正方形半角模型.docx

正方形半角模型13个结论，学会了，初中几何你就开窍了正方形半角模型是非常经典的几何模型，一直都是出题人比较喜欢的考点。因为这个模型的结论太多了，大家可以简单了解一下它的发展史：由最初的三角形可以过渡到四边形，进而也可以和圆结合；在证明方面由最初的全等三角形慢慢地转向相似的证明，其中结合了大量的倒角计算；在复杂度方面，涉及到的辅助线有最开始的截长补短，到后来直接出现的四点共圆的辅助线构造，相似的构造；在综合性方面，最开始只是全等的三条线段简单地加减证明，中间会涉及到结合勾股定的带根号的线段数量关系，或者是含有线段平方的数量关系。总得下来，就是这么模型真的十分全面，基本上包含了初中几何考点的大部分内容，对于初三复习的同学，如果可以搞定这个模型，在中考中真的是如虎添翼！因为这个模型包含了全等.相似.辅助线.四边形.三角形.圆等热门考点，如果可以理解吸收，那就基本上把几何复习得差不多了，祝大家中考顺利！大家可以认真观看图片内容，从中获取免费正方形半角模型练习题*方式，记得点赞,*、关注哦！正方形半角模型13个结论如图，己知正方形力灰、力，点£、分别在8C、CDh,LEF=45o结论I：BE+DF=EF§证明:延长EA至G,ftBG=DFo先证明AzW产NJ8G(SAS),推导出水;二RNGAE=NEAF750,在证明AG/£三AQ4£(SAS),即可证明5E+0尸=£尸。结论2：£4平分ZBEF,F4平分，DFE；证明：由结论1可知：MiAEwbFAE、所以NGE,4=FE4,可证£4平分/8£产。同理可证：£4平分/。尸£结论丸6皿,+%附=$34证明：由结论1可知:AGAE "FAE、MDF MBG所以SJHt.+Szlw=S/心。结论“(W=2/8;证明：由结论I可知：BE+DF=EF,因为C(”=CE+CF+EF,所以Cf、g=CE+CF+BE+DFCD+CB=2AB结论5：BH=BA;证明：由结论I可知：SGAE=FAE,因为GE=£7、证明：如图4,作,40L4N,AQAN,连接0八先证明A"W三J8Q(S/S),推导出480ZZ)N=45。，QB=DN在证明A0fM三ANAM(SAS),推到出0W=MV,在祈W中：BM2+QB2=QM2»BPBXf2+DNz=tNz.证明：通过倒角证明两个角相等，推导出相似。因'为,MBE=ZNAM=45o,ZAMN=NBME,所以MMESA4MN同理，其他结论都可以进行证明。结论8：EF:丘MN、BE+DF=>/IMNcE;五DN,CF=6BM（见图S）；证明:连接4C,因为ZEAC+ZCzfF=450,KDAN+ZCAF=45。,所以SlC=NDRN,因为ACE=ADN=45°,所以&4ECS&4NO.因为&45乙4尸£,所以任=旦=&.ANMN所以EF=0A4N,BE+DF=2V,CE=41DN,同理可证MBMSMCF.所以CF=历BM-结论9：ABBNDM（见图3）；证明：因为DM4sA84V,DABN所以=DMAB所以研=3N0。结论10：/、N、£、8四点共圆；4M、F、。四点共圆；（F、N、M.£四点共圆；证明：因为结论7已证ABMESMMN所以44NM=ZBEM、所以弦48所对网周角相等，所以4N、E、8四点共留，同理可证4A/、F、。四点共圆；乂因为4N、E、8四点共网48£=90。,所以/E为网的直径，所以ZJN£=90。，所以FNE=乙FCE=90°.所以C、尸、N、M、£四点共圆。11：1-AIMF为等腰直角三角形;证明:因为/、N、E、B四点共圆,ZABE=90,所以NE为圆的直径，所以乙4N£=90。.因为N£4N=45。，所以A4NE为等腰H角三角形；同理可证MMF为等腰Fi角三角形。证明：因为MMESADFN,由结论8可知CE=41DN.CF=Obm,所以CEC产=25石。/Q结论13:当加/»时，”取得最小值，Sw,取得最小值,、取得最大值;证明：构造&4£尸的外接圆，圆心为O,连结。£、OFO取小的中点H,连结OH.CH./£/尸=450,.ZEOF=90°,斯的中点为，OH=HE=HF、议OH=HE=HFX：.OA=OE=OF=叵x.CH=工.OA+OH+/C=2x+2xAC.4(KH、C四点共线时,Q+O"+"C取到最小值，即X取到AH、值。此时直线AH垂直平分线段EFM打二2x取得最小值。'SMH*WSM阳华SM”卜且Sm»，.BE=DF,SW=LEF*AH=，EF*AB，.Sw此时取得最小值，"SMR/=StTIj1,47>2SviAZ,此时取得最大值。