极值点偏移问题判定定理（学生版）.docx

极值点偏移问题判定定理极值点偏移问题判定定理一、极值点偏移的判定定理对于可导函数y=（）,在区间a）上只有一个极大（小）值点小，方程AX）=O的解分别为A,X?,S,axix2bl（1）若再）2%-9），则（）%,即函数.v=八幻在区间（XM）上极（小）大值点与右（左）偏；（2）若&）"2/F）,则%（v）,即函数y=（x）在区间上极（小）大值点.%右（左）偏.证明：（1）因为对于可导函数y=/（幻，在区间（&）上只有一个极大（小）值点,则函数幻的单调递增（减）区间为S,%）,单调递减（增）区间为（与向，由于。"W"有不小,且,又f（%）VFQa0-A2）,故王（）2%-，所以甘殳（）/，即函数极（小）大值点%右（左）偏；（2）证明略.左快右慢(极值点左偏=，<工产)左慢右快(极值点右偏。?>日玉)二、运用判定定理判定极值点偏移的方法1.方法概述：(1)求出函数/(X)的极值点与；(2)构造一元差函数尸3=/(玉+幻-，(%-幻;(3)确定函数八X)的单调性；(4)结合尸(O)=O,判断尸)的符号,从而确定/十*f()的大小关系.口诀：极值偏离对称轴，构造函数觅行踪；四个步骤环相扣，两次单调紧跟随.2抽化模型答题模板：若已知函数Ax)满足/区)=/U2),将为函数/(幻的极值点，求证：M+WV2x0.(1)讨论函数/的单调性并求出/5)的极值点；假设此处/3在(-8,%)上单调递减，在(，内)上单调递增.(2)构造/(X)=/(%+幻一/(与一幻；注：此处根据题意需要还可以构造成尸&)=/。)-/(2%-*的形式.(3)通过求导F(X)讨论尸的单调性，判断出尸(X)在某段区间上的正负，并得出了(%+x)与/(%一用的大小关系；假设此处尸(X)在(0,÷)上单调递增，那么我们便可得出。)>尸()=/(/)-/(/)=0,从而得到：X>/时,/(+)>/(X0-X).(4)不妨设N<<,通过f的单调性,/($)=/(),f(%+%)与f(xq-x)的大小关系得出结论；接上述情况，由于x>时，/(+)>f(x0-x)S,xl<xq<x2,)=(x2),故U1)=f(x2)=f+U2-)>/xo-(2-vo)l=/(2%o-W),又因为X<X。，20-<X。且f()在(-,X0)上单调递减，从而得到.V1<2x0-x2i从而x1+2<2%得证.(5)若要证明/(七三)<。,还需进f寸论手与XD的大小，得出手所在的单调区间，从而得出该处函数导数值的正负，从而结论得证.此处只需继续证明：因为%+/<2%,故土产<与，由于在(-8.)上单调递减，故0【说明】(1)此类试题由于思路固定，所以通常情况下求导比较复杂，计算时须细心；(2)此类题目若试题难度较低,会分解为三问,前两问分别求/O)的单调性、极值点，证明/(%+幻与/(X07)(或/()与/(247)的大小关系；若试题难度较大，则直接给出形如天+当<2°或r(W1)<o的结论，让你给予证明，此时自己应主动把该小问分解为三问逐步解题.三、对点详析,利器显锋芒1 .已知函数/3=KfaeR).(I)求函数/(X)的单调区间与极值；(II)若内½,且fa)=f(X2),证明：%+电>2.2 .函数/(x)=f与直线y=(>-g)交于Aa,)、8(%，。)两点.证明：芭+<2.23 .已知函数0)=-lnx,若司工毛，且A%)=/®),证明：X+W>4.X4 .已知函数/(x)=(x-2)e+(x-有两个零点.设为，是外”的两个零点，证明：X1+X2<2.四、招式演练5 .已知函数/'(%)=(+InX-3有两个零点X-x2(xl<x2).(1)求证：0<a<e2；(2)求证：xi+x2>2a.6 .已知函数/(X)=21nx(«/?,«0).(1)求函数/W的极值；(2)若函数/W有两个零点不，/(%</),且a=4,证明:x1+X2>4.7 .已知函数/(x)=x-2Hu-1+l,R.X(1)讨论函数/(”的单调性；(2)当=l时，正数4,满足Fa)+"F)=2,证明:x1+x22.8 .已知函数/(x)=lnx+H*-2r,eR.(1)讨论/("的单调性；(2)若f(x)在定义域内是增函数，且存在不相等的正实数Xm,使得/(内)+/(Z)=-3,证明：x1+x2>2.9 .已知函数f(x)=与3O).e(1)求函数/U)的单调区间；(2)当=l时，如果方程/*)=/有两个不等实根与，求实数/的取值范围，并证明x1+2>2.IO.已知函数/(X)=InA奴(。为常数).(I)求函数“)的单调区间；(II)若a>0,求不等式/(力-的解集；(In)若存在两个不相等的整数X-满足/a""声),求证：司+电>>H.(1)试比较2法与A*>0)的大小.X(2)若函数/")=X-仇LM的两个零点分别为七,X2,求?的取值范围；证明：+2<2m.12.已知函数/(x)=(32-6x+6)e'-J(e为自然对数的底数).(1)求/S)的图象在E处的切线方程；(2)求/*)的单调区间和极值；(3)若K产七，满足f(，)=f(X2),求证：i+2<0.13 .设函数/(x)=l-"x.(1)证明:xR,f(x)x；(2)令MX)=X(I-/)求W的最大值；如果内HX2,且Wx)=4(%),证明：+>2.14 .已知函数f(x)=x-l+e'(1)讨论的单调性；(2)设中占是/(x)的两个零点,证明：x1+X2>4.15 .设函数/(x)=x2-(。-2)x-lnx.(1)求函数/O)的单调区间；(2)若函数有两个零点，求满足条件的最小正整数。的值；(3)若方程/*)=C有两个不相等的实数根/,X-求证：-)>0.16 .已知函数F(X)=V-(eR)在(0,y)上有2个零点4、%(%</).(1)求实数。的取值范围；(2)证明：-V1+x2>4.17 .已知/(x)=In(X+M-nvOeR)求/V)的单调区间；(2)igm>l,在与为函数/O)的两个零点，求证：.xx+x2<018 .已知函数，(©=111苍以外=+反一1,(。fb三R)X(1)当=-1,加0时，求曲线产於)-g(x)在x=l处的切线方程；(2)当公。时，若对任意的.rl,2,於)+g(x)O恒成立，求实数a的取值范围；(3)当6f=0zh>0时，若方程yw=g(x)有两个不同的实数解Xl,X2X1<X2),求证：X+X2>2.19.已知函数f(x)=lnx+；-S(S"R).(1)讨论/U)的单调性;(2)当f=2时，若函数/(x)恰有两个零点,(O<<9),证明：%>4.20 .已知函数f(x)=l-以+xlnx.(1)若函数/(x)=l-+Enx的图象与X轴有交点，求实数的取值范围；(2)若方程/(X)=；有两个根*,恐且$<看,求证：-v+>l21 .(1)试比较2版与的大小.X(2)若函数f(%)=%-/"-m的两个零点分别为X-x2,求"?的取值范围；证明：百十七<2"?.