电势差与电场强度的关系（解析版）.docx

10.3电势差与电场强度的关系要点一.电势差与电场强度的关系1.关系推导如图所示，在匀强电场力作用下，电荷q从A点移动到B点.静电力做功：WAB=qlU。q所受静电力F=qE是一个恒力：Wa6=FLcosa=qEd比较功的两个计算结果得：UAB=Ed两点间的电势差等于电场强度与沿电场方向的距离的乘积注意：1.该公式只适用于匀强电场，d指的是沿电场强度方向的距离。2.在非匀强电场中，可以利用定性比较电势差的大小，此时E表示平均电场强度。例如：若AB段平均电场强度/比BC段平均电场强度艰大，故UAB>Lk'''，、t¾Ii_i_-A;B；C91，'2'2.电场强度的另一种表述1 .表述在匀强电场中，电场强度的大小等于两点间的电势差与两点间沿电场强度方向距离的比值.2 .公式E=等单位：伏特每米（Vm）,且lVm=lNC.物理意义：电场强度在数值上等于沿电场方向每单位距离上降低的电势.拓展应用：1.等分法Q式、2结论）在匀强电场中，沿任意一个方向，电势降落都是均匀的，故在同一直线上相同间距两点间的电势差相等.如果把某两点间的距离等分为n段，则每段线段两端点的电势差等于原电势差的1/n倍，像这样采用这种等分间距求电势的方法，叫做等分法.1 .“1式”在匀强电场中E=岁d2 .等分法两个重要结论结论1：（中点电势等于初末电势的一半）匀强电场中的任一线段AB的中点C的电势c=器R,如图所示.结论2：（匀强电场中相同方向电势均匀变化）匀强电场中若两线段ABCD,且AB=CD,则UAB=UM或A-B=L5）,同理有2.等分法求电场强度已知勺强电 场中某些点 的电势利用等分 法确定等 势点连势等接点势等得线作等势线的垂 线得电场线由电势高低确 定电场线方向L电场强度方向的确定在匀强电场中，利用等分法，结合两个方向电势差的最小公倍数，找到2个等势点。等势点连线即为等势面，电场强度方向，垂直于等势面，且沿电势降低方向。2 .电场强度大小求解用电场中一点（已知电势），与所找到的等势面做垂线，利用几何关系求间距d,结合公式E=（来求解E的大小。示例：在AB连线找到夕C2连接4C即为电势为2v的等势面由O点做OGACf利用几何关系求d的大小故：E的方向沿G。方向利用EU°来求E的大小a3 .电场中相关的图像类问题l.E-x图像图像概述:E-X图像是描述静电场中E随X变化的规律,结合E-X图像可以分析E与的分布规律。图像特点：E的TE方向TF、Q的方向若E为正T电势降低E的大小T尸、Q的大小线下面积ST电势变化量图像应用：结合图像及带电粒子运动情况，可以确定带电粒的F、a、W电场力、EP的变化等。2.(P-X图像图像概述：E-X图像是描述静电场中随X变化的规律，结合-x图像可以分析的分布规律。图像特点：的变化TE方向T3降低的方向为E的方向T若正电荷-Ef,TTW也做负功图像率上大小TE的大小T尸、a大小图像斜率kTE的反方向通常认为无穷远处夕O一正电荷附近T3正电荷附近T3oo图像应用：结合图像中的特点，可以确定带电粒的所在位置的E、EP的大小及变化情况，再结合功能关系，判断电场力做功及场源电荷分布情况。3Ep-x图像图像概述：Ep-X图像是描述静电场中EP随X变化的规律，结合EP-X图像可以分析的分布规律。正电荷EP八EPjel最大最大Exl O图像特点：若是正电荷的瓦1图像图像特点与夕。图像相同君是负电荷的外工图像画像特点与夕工图像相反图像应用：结合图像特点，可以确定带电粒的所在位置的E、Ep>的大小及变化情况，再结合功能关系，判断电场力做功及场源电荷分布情况。题型一.匀强电场中电势差与电场强度的关系经典例题典例1关于匀强电场中场强和电势差的关系，下列说法正确的是（）A任意两点间的电势差等于场强和这两点间距离的乘积B.沿电场线方向，任何相同距离上电势降落必定相等C.电势降低的方向必是场强方向D.在相同距离的两点上，电势差大的其场强也大【答案】B【解析】本题的关键是理解匀强电场中场强与电势差的关系，公式E=冲，d是沿场强方向上两点的距离，由此很容易判断出A错，D错，B项正确.场强的方向是电势降低“最快的”方向而不是指电势降低的方向，故C项错误.典例2下列说法正确的是（）A由公式E=哼得，电场强度E与电势差UAB成正比，与两点间距离d成反比B.由公式E=缪得，在匀强电场中沿电场线方向上两点间距离越大，电场强度就越小C.在匀强电场中，任意两点间电势差等于场强和这两点间距离的乘积D.公式E=哼只适用匀强电场a【答案】D【解析】公式E=Ud只适用匀强电场，与电势差和两点间的距离无关，故A错误，D正确；在匀强电场中，电场强度处处不变，故B错误；在匀强电场中，两点间电势差等于场强与两点间沿电场方向距离的乘积.故C错误.故选D.题型二.匀强电场中关于U=Ed的定理计算经典例题典例1如图所示是一个匀强电场的等势面，每两个相邻等势面相距2cm,由此可以确定电场强度的方向和数值是（）B.水平向左，E=100VZmC.水平向左，E=200V/mD.水平向右，E=200V/m【答案】B典例2如图所示，匀强电场的场强为E,A与B两点间的距离为d,AB与电场线的夹角为,则A、B两点间的电势差为()料得E=噜，选项C正确。巩固提升人A.EdB.EdcosC.EdsiD.Edtana【答案】B【解析】图中A、B两点之间沿电场方向的距离为dcosa,电势差Ga=Edcosa,故B正确，A、C、D错误.典例3如图所示，匀强电场中的A、B、C三点构成一边长为a的等边三角形。电场强度的方向与纸面平行。电子以某一初速度仅在静电力作用下从B移动到A的过程中动能减少Eo,质子仅在静电力作用下从C移动到A的过程中动能增加E。，已知电子和质子电荷量的绝对值均为e,则匀强电场的电场强度为()A？EB为C20DKE。ea'ea'3ea'3ea【答案】C【解析】对电子从B到A的过程，由动能定理可知，-Uba=-Eo；对质子从C到A的过程,有eUcA=E0,可见UBA=UCa,故B、C两点电势相等，在同一等势面上，AB沿电场线方向上的距离d=asin60。=殍a,由场强与电势差的关系E=巩固1如图所示，在水平平面内有一固定的光滑绝缘圆环，半径r=0.3m,圆环上套有一质量ITi=IxlO,kg、带电量q=+5l'C的小球。匀强电场方向水平向右且与圆轨道所在平面平行。A为圆环最高点，B、C与圆心。在同一条水平线上。小球从A点以初速度W=/m/s向右运动，运动到B点时的速度vb=3m/So重力加速度g取10ms2o求：(1)电场强度E的大小；(2)小球最小速度的大小及此处对圆环的作用力的大小。【答案】(1)1000N/C(2)0.05N【解析】小球从A至JB,由动能定理得：qEr=-mvo代入数据解得：E=100ON/C(2)小球在C点处速度最小，从A到C,由动能定理得：-qEr=mvc-m在C点，由牛顿第二定律得：qE+Fn=m节解得：Fn=0.05N根据牛顿第三定律知，小球运动到C点时对圆环的作用力大小为0.05N。巩固2如图所示,在某匀强电场中有a、b、c三点,它们的连线组成一个直角三角形.已知ac=5cm,bc=3cm,现将电荷量q=2×108C的负电荷由a移到b和由a移到c,均要克服电场力做8×10-8J的功,则该匀强电场的电场强度为（）FA.100Vm由a指向bB.100Vm由b指向aC.160Vm由a指向CD.160Vm由C指向a【答案】A【解析】由题，将电荷量q=2l（8C的负电荷由a移到b和由a移到c,均要克服电场力做8×W8J的功，故说明be电势相等；a点电势高于b点；电场线由a指向b;ab间的电势差Uab=关黑=4V,则电场强度E=詈=E=100V,方向由a指向b.A正确.巩固3如图所示，ABCD为匀强电场中相邻的四个等势面，相邻等势面间距离为5cm.一个电子仅受电场力垂直经过电势为零的等势面D时，动能为15eV（电子伏），到达等势面A时速度恰好为零,则下列说法正确的是（）AbVCA.场强方向从A指向DB.匀强电场的场强为200V/mC,电子经过等势面C时，电势能大小为5eVD.电子在上述等势面间运动的时间之比为1：2：3【答案】C【解析】电子到达等势面A时速度恰好减为零,说明电场力向下，负电荷受到的电场力方向与电场强度方向相反，故场强方向从D指向A,选项A错误；从D到A,动能减小15eV,故电场力做功-15eV,故有:Wda=-edoA=-15eV,解得E=芸E=100Vm,选项B错误；只有电场力做功.电势能和动能之和守恒，故：EkD+EpD=Es+EpA,解得EPA=I5eV；匀强电场中，每前进相同距离电势变化相同，故Epc=5eV,选项C正确；运用逆向思维，D到A的运动，相当于A到D作初速度为零的匀加速直线运动，由相等位移的时间比关系，应为：（代-我）:（¢-1）:1,选项D错误。题型三,利用U=Ed定性分析非匀强电场电势差特点经典例题典例1如图所示，实线表示电场线，虚线表示等势线，a、b两点的电势分别为a=-50V,b=-20V,则a、b连线的中点C的电势巾C应为（）A.c=-35VB.c>-35VC.c<-35VD.无法判断【答案】'B【解析】由图可知，这是一个非匀强电场，且EbVEa.若此电场为匀强电场，则c=-35V.而此电场中EbVECVEa,即从b到C的过程中每单位距离上的电势降低要比从C到a的过程中每单位距离上的电势降低慢.故c>-35V.因而正确答案为B.典例2.如图所示，O是一固定的点电荷，另一点电荷P从很远处以初速度为射入点电荷O的电场，在电场力作用下的运动轨迹是曲线MNoa、b、C是以。为中心，Ra>6、RC为半径画出的三个圆，Rc-Rb=Rb-Rao1、2、3、4为轨迹MN与三个圆的一些交点。以l¼2表示点电荷P由1到2的过程中电场力做的功的大小，%4表示由3到4的过程中电场力做的功的大小，则（）B.0,>2C.P、C）两电荷一定同号D.P的初速度方向的延长线与0之间的距离可能为零【答案】A【解析】假设电场是匀强电场，则有%2=2（34,但因为点电荷电场中，越靠近点电荷，电场强度越大，电势降落越大，即U23>U34,所以%2=U23+U34>2U34,根据动能定理可得W12=U12q,W34=U34q,故IWI2>2W3JA正确；由轨迹的弯曲方向可判定两电荷间存在引力，是异号，由于点电荷的电性未知，所以电势高低无法判断，BC错误；若P的初速度方向的延长线与0之间的距为零，点电荷将做直线运动，而粒子做曲线运动，所以D错误；题型四等分法求电势及电场强度经典例题典例1如图甲所示，ABCD是匀强电场中一正方形的四个顶点，已知A、B、C三点的电势分别是=15V,=3V,c=-3V,由此可以推断D点电势。是多少伏？aJ>2¾BC答案：9V .典例2（2017全国卷I）（多选）一匀强电场的方向平行于xy平面，平面内a、b、C三点的D位置如图所示，三点的电势分别为10V、17V、26Vo下列说法正确的是()A.电场强度的大小为2.5V/CmB.坐标原点处的电势为IVC.电子在a点的电势能比在b点的低7eVD.电子从b点运动到C点，电场力做功为9eV【答案】ABD【解析】解法一合成法：ac垂直于be,沿CaUca和cb两方向的场强分量大小分别为Ei=-=2acUCbV/cm、E?=-=1.5Vcm,根据矢量合成可知E二2.5Vcm,A项正确；根据在匀强电场中平行线上等距同向的两点间的电势差相等，有o-a=b-c,得o=lV,B项正确；电子在a、b、C三点的电势能分别为-IOeV、-17eV和-26eV,故电子在a点的电势能比在b点的高7eV,C项错误；电子从b点运动到C点，电场力做功W=(-17eV)-(-26eV)=9eV,D项正确。解法二等分法：充分利用U=Ed中场强一定3时U与d成正比的关系、直角三角形中tan37。=彳3和Sin37°二解题。建立bd等势线，在ac上利用U与d成正比来求d=17V时Cd的长度IE=4.5Crn,确定0二37oo作出等势线的垂线寻找E的方向，再利用9二37。得到Ce长度。由EI算出E的大小。在应用Ep=q及W=q时要注意电子带电荷量为-e,这样判断电子在a、b点电势能高低时不易出错。巩固提升巩固1如图所示，A、B、C、D、E、F为匀强电场中一个边长为IOcm的正六边形的六个顶点，A、C、D三点电势分别为LoV、3OV、5.0V,正六边形所在平面与电场线平行,则()A电场强度的大小为竽V/mB.Uef与UBC相同C电场强度的大小为竽V/mD.E点的电势与C点的电势相等【答案】A【解析】D.已知正六边形所在平面与电场线平行,且A.C.D三点电势分别为LoV、3.0V、5.0V,延长DC且使DC=CG,连接BG,可知dc=Ucg=2.0V,故ABG的电势相等为1.0V；C、F电势相等为3.0V,D、E电势相等为5.0V,故D错误；B.电势差UEF=50-30=2.0V,电势差Ubc=I-O-3.0=-2.0V,故B错误；AC,根据U=Ed可知,电场强度E牛念潦二aasin60u更浣V/m二竽Vm,故A正确，C错误；0.1×-3故选：A0巩固2如图所示，在某匀强电场中有一个正六面体，边长I=Im,已知A、D、H、G点的电势分别为a=6V（Pd=6V、11=14V、g=22V,则下列说法正确的是A.F点的电势为14VB.B点的电势为6VC.匀强电场的场强大小为8Vm,方向沿DH水平向右D,匀强电场的场强大小为8Vm,方向沿GD斜向上【答案】D【解析】CD.在匀强电场中沿任意一条直线电势都是均匀变化的，D、G两点的电势分别为6V、22V,则DG中点的电势为14V,设DG的中点为P点，则PH为等势线，由题意可知AD亦为等势线,电场线既要与AD垂直，也要与PH垂直，可知电场方向沿GD斜向上，场强大小E二等生二dGD82Vm,故C错误，D正确；AB.在匀强电场中，沿着两条平行且相等的线段电势降落也相等，可知f=22V,=14V,故AB错误C拓展拔高拓展1（多选）如图所示，匀强电场的方向平行于Xoy平面，cd、Cb分别垂直于X轴、y轴,a、b、C三点的电势分别为4V、8V、10V。现使一电荷量为q=-2><1C5C、质量m=22×103kg的带电粒子从O点垂直ab斜向上运动恰好通过b点。已知该粒子仅受电场力作用，下列说法正确的是（）WCmZo1 、G,_-2-1O12%/cmA.坐标原点O的电势为8VB.电场强度的大小为IOs血V/mC.该粒子从。点运动到b点过程中，电场力做功为4X10TJ1D.该粒子在O点速度大小为2zm/s【答案】BC【解析】由于是匀强电场，所以沿同一方向前进相同距离，电势差相等b-c=a-°,代入数据解得隼。=6V,故A错误；因为是匀强电场，所以沿同一方向前进相同距离，电势差相等，ab中点e的电势为x6V,连接Oe,则Oe为等势面,如图所示，由几何关系可知，ab垂直于Oe,则ab为一条电场线，且方向由b指向a,电场强度为E=M8-6L2cos450×i2V/m=1002Vm,故B正确；该点电荷从O点移动到b点电场力做功为Wot)二qUob=q(o-b)=-2×105×(6-8)J=4×105J1故C正确；从OTb粒子做类平抛运动,有doe二.1?IqlEb,Vot1doe=zat,a=,解得VO=doe-2mIqlE2dbem10.1×2-ms,故D错误。拓展2功64eV【答案】CD【解析】A.分别连接ad,Cd由圆的性质可知4adc=90o,Zabc=90°故根据几何关系可得ac=焉=IOcm,cos60ad=ac2cd2=6cm再由三角函数可得乙dac=53。，Z.acd=37o对ad两点的电势差Uad=a-d=36V由于电场线是电势下降最快的方向，则电场线在ad和ab两条直线之间，线条与电场线夹角越小,电势下降越快、ac电势下降应快于ab,若C点的电势为0V,ac方向每ICm电势变化4.6V,低于ab方向电势变化，与分析结果相反，故B错误；若用排除法，本题多选，故选CD。(多选)如图所示，a、b、c、d是圆O上的四点，ab=5cm,cd=8cm,Zbac=CD.由于对ab两点的电势差Uab=CPa-b=60°,一匀强电场的方向与圆所在平面平行。己知a、b、d三点电势分别为6a=46V、b=21V>d=10V,则下列说法正确的是25V将电场强度分解到ab、ad方向，分解的电场强度为Eab=¾r=5Vcm,Ead=粤=6Vcm3D3Q过C点分别做ab、ad的平行线，与ab、ad相交与e点和f点，如图所示解得Ce=sin60tsin67cacsin53osin67oacA.电场强度大小为6VcmB. a点电势比C点电势高46VC.电子在b点的电势能比在C点的低75eVD.电子从d点运动到C点，克服电场力做对ce、ae的电势差分别为e-=EadCe=sin60o.ir_sln530.×60V1=Eabae=X50Vsin67o,WaWeaDsin67o其中Sin67。=sin370cos300÷cos370sin300=写则ac两点间的电势差为-=黑;Xacsino/50V÷X60V=V=100V10则C点的电势为Q=-54V所以UbC=<PLc=75V从而可知，电子在b点的电势能比在C点的低电势能之差为W=eUbc=-75eV根据电场力的公式，可得电子从d点运动到C点，克服电场力做功为W=eUck=64eV故CD正确。拓展3（多选）如图所示，在竖直平面内有A、B、C、D、E、F六个点均匀分布在半径为R=5m的圆周上，直径AD水平，空间有一电场方向与圆平面平行的匀强电场。己知a=（2-3）V,=2V,c=（2+3）V,重力加速度g=10ms2,下列判断正确的是（）A.电场强度的方向由C指向AB.将一负电荷从B点经D移到E点，电势能先增大后减小C. 一电荷量为qN+lXICrt、重力不计的粒子以2X1Ot）的动能从B点抛出，调整抛出的方向，可到达圆周上的任何位置D. 一电荷量为q=+lX10"C质量为m=2×107kg的小球以2×IO6J的动能从B点沿某一方向抛出，到达E点的动能为8X10'J【答案】AD【解析】A.如图所示设AC连线的中点为P,根据题意有p=由此可知，BP为等势线，AC为电场线，且电场的方向由高电势指向低电势，即由C指向A,故A正确；B.负电荷由B点经D点移到E点，电势先升高后降低，所以电势能先减小后增大，故B错误；C.若粒子能到达图中的Q点，则可以达到圆上任意位置，假设粒子由B运动到Q.根据动能定理有qUBQ=EkQ-EkBUBQ=-ER=-2V解得EkQ=0粒子由B运动到Q做类抛运动，粒子到Q点速度不为零，动能不为零，故假设不成立，故C错误；D.从B点到E点，根据动能定理mgBF÷qUBE=EkEEkoBF=2Rcos=3mUBE=解得Ek=8XIO-6J故D正确。题型五电场中的图像问题1.常规动力学图像经典例题典例1（多选）图甲中直线PQ表示电场中的一条电场线，质量为m、电荷量为q的带负电粒子仅在电场力作用下沿电场线向右运动, 经过P点时速度为Vo,到达Q点时速度减为零，粒子运动的V - t图象如图乙所示.下列A.P点电势高于Q点电势B.P点场强大于Q点场强C.P、Q两点间的电势差为D.带负电的粒子在P点的电势能大于在Q点的电势能【答案】ABC【解析】由题图乙知带电粒子的速度减小，受 到向左的电场力，故电场线方向向右，P点电势一 定高于Q点电势，故A正确；由题图乙可知，P处 的加速度大于Q处的加速度，故P处的场强大于 Q处的场强，故B正确；由动能定理知q = mvd2,.可求出PQ两点的电势差为可，故C正确；负电 荷在电势低的地方电势能大，故带负电的粒子在P 点的电势能一定小于在Q点的电势能，故D错误.典例2一带负电粒子在电场中仅受静电力作用 沿X轴正方向做直线运动的v-t图象如图所 示，起始点O为坐标原点，下列关于电势> 粒子的动能Ek、电场强度E、粒子加速度a【答案】【解析】度逐渐减小,C由v-t图象可知速度减小,且加速电场力做负功，动能逐渐减小，而电场强度E = = 所以沿+ x方向场强逐渐减小, M M则电势不是均匀减小，所以A、B、D错误，C可能合理。2. E-X图像经典例题典例1（多选）电场中有一条电场线与X轴重合, X轴上各点的电场强度与位置的关系如图8 所示，一质子仅在电场力作用下，从坐标原 点由静止释放沿X轴正方向运动，已知Oa =ab=bc=d, b点电势b=0则下列结论 正确的是（）A.质子沿X轴做匀速直线运动B.质子在a、C两点的电势能相等与位移X的关系图象中可能合理的是（）C.质子在a、b、c三点的动能之比为2：3：D.坐标原点O的电势为L5Eod【答案】CD【解析】由E-X图象和F=qE可知，质子沿X轴先做匀加速直线运动.后做加速度减小的加速直线运动，最后做加速度增大的加速直线运动，故A错误；质子一直做加速直线运动，电场力做正功.电势能减小，故B错误；由E-X图象与X轴所围3“面积”表示电势差，因此UOa=Eod,UOb=EE0d,Uoc=2E0d,由动能定理有Eka=qU°a=qE0d.Ekb=qUb=qEod,Ekc=qUoc=2qE0d,所以质子在a、b、c三点的动能之比为2：3：4,故C正确；根据UOb=o-可得坐标原点O的电势为o=1.5E0d,故D正确.典例2空间有一沿X轴对称分布的电场，其电场强度E随X变化的图象如图所示.下列说法中正确的是（）A、0点的电势最低B、X2点的电势最高C、K和一Xi两点的电势相等【答案】C【解析】由于电场线的正方向未知，所以无法比较电势的高低，选项A、B错误；由对称性可知,将同一电荷从一刈点移动到0点和从Xi点移动到。点电场力做功相同，所以-玄点和X1点为等势点,选项C正确；由对称性可知，将同一电荷从Xi点移动到X2点和从X3点移动到X2点电场力做功数值相同，但一次做负功，一次做正功，X】点和X3点电势并不相同，选项D错误U巩固提升巩固1平行金属板A、B带等量异种电荷，以过两板中心。点（原点）的某轴线为X轴、由A指向B的方向为场强的正方向，作出场强大小随坐标变化的图像如图所示，其中a=b=l0下列说法正确的是（）A. A板带正电B.沿X轴正方向电势降低C.电势差UbO=UOa=EOlD.将电子沿X轴由a点移动到b点，电子的电势能不变【答案】D【解析】a、b间场强大小为E。且保持不变，则其为匀强电场，外侧场强快速趋近于零，且都为负值、因此X轴为平行于两板的中心轴线，如图所示，场强为负表示场强方向由B指向A,则A板带负电、选项A错误；两板间平行于两板的中心线为一等势线，电势不变，b、。与。、a之间的电势差均为零，选项BC错误；由于两板间的X轴为一等势线，所以将电子由a点沿X轴移动到b点，电场力不做功，电势能不变，选项D正确；故选D。4.Ep-x图像经典例题典例1（多选）一带负电的粒子只在电场力作用下沿X轴正方向运动，其电势能EP随位移X的变化关系如图所示，则下列说法正确的A.粒子从X1处运动到X2处的过程中电场力做正功B. Xi、Xz处电场强度方向沿X轴正方向C. Xi处的电场强度大小大于X2处的电场强度大小D. X1处的电势比X2处的电势低【答案】AD【解析】由于粒子从XI运动到X2,电势能减小，因此电场力做正功，粒子所受电场力的方向沿X轴正方向，电场强度方向沿X轴负方向，选项A正确，B错误；由AEp=qEAx,即qE=*,由于X1处的图线斜率的绝对值小于X2处图线斜率的绝对值，因此Xi处的电场强度大小小于X2处的电场强度大小，选项C错误；沿着电场线方向电势降低，故Xi处的电势比X2处的电势低，选项D正确C