极坐标与参数方程.docx
极坐标与参数方程一.极坐标题型L记忆第1类：恰好过极点的圆1 .在极坐标中，圆心在半径为。的圆12 .在极坐标中，圆心在(。,工)，半径为。的圆：2典例.1如图，在极坐标系Qr中，A(2,0),B(2,¾,C(2,¾,44。(2,兀)，弧AB，BC，CO所在圆的圆心分别是(LO)，(1,擀)，(1，兀)，曲线Ml是弧A3，曲线是弧3C，曲线是弧(D分别写出M,M29Ma的极坐标方程；(2)曲线/由M,M2,M3构成，若点尸在M上，且IOPI=J5,求夕的极坐标.第2类：恰好过极点的直线的极坐标方程：题型2.化出极坐标方程.由j"=pcos?,可先得出直角坐标方程再化成极坐标y=PSine典例2.+ - = 1；43X = I+ 2COSe y = -l + 2sin(1)圆心在(2,1),半径为1的圆；(2)TT(3)过点(1,2),倾斜角为上的直线；(4)4题型3求出极坐标方程.建，设，限，代，化.典例3.在极点为。的极坐标系中，直线/：夕cos9=l上有一动点P,动点M在射线OP上，且满足QH0M=2,记M的轨迹为C(1)求C的极坐标方程，并说明C是何种曲线；二.极坐标的应用（画好图）1.算长度：极径的几何意义.典例4.已知曲线。的极坐标方程为：p2-2pcos9-2psin=0,直线/的极坐标方程为：°吟（pR）,曲线。与直线/相交于48两点，则IA即为（）A.y/2B.22C.3D.232.算面积:极径与极角的几何意义.典例 3. (2)若q,g,M2（p2,o）,%（分一看；均在曲线C上，求MMM3的面积.三.参数方程题型1.莫消参.当发现曲线的参数方程较复杂，同时题干主要涉及该曲线上的几个特殊点时（如与坐标轴的交点或坐标原点）可不必消参.如何求曲线一''J与坐标轴的交点或水平，竖直线的交点或判断其是否过一个特殊点.J=g典例4.已知曲线C参数方程为X = 2(/-sin/) y = 2(1-CoSf)fit2.则该曲线被直线），=2所截得的弦长为()A. -2B. 21一4C." + 2D. 2万 + 4题型2.1.定义消参X=XC+rcos6、，.llz.(1)°八,以参数y=%+rseF=W为参数=y0+rsm,、x=acQsQW(3),.八,以参数y=bsn2 .恒等式消参(1) sin2÷cos2=1,八J-FSinaj,I-Cos2asin2a(2) .由于=tan,故tan=COSacosa1-sina士.2tan2a21所以有：Sma=,cos=.l+tanal+tana(3) (r+-)2-(r-)2=2tt3 .代入消参：卜=2p为参数.J=2pr题型3.参数方程的应用1.求曲线上动点到直线的最大(最小)距离.典例5.在直角坐标系XOy中，曲线。的参数方程为彳Q为参数)，以坐标原点4fr=?。为极点，X轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线/的极坐标方程为2pcos+>3psin+11=0.(1)求。和/的直角坐标方程；(2)求C上的点到/距离的最小值.2 .求动点的轨迹方程(相关点法).典例6.在平面直角坐标系工3,中，O的参数方程为X = cos ,(为参数过点(0,-&)且倾斜角为。的直线/与。交于A，8两点.(1)求。的取值范围;(2)求A8中点P的轨迹的参数方程.3 .直线参数方程的几何意义.X=+Zcosa过点Mo(XO,%),倾斜角为a的直线/的参数为J(，为参数)y=y0+fsina(2)由a为直线的倾斜角知a。乃).2 .直线参数方程中参数/的几何意义参数，的绝对值表示参数/所对应的点M到定点Mo(Xo,%)的距离，其中当M方向朝上时，t>0.(2)当MoM方向朝上时，"°，当M与M。重合时，/=0.3 .若A,8为直线/上两点，其对应的参数分别为2,线段AB的中点为M,点M所对应的参数为%，则以下结论在解题中经常用到：ZO=然(2)PM=IZOI=I号÷(3)ABl=I4f|PA|.|网=Ml1ll.l=+.A_4.,当仙VOPA+PB=r1+2=J%+小当5。【特别提醒】(1)直线的参数方程中，参数/的系数的平方和为1时，r才有几何意义且其几何意义为.(2)直线与圆锥曲线相交，交点对应的参数分别为4J2，则弦长/=|乙-胃=1 .在平面直角坐标系XQy中，曲线。的参数方程为，("7为参数).以坐标原点。为y=2m极点，X轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线/的极坐标方程为PSine一夕cos9+l=0.(1)求直线/的直角坐标方程与曲线C的普通方程；(2)已知点P(2,l).设直线/与曲线C相交于",N两点，求向+血的值.2 .在直角坐标系XOJ中，曲线C的参数方程为I'=?；”为参数且1),C与坐标y=2-3t+t轴交于A,B两点.(1)求IA8I：(2)以坐标原点为极点，X轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB的极坐标方程.X=4COS23t,3 .已知曲线G,C2的参数方程分别为.,八（为参数），C2:v=4s11r61为参数）.（1）将G,C?的参数方程化为普通方程；（2）以坐标原点为极点，X轴正半轴为极轴建立极坐标系.设C,Cz的交点为P,求圆心在极轴上，且经过极点和尸的圆的极坐标方程.4 .在直角坐标系Xay中，以坐标原点为极点，X轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为pcos<9=4.（1）M为曲线C上的动点，点Q在线段OM上，且满足IOMIIo4=16,求点P的轨迹C2的直角坐标方程；（2）设点A的极坐标为（2,点4在曲线G上，求ABO面积的最大值.r-1X=5.在平面直角坐标系XOy中，曲线G的参数方程为J(/为参数，且，工-1),y=-；r+l以。为极点，X轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线g的极坐标方程为243sin2+*(1)写出直线C1的普通方程以及曲线C2的直角坐标方程；已知。是曲线上的点，当点到C的距离最大时，求点的极径.6.在平面直角坐标系Oy中，曲线G是圆心在(0,2),半径为2的圆，曲线的参数X=2V2cos/方程为LQ为参数且OWfW),以坐标原点O为极点，X轴正半轴y=22sin(/-)2I4为极轴建立极坐标系.(1)求曲线G的极坐标方程；(2)若曲线G与两坐标轴分别交于AB两点，点，为线段A8上任意一点，直线OP与曲线Cl交于点M(异于原点)，求盥!的最大值.82x=+t327 .在平面直角坐标系XOy中，直线/的参数方程为:JQ为参数).以坐标原4y2V=+I132点。为极点，I轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为p2+6pcos=a,其中a>0.(1)写出直线/的普通方程和曲线C的直角坐标方程；(2)在平面直角坐标系xQy中，设直线/与曲线C相交于A,4两点.若点。卜W恰为线段AB的三等分点，求。的值.Cx=+cos8 .在直角坐标系中，曲线G的参数方程为(其中9为参数)，曲线y=sin.G：£+。=1以原点。为极点，工轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1).求曲线G、G的极坐标方程；(2),射线4=(p0)与曲线G、。2分别交于点A3(且AB均异于原点。)当O<<g时，求QB/ToAl2的最小值.
