浅析计算不定积分方法之第二类换元积分.docx

浅析计算不定积分方法之第二类换元积分不定积分的计算是高等数学的重要考点，第一类换元积分法的理论依据是fW(x)"(x)=Cer)17()刈=73)+C=73%)+C，之所以称其为第一类换元积分法是因为还有第二类换元积分法。那第二类换元积分法的理论依据是什么呢？就是如果=。是单调，可导的函数,且"(x)w,设/(*)Wa)具有原函数G(f),则f(x)dxx=(t)f(t)t)dt=Ga)=G'i(x)÷C如果大家仔细观察会发现第二类换元法的上述的式子和第一类换元法其实是同一个式子反过来用了，在第一类换元法中我们是凑微分，能不能做出来其实主要取决于我们的微分能不能凑出来，所以我们是稍显被动的。然而在第二类换元法中从上面的式子可以看出来我们可以主动令=0(f),那是不是随意设8«)都可以呢？并不是的，我们的9要求是单调可导的函数，为什么要单调呢？因为我们最终的表达式仍然是通过X来表示的，也就要求以。必须存在反函数。那为什么要求¢可导呢，因为在上面的表达始终我们看到了火。应为可微的。那是不是只要我们找到一个单调可导的0就可以用它来代替以前的积分变量X了呢？让我们看下面这个例子:-dxx = e,J 1 + x -dtt - arctan uarctare/l÷arctawl + w2du虽然整个上面的表达式是没有问题的，但是这样做有什么意义呢？我们想换元是因为想把复杂的变成简单的，但是上面的式子却和我们的想法背道而驰,越化越复杂。所以看似主动权掌握在我们手里，但是越是这样我们就越要小心使用我们的主动权，因为你会发现在实际做题过程中，一旦使用不小心都会变成上面那个例子那样越化越复杂。所以，其实第二类换元法咱们只需注意几种特殊的情况就好了。我们在不定积分计算的时候都不喜欢根号，那么遇到根号下为一次函数的情况我们如何处理呢？让我们一起看一道例题：计算J(l÷x)Vxdi先令X=/>o)(因为要保证X=/为单调且可导的)则dx=2tdt则原式变为J/=2J=2arctan/+C,然而最后别忘了把/带回了,所以最终的结果为2arctanI+C,所以再遇到根号下为一次函数则令整体为开根号的时候一般把绝对值省去，还有最后一步就是要把X带回来。那如果我们遇到根号下为二次函数的时候该如何处理呢，这时候就要结合三角代换了。在这里给大家总结一下我们会遇到的几种情况，以及每种情况下我们该做如何的变量代换，若遇到JYY,则令X=Qsinr(-r-),22这时变成yla2-crsin2r=aycot=6rcosr又因为-r'所以绝对值可以直接去电，所以在以后的过程中红如果我们遇到平方开根号的时候通常都可以直接把绝对值去掉。若遇到Ja,则令=tan-<r<,若遇到22yx2-a2,则令x=secfr(0,)<j(,-),让我们来看一个例子：'22Jdxx=tan淑""=ecf力=麻3+tant+C,但是最后仍然要把X带回来，大家可以自己画一个三角形结合图形来得出答案，最后的结果为Inx+m+C,所以遇到根号下为二次函数的时候就结合三角代换公式结合具体情况进行代换，最后结合三角形来将X回代。我们可以在总结一下，第二类换元积分法主要适用于被积分式中出现根式的情况，如果根式下是一次函数，就将根式整体做变量代换，要注意的是重新令的函数一定是单调可导的，所以比较严谨的做题方法是写完代换函数后面要写上变量的取值范围，通常做完变量代换后再开根号是可以省略绝对值得，最后一定要把原来的积分变量X再代回来。如果根式下为二次函数的话，则要结合具体情况进行三角代换，但是最后带回X的时候可能比较复杂，大家可结合三角形图形来得出结果。