第02讲三角函数概念（知识解读解题方法随堂测试）（解析版）.docx

金学科网WWW.XXXK.COMJP.ZXXK.COM至拚同里钥，让*H更有易?学科网精品频遇钮耀1.第02讲三角函数概念知识点1：任意角的三角函数定义1、单位圆定义法：如图,设。是一个任意角,R,它的终边OP与单位圆相交于点PaJ)正弦函数：把点P的纵坐标V叫做的正弦函数,记作Sina,即y=sina余弦函数：把点P的横坐标X叫做。的余弦函数,记作COSa,即X=COSa正切函数：把点P的纵坐标与横坐标的比值上叫做的正切,记作tana,即X=tana(0)X我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数2、终边上任意一点定义法：在角a终边上任取一点P(x,y),设原点到P(x.y)点的距离为1二|0P=17正弦函数：sina=/,Y余弦函数：COSa=二r正切函数：tana=(0)X知识点2：三角函数值在各象限的符号Sina,cosa,tana在各象限的符号如下：(口诀“一全正,二正弦,三正切,四余弦”)知识点3：特殊的三角函数值角度aO15°30'45°60'75°90120135150180弧度aO1264T5V222TT56正弦值SinaOy/6-242_22222瓜中五413T2V2O余弦值14322T2瓜-五4O222-1CoSa正切值tana031-1-3"T0知识点4：诱导公式一(1)语言表示:终边相同的角的同三角函数的值相等.(2)式子表示: sin(+2k)=sina cos(+2k)=cosa tan(a+2k)=tan其中左Z.知识点4：三角函数线设a角的终边与单位圆相交点尸；由点尸向X轴做垂线，垂足为点由点4作单位圆的切线与终边相交于点T。如下图所示：Ipwrl为正弦线，长度为正弦值。IOMl为余弦线，长度为余弦值。AT_AT_ATOArI/71为正切线，长度为正切值。【题型一三角函数的定义】【典例1(2022秋通州区期末)已知角a的终边经过点P(-3,4),则Sina的值等于()a.-3B.3c.AD.-A5555【答案】C【解答】解：已知角a的终边经过点P(-3,4),由任意角的三角函数的定义可得X=-3,y=4fr=5f.'Sina=N=生r5故选：C.【变式11(2022秋河东区期末)若角a的终边过点P(-2,1),则COSa的值B翌【解答】解：Y角的终边过点产(2,1),m=(-2)2+12s.由三角函数的定义得：COSa=三二Z=N叵.r55故选：A.【变式12(2022秋襄城区校级期末)已知角。的终边经过点(2,-3),则sinD. - 3B.噜【答案】4【解答】解：因为角8的终边经过点(2,-3),所以Sine=/Y_=-3T.22+(-3)213故选：A.【变式13】(2022秋海淀区校级期末)若点P(1,-2)在角的终边上，则Sina=()A.-2B.JlC.D.恒【答案】C【解答】解：若点尸(1,-2)在角的终边上，则Sina=/=-ZZL.Vl2+(-2)25故选：C.25【典例2】(2023春双塔区校级期中)已知以原点为顶点，X轴的非负半轴为始边的角的终边经过点P(1,-2),则CoS(+)=()D,近【答案】C【解答】解：因为以原点为顶点，X轴的非负半轴为始边的角的终边经过点P(1,-2),所以CoSa=/1=2ZL,Vl2+(-2)25则cos(÷)="cos="5故选：C.【变式21】(2023淇滨区校级模拟)已知P(l,7)是角的终边上一点，则Sin(-2)=()A.-J-B.2C.J-D.丝25252525【答案】C【解答】解：P(1,7)是角的终边上一点，由三角函数的定义可知,.7_7r.11SIna;不Th7r°。Sa访Th7r故sin(兀-2)=sin2=2si1171722义引广市法故选：C.【变式22(2023日照开学)已知角a的终边经过点P(1,-2),则sin(+)=()A.-2B.0区C.JlD.2后525【答案】D【解答】解：因为角的终边过点P(1,-2),所以Sina=H三-2L,Vl2+(-2)25贝U sin (÷)=故选：D.Sina= .5【变式23】(2023春海淀区校级期中)若点尸(1,1)在角的终边上，则sin()=()A.-1B.-C.0D.12【答案】C【解答】解：因为点尸（-1,1）在角的终边上,贝USinQ=j=与COSa=；(-l)2+l22(-l)2+l22所以.(HK×.ff兀，.兀八反V22"以sin(=snClcos-+cossn-=9xxn="*XJLJL乙乙乙乙故选：C.【变式24】（2023春宜丰县校级月考）已知角的终边经过点P（2,-4）,则Sina+3CoSa的值等于（）A.巫B.遮C.1D.巫5553【答案】B【解答】解：角的终边经过点P(2,-4),则尸=122+(-4)2=2代,则sinot+3cos=-J-3×三-=三-=-2525255故选：B【题型二三角函数值符号的运用】【典例3】（2023春江西期中）A. 一B.二C.三）象限角.D.四【答案】4【解答】解：因为SiA=C（。，等），0ZN所以sirr第一象限角.srr6故选：A.【变式31X2023春谯城区校级期末）已知角为第一象限角，且sir>e则Siw"的取值范围是（）a（孚0）B.（-1,喙C.（0,冬D.修，1）【答案】【解答】解：角为第一象限角，2内r<V微-+2k,ArZ,则ZrrrV-<*+k加Z,乂Sjrr->c°s-,Si/的取值范围是（4，0）,故选：A.【变式32】（2023春石家庄期末）已知角的终边在第三象限，则点P（tana,cosa）在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D【解答】解：,角a的终边在第三象限，.tana>0,cosa<0,:点P（tana,cosa）在第四象限,故选：D.【题型三已知三角函数值或符号求参数】【典例4】（2021秋沙市区校级期末）已知角a的终边与单位圆相交于点P（sin.112L,COS-IlZL）,则Sina=（）66A.-近B.-1-C.工D.近2222【答案】D【解答】解：角a的终边与单位圆相交于点尸（Sin卫工，coS卫工），66/.sina=Cos-IlZL=cos（2打L）=cos-6662故选：D.【变式41（2022秋上城区校级期末）已知Sina+cosa=Sinacosa=?，则m的值为（）A.1+/2B.l-2C.1±5/2D.不存在【答案】B【解答】解：因为Sina+cosa="7,两边平方，可得1+2SinaCOSa=浮，可得2sinacosa=w2-1,所以2n=m2-1>解得=l±2,因为m=sinacosa=Asin2a,2又sin2a(-1,1),工in2a(-,),222所以m=-2故选：B.【题型四同角三角函数公式】17【典例5】（2021全国）已知CoSa=-石，。是第三象限角，求Sina,tana的值.答案Sina=-Qana*;10【解析】因为cosa=-f。是第三象限角，er.R5Sina5所以Slna=-1-cosa=,tana=.13cosa12【变式11】（2022陕西汉中高一期末）若a为第二象限角，且Sina=；,则tan。【答案】一显4【详解】因为。为第二象限角，且Sina=；,所以CoSa=-PP=-半，所以tana=皿=-且.CoSa4故答案为：一立.4【变式12（2022海南高一期末）已知。，勾，且tana=-则COSa=（）3344A.B.-C.-D.M【答案】C2cos2a1116,f-3c°sa=；=；=r<=【解析】tana=一一,则cos2a+sin'a1+tan,a（3Y2541+rzj又c（1,兀），所以COSa=-故选：C【变式13】（2022浙江诸暨市教育研究中心高二学业考试）已知。为第三象限角，且tana二，则CoSa=.【答案】4Sina_5【解析】由条件可知而=17,且1为第三象限角,sin2+cos2«=1解得：sina=-,COSa=-3故答案为：【题型五弦的齐次问题】【典例5】（2022浙江高一阶段练习）已知tan。=2,则三l【答案】【解析】丁tan。=2,.cos。，将原式分子与分母同除以8m则三三三F三=1T变式51（2022宁夏青铜峡市宁朔中学高二期末（文）已知tan=4,则2cos。一sin。COSe+2Sine【答案】Jrz,z2cos0sin02-tan02-421.前J=COS6+2Sinel+2tan1+2x49故答案为：-【变式52】（2022上海市新场中学高一期末）已知FesSJ2,则3cosr-snatana【答案】1-25&力4l.Anmsi2sina+cosarr2tana+lCATJZFl5【解析】解：因为3-in0=2,所以一7应解得tana*故答案为：I【典例6】（2022全国高一课时练习）已知sine+cosO=g,可全万）.求:Sine-COS夕；(2)sin4-cos4.【答案】(；(.【解析】(1)Vsin+cos=(，24 A 4925；=25(sin+cos)2=，即1+2SineCOSe=£,贝J2sin6cos6=奈，(sincos=sin2。-2sin。cos+cos2。=1-2sin9cos=-而6s乃)，故sin6>0,COSe<0,sin-cos>0,则Sine-Cos。=一.(2) 4 sin - cos4 - (sin + cos (sin - cos ) (sin2 + cos2 夕)l2× 5 5725-【变式61(2022全国高三专题练习)己知0<<,sina-cosa=,则SiIIa+cos=()A.如B.立C.±巫D.±3333【答案】A245【解析】sina-cos=,则(Sina-COSa)?=1-2sincos=§,2sinacosa=114故(Sina+cos。)2=1+2SinaCOSa=-又0<<f,故Sina+cos23故选：A【变式62（2022辽宁,渤海大学附属高级中学高一阶段练习）已知则。+（6则Sine-COSe的值为（）A.巫B.IC,变D.3333【答案】C【解析】因为。e(,()则sin。<cos。,Iy(sin6+cos6)2+(sine-cosey=2,所以，(Sin。-COSe)?=2-=£,因止匕，Sine-CoSe=.3故选：C.【题型六sintcos例求值问题】【典例7】(2023春大余县校级期末)若(0,),且CoSa+sind二，则3sin=()A.T±5B.-腐C.+叵D.叵6699【答案】B【解答】解：由已知可得，a(A,兀)，所以Sina>0,cosa<0.cosCl+si11Ct=由3COS2Cl+sin2a=1Sina 可得COSa-1176117,6故选：B.【变式71】(2022广西模拟)已知角a终边落在第二象限，且tana=-2,则sina+cosa=()A.-1B.1C.jZD.近_55【答案】D+anCL=-9【解答】解：根据题意cosa,因为角a终边落在第二象限,Sin2a+cos2CL=1Sina ='CQSa =遥则Sina+cos =",故选：D【变式72（2022全国高一单元测试）（多选）己知6e（0,）,sin。+COSe=g,则Cn 3B. CoSJ = -W7D. sincos = -下列结论正确的是（）a.C八3C.tan。=4【答案】ABD【解析】sin8+cos0=g，(Sine+cosO)?=(g),BJsin2+2sincos+cos2=,.2sinJcosO=,25.(0,),.sin>0,CoSe<0,北停'故A正确；,40.(sin。-CoSe)-=12SineCoSe=石,.sin6-CoSe=I，故D正确；加得sin。=?减得COSe=故B正确；4八Sine54.但tan6=-f故C错块.CoSe_£35故选:ABD.【变式73】(2021全国)已知tan=3,求下列各式的值.小2cosa+3sina(I)-T-；3cosa+sma(2)2sin2+sinacosa-3cos2a.IIQ【答案】不；(2)；【解析】由已知COSa0又 tan = 3 ,2cos+3sin_2+3tana3cos+sina3+tana2cosa+3sin_2+9_113cosa+sina3+36(2) V sin2 +cos2 =l .*. 2sin2 tz + sin a cos a-3cos2 a=2 sin2 + sin a cos -3 cos2 asin2 +cos2 aSinaXtana=CoSa又 tan a = 3 ,.2r，2tan2cr÷tana-3.2sma+sinacosa_3cosa=：tan'a+1.o2-222×9+3-39.2sna+sin«cosa-3cosa=.9+151. （2022秋沙坪坝区校级期末）已知a是第二象限角，则点P（Sina,tana）在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D【解答】解：a是第二象限角，sinot>0,cosa<0,tana<O.工点、P（sina,tana）在第四象限.故选：D.2. （2023泰和县一模）已知Sina=工，a（,兀），则tana的值为（）32A.jZB.近C.-22D.2244【答案】4【解答】解：因为Sina=工，a（,兀），32所以CoSa=-1-sin2a=-平贝!tana=sin。=-退_.COSa4故选：A.3. （2022秋青岛期末）若9为第二象限角，且tan（-）=-,则【解答】解：由 ta (8- )=，1 tan= - XI (I-CCS B)? V 1-co s2 原式=JI+c。沟_JIYoS.=J(1+cosS)2V1-cosV1+cosN1-cos2=l+cosI_Il-CoS8I=1+cos.I-COs=2cos=2=_4sinsinsinsinsintan故选：B.4. (2022秋怀仁市校级期末)已知tan=5,则2si11+3coSa=()3si11-2COSaA.ILB.1C.皇D.2-13513【答案】B【解答】解：因为tan=5,所以2si11+3CoSa=2ta11+3=2X5+3='3si111-2cosa3ta11a-23X5-2故选：B.5. （2023春西湖区校级期中）已知角8的终边经过点M（加，3-m）,且tan=,则m=（）2A.1B.1C.2D.$22【答案】C【解答】解：角的终边经过点M（加，3-w）,且tan=工用迪，解得加=2.2m故选：C.6. （2023春临济县校级月考）已知为第四象限角,sin+cos8=亚，则sin3-CoS=（）A.-3B.C.-AD.-1433【答案】C【解答】解：由于为第四象限角，sin+cos=Y,3心l+2sincos义，整理得Sin2=W,yy故Sin-cos=-sin-cos=-(sin-cos)2=-Vl-sin2=故选：C.7. (2023春海淀区校级月考)如果是第二象限的角，下列各式中成立的是B. cosa= - 1-si n2aD. tana=CoSaSinaA.tan=-SinaCoSaC.sin="1-cos2【答案】B【解答】解：是第二象限的角，.tana=里皿_,故力错误，。错误;COSacos=-i-sin2a»故8正确；Sina=J卜CoS2a，故C错误.故选：B.8.(2023定安县校级开学)已知角a的终边经过点M(1,2),则CoSa=()A.运3【答案】B【解答】解:B.叵C.2D.33由三角函数的定义可得CC)Sa野.故选：B.9.(2023春柯坪县校级期末)已知：sin=X在第二象限，那么cos=()3A.13【答案】D【解答】解：B.-1C.21d.-2333Vsin=X在第二象限，那么cos=-Sin2=.2,故选：D.10. (2023春海淀区期末)若tan=-,CoSa>0,则Sina=()A.12B.-LC.D.-A13131313【答案】D【解答】解：:ta11=_-=sina,CoSa>0,则SinaV0.12CoSa再根据sin2+cos2=l,可得sina=-且.13故选：D.11. （2023朝阳区校级开学）如果角a的终边在直线y=2x上，则Sina+2cos<l3si11a-CoSa=（）【答案】B【解答】解：因为角a的终边在直线y=2x上,所以tana=2.Sina+2COSa所piSina+2CoSaCoSatana+22+2_413si11a-COSa二3si11a-cosa=3tana-1=3X2-:L=TCoSa故选：B.12. （2023春广安区校级月考）已知角a终边上一点的坐标为（1,3）,则Sina等于（）A.-1B.AC.jZD.近2222【答案】D【解答】解：由三角函数的定义知，Sina=、一立=圆12÷（3）22故选：£>.13. （2022秋德州期末）已知点P（加，1）是角a终边上的一点，且Sina=L3则W的值为（）A.2B.-22C.啦或2D.25或-25【答案】D【解答】解：因为点尸（，1）是角终边上的一点，且Sina=L3所以Sina =1Vm2+1解得 m=25 或 m=-25故选：D.14. （2023春乐至县校级期中）已知角的终边经过点P（-3,4）,则CoSoSina的值为（BTc d 4A.15【答案】B【解答】解：因为角的终边经过点尸（-3,4）,则r=IopIM（-3）2+42=5,因此Sina:告CoSa二年,55所以COSa-Sina=H=OOD故选：B.15. （2023春坊子区校级月考）已知tana二且，则Sina-皿4=（）3Sina+cosaA.-7B.JlC.工D.777【答案】C匡-1解答解：Sina-CCISa=ta11a-1=W=上sinCl+cosClta11Cl+1-+73故选：C.16.（2023春浦北县校级期中）已知角Ct的终边过点4（4,-3）,则Sina+tana=（）A.红B.C.卫D.工20202020【答案】C【解答】解：角的终边过点/（4,-3）且力到原点的距离为5,所以sin+tan=5-÷5-=-2L.5420故选：C.17（2023春仁寿县校级期末）已知十and=一8，则Sina+2CoSaCOSa-Sina.=()2A.1B.Jlc.AD.45555【答案】4-÷2r碑狡】A?.Sina+2cosCltand+221'用午口，JBT：COSa-Sinal-ta11a35,故选：A.