数项级数和函数项级数及其收敛性的判定.docx

学号_数项级数和函数项级数及其收敛性的判定学院名称：数学与信息科学学院专业名称：数学与应用数学年级班别：姓名：指导教师：2012年5月数项级数和函数项级数及其收敛性的判定摘要本文主要对数项级数中的正项级数与函数项级数收敛性判定进行研究，总结了正项级数和函数项级数一致收敛的部分判别法，并且介绍两种特别判别法：导数判别法和对数判别法。关键词：数项级数；正项级数；函数项级数；一致收敛性；导数判别法；对数判别法.SeveralseriesandFunctionofseriesandthejudgmentoftheirconvergenceAbstractInthispaper,theauthormainlydiscussestwoseries:SeveralseriesofpositiveseriesandFunctionofseries.Summarizingthepositiveseriesandfunctionofthepartoftheuniformconvergenceseriesdiscriminantmethod.Anditpresentstwospecialdiscriminantmethod:derivativediscriminantmethodandlogarithmicdiscriminantmethod.KeywordsSeveralseries;Positiveseries;Functionofseries;uniformconvergence;derivativediscriminantmethod;logarithmicdiscriminantmethod前言在数学分析中，数项级数和函数级数是全部级数理论的基础,而且数项级数中的正项级数和函数级数是基本的，同时也是十分重要的两类级数。判别正项级数和函数级数的敛散性是研究级数的主要问题,并且在实际中的应用也比较广泛，如正项级数的求和问题等。所以探讨正项级数和函数级数敛散性的判别法对于研究级数以及对于整个数学分析的学习与理解都有重要的作用。1正项级数及其收敛性一系列无穷多个数Ml,2,心，以写成和式U+u*+u+*u+123n就称为无穷级数，记为£如果（二123,）,那么无穷级数£就称为正项n-ln-l级数。若级数£匕的部分和数列Cj收敛于有限值S,即aIimS=Iim£=S,©©A则称级数£u收敛，记为r«1£gUn=Siw=1并称此值S为级数的和数。若部分和数列S"发散，则称级数£“发散。当级数收敛时，n-1又称丁S以=%j%2+,+3+A三÷1为级数的余和。1.1 几种不同的判别法.11正项级数收敛的充要条件部分和数列有界，即存在某正数M,有<Mo例1力。2(1+«)(lfa>(l+)分析：本题无法使用根式判别法、比式判别法，或比较判别法以及其他的判别法进行判断，因此选用充要条件进行判断。所以级数收敛.定理1.12柯西收敛原理1级数，收敛的充要条件是：对任意给定的正数E,总存在M使得当/N时，对于任I意的正整数P=123,都成立的U+U+U<e对于正项级数工由于”>0,因此，只要+<£即11.定理1.13比较判别法设£“和£匕是两个正项级数，如果存在某正数N,对一切n>N都有必<小,那么，En=（1）若级数£”收敛，则级数£”也收敛;（2）若级数J”发散，则级数4”也发散；w-In-.即"和£K同时收敛或同时发散；。m三1n三l比较判别法的极限形式：设力和之U是两个正项级数。若Iim二=Ln1nnlnnSvn（1）当O/VI时，与同时收敛或同时发散；（2）当/=O且级数收敛时，也收敛；（3）当且发散时，也发散。1!+2!+n!u（2n）!分析：本题无法使用根式判别法和比式判别法，因此选择比较判别法进行判断所以级数收敛定理114比式判别法（若对二切>N,成立不等式二<0,则级数£收敛”尸ni=l若对一切n>N,成立不等式一>1,则级数发散明。ni=l比式判别法的极限形式：若£“为正项级数，则31例3£2-(-l)rt(3jIimnjw=Iim1n'=1级数收敛ngnng2(-i)z,-不可使用比式判别法Iimn+i=IimZi+2(4无法判断敛散性n-gUn-g因此，.当我们观察级数的一般项的极限趋近于O时，我们可以选用比式判别法或根式判别法。定理114根式判别法根式判别法的极限形式：设是正项级数，且Iim.=/,则(1)当/<1时，级数工收敛;(2)当介1时，级数£心发散。11=I定理115积分判别法设F(X)为18)上非负递减函数，那么正项级数£八)与反常积分)+"/(x)dx同时收敛或1同时发散。定理116拉贝判别法设£必是正项级数，且存在自然数No及常数r,(2)当时，级数£发散。(3)当时，拉贝判别法无法判断定理1.17阿贝尔判别法若数列>0,力0,且初为单调有界数列，级数立儿收敛，则级数£收敛。ww例44(2w-l)!u=分析：本题中的通项化)!含有阶层，但不能使用根式判别法和比式判别法进行判定，因此选用拉贝尔判别法。U-U+lIimn_n_=Iim-Hm.二当P>即尸>2,级数收敛“丹fu"78二定理1.18狄利克雷判别法若数歹J4>O,b>0,且数列0单调递减Iimo-0,又级数寸8的部分和数列有界,wf8'M=I则级数Za5收敛。n=IZSin伍2+1)分析：本题型如ZsinQR为任意函数，则可以选用狄利克雷判别法。因此，级数收敛定理1.19伯尔特昂(Bertrand)判别法若 8 = Iim 8,则nt8设Z4是正项级数，且n=1当B>l时级数Z”收敛；“1当B<l时级数Z必发散。“1定理2.20对数判别法1.2级数收敛的新方法一一导数判定法我们知道,若任意项无穷级数a+a+a+(1)的每一项的绝对值所成的正项级数ItzI+1I+1tzI+(2)的收敛的，则称原级数(1)绝对收敛。对于任意项级数(1)是否绝对收敛，可以利用正项级数的诸种判别法来对(2)进行考察.例如可以应用比较法及其极限形式，比值判别法以及根值判别法等等.本人试图提供一种新的任意项级数绝对收敛的判别法即导数判别法，它给出了任意项级数绝对收敛的一个充分必要条件，这个判别法对于判别某些任意级数是否绝对收敛非常方便。1.21导数判别法定理及推论定理(导数判别法)设"”为实数项的任意项级.令f(x)是一个是函数，对所有的正整数n力使得+)=%(力为常数且bw)且的在R出存在，那么级数绝对收敛的充ndxnn=1分必要条件是/(a)=f(a)=O.证明:此判别法的证明依赖于罗必塔法则和比较判别法原则因为由定理的假设条件知在X=a处更y存在，所以在X=a的某个领域内是可导的(显然ax2/I(X)在x=a处也连续)。又由假设条件知对所有的正整数n,f(x)必须满足nl31I先证必要性：设任意级数£原是绝对收敛的，则由/在x=a处连续知，Iima-Iimf(a+一)-Iim/(w)-f(a)、八、八n、n fsn (S.tf从而f(a)=Oo再假设Fm)=k丰0,由洛比达法则得，从而就证明了/%)=/4)=0是任意项级数£以绝对收敛，则必有至0./11从而就证明了Iim吊"Iimf,(a)=Ar(0)XfaX-.tf既有：IimiaJ=U1(。0)nfs1Z?1n因为调和级数、(儿0)也是发散的，因此油比较判别法的极限形式知级数、绝对nnnn1收敛，则必有/&)=(),从而就证明了/5)二/行)=0是任意级数£以绝对收敛的必要条n«1件。再证充分性：假设f(a)=f(a)=0,令0<p<1并讨论下列极限：Iim力*)='Iim穴X)-/9)(xa)1-Pxfa÷l'"i+a>i+Pxfa+_IimJX2lim(X-a)-p=0从而lim4r-*-J=0.)*n证明完毕，特殊的，在定理中"0,b=l时有：推论设二为是实数项的任意项级数，令G)为一实函数，对所有的正整数n使得E/(D=小且也在=o处存在，那么任意项级数£。绝对收敛的充分必要条件是"dx2nn)f(a)=f(d)=01.22特殊例子例6判断下列级数是否绝对收敛3ln(2+-)1nH2n-1r313ln(2+)解：令/(x)=-(了一2)2InX,从颁/(2+)=a,因为9nmn32ln(2+)尸=-In22)'(2)=O.由导数判别法知级数立小是绝对收敛的。9M2n=l2.1函数项级数定义定义设匕G)是定义在数集E上的一个函数列表达式：qQ)+wJx)+.+G)+.XZE(1)称为定义在E上的函数项级数,简称为函数级数.记作为£，MX)或Zu(x).MSn(X)=ZJx)称为函数项级数的部分和函数列.I若x£E函数项级数：MQ+Ja)+.+.收敛，即部分和Sao)=Jjxo)当时,极限存在,则称级数在点心收敛，Xo称为收敛点.级数(1)在D上的每一点X与其所对应的数项级数的和S(X)构成一个定义在D上的函数称为级数(1)的和函数，即IimSCa)=S(x).frf8判别法1(函数项级数一致收敛的定义)设函数级数Z(X)在区间0收敛于和函数S(X),若Ve>0,3N£N+,Yn>N,Yx£D有:=1sws”G=网G)则称函数级数J,Q)在区间。上一致收敛或一致收于和函数11.S(v)定理2.11确界判别法函数项级数G)在数集o上一致收敛于SQ)充要条件：IimsupR(x)=IimsupIS(X)S(x)=0«”成。证明(n)已知函数项级数£G)在区间O一致收敛于SQ).即“n«1V8>0,3NeN,V”>N,VxeO有：SG)-S'G)从而SUPS(X)5,G)<8,即Iimsups(x)xeD(U)已IimSUPlSa)-5,。)=0即V8>0,3NeN,Yn>N,YxeD有SUPlSG)-S,(x,<8.lVxeOxeD从而VXeD有忖B-S'<8.即函数项级数£”G)在区间。上一致收敛于S-、定理2.12柯西一致收敛准则函数级数与。G)在区间I一致收敛m-ioVs>O,37VeN,Yn>N,YpeN,YxeI有：u(x)+wG)+.+uG)<8.证明必要性(n)已知函数级数£伞)在区间I一致收敛.n«1设其和函数是S,(x)f即V8>0,3NeN,V">N,VpeNVX有SG)-S'(x)<8也有S(x)-S(<).于是w+(Q卜SG)-S(x)=S(X)-SG)+N)-S(X)SG)-SG)+s(x)-SG)<8+8=28充分性(II)：已知V8>0,3NeN,V">N,VpeN,Vxe/,有：u(x)+u(x)+L+M(X)=IS(X)-SG)所以当Pf+8时上述不等式有：sG)SG)K(%)即函数项级数£”（%）在区间I一致收敛.例7讨论函数项级数£12配.在区间Lu的一致收敛性.(7)、n+1,=1、/解应用柯l三一耳收敛准则VX£L-LlJ要使不等式即-S吁PGun(4XeXgx,+2XmPXn*In+pn+pXl+1Xn+p7w+,Xw+,+l<+n+2<+<<8n+1n+p+n+1成立，从不写式三<8解落'>?-1%N=+182-，于是v8>0,Vn>N,VpeN,VxeLlJ,有S(X)-SX)即函数级数£上XLLi在区间in.pn-1,1一致收敛.所以函数级数£r±-%+：在区间Lu一致收敛.、nn+l,n=l、/定理2.13M判别法有函数项级数MX),I是区间，若存在收敛的正项级数£。NneN,Vxeh有J加|”1GVm则函数级数£G)在区间/一致收敛.nn=1证明正项级数二收敛根据柯nnlnVVNeN,有aaa+由已知条件，Vx£/,W12(x)+U<a+a+a<t即函数级数光IG)在区间I一致收敛./1-1例8判断函数项级数£一在X£Cr5上是否一致收敛.网W-D!解vX-力,有<(-1)!.AnIar½÷(-1)!r_令a,贝UIim+i=Iim=Iim=O.n(7?-1)!nT6unT6n,nnTS"所以£,一是收敛.由M判别法函数项级数£,一在xe-7上一致收敛.(/)!(/)!定理2.14狄利克雷判别法若级数£心旬瓦满足如下条件：n三I函数列Ia(X)对每个Xe/是单调的且在区间/一致收敛于0.”函数级数£b(X)的部分和函数列3(X户在区间/一致有界，则函数级数Mn£aQb(X)在I一致收敛.nnnl证明已知函数列t(X)一致收敛于0即Vs>0,3NeN,Yn>N,Vxe/有，<£.又已知函数级数与的部分和函数列3(-)在区间I一致有界。I即3M>0,YteN,VxeI,有18?(X)VM,从而有b(x)+h2(x)+.+b(X)I=B1(i-B(X)<忸(x)+(x)<2M根据阿贝尔变换，VXeI有)b(X)+a(x)b(x)+LanP(X)hx<IMa(X)于是Vs>0,3NeN,V">N,VpeN,Vxe/,有a(X)b(x)+aG)bG)+L+ax)bG)0÷ln÷l即函数级数7,Q)EG)在区间/一致收敛.M=I例9证明函数级数JCoS竺在区间52兀5'0<5<7U一致收敛.H=I证Vxe5,2兀一5，VeNCOSH=1£x2coskxsinA-IX22sinA=I，£2sin>.1),一Jt=I2cink+cin-IrrXin sl C 21,1 <二 Msin sin 5sin-jt-snn+xI2JC.x2sin2即函数级数£COS心的部分和函数列在5,2兀5一致有界,而数列;j单调减少趋近于E0。(当然在十，2兀-51也是一致收敛于0)根据狄利克雷判别法，函数级数£在区间5,2兀-5一致收敛.nn«1定理2.15比式判别法Urt仔仕止第双q,M便伶：.定理1设“(X)为定义在数集。上正的函数列，记夕(X)=q(x)<q<yu(R)VAf对任意n>N,xeD成立,则函数项级数£(x)在。上一致收敛.n证明易见UW-A-IVIU(X)V(X)UXjn-77-1.f+u(x)一q(x)q(x)qx)u(x)VqnN+MU(x)U(x)Nn-12nnn-2而等比级数£4”MSW当公比-1<q<1时收敛，从而由函数项级数一致收敛型的优级判i三jV别法，£3在。上一致收敛.”n«11，、一八'一定理设为定义在数集。上正的函数歹列，uq,1u"X：)”(0v0且&)在。上一致有界，则函数项级数£/在。上一nn1致收敛.定理2.16根式判别法设£如为定义在数集O上的函数列，若存在在整数N使得w<q(o<q<1),使得nn«1Yn>N,xeD成立,则函数项级数£“(x)在。上一致收敛.n1证明由定理条件，<4“对V6=N,xe。成立，而几何级数£的收敛，由优级数判别法知，函数项级数寸在。上一致收敛.=1例10证明函数项级数立功在区间-1+53(其中0V3V1)一致收敛.“0证明Vxe(0,1)有S(x)=£xk="Xnk0S(x)=IimS(X)=一nfg11,，.c/、Z7z、1*XnXn.小一S(X)I=-(X)=，对vxe1+5-5,对V8>O要使不等式S(X)S(x)=Rx)=曰<0一'上<£成立.从而要不等式o*<8解得>44出取N=8ln(l-8)In s8ln(l-8) .于是D0 ,存在In s8ln(l-8;-l+8,l-bW:5(Q-5G)=RQlV£成立.参考文献1欧阳光中，朱学炎等，数学分析M,北京：高等教育出版社，20072夏学启.贝努利数的简明表达法J.芜湖职业技术学院学报，2006,2.3胡适耕，张显文编著.数学分析原理与方法M北京：科学出版社，2008.4张雅平，关于正项级数敛散性的两种判别方法，大同职业技术学院学报，2005.6.5Harp,positiveseriesconvergenceofscattereddiscriminantact,HetaoUniversitypress6杨钟玄，关于正项级数敛散性判别法及其联系，天水师专学报，1999年第3期.7刘羽,正项级数敛散性的判别法研究，网络财富,2009.12.8陈金梅事级数求和法例谈J.石家庄职业技术学院报，2005.9.致谢我在*师范大学教育下经过四年的学习，使我在做人做事各个方面得到了很大的提高和锻炼。在*老师的热心帮助和耐心的指导下我的毕业论文已经顺利通过，她帮我批阅了很多次，并且提供了这方面的多种资料和很好的意见，我也学会了写作毕业论文的三个步骤：怎么样开头，怎么样继续，怎么样结束。我非常感谢*老师的热心和细心的帮助，也非常感谢我系的帮助过我的各位尊敬的老师，在他们的教育下，是我在各方面得到了很大的成就，为以后的工作和生存打下了良好的基础。2012年5月与*师范大学