导数及其应用5153综合拔高练含解析.docx

5.1 E3综合拔高练五年高考练考点1导数的运算法那么及其几何意义1. （2021课标全国皿,6,5分,*）曲线y=aexxlnX在点（1,ae）处的切线方程为尸2户6,那么（）A.SFeyZ>=-lB.ape,trC.apeZfID.a=el,b=T2. （2021课标全国I,13,5分,北）曲线产3（+x）e*在点（0,0）处的切线方程为.3. （2021江苏，11,5分,*?）在平面直角坐标系Xa中，点/在曲线尸InX上,且该曲线在点4处的切线经过点Qe,-1）（e为自然对数的底数），那么点力的坐标是.考点2函数的导数与单调性4. （2021课标全国III,7,5分,*?）函数尸U+V+2的图象大致为（）5. （2021北京，13,5分,*）设函数f（j=exaex（a为常数）,假设F（X）为奇函数,那么行;假设F（X）是R上的增函数,那么a的取值范围是.6. （2021全国I,20,12分,"）函数F（X）=e*r（肝2）.当行1时,讨论Ax）的单调性；假设AX）有两个零点,求a的取值范围.考点3函数的导数与极值、最值7"天津,8,5分,的aR.设函数小）弋:葭1'假设关于X的不等式Ax)20在R上恒成立,那么a的取值范围为()A.0,1B.0,2C.0,eD.1,e8. (2021江苏，11,5分,")假设函数r=2-a+lUR)在(0,+)内有且只有一个零点，那么AX)在-1,1上的最大值与最小值的和为.9. (2021课标全国I,16,5分,*)函数f(x)=2sin户Sin2x,那么F(X)的最小值是.10. (2021课标全国I,16,5分,")如图，圆形纸片的圆心为。,半径为5cm,该纸片上的等边三角形49。的中心为,£尸为圆。上的点，XDBC、XECA、为8分别是以BC,CAy”为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后,分别以a;CAy49为折痕折起比；ECAi必用使得DyEiF重合,得到三棱锥.当ABC的边长变化时,所得三棱锥体积(单位：cm3)的最大值为.IL(2021全国11I,21,12分,")设函数fxbxci曲线尸f(x)在求b：假设F(X)有一个绝对值不大于1的零点,证明：Ax)所有零点的绝对值都不大于1.12. (2021新高考I,21,12分，*)函数/(x)=ae"1-ln户Ina.(1)当时,求曲线尸F(X)在点(1,F(D)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；假设F(X)21,求d的取值范围.三年模拟练应用实践1.(2021重庆九校联盟高二上期末联考,*，)设三次函数Ax)的导函数为6(X),函数片Xf(X)的局部图象如下图，那么以下说法正确的选项是()A. Ax)的极大值为/(3),极小值为-3)B. fx)的极大值为人旧)，极小值为-3)C. Ax)的极大值为A-3),极小值为/(3)D. fx)的极大值为-3),极小值为3)2.(2021安徽皖江名校联盟高三上联考,箱)从一张圆形铁板上沿两条半径剪下一个扇形,将其制成一个无底的圆锥容器，当容器容积最大时,该扇形的圆心角是()A2A.-3r23r.26C.兀D.兀333.(多项选择)2021新高考八省(市)1月联考，*?函数F(X)=Jdn(I+x),那么()爪(才)在(0,+8)上单调递增B.Ax)有两个零点尸Ax)在点初处切线的斜率为TTn2D.F(x)是偶函数4.(多项选择)2021新高考八省(市)1月联考，*T设函数F(X) =cos2x2+sinxcosx，那么OA. F(X)=F(户Jl)B. f(x)的最大值为；(：.(才)在(-：，0)上单调递增D.Ax)在(0,上单调递减5.(多项选择)(2021江苏扬州大学附中高三上月考,*)设F'(x)为函数F(X)的导函数,2(x)+"(x)=lnX,AD3,那么以下结论不正确的选项是OA.xfx)在(0,+8)上单调递增B.xf(x)在(1,+8)上单调递增C. xf(x)在(0,+)上有极大值TD. xfx)在(0,+8)上有极小值T6. (2021江苏南京江浦高级中学高三上月考,*)直线/:尸心叶，是曲线F(X)=In(户1)和曲线g(x)En(e2)的公切线,那么=()B争IwDln2e7. (多项选择)(2021江苏扬州中学高二上开学检测，*)函数r=(%2-)2-Ai1+4,给出以下四个命题,其中是真命题的有()%使得函数恰有2个不同的零点比使得函数恰有6个不同的零点%使得函数恰有5个不同的零点比使得函数恰有8个不同的零点8. (2021江西上饶高三上第三次月考，*?)设函数F(X)J?：/会；(。是自然对数的底数)，假设A2)是函数；I-+10,%>2kInxF(X)的最小值,那么a的取值范围是.9. (2021江苏连云港海头高级中学高二月考，*?)函数F(X)二，QT)X+3。-4,x<t,无论Z取何值，函数F(X)在区间(-8,+VX5-X,X>tf8)上总是不单调,那么实数a的取值范围是.10. (2021浙江宁波北仑中学高二上期中，*)f(x)的定义域为(-8,0)U(0,+8),6()是其导函数,且满足*/(X)-2人才)>0,假设F(X)是偶函数,/(1)=1,那么不等式F(X)>/的解集为.IL(2021江苏徐州一中、兴化中学高三上联考，*)函数AX)=In12-Ll六一ax+l.2讨论函数F(X)的单调性；当行1时，设函数F(X)的两个零点为hX2,试证明：乂+扬>2.12. (2021江苏苏州中学高二月考,北)。是南北方向的一条公路，如是北偏东450方向的一条公路,某风景区的一段边界为曲线C建立如下图的平面直角坐标系才如那么曲线。符合函数模型片户华(x>0),为方便游客观光,拟过曲线。上的某点P分别修建与公路OAfOB垂直的两条道路PM,PN、且PM,PN的造价分别为5万元/M米,40万元酒米,设月沪X百米,修建两条道路PM,/W的总造价为AX)万元.求f(x)的解析式；当X为多少时,总造价F(X)最低?并求出最低造价.迁移创新13. (2021浙江嘉兴高三上期末,*)函数f(x)=Hn户数+c(a0)有极小值.试判断afb的符号,并求F(X)的极小值点；设Hx)的极小值为m,求证:研水45.1节.3综合拔高练五年高考练1.DVy,=ae4+ln+l,y'A=I=犯+1,2=ae+l,广/.切点为(1,1),将(1,1)代入y=2x-b,得1=2+A左-1,应选D.2 .答案y=2>x解析=3(V+3户l)e*,曲线在点(0,0)处的切线斜率A=m=3,曲线在点(0,0)处的切线方程为尸3乂3 .答案(e,1)解析设力(刖,%),由y,->得k=-iXo所以在点A处的切线方程为尸InX(B(E).因为切线经过点(-e,T),所以TTnAb=工(-e-刖).所以Inxo=JX0Xo令g(x)=ln?(x>0),那么屋(X)W*,那么K(X)>0,.g(x)在(0,+8)上为增函数.又g(e)=O,；Iily=IW唯一解A=e.，X(Fe.工点力的坐标为(e,1).方法总结求曲线尸f(x)过点(小,的切线问题的一般步骤：设切点为(刘,F(m);求k=f,(X0);得出切线的方程为yF(Xo)=F'(%)(照)；由切线经过点(M,y)求得照,进而得出切线方程.4 .口令尸£(力=."(x)=-六+/+2,AF'(x)=-49+2乂令r>o,解得水等或o<水冬此时，递增；令r<0,解得苧水。或吸此时,/U)递减.由此可得F(X)的大致图象.应选D.5 .答案T;(-8,o解析"(力=+把'为奇函数，F(r)+f(x)=0,即0,(5+1)(eA+e4)=0,.*.a=l.A力是R上的增函数，6(力20恒成立，Ae-aea0,SRe2x-a0,aejXVe24>0,a0.当折O时,F(x)=e,是增函数,满足题意,故a0.易错警示当r(x)>0时,人才)为增函数,而当F(X)为增函数时,F'(x)20恒成立,不能漏掉等于0,但要检验r=0时得到的参数a是否满足题意.6 .解析(1)当a=l时，F(x)=e"-尸2,那么f'(x)=e*T.当KO时,F(力<0;当x>0时，F'(jr)>O.所以F(X)在(-,0)上单调递减,在(0,+8)上单调递增.F'(x)=e*-a.当a0时，f'W>0,所以f(x)在(-8,+8)上单调递增，故F(X)至多存在1个零点,不合题意.当a>Q时，由f,()=0可得JV=Ina.当XG(-8,Ina)时，f'(x)<0;当XG(Ina,+8)时,f,(x)>0.所以F(X)在(-8,Ina)上单调递减,在(Ina,+8)上单调递增，故当A=Ina时，f(x)取得最小值,最小值为F(Ina)=-a(l+lna)(i)假设0<aW,那么F(Ina)20,f(x)在(-,÷)上至多存在1个零点,不合题意.e(ii)假设於工,那么F(Ina)<0.e由于/(-2)=e-2>0,所以F(x)在(-8,Ina)上存在唯一零点.由知，当x>2时,e*-尸2>0,所以当x>4且x>21n(2a)时，f(x)=3ez-a(+2)>el''*Q÷2)-a(÷2)=2a>0.故F(X)在(Ina,+8)上存在唯一零点.从而F(X)在(-8,+8)上有两个零点.综上,a的取值范围是Q,+).方法总结函数的零点求参数的取值范围的方法：(1)利用零点存在性定理构建不等式(组)求解.(2)别离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.(3)转化为两个熟悉的函数图象的位置关系问题,从而构建不等式(组)求解.(4)利用导数研究函数的图象和性质，由函数零点的个数,判断函数的极值大于零还是小于零,从而建立关于参数的不等式(组)求解.7 .C当xl时，-v)=x-2ax+2ar(x-a)2+2a-a,假设Gl,那么F(X)在(-8,1上是减函数，.F()2f()=>o恒成立;假设al,那么F(X)>fa)=2a-ai要使F(X)20在(-8,口上恒成立,只需得0aW2,OWaWl,综合可知,心0时，/U)20在(-8,1上恒成立.(2)当x>时，lnx>0,f(x)=尸alnx20恒成立，即aW志恒成立.令8(入)产,g'(x)-：nx：,令屋(X)=0,得r=e,当x(1,C)时,g'(x)<0,g(x)为减函数,当xInx(Inx)(C,+8)吐屋(x)o,g()为增函数，.g()nM=g(e)=e,.ae.综合(1)(2)可知,a的取值范围是Oae,应选C.解后反思求不等式恒成立时的参数取值范围的方法:一是别离参数法,不等式F(X)2a在R上恒成立Qfa)BIi02a,f(x)Wa在R上恒成立Qf(X)皿a;二是讨论分析法,根据参数取值情况进行分类讨论,从而确定参数的取值范围.8 .答案-3解析V,(t)-txax+1,f,(x)=6x2ax=2x(3-a).假设a0,那么x>Q时，F'(x)>0,"(x)在(0,+8)上为增函数,又F(O)=I,.F()在(0,+)上没有零点，a>0当(KKg时，'(x)<0,f(x)为减函数;当X当时，f'(x)>0,f(x)为增函数，x>0时，F(x)有极小值，为z(l)=S+1.F(x)在(0,+8)内有且只有一个零点，Q)=O,5=3.,./,()=2-3x+l,那么F'(x)=6x(x4).Xf'(x)f(x)-1(-1,0)+0(0,1)1-4增1减0F(x)在T,1上的最大值为1,最小值为-4.最大值与最小值的和为-3.9 .答案卷解析解法一：由f(x)=2sinGsin2x,得f,()=2cos+2cos2=4cos2cosr2t令F'(x)=0,得cos=或cos=-l,可得当COSX(-l,时，F'(x)<0,F(x)为减函数；当COSX(,1)时,F'(x)>0,F(x)为增函数，；当CoS桔时,F(x)取最小值,此时si11=±.又."(彳)=2$1。户2$11140$产2$111*(1+()$/),1+。0$)力0恒成立，f(x)取最小值时，si11=-y,rtx)ni11=2×(-y)×(l+解法二：f(X)=2sin户si112=2sin户2sinxcos=2sinx(1+cosx),/(x)=4sinx(1+cosa)2=4(1-cosa)(l+cosx)：令COSA=t,t三-1,令设g(D=4(l-t)(l+t)3,"'3=-4(1+£)3+12(1+£)2(1-。=4(1+/2(2-41).当f(-,3时,g'*)>0,g(f)为增函数；当£(?1)时,屋(。0，(£)为减函数.当b；时，g&)取得最大值I即2(x)的最大值为?，得/U)的最大值为学，又2442F(X)=2sinx÷sin2x为奇函数，力的最小值为卷.解法三：Vf(j=2sin+sin2=2sinx(l+cos)=8sincosp2(x)=64sin2-cos2-cos2-cos2-2222_64o.2X2X2X2X-3sn-cos-cos-cos-V64(3sin2>cos2>cos2>cos2冷j1277344"当且仅当3sin2cos2,即SingWcos?衿时等号成立，尸(x)的最大值为那么F(X)的最2224244大值为苧,又J)=2siu÷sin2x为奇函数，/'(彳)的最小值为专.10 .答案411解析解法一：由题意知折直以后三棱锥的直观图如下图.连接CO并延长交AB于连接DO、见那么.平面ABC.令0+xcg那么0C=2xcmtDH=(5-)cm,得J(5x)2-2=25-10xcm,AB=12y3xc.那么以侬W.23x3)25-10x=3Z25T0%=KA5令/(x)=15x5c,那么rw=visGws+%2君)二任容/),那么当(0,2)时，&彳)单调递增，当彳(2,2.5)时,F(x)单调递减,所以当产2时,体积取最大值,为5X4X遍二411c11解法二：由题意可知,折起后所得三棱锥为正三棱锥,设445C的边长为a(a>0)cm,那么力比的面积为f,ZM?的高为(5-?OCn1,那么正三棱锥的高为J(5-?a)2-(*j.25-竽a0,所以0<W55,所以所得三棱锥的体积后才XJ25竽=袅国等W.令，二25J后/,(K水56,那么£'=100才等"，令t':0,得<i=43,此时所得三棱锥的体积最大,为415cm3.11 .解析/*(才)=3>+6.依题意得F'g)=O,即3+k0故b=.(2)证明：由(1)知f'5=3?-令尸(力=0,解得A=T或A=.6(力与F(X)的情况为X(1)'-co，2_12(.11)21212Q+J2,D+O-O+/c+-4c-1Z因为U)=(4)=c÷*所以当水-；时,F(X)只有大于1的零点.因为A-D=()=c-i所以当Cl时,F(x)只有小于T的零点.由题设可知Tc*当L-；时,f(x)只有两个零点-；和1.当不时,Ax)只有两个零点T和34Z当X过时,f(x)有三个零点X”照,X3,且X(-1,-),V2(-,X3G,1)综上,假设F(X)有一个绝对值不大于1的零点,那么F(X)所有零点的绝对值都不大于1.12 .解析M的定义域为(0,+8),6(X)二施一q.当a=e时，F(x)=e*TnxT,F'(l)=eT,曲线T=F(X)在点(1,F(D)处的切线方程为厂(e+l)=(eT)(尸1),即广(eT)户2.直线片(eT)户2在X轴,J，轴上的截距分别为-,2.e-因此所求三角形的面积为三.e-l当0<a<l时，F(I)=KlnWL当a=l时，U)=e'-1-ln,r=e"1-.当x(0,D时，f'(x)<0;当(1,+8)时，f'()>0.X所以当x=l时,f(x)取得最小值,最小值为F(I)=I,从而F(X)2L当a>l时，F(x)=aeE-ln户,na2eE-lnx2L综上,a的取值范围是1,+8).三年模拟练1.A结合题中图象列表如下:X(-8,-3)-3(-3,0)0(0,3)3(3,+8)"'(X)+00+0r0+0-F(X)极小值/极大值由表知,A正确,应选A.2 .答案D信息提取(1)将一张圆形铁板上沿两条半径剪下的扇形制成一个无底的圆锥容器；(2)求容器容积最大时,扇形的圆心角.数学建模此题以生活中制作的圆锥容器为背景,构建函数模型,借助导数研究圆锥容积的最值,在解题过程中可画出草图,通过图形直观地探求解题思路.设圆锥的底面半径为r,高为t体积为匕圆形铁板的半径为花得到产+力2=此写出体积的表达式,利用导数求出体积的最大值,得到结果.解析设圆锥的底面半径为r,高为力,圆形铁板的半径为H如图,那么r2+2=7?,设圆锥的体积为匕那么写"吗“("-万)玛3(应r加，那么，关于h的导数J”n(#-3力力令=0,得K部,易知当厅争时，圆锥的体积最大，此时崂R,九，应选D.3 .AC对于选项A,.f(x)=xln(l+x),f'(x)=ln(l+x)+W,当XG(0,+),>0恒成立,因此Fa)在(0,+8)上单调递增，故A正确；对于选项B,令F(X)=Xln(1+力=0,可得A=O或ln(l+x)=O,解得下0,故B不正确；对于选项C,V,()=111(1+x)+-,/./“f吗T=-In2T,故C正确;对于选项D,由于f(x)的定义域为(T,+8),定义域不关于原点对称,故D不正确.4. AD-=,A户Jl)=_°。Sx+M_2+sin(x+)cos(x+)故A正确;A2COS2Xllr7/.CCC令：-mi那么?Sln2尸2cos2a=-4r,4+sin2x故112+4sin(2x÷。)=-4%,其中Sin-r4-,cos-m2+4m2+4,“焉JIWI=/W*故-萼W底等T)E=喑,故B错误;_4sin2%(4+sin2幻-2cos2x2cos2x(4+sin2x)z-16sin2x-4(4+sin2x)2'令O(X)=-16sin2r4,那么。(x)在(-%0)上单调递减，且。(一力12>0,(0)=-4<0,存在唯一的x°(-：,0)使=o,且当-%水照时，(x)>0,f'(x)>0,f(x)单调递增，当b<KO时，(x)<0,f,(x)<0,F(X)单调递减,故C错误；e=三三舒。在Q加恒成立，力在(0,上单调递减,故D正确.应选AD.5 .AC由2()+f()=inx得x>0,那么xf'(x)+F(x)里，X即xf(x)'¥，设屋力=xF(x)(x>0),那么g，(x)号,令g'(x)>0,得AT>1,令g(x)<0,得O<K1,即g(x)=M(力在(1,+8)上单调递增,在(0,1)上单调递减，故当A=I时,函数g(x)="(x)取得极小值,极小值为g(D=f(l)总应选AC.6 .C设直线1与曲线F(X)=In(广1)相切于点A(x,%),直线1与曲线g(x)=ln(e%)相切于点6(x2,y),VF(X)=In(户1),.,.f,()=-,由f,x)-1=ky可得,那么y=()=In(x+l)=-InA,即点力,Tnk),将点A的坐标代入直线1的方程可得TnA=A詈+仇可得ZFbInbl，.g(X)=In(e?x)=2+InX,；/()=%由g,可得A,2=p那么yi=gx=2-nki即点&2-lnk),将点8的坐标代入直线1的方程可得2-InA=A/f/H-1,AI-In联立可得A=2,Z=l-ln2=ln.应选C.7 .ACD令(x2-l)2-l+A=O,得*(x2-1)2-1,令g(x)=(2-l)2-I,当-l或x21时,g(x)=X-iSx+2,当T<jK1f,g(x)=-.当OWKI时,由g(x)=f-V,得g'()=43-2=2x(2T),当x(,日)时,g'(x)<0,g(x)单调递减,当x俘，1)时,g'(x)>0,式力单调递增,所以g(x)有极小值,为/苧)=3，当x21时，由gx)=x2»x+2,得g,(x)=4x-6=2(2t2-3),当*£(1,手)时,g'(x)<O,g(x)单调递减,当x(y,+8)时,/（八）>0,g(x)单调递增,g(x)有极小值,为4日)=一易知g(x)为偶函数,所以可作出函数g()的大致图象如下图：由图可知，直线片-与片g(x)的图象可以是2、4、5、8个交点.即存在实数人使得函数恰有2、4、5、8个不同的零点.应选ACD.8 .答案2,6解析当x2时,函数F(X)的图象的对称轴为直线下a,F(2)是函数F(X)的最小值，a22.当x>2时，F(x)=rJm10,F'(X)=令f,(x)=0,得x=e,InxInX当xe)时,尸(力<0,函数F(X)单调递减,当x(e,+8)时,/()>0,函数F(X)单调递增，,Ac)是函数的极小值，F(2)是函数F(X)的最小值，F(e)2F(2),即Ae)=e+a+10>(2-a)2+et解得-la6.综上,2a6.9 .答案(-8,1解析对于函数ZU)”其导数为3=3VT,当Kq或彳>当时,/(切>0,当一*X当时,F'(x)<O,所以/U)一定存在单调递增区间,假设无论七取何值,函数F(X)在区间(-8,+8)总是不单调,那么=(2a-l)A+3a-4不能为增函数,所以2a-l0,解得吟10 .答案(-8,-I)U(I,+8)解析构造函数g(x)W段,该函数的定义域为(-8,O)U(0,+8),因为函数/U)为偶函数，所以g(r)二等二年=g(x),所以函数g(x)为偶函数.易得(-)X，/)x2f(x)2xf(x)xf(x)-2f(x)当x>0时,W(x)-2F(x)>0,那么g(x)>0,所以函数g(x)在(0,+8)上为增函数，因为F(D=I,所以g爷=1,由f(x)>V可得詈>1,即g(x)>g，所以g(x)>g(l),所以x>l,解得K-I或x>.因此,不等式>2的解集为(-<×>,-i)u(i,+8).11 .解析(1)易得函数F(X)的定义域为(0,+8).对函数Fa)求导得r,(x)-ax.X当a0时，/(力>0恒成立,即fx)在(0,+8)上单调递增；当a>0时,令r>o,得O<X-,a令f"(x)<0,得x>-fa故)在(,上单调递增,在(¥，+8)上单调递减.综上，当aWO时，F(力在S,+8)上单调递增；当a>0时，/U)在(0,乎)上单调递增，在,+8)上单调递减.证明：当衣1时，F(x)=ln尸工f+l,f,(x)x,2XX此时f(x)在(O,D上单调递增,在(1,+8)上单调递减，F(X)极大tf=f(l)=，0,又F(e)<O,不妨设x<xt那么有O<x<l<令r(x)=f(x)-F(2-),XG(0,1),那么f,(x)=f,+r(2-x)=I+i贮斗邛.X2-xx(2-)当XJ(0,1)时,P(x)>0,F(x)单调递增，Vjt1(0,1),F=rU)-2-)<F(l)=0,(x)<(2-),又V(x)=(x2)=0,f(x2)<F(2-m),Vx2>l,2->l,f(x)在(1,+8)上单调递减，.Xi>2-Xy即xi÷2>2.12 .解析(1)由题意可设点尸的坐标为(X,%+竽)U>0),易得直线如的方程为x-y=0,那么点P到直线尸产O的距离为匹翼=ll=4,22X，因为的造价为5万元g米,/W的造价为40万元/S米，所以力=540£=5G+§(x>0).(2)因为F(X)=51+±)才>0),所以于(小5(1)当空令F'(x)=0,得下4,列表如下：X(0,4)4(4,+8)ffx)-0+F(X)单调递减极小值单调递增所以当=4时,函数Fa)有极小值,也是最小值,最小值为f(4)=5X(4+汾=30.故当=4时,总造价最低,最低造价为30万元.13 .解析(1)由题意得，F'(x)&+Zj=史"x>0.XX函数F（X）:alnBu+CgWo）有极小值，.b>0,尿0,f（x）的极小值点为-£D（2）证明：由（1）知,炉-乡,4ac-b2a,4ac-b2#a-=l-)+a-4abJ4a1/J=an(一丁)a+c+a-c+bJ4a=aln(?)+SMln()+H!)2令f=&Lru+">6那么g（D=hi令g'（z）=o,得4（负值舍去），.”*）在（o,苧）上单调递减,在停+8）上单调递增，；以力）24W=ln（当）+：>0.Va<0,：ag（力<0,.研乐一.4a解题模板利用构造法解决含有两个变量的不等式问题时，常将两个变量化为同一形式,将此形式用一个新的变量表示，通过换元构造一个新的函数，进而解决问题.如此题中：Hn（-9+旨”ln（-Q）2,将两变量a、6化为的形式,构造函数解决问题.