构造函数、利用放缩法比较数式的大小.docx
构造函数、利用放缩法比较数式的大小一、选择题1、(2023珠海高三模拟)已知=eSini,b=sinl,C=COSl,则()A.a<c<bB.a<b<cC.c<b<aD.c<a<b2、（2023广州十七中学高三模拟）设a=3sin',"二6sin,c=cos,，则（）366A.c<b<aB.b<a<cC.a<c<bD.a<b<c3、(2023重庆市万州第二高级中学模拟预测)设=3e旬3,b=卸,c=1.6,则()A. c<b<aB. c<a<bC. b<a<cD. b<ca1202420244、（2023四川成都统考二模）已知。=淅，O=In藕，c=og5-i则（）c<b<aB.c<a<bD.a<b<c二、多选题5、（2023山东谯州模拟预测）以下数量关系比较的命题中，正确的是（）6.已知=ln=,h=：,C=&一1（其中e=2.71828是自然对数的底数），则下列大小45关系正确的是（）A. a<b<cB. b<a<cC. a<c<bD. c<a<b构造函数、利用放缩法比较数式的大小1、(2023珠海高三模拟)已知=e'Mi=sinl,C=COSl,则().a<c<bB.a<b<CC.c<b<aD.c<a<b【答案】C【分析】构造函数/(x)=e-x-l,利用导数证明e'-x-l0,进而比较。泪大小，再根据正余弦函数性质比较b>C大小即可得答案.解：当x但,SinX>cosx,又IjE,当，所以sinl>cosl,故b>c144JU4)记/(x)=e'-x-l,所以f'(x)=e'-l,令F'(x)<0,得<0,令/'(x)>0,得>0,所以/(x)在(T,0)单调递减，在(0,+8)单调递增.所以“x)(0)=0,即e'rT0,当X=O时取等号.所以4=e"ni>(sinl-l)+l=sinl=Z?,所以c<7V0.2、(2023广州十七中学高三模拟)设a=3sin,Z?=6sin1,c=cos,，则()366A.c<h<aB.b<a<cC.a<c<bD.a<b<c【答案】C【分析】设/(x)=tanx-x(0<x<),由导数得其单调递增，从而得OVXVl时，IQnhtanx>x,即>1,从而由一>1可得力>c,再设g*)=sinx-x,由导数得其单调性XC得O<xvg时，sinx<x,0<<1,从而可得<1,得出。<。，结合起来可得结2Xc论.详解】易知>O,b>O,c>O,a=3sin-=6sincos,又O<cos'<l,所以6sincosv6sin',a<b,3666666设/(x)=Snx-x(Ovxvg),则N,、 /Sin、，1 cos2x+sin2X . I ,J (X)=()-=彳=1l-cos2 X sin2 xCOSXCOS XCoS XCOS2 X COS2 X>0,所以/*)在(0,工)上单调递增，/(x) = tanx-x>(0) = 0, tanx>x>O,曰吧>1,2X6 sinl tan_6 , _> 1, b>ct 设g(x) = sinx-x, g'(x) = cosx-l0 ,所以g(用在R上递减,OVX <三时,2g(x)vg(O)=O, Ovsinxvx, Oe包工<1,XC I 3sn-3 =3 =c I cos6.Il. 1Osin-Cos- sin = 6sin-= < 1,所以<c,综上，a<c<b.61cos663、(2023 重庆市万州第二高级中学模拟预测)设 = 3e03, 7 = e06, c = 1.6,则()A. c<b<aB. c<a<bC. b<a<cD. b<c<a【答案】A【解析】设g)=ej-l,因为x)=G-l,所以当XVO时，,(x)<0,"x)在(FO)上单调递减，当x>0时，(x)<O,f(x)在(0,y)上单调递增，所以当xR,且XH()时,/(x)>(0)=0,即e'>x+l.所以a=3e43>3x(-0.3+l)=2.1,=e°6>0.6+1=1.6,所以c=1.6最小，be06e09e又因为2=-=所以bv综上，CVbVa.故选：Aa3e-0-3331202420244、(2023四川成都统考二模)已知。=/，b=ln藕，C=IogS黑，则()A.c<b<aB.c<a<bC.b<c<aD.a<b<c【答案】A1 2024In- = 15>1 A,2024, .b>cIn2023In 5,2024.In20242024-=2023【解析】Z>=ln->0,C=Iog5->0,c120242023652023匕历砺202420231 +2023s.b-a = r 1() = ln(l + x)-x(0<x<l),贝IJ ,(x) = -j-! 1 = -j-<0 , /(X)在(0,1)上单调递减，./(贵)<40) = 0,即 lnl +/:.h<a；综上所述：c<6v.故选：A.二、多选题5、(2023山东德州模拟预测)以下数量关系比较的命题中，正确的是()2A ec >2【答案】ABCB. In2>-3In 1< eD.In 2 In >【解析】对于A：设/(x)=elnx-Mx>0),则/()=7=%(>0),当0<x<e时，/)>0,函数单调递增；当x>e时，,(x)<0,函数单调递减;所以f(x)<(e)=elne-e=0,所以/=eln2-2<(e)=0,即2>eln2,所以£>2,故A正确:2对于B：因为8>e?,所以In8>lne2,所以31n2>2,即ln2>“故B正确；对于CD：设g(x)=W(x>0),g'(x)=W,当0<x<e时，g'(x)>0,函数单调递增;当x>e时，F(X)<0,函数单调递减；所以g(e)>g(),即皿<L故C正确；e又g(e)>g(兀)>g(4),所以则学=乎，故D错误；故选：ABC426.已知=ln<,b=：,C=&-1(其中e=2.71828是自然对数的底数)，则下列大小45关系正确的是()A.a<b<cB.b<a<cC.a<c<bD.c<a<b答案.B【分析】由题意可得=ln4nl+R4=,C=心I=«-1，构造函数4'"31+14/(x)=ejr-l(x>0),g(x)=ln(l+X)T(X>0),(x)=ln(l+x)一一(x>0),利用导数1+x判断函数的单调性，从而可得出结论.【详解】由题意可得=ln=lnl+;),b=-,C=左_=«-1，4IV31+14设/(x)=ex-x-l(x>O),则f,x)=ex-l,当XW(O,田)时,(x)>0,所以“力在(0,y)上单调递增,1I1则*)>(0)=0,从而eX-x-l>O,即e-l>x,故即c>；,44设g(x)=ln(l+x)-x(x>O),贝Jg'(x)=二l÷x当x(0,+)时，(x)<0,所以g(x)在(0,+)上单调递减，则g(x)Vg(O)=O,Jln(l+x)-x<O,即In(I+x)vx,从而Inh+：<,，即v,故“<<c,即<c,V4444设力(X)=ln(l+x)-(x>0),则h'(x)=A,1+x(l+x)当(0,y)时，/U)>0,所以6。)在(0,+8),上单调递增，_则70)>7(O)=O,即E(l+x)>上，从而Inh+：>3，+4j1+14即Ing>：，故b<,即匕<vc.故选：B.点睛：构造函数/(x)=e，-xl(x>0),g(x)=ln(l+x)-Xa>0)X力(X)=In(I+幻(x>0)+是解决本题的关键
