极小多项式.docx

极小多项式？在抽象代数中，一个域上的代数的元素之极小多项式（或最小多项式）是它满足的最低次多项式。此概念对线性代数与代数扩张的研究极有助益。1.形式定义设为域，为有限维-代数。对任一元素，集合张出有限维向量空间，所以存在非平凡的线性关系：可以假设，此时多项式满足。根据多项式环里的除法，可知这类多项式中只有一个次数最小者，称之为的极小多项式。由此可导出极小多项式的次数等於，而且可逆若且唯若其极小多项式之常数项非零，此时可以表成的多项式。2,矩阵的极小多项式考虑所有矩阵构成的-代数，由於，此时可定义一个矩阵之极小多项式，而且其次数至多为；事实上，根据凯莱-哈密顿定理，可知其次数至多为，且其根属於该矩阵的特徵值集。极小多项式是矩阵分类理论（约当标准形、有理标准形）的关键。3,极小多项式与代数扩张设为的有限扩张，此时可视为有限维-代数。根据域的性质，极小多项式必为素多项式。元素的迹数及范数等不变量可以从极小多项式的系数读出。