第06讲拓展一：数列求通项（解析版）.docx

第06讲拓展一：数列求通项一、知识点归纳知识点一：数列求通项(S法、T,法)1对于数列”,前项和记为s.；s“二囚+出+4+1+“；Se=%+4+%+。吁1(22)。：Sn-Sn=an(n2)S“法归类角度1：已知S”与见的关系；或S“与的关系用H-Se,得到勺例子：已知4S“=(an+1)2,求角度2：已知与STTEJ的关系；或。与区+6二的关系S“S1替换题目中的凡例子：已知2%=SRtS2)；已知=an+l邪"1角度3：已知等式中左侧含有：aAJ=I作差法(类似Sn-S“7)例子：已知q+2%+3%+nan=2"求an2对于数列%,前项积记为7；驾=%/；&1=-q-iQ2)+：Ji-=n("2)7；法归类角度1：已知7；和的关系角度1：用“，得到见4-1例子：也的前项之积7>2=("n)角度2：已知7；和%的关系角度1：用/替换题目中/"-I12例子：己知数列%的前项积为4,且丁+尸=1.n知识点二：累加法(叠加法)若数列%满足%+”=/()Se"),则称数列%为“变差数列”,求变差数列%的通项时，利用恒等式a”=q+Q-)+(2-%)+(6)=%+/+"2)+/(3)+/(-1)52)求通项公式的方法称为累加法。具体步骤：将上述-1个式子相加(左边加左边，右边加右边)得：(a2-al)+(a3-a2)+(a4-%)+(“一=/0)+/(2)+/(3)+/(-1)整理得：aw-1=/(1)+/(2)+/(3)+/(-1)知识点三：累乘法(叠乘法)若数列%满足皿=/()SWN),则称数列册为“变比数列"，求变比数列%的通项时，利用an=-=«/O)*/(2)/(3)(-1)(2)求通项公式的方法称为累乘法。qa%具体步骤：将上述”-1个式子相乘(左边乘左边，右边乘右边)得：整理得：=(1)(2)(3)f(n-l)a知识点四：构造法类型1：用“待定系数法”构造等比数列形如。+1=反“+2(k,p为常数,kpO)的数列，可用“待定系数法”将原等式变形为a+m=k(an+m)(其中：=，由此构造出新的等比数列%+“?,先求出%+"?的通项，从而K-I求出数列j的通项公式.标准模型：an+i=kan+p(A,p为常数，kpO)或。林=ka,+p(%,P为常数，kpO)类型2：用“同除法”构造等差数列(1)形如册x=g%+pM("N*),可通过两边同除夕向，将它转化为驾=+P,从而构造数列2qqM.为等差数列，先求出与的通项，便可求得2的通项公式.q(2)形如。川二履+4向5N*),可通过两边同除夕川，将它转化为智="3+1,换元令：=,qqqq则原式化为：+=+h先利用构造法类型1求出2,再求出见的通项公式.(3)形如册-4+=m+s(AwO)的数列，可通过两边同除以/+1%,变形为i-=-无的形式，从而构0M+lan造出新的等差数列I-L,先求出I-L1的通项，便可求得。的通项公式.知识点五：倒数法用“倒数变换法”构造等差数列类型I：形如品讨=，(PM为常数，PqM)的数列，通过两边取“倒”，变形为一='+£,patl+q册+1册q即：从而构造出新的等差数列-,先求出的通项，即可求得乐.册+lanql%J%JkanC类型2：形如+=(p，q为常数，po,o,k0)的数列，通过两边取“倒”，变形为pa/q=7÷,可通过换元：2=工，化简为:“+g(此类型符构造法类型1：用“待定4+k册kankk系数法”构造等比数列：形如4+=k%+p(%,p为常数，O)的数列，可用“待定系数法”将原等式变形为%+)?=%(4+M(其中：，=£),由此构造出新的等比数列册+,先求出%+”的通项，从而求出数列牝的通项公式.)知识点六：隔项等差数列已知数列q,满足4+1+%=/()(1)，则氏+2+°”+1=/(+1)(2)；+“”7=/(-1)(3)(2)-(),an+2-an=d(其中。为常数)；或(1)一(3):。向一/_=或之2)则称数列凡为隔项等差数列，其中：4,4，牝，的构成以q为首项的等差数列，公差为d；。2，%，。6，。8构成以。2为首项的等差数列，公差为d；知识点七：隔项等比数列已知数列4,满足%=/(),则an+2'&+1=/(+D(2)；/,勺-1=/(-D(3)=Q(其中夕为常数)；或襄：%tk=q52)则称数列SJ为隔项等比数列，其中：构成以为首项的等比数列，公比为夕;。2，。4，。6，。厂一构成以。2为首项的等比数列，公比为夕；二、题型精讲题型OlS.法(用SI，得到%)1.(多选)(2023秋吉林长春高三校考阶段练习)设S”为数列%的前项和，已知q=3,Pm,eN',Snt+n=SmSrf,则（）B. q=54D. S,= 3"A.,是等比数列C.%+4+%+%+%=38【答案】BD【详解】因为=3,9，eN',Si=SfnSf,所以Sfl+=S11S1=SM=3Sn,又S=3,所以Szt是首项为3,公比为3的等比数列，所以S“=3"，故D正确;当2时，=S"-S"T=3"-3"-'=23"-,当=1时，6=3,不满足上式，所以勺=/；,故A错误；3,w=1因为%=2x3=54,故B正确;因为+«6+。7+«8+。9=SgS4=3。-34>3,，故C错误.故选：BD.2 .（2023秋上海普陀高二上海市晋元高级中学校考阶段练习）已知数列4的前项和S“=3”+2,4的通项公式为.【答案】an=5, = 12-3n-n2【详解】当”=1时，q=S=3+2=5,当2时，=S"一=3"+2-3n1-2=23n,q=5不适介上式,故血的通项公式为为5,« = 123-,w2 '故答案为：4” =5, = 123-1,m23 .（2023秋,上海徐汇高三上海市南洋模范中学校考阶段练习）已知数列4的前项和邑=（-2）2+4,"N.若是等差数列，则血的通项公式为【答案】a-4n+3【详解】由S”=(-2)/+。知,当=1时，1=S1=2-1；当2时，见=S“一Bi=2("2)+(3a),此时，当=2时，a2=4(t-2)+(3-)=3tz-5,当z2时，anl-an=2(a-2),a2-a=3a-5-(2a-)=a-4t若数列4是等差数列，则2(。-2)=。-4,所以。=0,则alJ=-4+3.故答案为：氏=-4,z+3.4 .(2023秋甘肃庆阳高二校考阶段练习)已知各项均为正数的数列4的前项和为邑，且U+%=2S.求数列4的通项公式；若数列也满足，b=0,btt=一!("2,"Z),求数列4的前项和7；.an-*an+【答案】见=T-',n42L11w+1J【详解】由Y+4=2S“得总+*=2S故两式相减可得：*+%-&+4)=况,耳，化简得4:-。:=°用+4，由于凡各项均为正数，所以。川+%>0,故。川-勺=1(常数)，又当=1时，=2S=2%,由于q>0,故=l,LrJL_i(-I)(w+1) 2 -1 +1 ；所以数列%是以1为首项，1为公差的等差数列；(2)由(1)得：“2时，b“=!an-an所以当 2时,0+4+LLLL+.-_L±4232435n-3n-1n-2nn-1n+11w+ 1耳+!_L=2-!J22nn+42当 = 1,1=0也彳.5 .(2023秋福建厦门高三厦门大学附属科技中学校考阶段练习)已知各项为正的数列/的前项和为S.，满足S”=；(%+1)2.求数列/的通项公式；若数列满足也,bi=alfb2=a2+a3,bi=ai+as+a6t"=%+%+%+即)，.，依此类推，求4的通项公式.【答案】=2-1(2)【详解】(1)因为S.=；m+1)2，所以S"1=?e+1)2一两得。向=；(。川+1)2-：(勺+1)2,即(6+q,)(q+氏一2)=0,又因%>0,所以凡+1-凡=2；当=1时S=%=；(%+I)2,解得4=1,所以%二2-1(2)设数列q的前项和为S"，数列4的前项和为人a为叫中的项之和，*为血中的前口孚项和.p127,(1+)(一,当2时，=、L一、L=/，4=q=lbltni.6.(2023湖北黄冈黄冈中学校考三模)已知正项数列/的前项和为S,且4S.=a；+2q-3(CZ).求数列4的通项公式；将数列%和数列2"中所有的项，按照从小到大的顺序排列得到一个新数列",求"的前100项和.【答案】4=2"+leN(2)9089【详解】(1)依题意%>0,当”=1时，解得4=3,45.1, d+2%-3,当2时，有4S.=d+2%-3,作差得：(4+an-)(a一4-2)=0,(2),.%+%>0，吗-%=2(2),数列%是首项为3,公差为2的等差数列，.an=2/7+1,wN*.(2)由(1)得,aloo=2Ol,X27<201<28.RM3=187>27,93x(%+3)2仅-1)=J-见。L=9089-22-1所以4的前100项和为9089.题型02S法(将题意中的凡用S5一替换)1. (多选)(2023辽宁沈阳东北育才学校校考模拟预测)已知数列/的前项和为BI(S“=0),且满足勺+4SZS.=0(2),l=i,则下列说法正确的是()A.数列凡的前项和为S“=4B.数列q的通项公式为勺=丽而C.数列%不是递增数列D.数列,(为递增数列【答案】CD【详解】4+4SiS.=0(“2),则S.-Szjt+4SLR=0(22),即Om3,nn-故1是首项为4,公差为4的等差数列，故=4，即S”=，-,IAJSn4a=-4SlS=-4×!X=-!-(2,a.=nI"4/7-444(-1)''4'对选项A：S”=；,错误；卜=1对选项B：%=1,错误；/7(之2)4(-1)'对选项c：«1=I%=-)，故数列4不是递增数列，正确；4O对选项D：y=411,故数列;9为递增数列，正确；故选：CD.2. (2023全国高三专题练习)设数列4的前项和为S”，且q=2,SnSn=an,则“fj=2,w=1【答案】4“,/?2(2-3)(2”5)【详解】由Sml="川,得到Se£=%臬，然后两边同除以SZS.得到即一二-1,%1%于是数列是公差为T的等差数列.2-%而-(w-l)=,进而得到S.=J,223-2n224所以“2时，有%"S"-S=325-2=(2-3)(2-5)('*2)2,/:=1综上所述，an=<4>,.(2-3)(2-5)"一2=1故答案为：4”j2(2w-3)(2-5)3. （2023秋贵州黔东南高三天柱民族中学校联考阶段练习）己知正项数列%的前项和为SzlM=1,且qf=6+6（“2）.求凡；17（2）=-,数列出的前项和为7；,证明：Tn<-.【答案】4=2,LI证明见解析【详解】（1）当2时，4=Sn-SZ=邪"+ySZ，即（后-疯7）（疯+67）=叵+反，由数列为正项数列可知，医-瓦=I,又何=百=1,即数列6是首项为L公差为1的等差数列，即=，则yStt.I=-1,n>2当2时，%=”1=2-】，当=1时，=2xl-l=l成立，所以勺=2-1(2)由(1)可知，Sn=n2,则4=5，,1111当2时，=-<-7E=n(-11W-In7157BP7L<1÷1÷-/;=1<-»成立，n=1+齐=W成立，1717=<一n4n4综上可知，Tn<,得证.44. (2023春河南许昌高二统考期末)已知数列%,1=,其前项的和为S”，且满足3S；+。-3S)%=0(“2).求数列/的通项公式；1112证明：$+彳$2+二$3+L+S“<'23n3?w=,【答案】6=1；7，223(-l)证明见解析【详解】(1)当2时，%=S11-SZ又因为3Sj+(l-3S)%=0,所以3S*(l-3SJ(S,-S-J=O,即S,-Sjt+3SaSjt=0,则微一y-=3,又=3,所以数列12是以3为首项，3为公差的等差数列，所以!=3+3("1)=3",则s"=，3“3ro111从而当2时=s”-s”TF-至不=-艰可,显然=1,=g不符合上式，pn='故数列4的通项公式为4=1/23(-1)（2）由（1）得EI=3,3n当 2时,所以斗3+*+'” +如>故不等式成立.5. (2023春辽宁沈阳高二东北育才学校校考期中)设正项数列4的前项和为S.,且4=1,当2时,anJSi.(1)求数列%的通项公式；(2)设数列出满足乙=1,且晨La=求数列也的通项公式.【答案】4=2-1(2)=(2-5)211-,÷4【详解】(1)由%=收+标，得S.-S.T=疯+如，因为s,>o,所以疯一疯7=1，所以病是以何=1为首项，1为公差的等差数列，所以底=1+(-1)=，所以，当2时，an=yfs+ySn.1=n+n-=2n-,当=1时，4=1也满足上式,所以数列%的通项公式为%=2-1.(2)由口一"=2n-,/=(2/7-1).2-,知：当刀2时,bn=>l+(b2-bl)+(3-h2)+(bn-bn+),=l+l×20+3×2,+-B)=一，则2"=2+l2+322+(2-3)2E，由-得:-=2(2,+22+2-2)-(2-3)2fl-=2×2><(2；，：-1)(2w-3)2fl-1，21化简得：=(27-5)2-,+4(2),当=1时，4=1也满足上式，所以数列也的通项公式为=(2w-5)2n-'+4.6. (2023安徽阜阳安徽省临泉第一中学校考三模)已知数列%的前n项和为S“，SnSn+l+=2Sn.(1)若szll,证明：数列J7为等差数列.A1,若q=2,何|<焉，求的最小值.【答案】证明见解析(2)33【详解】(1)由已知，Sn0tS,t“=2白，Sn 以 所-S" -lS故数列QI为公差为1等差数列。”一L(2)因为q=2,不满足条件，此时E=2,-l=1,3T由(I)知数列71为首项为I公差为I等差数列，所以4=，故St=I+1,IA-IJ，rTn当2时，on=Sn-Sn,i=-5=一一1,nn-1n(n1)由q<!,故<5,BPw(w-l)>100O,1l1000(w-1)1000I7因为eN,所以33.故满足KJ<高的n最小值为33.题型03S”法(已知等式中左侧含有：±aibl)/=11 .(多选)(2023秋山东潍坊高三统考阶段练习)已知数列%满足+2%+-+2”&=.2/1则()A. an=2n+2B. %的前项和为(+3)C. (-l)z,的前100项和为TOOD瓦-10|的前20项和为284【答案】ABD【详解】当=1时，ai=22=4,当2时，q+2出+2"-2两式相减可得：2"%i2"JGLl)2"=("+l)k,所以勺=2+2,当=1时，q满足%,故%=2+2,故A正确：4的前项和为S+；"+2)=2+3,故B正确：令=(-1)%=(-1)”(2+2),也的前100项和为:-4+6-8+10÷+202=2×50=100,故C错误；令S=¼T0T28,所以h,t-10的前20项和为：+Z>2÷+=12+M2+32)=12+8x34=284,故D正确.2故选：ABD.2. (2023秋天津津南高二校考期末)已知数列q满足4+3生+不生+击勺=，"GN"记数列24-的前项和为S”，则SfJ=()AV-12B.2n*'-2I-2C.2n-nD.2n-32222【答案】B【详解】由题设4=1且+；4+袅13+T"”1（。2）,故击“：=1且2,所以4=2",又q=l也满足，故勺=2",则2=2"-，所以S.=(2+22+.+Z,)-(l+2+.+)=2xl2")”(7)=2»'2-：.故选：B3. (2023秋湖北高三黄石二中校联考阶段练习)数列%满足4+,+L+"=%-1，"cN*,且q=l.求数列七的通项公式；【答案】(1)勺=【详解】(I)解：Q+a2+T3÷L+一q=4.1一1,23n当2时，ai+a2+-a3+-+-an=an-,23W-I作差，得即=n+1因为4=1,g=2,所以?=?,满足餐=M,2In+in即标为常数列，即?=1'%=.4. (2023春湖北恩施高二校联考期中)已知数列m的前项之积为5，且?+今+-+3=江(1>1").b瓦bn2求数列答和"的通项公式；IAJ【答案M吟=GWN)=-(wN*)【详解】(1)4+2=j，“b1bn2,/&+.+也;（I）2+1（朝ab2bn_2i可得今=（2）,L=l也满足上式，.,.今=MeN）.;数列%的前项之积为,当"2时，%=*"，代入可得"=L,-n.bn=-!-（"N"）.n+八）5. （2023秋四川眉山高三校考开学考试）己知数列4的前项和为S”，?+?+?+%=，N*.123n求数列4的通项公式；【答案】凡二【详解】（1）数列%的前项和为S,-+?+?"!n-2="（j）,123n当2时,牛+会+怒=（T），一得：M=I,所以见=M"2）,n又。1=1,也满足上式，故=.6. （2023春河南南阳高二校考阶段练习）己知数列&满足/（+1）（4-1）q+22+3ay+（/-1）an_x+nall=-.6求的值；【答案】凡二2-1【详解】（1）由题意可知：数列卜q的前项和Srl=?（"+D0”一）,6当”=1时，可得4=S=,所以片=1；当2时，可得WLSSi=（+1）（41）（"16（4"5）66=看（+1）（4-1）一（一1）（4-5）=1（42+3-1）一（42-9+5）=.所以又因为。=1也符合&=2-1,所以q=2-1.题型04累加法1. （2023秋江苏无锡高二江苏省南普高级中学校考阶段练习）已知数列4满足q=l,.=%+3"-2（“2），则4的通项公式为（）A.an=3B.an=3w2+wC.andCIn=即十【答案】C【详解】Val=1,=rtd+3n-2(n2),an-an,=3w-2(2),。“=(4“_%-1)+(%-I一勺-2)+一.+(/)+4=(32)+(35)+4+1=(3*)+中=32-,22故选：C.2. (2023春辽宁朝阳高二建平县实验中学校考阶段练习)已知各项均为正数的数列%满足-%=2,=13,则"取最小值时，n=()nA.3B.4C.5D.6【答案】B【详解】由已知可得4,1=2(-1),/_一勺_2=2(-2),.,a3-a2=2×2,生一6=2x1,将上面式子左右两边分别相加可得%-=2(1+2+-1),.=1+13,/A=w+-1nn13令尸()=+了一1,eN"，,广()=1一£,当i5时，尸(")为减函数，:>I5时，尸()为增函数，且eN，又尸号，尸H)弓，且尸(3)>尸(4)F(w)F(4)=,故当=4时，亍取得最小值.故选：B.3. (2023秋甘肃金昌高二永昌县第一高级中学校考阶段练习)已知数列q满足见+-%=3"I"N'),%=3,贝J%=.v+,【答案】-2【详解】因为数列满足+1-=37(eN)所以2-q=32,a3-a2=33f.,an-an.=3w(w>2),art+_O当2时，an=al+(2-1)+(3-2)+(m-11,1)=3+32+33+3n=；当=1时，a.-=3»满足上式.12综上所述，Ilz2.2故答案为：匕m.24. （2023全国高三专题练习）若数列%满足：«,=l,an+i=an+2nt则数列6,的通项公式为an=.【答案】2-1-1+2"【详解】由练“=4+2”,得叫勺=2"，所以当2时,q=（4一%）+（的一勺-2）+3，）+%=2-l»而q=1满足上式,所以qr=2"7故答案为：an=2n-.5. （2023秋重庆九龙坡高三重庆实验外国语学校校考阶段练习）已知数列/中，q=2,且+1）（%+1-4”）=一1淇中N，求数列凡的通项公式：【答案】（I）""=1+',"cN.:n1111111【详解】（1）（法一）由题意知,%一+产而用=7一；,则=启/，一的=厂，累加得：ai-an=且2,又=2,故”“=1+Lnn而q=2符合上式，故V"N*,a,=I+'.n1111I（法二）由题意知，勺-%+1=/4=77,则川;=%一一，w（w+l）nn+1/7+1n所以a”-L=%l7=q_?=,则q=1+-.nn-i1n6. （2023秋高二课时练习）在数列叫中，=2,且=勺+111+小，求数列叫的通项公式.【答案】a=2+nn【详解】由题设。川一勺=In四,所以4j,=（%一?-）+.+伍2-）+4=In-7+.+In；+2=2+In旦2,v-11显然q=In1+2=2满足上式，所以a0=2+ln?7. （2023全国高三专题练习）若在数列“中，q=l,an=an+n2f求通项答案%=25+66a2-a=I2,a5-a,=22t【详解】由ae=/+/,得，-.%=1）二以上个式子相加，又+2?+32+I=""+1）。"+1），6由Z112C202/121（-1）（2-1）2wj-3w2+w+6所以a”=1+1-+2?+32+（-1）=1+L=.66题型05累乘法1. （2023秋福建漳州高二校考阶段练习）已知数歹U%满足=1，上J=T，（2），则为=（）“a-111A.n-1B.C.nD.-n-ln【答案】D【详解】因为&=T,62）,%n上述各式相乘得义=,，aln因为4=1,所以a”=1,n经检验，=1满足a”=一,n所以%=Ln故选：D.2. （2023全国高三专题练习）在数列%中，若q=2,则勺的通项公式为【答案】。“=小2"【详解】由题意知耳川=2 1+-zr,故IlL = 2(1+，2(+ 1)na. a. an 八 2x2 2x3故Q =l ×-×-× ×= 2××XX" a a2 3 12Inw-12n×w = 2,',故答案为：an=n-2n3. （2023全国高二专题练习）在数列%中,%=7%"N'）且则数列4的通项公式an【详解】解：由J=忘入得T=去M-=a13an 1 累乘得2 3n-3 n-2 n-2=2a24,XX××××=-45n1nn+1n(n+1),8故答案为：÷9,4.（2023全国高二专题练习）若数列与的首项q=l,且/=2IqT（2）,则数列4的通项公式为.(-I)【答案】=2【详解】解：Y数列"中，q=l,r=2fl-,n.1(w2),三r,=2故答案为：Q=2号5. （2023秋江苏高二专题练习）己知：«1 =1凡二誓!。小（2）求数列q的通项.【详解】在数列q中，q=:,当2时，4=汽1，显然。小工0,则区="，32+1a”_i"I+1%=；也满足上式,a2aian1352n-1=a.=ala2%357+1In+1所以数列q的通项是可=奈6.（2023全国高二专题练习）已知数列氏满足：=p"，+尸吟4，求数列的通项公式【答案】an=.【详解】由题意得也二；四，42n当2时，又=;也满足上式，所以%=会.故。与.题型06构造法1. （2023春河南许昌高二校考阶段练习）已知数列%满足。向=2q+1M=1,则4的通项公式（）A.an=2fl,B.an=2nl-C.an=2nD.an=2n-【答案】D【详解】由-=2%+1得+1=2（%+1）,而q+l=2,故k+l是首项为2,公比为2的等比数列，所以勺+1=2",即%=2"-L故选：D2. （2023全国高二专题练习）已知数列中，=4mt=4%-6,则%等于（）A.22+1+2B.22n+,-2C.22rt,+2D.22rt,-2【答案】C【详解】Qan+1=4an-6,.an+j-2=4（an-2）,一2所以=4,所以数列氏-2是一个以2为首项，以4为公比的等比数列，所以42=2x4"，.勺=22"-+2故选：C3. (2023秋陕西商洛高三陕西省山阳中学校联考阶段练习)己知数列为满足。用=3凡+2,%+%=22,则满足心160的最小正整数=.【答案】5ax=30+2,=5详解由§2解得2ai+a2=22%=17又%=31+2,所以q=1.另一方面由牝+i=3qr+2,可得为h+1=3(%+1),所以%+1是首项为4+1=2,公比为3的等比数列，所以4=23"-l,易知%是递增数列，又。4=2x27-1=53,=2×81-1=161,所以满足160的最小正整数=5.故答案为：5.4. (2023春江西南昌高二南昌二中校考阶段练习)数列加中，6t1=l,a,=3a,+2M2),则此数列的通项公式%=.【答案】2x3"T-l【详解】因为勺=3%+2(2),所以q,+l=3(%+l),又OI=1,所以q+l=2,所以%+l是以2为首项，3为公比的等比数列，所以勺+I=231,则q=23-l.故答案为：2x3”"-15. (2023全国高三专题练习)已知数列4满足4=1,且见(“2),则数列加的通项公式4=.【答案】联【详解】Vaw=l1÷(w2),3=3-1an.1+l(w2),即3"%-31%T=IeN2).又=1,3,a1=3,，数列3"%是以3为首项，1为公差的等差数列，3nan=3+(n-l)×l=;?+2,数列4的通项公式凡=*.故答案为：联.6. (2023秋福建龙岩高二福建省连城县第一中学校考阶段练习)已知在数列%中，%'则4=-【答案】【详解】因为%=一=所以2"%N=WX2+l,O32)3整理得2"+%3=才2&-3),所以数列2%.-3是以2q-3=-g为首项，W为公比的等比数列，所以2Z-3=U，解得a,=''32故答案为：题型07倒数法则下列结论正1 .(多选)(2023春湖南岳阳高二校考开学考试)已知数列%满足=L向=J-确的有()A.1+3为等比数列IAB. 4的通项公式为明=9二C. 4为递增数列D.，的前项和北=2+23-4【答案】ABD【详解】因为q=1，。川=/一，2+3%所以2+3。“=2+3,所以L+3=2(-!-+3,%凡凡。一，a.又因为一+3=4,%所以数列<:+3是以4为首项，2为公比的等比数列，故A正确；+3=4×2-,=2+,即"一,故B正确：an2-311_(2+i-3)-(2+2-3)囚为U*=211+2-32*3=(2,+2-3)(2n+1-3)=(211+2-3)(2+,-3)因为“1,所以2"+2-3>0,2川一3>0,2rt+1>0,所以。川-4<0,所以凡为递减数列，故C错误；则7；=(22+23+24+,一+2"4)-3=4；一；)3=2/23一4，故D正确.故选：ABD.2. (2023全国高二专题练习)已知数列/满足4=；,且4"=肃1，则数列/的通项公式为an=.【答案】J73一1【详解】由&+1=7三7两边取倒数可得=+3，即=3.3%+1%'an+ian所以数列是首项为2,公差为3等差数列.所以'=2+3("-1)=3"1,所以%=h二.a,3一1故答案为：.3,Ll3. (2023春宁夏银川高二宁夏育才中学校考期中)已知函数/(X)=磊.若在数列加中，q=1,a=f(an)(ne),计算%、，并由此猜想通项公式;(2)证明(1)中的猜想.2122【答案】出=葭"3=5'7屋%=方证明见解析【详解】（I）解：因为/（X）=搐，在数列6中，6=1，/+=（j（"WN）则"=急P所以，a2 =Iax 2a,+2 1 + 2,20 I-i ,32 + 2 2 - % + 2 l+2 532猜想，对任意的"N,2 %=；TT（2）证明：因为=1,m即% 2 an+l an22,所以，数列是首项为，=1,公差为;的等差数列,I。"2所以，故对任意的E%=高4. （2023全国高三专题练习）已知数列的递推公式对川=夫：，且首项=5,求数列4的通项公式.【详解】令心先求出数列的不动点A等解得QX2.将不动点寸52代入递推公式，得2号2a-2整理得-2=勺一1+1%+-2 an-2令4一2+1, - = .数列"是以1为首项，以1为公差的等差数列.M的通项公式为“=4+（-1）1=-：.1.112将”=代入，得一-=w-.可一2a,l-235. （2023全国高二专题练习）已知数列血的通项公式为q=,%+=崇求数列”的通项公式.若2q<g求满足条件的最大整数值.【答案】（1）死3”3n+2（2）99【详解】解：因为-12all+121所以=-=+-，%+3%33all则-1=14+13所以数列，-1是以目为首项，!为公比的等比数列,4J3311212所以工T=TF=,所吟三,所以=："3"+212（2）解：由（1）可得一=*+1,anJ111122211则+,+=-+r+÷?=W+1,%a26an333n3"-+<100,则+1-<100,aa2%43”因为函数y=+l-1是增函数，且当=99时，+1-"=100-JCIo0,当=IOo时，+1-=101-J->100,33所以满足+<