控制工程基础第5章频率域方法.docx

第五章频率域方法教学时数：12学时教学目的与要求：1 .正确理解频率特性的概念。2 .熟练掌握典型环节的频率特性，熟记其幅相特性曲线及对数频率特性曲线。3 .熟练掌握由系统开环传递函数绘制系统的开环对数幅频渐近特性曲线及开环对数相频曲线的方法。4 .熟练掌握由具有最小相位性质的系统开环对数幅频特性曲线求开环传递函数的方法。5 .熟练掌握乃奎斯特稳定判据和对数频率稳定判据及其它们的应用。6 .熟练掌握稳定裕度的概念及计算稳定裕度的方法。7 .理解闭环频率特性的特征量与控制系统阶跃响应的定性关系。8 .理解开环对数频率特性与系统性能的关系及三频段的概念，会用三频段的分析方法对两个系统进行分析与比较。教学重点：频率特性、典型环节的频率特性、系统开环频率特性、频率稳定性判据、系统闭环频率特性与阶跃响应的关系、系统开环频率特性与阶跃响应的关系。教学难点：傅立叶变换与频率特性的联系以及频率特性的求法§5-1频率特性一、控制系统在正弦信号作用下的稳态输出输入信号：r(0=Arsint其拉氏变换式：RG)=4”,s+SCBDC(s)=>i+J=Is-sis+JCOS-jCD拉式变换得：c(r)=XCies't+(DejM+Be-i<a)=(r)+()/=I其中：D=¢3X餐%(s-j),=<>(j)×j=鹭到A,e"片词同理：B=也竺L4J皿勺2r将B、D代入(5-5)则= (j)Ar cos(t + Z(j)-)小。(a)|dy<w+Z¢(y<y)-J<ar+Z¢(yd>)q(f)=j-Ar(e2+e=Aesn(t+)=(j(f>)sin(3+N,(0).OO)-Acsin(6X+)式中：4=M(j0)|4=Z(j)从式(5-6)看出，线性定常系统，正弦信号下，输出稳态分量是和输入同频率的正弦信号。二、频率特性的定义线性定常系统，在正弦信号作用下，输出的稳态分量与输入的复数比，称为系统的频率特性(即为幅相频率特性，简称复相特性)。¢(S)I=(j=Moo)IeU网洌频率特性表达式为：'儿=W')1V71G(s)=-例子以RC网络为例其传递函数A+1T"wr-j-UcXJ1O图51RC网络频率特性G(网= G(S)I=三、频率特性的几种表示方法1 .幅频特性、相频特性、幅相特性G(j)=G(j)NG(j=A(o)/WOT840)G为系统的幅频特性,。(°为系统的相频特性12 .对数频率特性对数频率特性曲线又称伯德（Bode）图，包括对数幅频和对数相频两条曲线对数幅频特性一=201g4（°）必恒助（co6w（lg对数相频特性：丫、）v0730-y20-4io-424 610204080L倍124610204080100s,1倍TG他I十倍频程十倍频程I十倍频程-f-I。-"A十倍频程广:_n_.O-十倍频程一卜十倍频程_-30-图5-4对数坐标刻度图注意：纵坐标是以幅值对数分贝数刻度的，是均匀的；横坐标按频率对数标尺刻度，但标出的是实际的值，是不均匀的。这种坐标系称为半对数坐标系。在横轴上，对应于频率每增大10倍的范围，称为十倍频程(dec),如1T0,5-50,而轴上所有十倍频程的长度都是相等的。为了说明对数幅频特性的特点，引进斜率的概念，即横坐标每变化十倍频程(即变化)所对应的纵坐标分贝数的变化量。§5-2典型环节的频率特性一、比例环节(放大环节)G(j)=K=Ke尚幅频特性：4°)=相频特性：夕(助=°对数幅相特性：201gK图5-5比例环节的频率特性曲线二、积分环节传递函数:G(三)=L1-卢G(jco)=e2幅相特性：相频特性是一常值：269 = oo图56积分环节的幅频、相频、幅相特性曲线对数频率特性三、惯性环节(一阶系统)传递函数：G(三)=一75+140+1 y(TsY+l幅相特性：G(j)=对数频率特性1.(O)=20IgA(O)=/1=-20Ig2tw2+lT2ty2+lco)=NG=-tan-lT69当5<<DO当o5»1,L()=-201gT图59惯性环节的对数频率特性曲线四、振荡环节(二阶系统)G(三)=,，7G(jc) = 频率特性：传递函数：S+2js+n(汝)2+2nj+;(可一步)+j1n1 .幅频特性、相频特性、幅相特性A（69）=-叫2+（2血神图511图511幅相特性图谐振频率：m=A"2谐振峰值:4,（叱）=12时-2图5-12振荡环节的幅相特性2 .对数频率特性20lgGdB囹5-14振荡环节的对数幅相特性图五、微分环节六、一阶微分环节G(三)=ZS+1G(Jty)=j=+IejunT七、二阶微分环节/2/G(三)=+2。+1Jl¾JG(Ja)=(幽+27(幽+l=12 GJT 寂A() = G(j) =SKn)L(d) = ZG(jt) = tanG(M =Ji J(&y+-+tan-l(T(y)j/、26)八、一阶不稳定环节G(三)F非最小相位环节定义：传递函数中有右极点、右零点的环节（或系统），称为非最小相位环节（或系统）。由图518看出，一阶不稳定环节的幅频与惯性环节的幅频完全相同，但是相频大不一样。相位的绝对值大，故一阶不稳定环节又称非最小相位环节。九、延迟环节延迟环节输入输出关系为,(,)=(，_)G(三)=黑=LA(ty)=lco)=ZG(j)=-LW)=O图519(a)延迟环节的幅相曲线§ 53一、开环幅相特性曲线图5-19(b)延迟环节的对数频率特性曲线 系统的开环频率特性设系统开环传递函数由若干典型环节串联:G(S) = G(S)G2(s)G3(s)G(W)=IJ g(a)|开环频率特性：1.开环幅相特性曲线当G(STa时系统开环传递函数不包含积分环节和微分环节图5-20系统开环幅相特性曲线(2)当系统开环传递函数分子有阶微分环节，其开环幅相特性曲线出现凹凸:Kn(川+1)G(s)=Is+1)1=1图5-21取11F1,n=3时系统开环幅相特性曲线(3)当开环传递函数有积分环节时，频率趋于零时，幅值趋于无穷大时:G(三)=TTJ2.系统开环幅相的特点当频率3-O时，其开环幅相特性完全由比例环节和积分环节决定。当频率-8时，若n>m,G(j)|=0相角为(11rn)冗/2。若G(三)中分子含有S因子环节，其G(ja)曲线随3变化时发生弯曲。G(j)曲线与负实轴的交点，是一个关键点。二、开环对数频率特性曲线的绘制系统开环对数幅频与对数相频表达式为“助=20IgIGo砌=20(77)=201g|阿(J砌1.=20IglGGa)I=20ig11G(j<y)=之20IglG0砌r=l»=1乙(0)=例(0+必(0)+。3(。)+94(。)系统开环对数幅频等于各环节的对数幅频之和，相频等于各环节相频之和。10G(三)=例5-1系统开环传递函数：(0.15+1)(5+1)绘制系统开环对数幅频与相频特性曲线。解：G(三)=10(0.15+1)(5+1)0.k+l5+1开环由三个典型环节组成，每个环节的对数幅频与相频特性均是已知的。将各环节的对数幅频与相频曲线绘出后，分别相加即得系统的开环对数幅频及相频。图5-23开环对数幅频及相频例5-2G(三)=W+2)s(s+l)(s+20)55+110.055+1(0.5s÷l)五个基本环节:将式写成典型环节之积找出各环节的转角频率画出各环节的渐近线在转角频率处修正渐近线得各环节曲线将各环节曲线相加即得波特图§5-4频率稳定判据、奈奎斯特稳定判据G(三)M(三)M(三)H(三)=加2($)M(s)R(三)图527反馈控制系统G(s)/(三)=M怨2(?开环传递函数：NI(三)N2(s)闭环传递函数:O(S) =G(S)1 + G H(S)Ml(s)N2(s)Nl(s)N2(s) + Ml(s)M2(s)令:F(S) = I+ G(s)H(s) =M(S)N2 (s)Nl(三)N2(s)+M(三)M2(三)fl(s-z,)尸(三)=H11(-)将F(三)写成零、极点形式，则：曰辅助函数F(三)具有如下特点：其零点和极点分别是闭环和开环的特征根。其零点的个数与极点的个数相同。辅助函数与系统开环传递函数只差常数Io1.幅角原理If) 由：/(s) = 一(5-)如果封闭曲线口内有Z个F(三)的零点，有P个F(三)的极点，则S依匚顺时针转一圈时,在F(三)平面上，F(三)曲线绕原点反时针转的圈数R为P和Z之差，即R=P-Z若R为负,表示F(s)曲线绕原点顺时针转过的圈数。(三)=z(5)-z(Pi)(三)一一2"图528S与F(三)的映射关系2.奈式判据若开环传函G(三)"G)在S的右半平面有P个极点，则为了使闭环系统稳定，当口从-8÷oo变化时，G(a)"(a)的轨迹必反时针包围gh平面上的(一1+川)点N=P次。即:Z=P-N=0S闭环传递函数在S右半平面的极点数。(E(三)的零点数)P-开环传函在S右半平面的极点数。N-G(")"(")绕(-1+/0)点逆时针转的次数。若为顺时针转则应为z=+N例56已知系统开环传递函数：G(s)=-f试应用奈氏判据判别K=O.5和K=2时的5-1闭环系统稳定性。分别作出K=O.5和K=2时开环幅相特性曲线K=O.5时，闭环系统不稳定。K=2时，闭环系统稳定。二、对数频率稳定判据若开环系统稳定(P=0),则闭环系统稳定的充要条件是:在口>(WB的所有频段内，例。)正负穿越一180。线的次数差为0。注意：在开环对数幅频特性大于零的频段内，相频特性曲线由下(上)往上(下)穿过负1800线为正(负)穿越。N+(N-)为正(负)穿越次数，从负1800线开始往上(下)称为半个正(负)穿越。(a)(b)图534幅相曲线S)及对应的对数频率特性曲线(b)系统闭环稳定的条件是：在开环对数幅频2°囿G("0>°的频段内，对应的开环对数相频特性曲线对一4线的正、负穿越次数之差为P/2。即：N+-N_=P/2o产为系统开环传递函数位于S右半平面的极点数。例58已知系统开环传递函数G(三)H(三)=-试用对数判据判别闭环稳定性。S(MS+1)解：绘制系统开环对数频率特性如图。由开环传递函数可知P=0,N=N-N=()-()=,所以闭环稳定一C例510已知系统开环传递函数，试用对数判据判别闭环稳定性。解：绘制系统开环对数频率特性如图闭环不稳定。闭环特征方程的正根数为：Z=P-2=0-2（-l）=2三、稳定裕度衡量闭环系统稳定程度的指标。相位裕度：极坐标图上IGO。）”（Oy）I=I的矢量与负实轴的夹角对数坐标图上2°lgG7=°处力初与Tr的差。y>0系统稳定（对最小相位系统）。模稳定裕度：h=对数图上例。）=T80。时的-L（4）,KKdB）>0系统稳定（对最小相位系统）片1800+N(G(m)"(W)一般要求:pm40h2201og6JB§5-5系统闭环频率特性与阶跃响应的关系。=3%=旦”图示单位反馈系统的闭环传递函数为1+G(s)1+G(jo)图5-41由开环幅相特性曲线确定闭环频率特性一、等M圆图和等N圆图根据开环幅相曲线，应用等M圆图，可以作出闭环幅频特性曲线，应用等N圆图，可以作出闭环相频特性曲线。jco) M (ty)e,a =G(JM1 + G(网令M为常数，得到等'1圆图。2 +v,2N = tg() =£ m + w+v因此:1、 u+ 2)储+14/V2令N为零，得到等N圆图二、尼科尔斯图(MhNichols)如果将开环频率特性表示为：G("y)=A(3)sM"。)财L1+4®)"囱zsn()-a()201gA®)=201gLHJ)作变换得：sma(o)2。IgA(G)=201g巴返里亟叵!''M-2-1由等M线和等线组成的图，称为尼科尔斯图。如图545所示:282420321 I l 20 Ig f=0.25 dB1612§ 8 47 0-4-8-12-18-2.0(0.794)望-0.5(0.944)-4.0 (0.631) -6.0 (0.501)-10.0 (0.316)-15.0 (0.178)-280-240-180-120-80-400图5-45尼科尔斯图三、利用闭环幅频特性分析和估算系统的性能在已知闭环系统稳定的条件下，可以只根据系统闭环幅频特性曲线，对系统的动态响应过程进行定性分析利定量估算。定性分析：零频的幅值M。反映系统在阶跃信号作用下是否存在静差。谐振峰值反映系统的平稳性。带宽频率例反映系统的快速性。闭环幅频M(O)在例处的斜率反映系统抗高频干扰的能力。§56开环频率特性与系统阶跃响应的关系一、低频段低频段通常是指2°igG("y)的渐近曲线在第.个转折频率以前的区段，这段的特性完全由积分环节和开环增益决定。二、中频段中频段特性集中反映了系统的平稳性和快速性。图5-53中频段对数幅频曲线三、高频段系统开环对数幅频在高频段的幅值，直接反映了系统对输入高频干扰信号的抑制能力。高频特性的分贝值越低，系统抗干扰能力越强。三个频段的划分并没有严格的确定准则，但是三频段的概念，为直接运用开环特性判别稳定的闭环系统的动态性能指出了原则和方向。重点掌握：1、频率特性的定义及系统在正弦信号作用下的稳态输出。2、绘制频率特性图（Nyquist图和Bode图）。3、根据Bode图求传递函数。本章知识点及主要线索定性三频段