第02讲5.2导数的运算（解析版）.docx

课程标准学习目标能根据定义求函数的导数。能熟练应用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数。理解并熟练掌握函数的和、差、积、商的求导法则。了解复合函数的概念，熟练掌握复合函数的求导法则。1 .掌握基本初等函数的求导；2 .熟练掌握导数的运算公式；3 .能准确应用公式计算函数的导数；4 .会求简单的复合函数的导数；5 .能解决与切线、切点、斜率、待定参数相关的问题.知识点01:基本初等函数的导数公式原函数导函数/a)=C(C为常数)O=OfM=nr=nn-l/(x)=sinx,(x)=COSXf(x)=COSXf,(x)=_SinXf(x)=axf,(x)=axnaf(x)=exf,(x)=ex/W=1。0/'(X)=；xlna/(x)=lnxff()=-Xf()=6=-X八X)T知识点02：导数的四则运算法则1、两个函数/(X)和g(x)的和(或差)的导数法则：f()±g(),=f,±g,().2、对于两个函数/O)和g(x)的乘积(或商)的导数，有如下法则:/(x)g(x)'=fx)g(x)+/(x)g'(x);g(x)/"(x)g(x)-(x)g'(x)g(x)2(g(x)工 0)3、由函数的乘积的导数法则可以得出k)r=c7(x)+f()=H),也就是说，常数与函数的积的导数，等于常数与函数的导数的积，Cf(x)t=Cff(X)【即学即练1】(2023下四川雅安高二校考阶段练习)求下列函数的导数./(x)="%3+6;(2)/(K)=(5x-4)CoSX.【答案】/'(x)=-2/(2),()=5cosX-5xsinx+4sinx【详解】(1)(x)=x3-x4+6=x2-2(2),(x)=(5x-4)cosx=(5x-4)COSX+(5x一伙cosa=5cosx-5xsinx+4sin.知识点03：复合函数的导数复合函数y=(g()的导数和函数y=/()，"=g()的导数间的关系为其=YX,即V对4的导数等于，对的导数与对X的导数的乘积.【即学即练2】(2023上山东滨州高三校联考阶段练习)已知函数/(x)=In(34-2),则/'=.【答案】3【详解】由题意知，fx)=-l-×(3x-2)f=X3=-4-»3x-23x-23x-2故答案为：3.知识点04：切线问题1、在型求切线方程已知：函数.)的解析式.计算：函数/()在X=X。或者(d,/(%)处的切线方程.步骤：第一步：计算切点的纵坐标/'(七)(方法：把X=X。代入原函数/(X)中)，切点(公,/'(/).第二步：计算切线斜率左=/'(X).(XoJaO),切线斜率)=r0)Q根据直线的点斜式方程得到切线方程：y-f(.)=f0)(-0).【即学即练3】(2023上贵州黔西高三贵州省兴义市第八中学校考阶段练习)曲线y=L-nx在X=I处的X切线方程为.【答案】2x+y-30【详解】=-4-(>o),XX则当x=l时，y,=-2,y=l,所以曲线y=L_hu在X=I处的切线方程为y-l=-2(x-l),即2x+y-3=0.X故答案为：2x+y-3=0.2、过型求切线方程已知：函数/(X)的解析式.计算：过点4(,M)(无论该点是否在N=()上)的切线方程.步骤：第一步：设切点4(%，%)第二步：计算切线斜率左='(x0);计算切线斜率A="12宜；XI-Xo第三步：令：A=T(Xo)=I1,解出/，代入上二/'(/)求斜率%一x()第三步：计算切线方程.根据直线的点斜式方程得到切线方程：y-yo=Vo)(-).【即学即练4(2023下山东蒲泽高二山东省邺城县第一中学校考阶段练习)已知/(x)=d,则函数/(x)的图像过点(U)的切线方程为.【答案】3x-y-2=03x-4y+l=0【详解】设切点为。(XoJ0),由/(x)=d可得，f,(x)=3x2,由导数的儿何意义可得，切线的斜率2=3片，因为及,所以切线方程为一父=3工：(%-%),将点(LI)代入，得I-K=3宕(I-X0),即(XOTX2x：-XO-I)=。,得(XO-Iy(2x0+1)=0,解得%=1或XO=-3，当/=1时，切点坐标为(1,1),相应的切线方程为3x-y-2=0:当/=-；时，切点坐标为;,一£|，相应的切线方程为V+1=：卜+；)，BP3x-4+1=0,所以切线方程为3x,2=0或3Iy+l=0.故答案为：3x-尸2=0或3x-4y+l=0题型01导数公式与运算法则的简单应用【典例1】(2023上河北邯郸高三校联考阶段练习)下列求导运算中正确的是()A-©=2B,(3)'=x3iU(mJ=焉D-(打=5/【答案】D【详解】对于A,(4)'=0,故对于B,(3')'=3'ln3,故B错误；对于C,(InX)'=L故C错误；X对于D,(y=5故D正确.故选：D【典例2】(2023下新疆阿克苏高二校考阶段练习)求下列函数的导数.(1)=(2x2-1)x(2)y=lnx+LX【答案】y'=62-i(2)/=-7Xxi【详解】(1)整理可得y=23-x,=(2x3-x),=6x2-1.八6+/3)+(344【变式1(2023上陕西汉中高三校联考阶段练习)下列求导正确的是()B. (2r+x2), = 2x+2d. (iog2XA.2x-1)2J=2(2x-)(1.Csinx-cos=cosx+-sinI3j33【答案】D【详解】(2x-l)=2(2x-l)2=4(2x-l),故A错误:(2v+x2),=2rln2+2x，故B错误;cosx,故C错误;sinx-cos3,(lg2%)'1 _ Iog2 eX In 2 X故D正确.故选:D.题型02利用导数公式与运算法则求复合函数的导数【典例1】(2023全国高二随堂练习)写出下列函数的中间变量，并利用复合函数的求导法则分别求出函数的导数：y=(x+1)'0；(2)y=e3x+l；(3)y=sin(-2x+5)；y=In(3x-1)；(5)y=2x-l；y=tan(-X+1).【答案】(l)"=x+l,y,x=10(x+l)9(2)w=3x+l,W=3e"*(3)u=-2x+5,y,x=-2cos(-2x+5)(4)u=3x-1,yx=-3x-l2z2,1u=2x-l,X=-(2x-l)(6)w=-x+l,H=-COY(I)JVMoI人1II【详解】(1)令=工十1,因为W=EM,所以W=(w，°)(X+1)'=io(v+1)9(2)令=3x+l,因为工=乂”，犬=(e")(3x+l)'=3e"=3d叫(3)令=一2x+5,因为乂=乂“，yfx=(sinw(-2x+5)*=-2cosw=-2cos(-2x+5)-(4)令=3x-l,因为乂=乂包，=(lnwy(3x-l),=-=-.it3x1(5)令"=2x-l,因为*=»：,：，(1V,2-2_2E=H(2x-l)=-u3=y(2x-l)3.(6)令=一x+l,因为y：=y：“，1cos2(-x+1)-【典例2】(2023全国高二课堂例题)求下列函数的导数：(I)J=(2x-3)3;(2)j=ln(5x+l).【答案Ml)E=6(2x-3)2【详解，(1)y=(2x-3p可由J=/及"=2x-3复合而成,所以E=M×2=()f×2=3m2×2=6m2=6(2x-3)2(2)y=ln(5x+l)可由y=In及"=5x+l复合而成,所以E=y'u×5=(lnw),×5=-×5=5.w5x+1【变式1】(2023全国高二随堂练习)写出下列函数的中间变量，并利用复合函数的求导法则分别求出函数的导数：y=(2xy；(2)=sin(-x+l)；y=e"2x+l；y=cos(x+3).4【答案】中间变量为t=2x-l,-(2.1)，中间变量为"r+l，-Cos(X-I)中间变量为f=-2x+l,-2e-2x+,中间变量为f=x+3,-sin(x+3)【详解】(1)对于，=C2，中间变量为f=2x-1,则y=!=尸，(21) r所以"(尸j(2x-iy=-2尸2=T=一7y±f7(2)对于y=sin(+l),中间变量为，=-x+l,则y=sinf,所以y'=(sin/)(-x+l)f=-cos/=-cos(-x+1)=-cos(x-1)(3)对于y=ei川，中间变量为Z=-2x+l,则y=e',所以了=(ej(-2xr+1/=-2cz=-2e-X+l(4)对于y=cos(x+3),中间变量为f=x+3,则Iy=COSE,y=(cos)(x+3=-sin=-sin(x+3)题型03解析式中含/'(%)的导数问题【典例1】(2022下吉林长春高二统考期中)若/(x)=2疗'(I)+/,则/，(0)等于()A.2B.0C.2D.4【答案】D【详解】因为/(x)=2矿+/,所以解()=2(l)+2x所以r(l)=2'(l)+2,得F(I)=-2所以/'(x)=-4+2x,所以f(0)=-4故选：D【典例2】(2022下山东高二校联考阶段练习)己知函数/(x)=d+qD+-i,/'(X)是/(力的导函数，则/+/'(2)=.【答案】24【详解】因为/0)=/+当/+工一1,所以/，卜)=3/+41乙+1,所以r(1)=4+与，即/'=8,/(1)=1+IH+1-1=3,(2)=12+×2+l=21,故/+/'(2)=3+21=24.故答案为：24【变式1】(2022四川攀枝花统考一模)已知函数/(X)=f-f+2,则/(2)=()10A.-2B.C.6D.14【答案】C【详解】fx)=3-2f,()x,WJ,(1)=3-2r(l)=>/(I)=1,贝J/()=H2,/(2)=23-22+2=6故选：C【变式2(2022下河北沧州高二沧县中学校考阶段练习)已知函数/(x)='(-l)3+f-x,则/'(T)的值为.【答案】J2【详解】.f(x)=f,(-)x3+x2-x9z(x)=3,(-l)+2x-l,.(-1)=3,(-1)-3(-l)=.故答案为：.2题型04求切线斜率【典例1】(2023下北京海淀高二首都师范大学附属中学校考期中)若直线/过原点，且与函数歹=皿的X图像相切，则该直线的斜率为()1 11A.1B.C.-D.F2eee2【答案】B【详解】因为y=乎，所以V=与黑，设切点为卜丝)，所以儿上等，所以切线方程为y-g=1一?"。一/),又切线过坐标原点，所以一1-1l(-xo)>解得XO=J/X。11-1所以切线方程的斜率为G_匕见2_2_±.£一(五厂五故选：B【典例2】(2023海南省直辖县级单位统考模)函数/(x)=2+2in-bx+(b>0,R)在点SjS)处的切线斜率的最小值是()A.2B.3C.22D.1【答案】C2【详解】f,(x)=2x+-b(x>0),X22所以在点Sj3)处的切线斜率是/'(/O=2":-=bb因为6>0,所以/'3)=b+52,当且仅当6=KPb=I时等号成立，bb故选：C.【变式4(2022上河南两三河南省淮阳中学校联考阶段练习)已知/(x)3,过Peq作曲线产/(x)的切线，切点在第象限，则切线的斜率为()A.生B.3e2C.2eD.加2【答案】C【详解】解：(x)=xe得/")=(x+l)e*,设切点坐标为(,e"),则切线方程为y-e"=(x0+l)e'n(x-x0),把点尸(别代入并整理，得-X0=(+1)(；F)解得Xo=I或=-g(舍去)，故切线斜率为/'=2e.故选：C.【变式2(2022下安徽高三巢湖市第一中学校联考期中)已知/(x)=2coS(X-S+/(O)cosx,则曲线y=()在点处的切线的斜率为()A. 2B. -2C. 22D. -22【答案】D【详解】对/(x)=2cosx-y+,(0)cos=2sinx+/'p>osx,求导可得，,(x)=2cosx-,(0)sinx,得到r(O)=2,所以，/(x)=2sinx+2cos.v,所以，,(x)=2cosx-2sinjf,故选D题型05求切线方程(在型)【典例1】(2023上广东揭阳高三统考期中)iaR,函数/(x)=d-2如?+(+3)的导函数为/(),若/'(')是偶函数，则曲线y='()在原点处的切线方程为()A.y=3xB.y=-2xC.y=-3xD.y=2x【答案】A【详解】由题设/'(x)=32-2K+(+3)是偶函数，：3(-x)-2a(-x)+(a+3)=3x2-20x+(+3)，解得a=0,左二/'(0)=3,曲线歹=()在原点处的切线方程为y=3.故选：A【典例2】(2023上云南昆明高三统考期中)曲线/(x)=xe'-3x+l在(M)点处的切线方程是【答案】2x+y-=0【详解】由/(x)=XeX-3x+l可得/'(x)=(x+l)e'-3,所以/'(0)=-2,所以由点斜式可得切线方程为N-I=-2以即2x+y-l=0,故答案为：2x+y-=0【变式1(2023上浙江高三浙江省富阳中学校联考阶段练习汜知函数/(x)=SinX,曲线y=(力在点(0,0)处的切线方程是.【答案】y=【详解】/'(x)=cosx,/(0)=0,/'(0)=1,所以曲线尸/(x)在点(0,0)处的切线方程是V-O=>0,即y=.故答案为：y=【变式2(2023上四川成都高三校考阶段练习)已知函数/'(x)=e'+2x+l,则/(力的图象在x=0处的切线方程为【答案】2x-y+l=0【详解】由题意/'(x)=e'+2x+l,所以/'(x)=(+2x)e'+2且/(0)=1,所以/'(0)=2,因此/(x)的图象在X=O处的切线斜率为/'(0)=2,所以/(x)的图象在X=O处的切线方程为-l=2(x-0),化简得2x-y+l=0.故答案为：2x-+l=0.题型06求切线方程(过型)【典例1(2023下山东威海高二统考期末)写出曲线y=(2x+l)e'过坐标原点的一条切线方程【答案】y=4最或y(任写一个即可)e【详解】=(2x+3)e设切点为("2E+l)e1,故切线方程为y-(2f+l)d=(2f+3)e'(x),由于切线过原点,故0-(2f+l)e'=+3)e'(OT),整理得2+"l=G+l)(21)=O,解得f=-l或t=L当，二一1时，切线方程为y+eT=eT(x+l),即j，=1x.e当f=g时，切线方程为y-21=4eUX-£),即y=4&x.故答案为：丁=4几或N=Lr(任写个即可)e【典例2】(2023下河南南阳高二校联考期中)已知函数/(x)=3-22.若曲线N=f(力在其上一点。处的切线与直线歹=4x-l平行，求。的坐标；(2)求曲线y=f(x)的过坐标原点O的切线的方程.【答案】卜,-)或(2,0)N=O或+y=o.【详解】(1)/'(x)=32-4x,设。(,(),因为直线y=4x-l的斜率为4,所以r()=3-44=4,解得"-g或2./(2)=0.所以点0的坐标为卜,-金或(2,0).(2)设切点为(Xo则yO=W-2x3/(xo)=3xo-4xo,所以在该点处的切线方程为y-(x>2xj)=(3-4)(x-xo).因为切线过原点，所以O-(£-2x：)=(3x；-4xo)(O-Xo),解得%=O或1.又因为r(0)=0,(l)=-1,所以切线方程为y=o或+y=0.【变式4(2022上山西高三统考阶段练习)过点(0,2)与曲线/(X)=lnx+2相切的切线方程为【答案】x-ey+2e=0【详解】设切点为(%,InXO+2),IjiiJ-22=l,XOXO得XO=e,则切点为(e,3),切线方程为y-3='(x-e),即xey+2e=0.e故答案为：x-ey+2e=0.【变式2(2023下安徽滁州高二校考阶段练习)已知函数/(x)=用导数的定义，求函数/(X)=/在=2处的导数；(2)过点(2,8)作歹=(x)的切线，求切线方程.【答案123x-y+2=0或12x-y-】6=0【详解】因为包=/(2+效)一/(2)=6x)67)2+13x.2+私游2,AtAYx所以Iim=Iim(x)+6x+12l=12,tOAxrLv/J则/'=12.(2)rm,设切点(如M)，则切线的斜率为2=3年，故切线方程为y-xl=3xl(x-x0)f将点(2,8)代入得8-石=3£(2-X。)，即另一3片+4=0,得(XO+l)(%-2)2=0,解得/=T或毛=2,所以切线方程为3x-y+2=0或12x-yT6=0.题型07利用相切关系求最小距离【典例1(2024上贵州黔东南高三天柱民族中学校考阶段练习)已知点尸在函数/(x)=xe'+l的图象上,点?在函数g()=?的图象上，则IPOl的最小值为.【答案】2【详解】由函数/(x)=Xe*+1,求导可得：/'3=(l+x)e',则/'(0)=1,在4(0,1)处的切线方程为y-I=Ix(X-O),整理可得：y=+;由函数g()=乎,求导可得：/(力=上空，则g'=1,在5(1,0)处的切线方程为y-0=IX(X-1),整理可得y=-l；由直线力的斜率的8="=-1，易知：直线NB分别与两条切线垂直.故答案为：2【典例2(2023下湖北高二校联考阶段练习)若点P是曲线y=x2-Inx上任意一点,点。是直线x-y-3=0上任意一点，则IPQl的最小距离为.【答案】巫£五22【详解】Vy=x2-lnx(x>0),.y,=2x-令J=I,则x=l,即曲线y=x2-Inx在(LI)处的切线方程为：歹-1=1'(-l),即y=,如下图所示，当尸(1,1)时PQ的最小值为点P到有线-y-3=0的距离(。为垂足).|1-1-3_3近故答案为：逑2【变式1（2023下江西赣州高二统考期中）设点/在直线Ir-y+l=0上，点在函数/（x）=InX的图象上，则»目的最小值为.【答案】l+jn3【详解】设函数/（x）=l11x与直线瓜-y+l=0平行的切线为/,则/的斜率为石，由/'（）=g=5得X=与所以切点为尸作,一纲），1 .1+ln3+则点P到直线/的距离就是|4回的最小值，即十2二IIlIn3,2 +4n故答案为：l+?1n3.4【变式2（2023上高二课时练习）在函数歹=4/的图象上求一点尸，使尸到直线y=4x-5的距离最短，并求这个最短的距离.【答案】±-171717【详解】设尸（叫4布），又y'=8x,则过点尸的切线斜率=y'=ff,=8m,'1I过点P的切线平行于直线V=4x-5时，点P到直线y=4x-5的距离最短,即8?=4,解得：w=,此时尸（；1），-×4-l-5f它到直线V=4x5的距离d=2I,47,477i-17故答案为：士叵.17A夯实基础B能力提升A夯实基础一、单选题B. (2x + l)=2(2x+l)D. (2x+x2 =2v+2x1. （2023上江苏南京高三校联考阶段练习）下列求导正确的是（）A.sinX-sin=cosx-sinI6j6C(log2X)=-117xln2【答案】C【详解】对于A,sinX-sinj=(sinx-sin=cosx»故A错误;对于B,根据复合函数的求导法则，(2x+l)'=2(2x+l)(2x+l)'=4(2x+l),故B错误；对于C,(log,x)r=-,故C正确；XIn2对于D,(2j+x2),=(2x+(x2=2xln2+2x，故D错误.故选：C.2. (2023上陕西汉中高三校联考阶段练习)下列求导正确的是()A.(COSXy=SinXB.(2*+/j=2,+2xC.(SinX-cos)=COSx+>inyD.(log2x)="贷【答案】D【详解】(CoSX)'=Tinx,故A错误；(2v÷x2),=2rln2+2.故B错误；(si11-COSo)=C°SX,故C错误；(log,X)'=工=唾，故D正确.故选：D.Jdn2X3. (2023上江苏连云港高三校考阶段练习)曲线y=至二在点(-L-3)处的切线方程为()x÷2A.y=5x+2B.y=5x-2C.y=5x-2D.y=-5x+2【答案】A1.N】.7.2(x÷2)-(2x-1)-5【详解一(N)?(x+2p所求切线方程为：+3=5(x+l),即y=5x+2.故选：A.4. (2023上广东江门高三统考阶段练习)若曲线y=e2"在点(0,1)处的切线与直线x+2y+l=0垂直，则=A. -2【答案】CB. 1C. 1D. 2【详解】宜线x+2y+l=0的斜率为=2由题设知：y=e?在（M）处的切线的斜率为2,而y'=2e2Gy,|x=0=2a=21可得=l.故选：C.5. （2023上河北保定高三校联考阶段练习）函数/（x）=k）g2X+2，-三的图象在x=l处切线的斜率为（）InzA. In2【答案】BB. 2In2C. 2D.In2【详解】因为)=log,x+2'-W,r()二3+2，卜2-工,m2xln2Inz所以匕=/=-!2ln2-=21n2,''JIn2ln2)故选：B.6. （2023下四川雅安高二校考阶段练习）A.-1B.0【答案】C【详解】由己知可得，,（x）=-sinx+2l所以,/针-Si吟+2务T+2喑）,7. （2023上广东揭阳高三校考阶段练习）已知曲线歹=3+2ap+b在点（,o）处的切线的倾斜角为节,则4+6=()【答案】A【详解】f,（x）=3x2+4ax+,由题意可知，切线的斜率=tan5=T,则解得:/(1)=2+2+)=0<,(l)=3+4+l=-l3所以故迄A8. （2023四川绵阳统考模拟预测）若曲线/（x）=x-hu与直线x-2y+2-21n2=0相切，则实数。二（）A. -1B. 1C. 2D. e【答案】B【详解】直线x-2y+2-21n2=0,11y=x+l-ln2,对于/(x)=ax-l,则/'(X)=。-：，设切点坐标为(X(IMXo-InX°)，切线斜率k=fxo)=a，xo则切线方程为y-(%-h%)=a-(x-x0),即y=a-"lx+1-Inv0,<xoJkxoJ11CCl,=-I=2由题意可得4%2,解得°I.故选：B.Q=II-Inx0=1-In2二、多选题9. (2023全国高三专题练习)(多选)下列导数的运算中正确的是()A.(3r),=3xln3B.(2lnry=2xlnx+xr(cosxjXSinx-COSX,1.II-U(SInXCOSX)=cos2x【答案】ABD【详解】(3*)'=3"ln3,正确;InX)=(X2)InX+/(时=2xhLdX，正确；(sinxcosx)=(sinx)cosx+sinx(cosx)=s2x-sin2,=cos2x>上确;因为(9)=TSmMCOsX,所以C项错误，其余都正确.故选：ABD10. (2023下贵州黔东南高二校考阶段练习)已知函数/(x)=d-3x+l,则过点(LT)且与曲线y=/(x)相切的直线方程可以为()A.2x+y-=0B.y=-1C.9x+4y-5=0D.3x+2y-l=0【答案】BC【详解】(x)=-3x+l,得/'(*)=3/-3,设切点坐标为I一4+1),则ft)=32-3,则过切点的切线方程为y=(-3)(XT)+/一次+1,把点。，T)代入，可得T=(3/-3)(l-f)+-3f+l,整理得：a1)2(2/+1)=0,即1=1或/=-；.当，二一3时，切线方程为9x+4y-5=0;当f=l时，切线方程为N=-L故选：BC.三、填空题11. (2023上广东惠州高三博师高中校考阶段练习)已知函数/(x)=2M'+xlnx,贝I/=.【答案】-1【详解】函数/(x)=24'(l)+MnX,求导得r(x)=2F)+l+lnx,当=1时，(1)=2(1)+1,所以八I)=T.故答案为：-112. (2023广东佛山统考一模)已知曲线/(x)=爪与曲线g(x)=alnx(aeR)相交，且在交点处有相同的切线，则。=.【答案】j【详解】易知：必有a>0yx=anx0设两曲线的交点为PaOJo)，/'(')=访，g'(x)=(x>0),由题意：_=巴，XO两式相除得：2%=XOln%,Vo>O,Inx0=2=>x0=e2.代入=aln/得：e=2a解得2故答案为：I四、解答题13. (2023下新疆和田高二校考期中)己知函数/(力=/+。，点力(0,0)在曲线y=(x)上.求曲线y=/()在点(TT)处的切线方程；(2)求曲线y=/()过点E(2,0)的切线方程.【答案】3f+2=0；P=O或27X-y-54=0.【详解】(1)由题意/(O)=O+a=O=a=O,故/(x)=/,所以f,(x)=3x2zz>(-l)=3,而/(T)=T,所以曲线y=(x)在点(TT)处的切线方程为y+l=3(x+l)=3x-y+2=0.(2)令所求切线在曲线y=f(x)上的切点为(风加)，则八加)=3/，所以切线方程为一加3=3m2(x-m)=>3m2x-y-2tn3=0,又E(2,0)在切线上，故6m2-2m3=Onm=0或w=3,所以切线方程为y=0或27x-y-54=0.14. (2023上黑龙江高三黑龙江实验中学校考阶段练习)已知函数/(切=-：.若曲线V=(x)在点HIj)处的切线与X轴，V轴分别交于点M,N,求AMON的面积(O为坐标原点)；求与曲线y=()相切，并过点(0,2)的直线方程.【答案】6(2)x-3y+6=0.【详解】(1)V,(x)=-,(l)=3,X(l)=-3,/(力在(1,"1)处的切线方程为：y+3=3(x-l),即"-y-6=0,可得/(2,0),Ar(0,-6),SdWQv=;IoMI°Nl=TX6x2=6；(2)设过点(0,2)的宜线与f(x)相切于点(T,由/'(x)=7，'S=产切线方程为：y+?二产(XT)又切线过点(0,2),33*24=,解得：t=-3»所求切线方程为：y-=g(x+3),即x-3y+6=0.B能力提升1. (2023下四川雅安高二校考阶段练习)己知/(x)=Inx+1.O求曲线/(力在X=I处的切线方程；设P为曲线/(x)上的点，求曲线C在点P处切线的斜率的最小值及倾斜角a的取值范围.【答案】(I)IoX-8y-9=0,、【详解】(1)V(x)=lnx+l2,(x)=-+-x,8X4当X=I时，/+/j曲线/(x)在X=I处的切线方程为y-g=京x-l),BJ10x-8y-9=0;(2)由题意x>0,/(x)=lnx+2,O/()=l+l21×l=l,当且仅当B=即x=2时，等号成立，曲线C在点P处切线的斜率的最小值为1,.*.tana>1,又0<,.E<W,即倾斜角1的取值范围为42L42)2. (2023下河南南阳高二校联考期中)已知函数/(x)=+2-3x+7.若曲线N=(x)的切线斜率不小于-6,求。的取值范围；(2)当=-5时，求曲线y='()过点(1,0)的切线方程.【答案】3,3出二一10工+10或=-1卜+11.【详解】(1)由题意可得了'卜)=3/+2"-3.因为曲线歹=(x)的切线斜率不小于-6,所以32+2x-3-6恒成立，即32+2ax+30恒成立，则(20P-4x3x3。,解得-33,即的取值范围是卜3,3.(2)当°=一5时，/(x)=x3-5x2-3x+7,贝j'(x)=3/-10t一3.当(LO)是切点时，所求切线斜率='()=o,则所求切线方程为y=-10(x-i)=T0x+10.当(1,0)不是切点时，设所求切线与曲线y=()的切点为(XOJ0),由导数的几何意义可得3片-IOX0-3=:一时-产。+7,整理得片-44+5/-2=0,即(XO-I)2(%-2)=0,解得X)=2或XO=I(舍去)，则切点(2,Tl),所求切线斜率k='(2)=Tl,.故所求切线方程为y=k+.综上，所求切线方程为y=-IOX+10或y=-11X+11.3. (2023上河北石家庄高三石家庄市第十五中学校考阶段练习)已知>0,b>0,直线y=x+2与曲线21y=ei-Z)+l相切，则4+：的最小值为.ab【答案】9ex°-1=1【详解】设切点为(XOJo),由y=e*-b+l得y'=ej由题意,为=工()+2。,y。=ex°l-h+解得=1,所以l+20=2-b,即2。+6=1,故2+J=(2+1(2+b)=5+”+=5+24=9,当且仅当=6=!时，等号成立，abab)ab3故答案为：