),已知X=O是函数=的极值点.(1)求a；(2)设函数g(x).证明:g(x)<l.XfM6. (2021全国统考高考真题)已知函数/(x)=x(>Inx).(1)讨论f(x)的单调性;(2)设明6为两个不相等的正数，且blna-aln6=a-b,证明：2<-+-J-<e.ab*最新模考题组练1. (2023西藏昌都校考模拟预测)已知函数/(X)=Inx-ax+l,aeR.(I)讨论函数/(X)的单调区间；若X。为函数g(x)=M(x)+lnx-2的极值点，求证：2<e-l.2. (2023贵州毕节校考模拟预测)已知函数/(x)=(MX+)e'+加+(2?+/在尸-1处取得极小值-1一1.(1)求实数机的值；e当X«0,+8)时，证明：/(x)>lnx+x+.3. (2023贵州贵阳校联考三模)实数2>0,/(x)=ln(x+l),g(x)=-.x+k讨论/(x)-g(x)的单调性并写出过程；«-L1(2)求证：Ye,+3*'>w÷l.A=I+14. (2023四川校联考一模)已知函数/(X)=-21nx.求的单调区间；(2)令g(x)=(x)-(a-2)lnx,若g(x)有两个零点七，x2(x1<x2)t且%是g(x)的唯一极值点，求证：±i<3.5. (2023福建三明统考三模)已知函数，(力=；-1呐"1<).讨论/(x)的单调性；(2)若证明：(1)£：-4+<0mx6. (2023山东济南校考模拟预测)设函数/(x)=J(X>T),已知"x)2l恒成立.X+1(1)求实数加的值；(2)若数列%满足。加=111/(/),且q=l-ln2,证明：怆"-1|<(夕.7. (2023江西赣州统考模拟预测)已知函数/(x)=1nx+(4R).若函数g(*)=(x)+:+s,讨论函数g(x)的单调性；(2)证明：当1g时，/(x)<et-sin0.8. (2023江西赣州统考模拟预测)已知函数/(x)=lnx+,cR.若g(4)=/(x)+；/+g,讨论函数g(x)的单调性：(2)证明：当2时，函数"的图象在函数2的图象的下方.解析【题型一】不等式证明基础【典例分析】已知函数/(x)=Xlnx.(1)求曲线>=/(4)在点(IJ(I)处的切线方程；(2)求证：/(x)<x2+x.【答案】(1)y=x-i；(2)证明见解析【分析】(1)利用导数的几何意义求解即可；(2)首先将题意转化为证明InXTT<0,令g()=hv-l,利用导数求出函数的最大值即可证明.【详解】(1)/(1)=0,所以切点为(l,0)J'(x)=lnx+l,左=(l)=lnl+l=l,所以切线为y=".(2)要证f(x)<+,只需证：nx<+x»即证：InAr-X-I<0.令g(x)=1nx-x-l,g()=:-l=l(>0).令g)=l=O,解得X=L所以XW(0,1),g,(x)>O,g(x)为增函数,x(l,+),g(x)<0,g(x)为减函数.所以g(x)ax=g=-2<0,所以InX-X-I<0恒成立，即证/(x)<+.【提分秘籍】刷甬导激症函不等主要方法看何不?一、比较简单的不等式证明，不等式两边作差构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出函数的最值即可；二、较为综合的不等式证明，要观察不等式特点，结合已解答的问题把要证的不等式变形，并运用已证结论先行放缩，然后再化简或者进步利用导数证明.彳变式演菊1 .(甘肃省武威市凉州区2022届高三下学期质量检测数学(文)试题)设函数,(力"(x2-2x)ex+aex-e2Inxle+2e其中e为自然对数的底数，曲线y=(x)在(2J(2)处切线的倾斜角的正切值为E,+(1)求。的值；(2)证明：/(x)>0.【答案】(1)。=2；(2)证明见解析.【分析】(1)求出函数的导函数，再代入计算可得：(2)依题意即证/(%)=(/2x)e'+2ex-/Mx。，即(工一2”1+：>今，构造函数8()=。-2)/-2+：,A(x)=,利用导数说明其单调性与最值，即可得到g(x)>Mx),从而得证；X【详解】解：(1)因为/(x)=(2-2x)e*+qex-hl,所以,二仁一？)/十四一£_,f,(2)=-+ae=-+2e,解得=2.(2)由(1)可得/(x)=(2-24)6*+2ex-/Inx即证/(X)=(x2-2x)ejr+2ex-e2Inx>0(x-2)exl+>.令g(x)=(x-2)e-+2,/(X)=(XI)/",于是g()在(OJ)上是减函数,在(l,+)上是增函数,所以eg(x)g=：(x=l取等号).又令力(x)=¥，则I(X)=W,于是MX)在(0,e)上是增函数，在3+8)上是减函数，所以MX)Me)=1(x=e时取等号).所以g(x)>M%),即/(x)>0.e2 .已知函数/(x)=lnx+x2-ax.(1)若函数/(x)在定义域内为增函数，求实数。的取值范围；(2)若。=0且Xe(O，1),求证：xl+x2-(x)<(l+x-)ejc.【答案】(1)(o,22;(2)证明见解析.【分析】(1)函数/(x)在定义域内为增函数，则广(x)0恒成立，分离参变量，利用基本不等式得出最值,可得实数。的取值范围；(2)5ciiExl+x2-/(x)<(l+x-x3)ejt»即证：x(l-lnx)<(l+x-x3)ex,构造g(x)=x(I-Inx),(x)=(l+x-x3)e分别利用导数判断出单调性和最值，即可得原命题成立.【详解】(1)函数/&)的定义域为(0，+8),f,(x)=-+2x-af又/&)在定义域内为增函数，X则/'(x)0恒成立，即1+2X恒成立，即d2x)min,XX又当x>0时，-+2x22,当且仅当X=也时等号成立，2近，X2即实数。的取值范围是(YO,20：(2)a=0,则/(x)=lnx+2,gExl+x2-(x)<(l+x-x3)ejc,即证：x(l-lnx)<(l+x-j)e”,设g(x)=x(l-Inx),其中x(O,l),则g'(x)=-Inx,当x(0,1)时g'(x)>O,故g(x)在(04)为增函数，Jg(x)<g(D=l,设3)=(+xr3),其中(,i),则当O<x<l时>3,l+x-x3>1»又1，6，'力()1,则g(x)<lv/I(X),.(I-InX)<(1+工一炉)1恒成立，即原不等式成立.【题型二】三角函数型不等式证明【典例分析】(北京市第八中学2023届高三上学期12月测试数学试题)已知函数/(x)=x'7-c°sx(其中eZ).若=T,判断函数/(x)在(Og)上的单调性；(2)若=1,判断函数/(x)零点个数，并说明理由；(3)若=0,求证：/(x)+2->0.【答案】(1)函数/(x)在(0,3上单调递增；(2)函数/(x)有三个零点，理由见解析：(3)证明见解析.【分析】(1)利用导数判断函数的单调性；(2) /(x)=x3-xcosr=0,所以X=O或f=cosx,再利用导数研究函数g(x)=/cosx的零点即得解：(3) BPiiEx2-Cosx>4-2,再求两边函数的最值即得解.e【详解】(1)=一1时，/(X)=X-、0或，.j)=i+W>在伏9上恒成立，所以函数/(力在XXX(。仁)上单调递增.(2) =1时，/()=x3-XCosr,令/(X)=/-XCoSr=O,所以X=O或/=CoSX.令g(x)=X2_cosXt.gz(x)=2x+sinx,因为g(-x)=2一COSX=g(x),所以函数g(x)是偶函数.不妨研究x0函数g(x)的单调性.当xeO,时，g'(x)=2x+sinx0,所以函数g(x)单调递增，所以g(x)=2-COSXg(0)=-1,因为g(2)=4-cos2>0,所以函数g(x)在(0,用内有一个零点；当XEGt,+)时,设A(X)=2x+sinx,.MX)=2+cosx>0,所以函数。(X)单调递增，所以函数g'(x)=2+sinx单调递增.所以g(x)=2-cosxg()=2+1>O,所以函数g(x)在(兀，+内没有零点.根据函数的奇偶性得函数/(x)有三个零点.综上所述，函数/(x)有三个零点.(3) =0时，f(x)=x2-cost,BPiiEx2-cosjt+2O.即证W-cosx>-2.由(2)得eeg(x)=x2-cosxg(0)=-1,设Pa)=-T-2,.pG)=,所以当x>l时，p'(x)<°,P(X)在(,+)单调递减；ec当XCl时,p,(x)>O,Ap(X)在(一8,1)单调递增.所以p(x)ma=P(I)=-1,所以/_COSX>-2.e原题即得证.【变式演练】(江苏省连云港市灌南高级中学、灌云高级中学20222023学年高三上学期10月联考数学试题)已知函数函数/(4)=胆.X(1)当x>o时，/()q,求实数。的取值范围；证明：xiex>atInX+sin%.江苏省连云港市灌南高级中学、灌云高级中学20222023学年高三上学期10月联考数学试题【答案】(l)l,+)(2)证明见及解析【分析】(1)分情况讨论。的值，根据导数求函数的单调性，进而可求最值进行求解.(2)由第问的结论，通过放缩，只需要证明£>瞥4,构造函数，求函数最值，即可求证.XX【详解】(1)当x>0时，/(x)v等价于Or-SinX>0.令函数尸(X)=xSin%,则F'(x)=a-cosx.若4,-1,则/'O0(x)单调递减,产(x)v尸(O)=0,不符合题意.若一l<<l,则F(O)=叱1<0,尸()=+l>0.因为函数尸Cr)="cosx在(0,)上单调递增，所以3(0,7)尸(XO)=O.当x(0,/)时，尸(x)<0,F(X)单调递减，F(X)C尸(O)=0,不符合题意.若a.1,则尸'(x)1cosx.。,尸(X)单调递增，F(x)>F(O)=O,符合题意.综上所述，实数的取值范围是口,+8)(2)证明：由(1)知:当X>0时,sinxx.要证>lnx+sinx,只需证>xlnx+x,即证J>XX令函数g(4)=-Jl(X)=曲宇，则g'(X)=注辿M(X)当XG(0,1)时，g'(x)<0,g(x)单调递减；当x(l,+)时，g'(x)>O,g(x)单调递增.故g(x).g(l)=e,即t.e.当XJO,e时，”(x)>0,6(x)单调递增：当xefe：+小时，"(x)V(MKX)单f222调递减.故ei因为e>J,所以g(x)>Mx),即瞥L从而Xe>MnX+sinXIJ33XT【题型三】数列“累加型”不等式证明【典例分析】(2023四川成都石室中学校考模拟预测)已知函数/(x)=In一叩-J若/(x)0,求实数。的值;(2)已知N'且2,求证：-+H1-<Inw.