一类圆和椭圆轨迹的探究.docx
例谈函数恒成立参数范围问题求解策略(袁小强)函数恒成立问题中参数范围一直是高考及各种模考的常考问题,也覆盖了各种数学思想,体现数学理性思维的考查,笔者通过归纳和梳理,总结出解决该类问题的常用几种策略,不当之处，敬请批评指正.题目：已知定义在R上的奇函数/(x)在(-oo,0上单调递增，对于任意的x(0,l,不等式Jaex+2x)+/(xlnx-2)0恒成立，求实数a的取值范围./(e*+2x)+(xlnx-x2)0,.(ex+2)-(xlnx-:2),又f(x)定义在R上的奇函数，二.f(O+2x)/(x2-xlnx)定义在R上的奇函数/(x)在(-8,0上单调递增，./(X)在R上单调递增，aex+2xx2-xlnx对于任意的x(0,”恒成立，策略一：参变分离法一：,aex+2xX2-XlnX对于任意的XW(0,1恒成立，.a厂7?-2”对于任意的X(0/恒成立，人/、X2-xln%-2x/c/l、(x-1)(3-x÷Inx)令g(x)=；XW(0,1,贝Jg'(x)=J->ee再令(X)=3x+Inx,Mu,(x)=-,X当x(0,1时，uf(x)0,(x)在(0,1上单调递增，又"=2>0,M)=3-"3一3<0,由零点存在性定理可知：3x0(e3,l),使得N(Ao)=3-Xo+ln=0即InAo=X0-3,从而当x(,与)时，g'(x)>0,g()单调增；当Xea),+co)时,g,(x)<0,g(x)单调减,g(x)max= g(%) =片-XOInXO2/二年一XO(XO -3)-2%= 面*%+3e：评注：函数恒成立参数范围问题求解常见处理策略：参变分离，优点：转化为定函数的最值求解，缺点：有时函数最值求解比较麻烦，有时需要运用隐零点代换，使用时注意的系数，有时需要对。的系数分类讨论，解题思路简单清晰，有时运算量较大.策略二：同构函数研究aex+2xX2-xln%对于任意的x(0,”恒成立，:.a+2x-lnx=lnXX令Z=c,x(,l,则/'=C0,.1在(0,1单调减，.Je,Xx.at+2ni对任意的te,+8)恒成立，法二：参变分离.at+2nt对任意的te,+co)恒成立，In/-2.InZ2.1.,3Inf.".a，令h(t)=«e),则=：,ttt从而当f(e,")时，“>0,单调增；当f(,+8)时，Z(r)<O,力单调减；")max=力(eb=!，故"4"ee评注：通过不等式结构特点发现可以同构成4形式，难点是同构的过程，化归为只含对数X函数和一次函数的常见形式，再分离参数，优化运算，简化过程.法三：研究函数最值由法二知：r+2-lnr0对任意的te,+oo)恒成立，令g(t)=at+2-kt(te)f则g'(f)=a-rt1"当。一时，gf(t)0,g(f)在e,-x>)上单调递增，.gQ)min=g(e)=四+2-10,e.*.Cl,因此4一;ee2"当时，令g'(f)=a-I=0,则r=L>e,eta从而当.(T时，Q)<0,g(f)单调减；当U：，+8)时，g'Q)>0,g")单调增；.g(f)min=g(L=3+ln0,.Ql,因此1X<,综上12”所述：4We评注：同构函数gQ)=W+2-ln"re),研究函数的最小值，往往需要分类讨论，转化为常见函数恒成立问题处理.法四：“切线”策略由法二知：wln”2对任意的fe,+o)恒成立，构造函数8(五)=工-2与丁=0,Xe,+),当直线y=ar与曲线g(x)=lnx-2相切时，设切点(Ao,In/-2)，则g'(x)=,，X:.k=L=-,.,.x0=ei,从而A=4,e由题意可知：直线y=ar恒在曲线g(x)=lnx-2图象上方，因此Q.e评注：“数形结合”也是研究恒成立问题的常见处理策略，不等式转化为曲线与直线的相切，“切线”策略需要把不等式转化为常见函数与一次函数，研究切线这种临界状态，利用数形结合可以简化复杂的运算，优化解题.法五：“放缩”思想令g(x)=lnx-1,则g'(x)='-J,当x(,e)时，g'(x)>0,g(x)单调增；eXe当x(e,+)时，g'(x)<0,g(x)单调减,g(x)g(x)ma=g(e)=O,所以InX'x(当且仅当X=e时取等号)，e.+2Inr对任意的，e,÷)恒成立，1t1tln91,n-2*121.吧，=与=(当且仅当，=/时取等号)，Ie2J_e2J_e3夕夕因此Q.e评注:熟悉和运用课本习题的一些“二级结论”,对学生能力要求较高,课本上“exx+"lnxx-l”等常见结论理解运用，可以优化解题，放缩有度，有张有弛，恰到好处.函数恒成立参数范围问题求解常见的处理策略：参变分离，研究函数，“切线”策略,“放缩”思想等，参变分离重点研究函数最值，研究函数需要分类讨论，“切线”策略学会数形结合，“放缩”思想体现辅助函数.不妨读者可以一试，。炉+2xf-XlnX又可以同构成优Fx>-ln一2来处理.参考文献I袁小强.同构相谋同道相解J.中学数学研究，2021(6).
