无锡外国语学校九年级复习相似三角形（辅助线专题）.docx

无锡外国语学校相似三角形复习（辅助线专题）一.填空题（共10小题）1.如图，在梯形ABCD中，ABZ/CD,AB=3,CD=8,点E是对角线AC上一点，连结DE并延长BFECDC2 .在aABC中，D为AB的中点，E为AC上一点，CE=LkC,B3则OE=cm.RC3 .如图，矩形ABCD中，AB=4,AD=6,点E在边AD上，且AE：发，沿AB运动到点B停止.过点E作EFlPE交射线BC于点F.则在点P运动的整个过程中，点M的运动路径长为.RCD交于点O,BE=Scm,ED=I:2.动点P从点A出设点M是线段EF的中点，交直线AB于点F,若竺=2,任=AEDBFC4.如图，已知点D为Aabc中AC边的中点,AEBC,ED交AB于点G,交BC的延长线于点F,若需二3，BC=8,则AE的长为.EABCF5.如图，DE是AABC的中位线，F是DE的中点,CF的延长线交AB于点G,则AG：GD的值为6 .如图，在DABCD中，E为CD上一点，DE：CE=2:3,连接AE、BE、BD,且AE、BD交于点 F,则 SzXOEF： SE8F: SzkABF=7 .己知：如图,在AABC中，AB=I5m,AC=I2m,AD是NBAC的外角平分线,DEAB交AC的延长线于点E,那么CE=m.&如图，AD是BC边上的中线，F是AD上一点,CF的延长线交AB于点E,喘多AF而则落9 .如图，ADE绕正方形ABCD的顶点A顺时针旋转90。，得aABF,连接EF交AB于H,则下列结论正确的是AE_LAF：EF：AF=&：1：AF?=FHFE；©FB：FC=HB:EC.10 .已知：如图，AD、BE分别是AABC的中线和角平分线，AD±BE,AD=BE=6,则AC的长等于A二解答题(共9小题)11 .已知：如图，点E、F、G分别在AB、AC、AD±,且EGBD.FGCD.胆上.四边BE3形BCFE的面积比三角形AEF的面积大17.(1)求证：EFBC；(2)求ZXABC的面积.12 .如图所示，矩形ABCD,折叠矩形的一边AD,使点D落在BC边的点F处，已知折痕AE=55cm,且2G=W.FC4(1)求证：ZAFBsFEC;13 .如图，AEBFCGDH,AB=B（2N,求BM与CG的长.三DH14 .如图，一条直线与AABC的边AB、请证明点D是AB的中点.：=CD,AE=12,DH=16,AH交BF于点M,交CG于£AC及BC的延长线交于D、E、F三点，若AE=BF,ECCF二BCis.如图，在Aabc中，BE：EC的值.ABEC16.如图，在GABCD中,的值.曰BC.FAF：FC=I:2,D是BF的中点，连结AD并延长交BC于点E,求E是AB的中点，在AD上截取AF=LFD,EF交AC于点G,求越2ACD17 .如图，在AABC中，E,F是边BC上的两个三等分点，D是AC的中点，BD分别交AE,AF,AC于P,Q,D,求BP：PQ：QD.18 .如图，已知AABC中，AC=BC,F为底边AB上一点，BF：AF=m：n(m>0,n>0),取CF的中点D,连结AD并延长交BC于E.求BE：EC的值.19 .如图1所示，在aABC中，点O是AC上一点，过点O的直线与AB,BC的延长线分别相交于点M,N.【问题引入】(1)若点O是AC的中点，M=I,求0的值；BM3BN温馨提示：过点A作MN的平行线交BN的延长线于点G.【探索研究】(2)若点。是AC上任意一点(不与A,C重合)，求证：幽典1；MBNCOA【拓展应用】(3)如图2所示，点P是AABC内任意一点，射线AP,BP,CP分别交BC,AC,AB于点D,无锡外国语相似三角形练习（辅助线专题）参考答案与试题解析一.填空题（共10小题）1 .如图，在梯形ABCD中，ABZ/CD,AB=3,CD=8,点E是对角线AC上一点，连结DE并延长交直线AB于点F,若妪二2,4BFEC【解答】解：VAB=3H2,BFAF=6,BF=3,VABCD,AEFCED,.AEAF*ECrDC,.AE63瓦加=T故答案为：W42 .在AABC中，D为AB的中点，E为AC上一点，CE=1C,BE、CD交于点O,BE=5cm,则OE=1.25cm.【解答】解：如图，过D作DFBE,那么DF就是三角形ABE的中位线,ADF=-BE,AF=EF2又VCEiAC3CE=EF0E就是三角形CDF的中位线,0E=lF=iE=1.25cm.24故答案为1.25.3.如图，矩形ABCD中，AB=4,AD=6,点E在边AD上，且AE：ED=I:2.动点P从点A出发,沿AB运动到点B停止.过点E作EF±PE交射线BC于点F.设点M是线段EF的中点,则在点P运动的整个过程中，点M的运动路径长为4当P与A重合时，点F与K重合，此时点M在H处，当点P与B重合时，点F与G重合,点M在N处，点M的运动轨迹是线段HN.在RtAaeb中，ae=2,ab=4,BE=JAE2+AB&2粕,VAEBEBG,.BE-AE*'bgbe,/.BG=2爪X2遥=IO,2VBK=AE=2,KG=BG-BK=8,.MN=LKG=4,2点M的运动路径的长为4.故答案为4.4.如图，已知点D为aABC中AC边的中点，AEBC,ED交AB于点G,交BC的延长线于点F,若幽二3，BC=8,则AE的长为4.【解答】解：AEBC,AEGBFG,AED<CFD,AE-AGj,AE-AD=L'*BFBGTCFCD即AE=CF,又BC=8,-AE_1*8+AE3AE=4.故答案为：4.5.如图，DE是AABC的中位线，F是DE的中点，CF的延长线交AB于点G,贝JAG：GD的值为，GKB乙SC【解答】解：YDE是AABC的中位线，DE=-1-BC,DE/7BC,2VDF=FE,ADF=I-BC,4.GD-DF-IGBBC4,GD.1DB3VAD=BD,GD:AD=I:3,AAG：GD=2:1,故答案为2.AAb6.如图，在QABCD中，E为CD上一点，DE：于点F,则SZiDEF:Sebf:Saabf=4：10：25.DEC【解答】解：在ABCD中，AB=CD=DE+CE,DDE:AB=2:5,又.'CD"AB,CE=2:3,连接AE、BE、BD,且AE、BD交E：CE=2:3,DEFABF,*Sdef:Saabf=DE2:AB2=4:25>.EBF与aABF等高，Sebf:Sabf=EF：AF=2:5=10：25,*SaDEF：SZxEBF：S,ABF=4:10：25.故答案为：4：10：25.7.已知：如图,在AABC中，AB=15m,AC=12m,AD是NBAC的外角平分线，DEAB交AC的延长线于点E,那么CE=48m.【解答】解：VDE/7ABZBAC=ZE,ZB=ZEDC.ABCsEDCAB:DE=AC:CEAD是NBAC的外角平分线，DE/7ABZEDA=ZEADDE=AE=AC+CEAB:(AC+CE)=AC:CE即15：(12+CE)=12：CE.*.CE=48m.故答案为：48.8.如图，AD是BC边上的中线，F是AD上一点，CF的延长线交AB于点E,若空=L则FD3迪1：6；若Mr=1，则鲤*=1：2n.BEFDnBEE,RnC【解答】解：过点D作GDEC交AB于G,Y 点D是BC的中点，.BGRD=1,即bg=GE,GECD又GDEC,.AE-AF-IY *EGFDT.AE_1Y -11EB6同理，当至1，则胆一FDnBE2n1，2n9.如图，AADE绕正方形ABCD的顶点A顺时针旋转90。，得AABF,连接EF交AB于H,则下列结论正确的是一.AE1AF;EF：AF=亚：1；AF2=FHFE;FB：FC=HB:EC.【解答】解：由题意知，ZXAFB义ZAEDAF=AE,ZFAB=ZEAd,ZFAB÷ZBAE=ZEAD+ZBAE=ZBAD=90o.AE±AF,故此选项正确；AAEF是等腰直角三角形，有EF：AF=2:1，故此选项正确;:AEF与AAHF不相似，.AF2=FHFE不正确.故此选项错误，VHB/7EC,FBH<FCE,FB:FC=HB:EC,故此选项正确.故选：.10.已知：如图，AD、BE分别是AABC的中线和角平分线，AD±BE,AD=BE=6,则AC的长等于.ad是Aabc的中线，ad±be,.F为EC中点，AD±DF,VAD=BE=6,则DF=3,AFwAD2+DF2=3泥,tBE是AABC的角平分线,AD±BE,ABGDBG,：G为AD中点，.E为AF中点，故答案为：织5.2二,解答题(共9小题)11,已知：如图，点E、F、G分别在AB、AC、AD±,且EGBD.FGCD.=2.四边BE3形BCFE的面积比三角形AEF的面积大17.(1)求证：EF/7BC：(2)求AABC的面积.A【解答】(1)证明：EGBD,.AE_AG*EBGD,VFGCD,.AF_AG*FCGD,AE-AF*EBFC,/.EF7BC;(2)解：VEF7BC,AEFABC,*SzAEF:SABC=()2，由题意设SziAEF=S,则Spl边杉BCFE=S+17,且巡=2,BE3,?_=(2)2,S+17+S5S=4,ABC的面积=S+17+S=25.12 .如图所示，矩形ABCD,折叠矩形的一边AD,使点D落在BC边的点F处，已知折痕AE=55cm,且也W.FC4(1)求证：AAFBsFEC;(2)求矩形的周长.【解答】证明：（1）四边形ABCD是矩形,.ZB=ZC=ZD=ZAFE=90o.VZCFE+ZBFA=90o,ZBFA+ZBAF=90o,ZBAF=ZCFE.ABFFCE.解：(2),典旦设EC=3t,FC=4t,则EF=DE=53FC4AB=CD=8t.AB,BF趾二JBF*FCCE,4737BF=6t.AF=IOt.在RtZsaef中,由勾股定理dot)2+(st)2=(55)2t=l.，矩形周长=2(AB+BF+FC)=2(8t+6t÷4t)=36(cm).13 .如图，AEBFCGDH,AB=LBC=CD,AE=12,DH=16,AH交BF于点M,交CG于点2N,求BM与CG的长.【解答】解：如图，过点A作AQEH,分别交CG>DH于点P、Q；：AEBFCGDH,四边形APGE.AQHE均为平行四边形QH=PG=AE=12;DQ=16-12=4；VAB=I-BC=CD,2.ABJAC_3.AD-4'AD"4,VBMZzDH,CPZzDQ,ABMADH,ACPADQ,喘-柒窑”DEBM=4,CP=3,.*.CG=3+12=15;即BM、CG的长分别为4和15.14.如图，一条直线与AABC的边AB、请证明点D是AB的中点.LBCF【解答】解：作CKDE交AB于K.9AC及BC的延长线交于D、E、F三点，若双度,ECCFDiK.,DE7CK,.AE-AD*ec-dk,/CKDF,.BF-BD*cf-dk,.AE-BF*ECCF,.AD-BD*DKDK,.AD=DB,D是AB中点.15.如图，在AABC中，AF：FC=I:2,D是BF的中点，连结AD并延长交BC于点E,求BE：EC的值.【解答】解：如图，过点F作FGBC交AE于G,则NDFG=NDBE,ZDGF=ZDEB,；D是BF的中点,BD=DF,在aDBE和aDFG中，rZDFG=ZDBE<DF=BD，NGDF二NEDBDBEDFG(ASA),AEB=GF,VAF：FC=I:2AF_1','>AC3VFGBC,AFG<ACE,AF-GFJ,ACCET16.如图，在UABCD中，E是AB的中点，在AD上截取AF=LFD,EF交AC于点G,求壁2AC的值.【解答】解：在UABCD中,VAD#BC,AD=BC,AZAFE=ZH,在aAEF与aBHE中,rZAFE=ZH<Naef=Nbeh,AE=BEAEFBHE,AF=BH,VAF=irD,2af=-1ad=Jlbc,3 3AAF=BH=JlCH,4VADBC,AFG<×>CHG,17.如图，在aABC中，E,F是边BC上的两个三等分点，D是AC的中点，BD分别交AE,AF,AC于P,Q,D,求BP：PQ：QD.YD为AC中点,dh是Aafc的中位线,ADH=I-CF,CF=2DH,2VBE=EF=CF,/.BF=2CF=4DH,VDGZ/BC,DQ,DH,1“QBBFW/.QB=4DQ,DG是AAEC的中位线,JDG=LCE=EF=BE,2/DG/7BC,BP=PD,.PQ=L5DQ,BP=2.5DQ,.*.BP:PQ：QD=5:3：2.18.如图，已知AABC中，AC=BC,F为底边AB上一点，BF：AF=m：n(m>0,n>0),取CF的中点D,连结AD并延长交BC于E.求BE：EC的值.【解答】解：过F作FTBC交AE于T,/FT#BC,.TFD<×>ECD, FT=FD, D为CF中点，,.CD=FD,FT=CE,/FT/BC,.AFTABE, FTAF'be"ab,BF：AF=m：n,FT=CE, .CEnBEm+n .BE：CE=(m+n)：n.19.如图1所示，在aABC中，点。是AC上一点，过点O的直线与AB,BC的延长线分别相交于点M,N.【问题引入】（1）若点。是AC的中点，豆工，求型的值；BM3BN温馨提示：过点A作MN的平行线交BN的延长线于点G.【探索研究】（2）若点O是AC上任意一点（不与A,C重合），求证：幽典1；MBNCOA【拓展应用】（3）如图2所示，点P是aABC内任意一点，射线AP,BP,CP分别交BC,AC,AB于点D,【解答】解（1）过点A作AGMN交BN延长线于点G,AZG=ZBNM,又NB=NB,ABGMBN,.BG-AB,bn-mb,.幽-I=胆-1,BNMB.BG-BN-AB-MBpNG.AM,-BNMB_*、BNMB,同理，在Aacg和Aocn中，NG=A0,CNCO.C0.CN*A0NG,:0为AC中点，AO=CO,NG=CN,CN-NG,AM-1.,BNBNBM-3,由(1)知，NG=AMC。=CNBNMBAONG.AMBNC0.NGBNCN.1,MBNCOTbnNC两；（3）在aABD中，点P是AD上的一点，过点P的直线与AC、BD的延长线相交于点C,由（2）得生!弛1L:,BF CD PA在aACD中，点P是AD上一点，过点P是AD上一点，过点P的直线与AC、AD的延长线分别相交于点E、B,由(2)得坐里IE=1,0CDCAAFBCDP.AECBDPBFCDPAECBDPAAE=AFBC.BD=AFe工1_,ECBFCDCBFBCD3T7