第03讲5.3.1函数的单调性(解析版).docx
课程标准学习目标理解导数与函数的单调性的关系。掌握利用导数判断函数单调性的方法。能利用导数求不超过三次多项式函数的单调区间。会利用导数证明一些简单的不等式问题。掌握利用导数研窕含参数的单调性的基本方法。通过本节课要求能利用函数的导数判断函数的单调性,会求简单函数的单调区间,能证明简单的不等式,会利用导数解决单调性与含参数相关的问题.知识点OL函数的单调性与导数的关系(导函数看正负,原函数看增减)函数y=/()在区间(出与内可导,若/'()o,则/()在区间(出力内是单调递增函数;若,()0,则/()在区间SM内是单调递减函数;若恒有(x)三0,则/(x)在区间(a,b)内是常数函数.注意:讨论函数的单调性或求函数的单调区间的实质是解不等式,求解时,要坚持“定义域优先”原则条件恒有结论函数y=()在区间(。,6)上可导()oV=(x)在力)内单调递增roy=f()在S,6)内单调递减,(x)三0y=()在内是常数函数【即学即练1(2023下新疆巴音郭楞高二校考期末)如图所示是函数/(x)的导函数/'(x)的图象,则下列判断中正确的是()A.函数/(力在区间(-3,0)上是减函数B.函数/(X)在区间(1,3)上是减函数C.函数/(X)在区间(0,2)上是减函数D.函数/(X)在区间(3,4)上是增函数【答案】A【详解】对于选项A:当-3<xv0时,(x)<0,则/(x)在(-3,0)上单调递减,故A正确;对于选项B:当l<x<2时,/¢(%)>0;当2<x<4时,,(x)<0:则/(力在(1,2)上单调递增,在(2,4)上单调递减,故B错误;对于选项C当0<x<2时,/<)>0,则%)在(0,2)上单调递增,故C错误;对于选项D:当3<x<4时,/'(x)<0,则/(x)在(3,4)上单调递减,故D错误;故选:A.知识点02:求已知函数(不含参)的单调区间求y=)的定义域求/'(X)令r)>o,解不等式,求单调增区间令r)<o,解不等式,求单调减区间注:求单调区间时,令/')>0(或/'(X)VO)不跟等号.【即学即练2】(2023下四川资阳高二统考期末)函数/(X)=X-Inx的单调递减区间为()A.(0,1)B.(l,+)C.(0,+)D.(0,1),(0,+oo)【答案】A【详解】因为/(x)=x-lnx,所以函数/(%)的定义域为(0,+),所以/'(X)=I-L由r()=jL<o有:x<i,XX所以函数/(X)=X-Inx的单调递减区间为(0,1),故B,C,D错误.故选:A.知识点03:由函数/(x)的单调性求参数的取值范围的方法1>已知函数/(X)在区间。上单调已知/(x)在区间O上单调递增=xO,/'(x)0恒成立.己知/(x)在区间O上单调递减。xD,/'(x)0恒成立.注:已知单调性,等价条件中的不等式含等号.2、已知函数/(X)在区间。上存在单调区间己知/(x)在区间D上存在单调增区间<=>3xD使得f,(x)>0有解已知/(x)在区间D上存在单调减区间o3x。使得/'(X)<0有解3、已知函数/(x)在区间。上不单调o*o使得/'(/)=O有变号零点【即学即练3】(2023上新疆高三校联考期中)已知函数/(力=/+如在区间0,+8)上单调递增,则。的取值范围为.【答案】-l,+g)【详解】因为/(x)在区间0,+8)上单调递增,所以当x0,+)时,/'(x)=e'+O恒成立,即-e*在。,+8)恒成立,又(YX)=-1,所以07./max故答案为:-1,+)【即学即练4】(2023上贵州贵阳高三清华中学校考阶段练习)已知函数/(X)=InX-存在单调递减区间,则实数。的取值范围是.【答案】信,+【详解】函数/'。)=】政-3及-工的定义域为(°,+功,求导得/'(X)-如-1,依题意,不等式/'(x)0在(0,+e)上有解,等价于在(0,+e)上有解,而4-L=(1-IT-J当且仅当=2时取等号,则。一,X2XU2;444所以实数a的取值范围是(-:,内).故答案为:.知识点04:含参问题讨论单调性第一步:求,=(x)的定义域第二步:求/'(X)(导函数中有分母通分)第三步:确定导函数有效部分,记为g()对于y=()进行求导得到/'(X),对/'(X)初步处理(如通分),提出/'")的恒正部分,将该部分省略,留下的部分则为了'(X)的有效部分(如:/0=珑,-广+2),则记8(不)=/一"+2为/口)的有效部分).接下来就只需考虑导函数有效部分,只有该部分决定了'(X)的正负.第四步:确定导函数有效部分g()的类型:g()为一次型(或可化为一次型)g()为二次型(或可化为二次型)第五步:通过分析导函数有效部分,讨论歹=()的单调性题型Ol求函数的单调区间【典例1】(2022下湖北高二统考期末)函数/(x)=;/-Mx的单调递减区间为()A.(-1,1)B.(0,1)C.(l,+)D.(,+oo)【答案】B【详解】解:因为/(x)=;r-nx,所以/,LG)(+),XX令,()<0,得O<x<l,所以x)的单调递减区间为(0,1),故选:B【典例2】(2023下河北沧州高二校考阶段练习)函数/(x)=2x-51nx-4的单调递减区间是()A.(0,3)B.(3,+)UIT0,【答案】D【详解】r()=2-p定义域为(0,+8),令r()<o,解得o<x<g,所以/()在IaI)上单调递减.故选:D.【变式1(多选)(2023下吉林长春高二长春外国语学校校考期中)函数/(x)=XlnX的一个单调递增区间是()A.(e,+oo)B.(L+8)C.()D.(口)【答案】ABD【详解】由题意/'(x)=lnx+l,/,(x)=lnx+l>0,x>-,因此/&)的增区间是(士+,ce因此ABD正确,C错误.故选:ABD.题型02函数与导函数图象间的关系【典例1】(2023高二课时练习)已知函数/(x)的导函数/'(X)的图象如图,则下列结论正确的是()A.函数/(x)在区间(-2,1)上单调递增B.函数/O)在区间(L3)上单调递减C.函数/(x)在区间(4,5)上单调递增D.函数/在区间(-3,-2)上单调递增【答案】C【详解】山导数的图象可知,当x(T2)U(4,5)时,/'(力>0,所以/(x)在区间11,2),(4,5)上单调递增,故C正确;当2<x<4时,(x)<0,所以/(切在区间(2,4)上单调递减,-3<x<-lW,<0,则/(x)在区间(-3,-1)上单调递减,故A、B、D错误;故选:C.【典例2】(2022下广东深圳高二统考期末)设/'(X)是函数/(x)的导函数,V='(x)的图象如图所示,则y=()的图象最有可能的是()【答案】C【详解】由导函数的图象可得当x<0时,尸卜)>0,函数/(切单调递增;当0vx<2时,,(x)<0,函数/(')单调递减;当j>2时,/钢>0,函数/()单调递增.只有C选项的图象符合.故选:C.【变式1(2023下四川成都高二四川省成都市新都一中校联考期中)已知函数y='()(eR)的导函数/()的图像如图所示,则函数y=()()A.在(Yo,-2)上单调递增B.在(1,+8)上单调递减C.在(3,3)上单调递增D.在(3,+)上单调递减【答案】D【详解】由图可知:当XV-2时,/(x)<O,(x)单调递减,当一2<x<3时,/(x)O,(x)单调递增,当”>3时,f'(x)<OJ(x)单调递增;故选:D.【变式2(2022湖南校联考二模)设函数/(x)在定义域内可导,y=(x)的图象如图所示,则其导函数y=)的图象可能是()【详解】由/()的图象可知,/(X)在(y,o)上为单调递减函数,故w(-oo,0)时,Ir(X)<0,故排除A,c;%(o,+)时,函数/()的图象是先递增,再递减,最后再递增,所以f'(%)的值是先正,再负,最后是正,因此排除B,故选:D.题型03已知函数/(X)在区间。上单调,求参数【典例1】(2023上广西高三南宁三中校联考阶段练习)若函数/(4)=2t-(x+2)lnx是(0,+功上的减函数,则实数。的最大值为.【答案】1+历&/0+1【详解】由函数/(x)=2x-(x+2)底是(0,+8)上的减函数,则/'(x)=2-hu-±0在(0,+3)上恒成立,X即2alav+在(0,+8)上恒成立,X设g(x)=lnx+l+2,则g,(X)=J_§=j2,XXxx当x(0,2)时,g'(x)<O,函数g(力单调递减当x(2,*o)时,g,(x)>0,函数g(x)单调递增,可得g(x)min=g(2)=2+ln2,所以l+ln,即实数的最大值为1+ln.故答案为:l+ln【典例2】(2023海南校联考模拟预测)设0<"1且";,若函数/(x)=bg.X+l<x在(0,+功上单调递增,则a的取值范围是.【答案】【详解】由题意知:/'(X)= 二+XlnaIn a +ln 2 ax In 2a XInQ In 2a当0<。<;时,Ina<0,In2a<0,所以/'(x)<O,所以/(x)在(0,+。)上单调递减;当;v<l时,ln4<0,In2>0,要使/'(x)>0,则ln+ln2<0,整理得InQ所以0<<,解得2_<<也.故答案为:TJ【典例3】(2023上辽宁大连高三大连市金州高级中学校考期中)若函数x)=(x+l)lnx-ax在(0,+功具有单调性,则。的取值范围是()A. (2,+<o)B. 2,+oo)C. (-,2D. (-oo,2)【答案】C【详解】由/(-V)=(x+l)lnx-ax=>,(x)=lnx+-+l-,当函数/(X)=(+l)lnx-or在(0,+8)单调递增时,x)0恒成立,得aWlnx+l,设g(x)=lnx+2+lng,(X)=I_=!,XXXXX当x>l时,g'(x)>O,g(x)单调递增,当O<X<1时,g'(x)<O,g(x)单调递减,所以g(x)min=g(l)=2,因此有2,当函数/(x)=(X+I)InX-仆在(0,+8)单调递减时,/''(x)O*f亘成立,得lnx+'+l,设g(x)=lnx+'+lng'(X)=L一!7=v!,XXXxx当x>l时,g'(x)>O,g(x)单调递增,当O<X<1时,g'(x)<O,g(H单调递减,所以g(x)mhl=g(l)=2,显然无论。取何实数,不等式r()o不能恒成立,综上所述,的取值范围是(-8,2,故选:C【变式1(2023上江苏苏州高三常熟中学校考阶段练习)己知函数y=lnx+0在2,+)上单调递增,则X实数的取值范围是.【答案】a2【详解】由y=lnx+g得V=L二,XXx由于函数=111%+4在2,+8)上单调递增,故旷=_1_二20在e2,+8)上恒成立,XXX因此在x对任意的xw2,+e)恒成立,所以2,故答案为:a<2【变式2(2023海南省直辖县级单位校考模拟预测)若函数)=e*-4e-x在区间0,+8)上单调递增,则实数。的取值范围为.【答案】(TR4(详解】由题设/'(X)=ev+4ex-a0在0,+功上恒成立.4设f=e*l,即f+7在3l,+)上恒成立,又f+:2后=4,当且仅当f=2时等号成立,所以4,即实数。的取值范围为(一%4.故答案为:(-,4题型04已知函数/(X)在区间。上存在单调区间,求参数【典例1】(2023上浙江宁波高二镇海中学校考期中)若函数/(x)=(x-m)2+lnx在区间(1,2)上有单调递增区间,则实数加的取值范围是.【答案】卜0,()【详解】,(x)=2(x-w)+i(x>0),由题意八x)>0在(L2)上有解,即/W<x+-在(1,2)上有解,2x根据对勾函数的性质可知,y=x+(在(1,2)上单调递增,所以在=2时取最大值,故册<2+!=g,故实数,的取值范围是(-8,44V4;故答案为:f-00,-J2【典例2】(2023下江西抚州高二江西省临川第二中学校考阶段练习)函数/()=N在R上存在单调递增区间,则。的取值范围是.【答案】(-1,+8),/2xev-(x2-)ev2x-(x2-a)2x-x2+a【详解】函数/(X)=一,/(X)=、2=七,e(elcC函数/(x)=gL在R上存在单调递增区间,,/M)=2x-+>o,即.>-2X有解,令g(x)=f-2x,g()=(-l)2-l-l,.当X=I时,g(x)min=-1,.4>-l即可.故答案为:(-1,+8)【变式1(2023下广西高二校联考期中)若函数/(x)=F-;a/+x在1,3存在单调递减区间,则。的取值范围为.【答案】。>4【详解】fx)=3x2-ax+t等价于/'(x)<0在口,3有解,即3fj+l<0在1,3有解,即”>3x+J在1,3有解,所以>卜x+j,令g(x)=3x+g,xl,3,则(3=3-±=专匚>0,即8(可在1,3上是增函数,.g(x)min=g=4,所以a>4.故答案为:a>4.题型05已知函数/()在的单调区间为(是)D9求参数【典例11(2023下高二课时练习)已知函数/(x)=mj+3(1*-w2+l(m>0)的单调递减区间是(0,4),则加=.【答案】;【详解】f,(x)=3mx2+6(m-)x,因为函数/(x)单调递减区间是(0,4),w>0所以J(O)=O,解得加=;,(4)=48w+24(w-l)=0则/'(x)=f4x,令/'(x)=2-4v,得0<<4,所以函数/(x)单调递减区间是(0,4),所以小=;.故答案为:.题型06已知函数/()在区间。上不单调,求参数【典例1】(2023下湖北高二校联考阶段练习)若函数/(x)=22-InX在其定义域的一个子区间(2上-1,2%+1)内不是单调函数,则实数攵的取值范围是()AMBKC同【答案】A【详解】因为函数的定义域为(0,+8),所以2I0,即左弓,XXX令/'(X)=O,得X=;或X=-:(舍去),因为/S)在定义域的一个子区间(2人-1,2%+1)内不是单调函数,113所以2左一1<一<2片+1,得一一<k<-,244综上,-<k<y故选:A【典例2(2022上河南高三校联考阶段练习)已知函数/(x)=+(x-l)e'在区间,3上不是单调函数,则实数。的取值范围是()_e(e_£A,46)Bk4,i6jC-36,-16jD,厂可【答案】A【详解】因为/(X)=奴4+("W在区间1,3上不是单调函数,所以r(x)=4"=0在区间(1,3)上有解,即-4a=S在区间(1,3)上有解.令g(x)=y,则g,(x)=(';)".当x(l,2)时,g,(x)<°:当xw(2,3)时,g,(x)>O.故g(x)在(1,2)上单调递减,在(2,3)上单.调递增.又因为g=e,g(2)=今g(3)=e<e,且当Q=-J时,fx)T+Xx=X3f-y-0,1641x4J所以/(x)在区间1,3上单调递增,所以-4ave,解得4e16故选:A【变式1(2022全国高二专题练习)已知函数g(x)=*j2+2x+l.若g(x)在(-2,-1)内不单调,则实数的取值范围是.【答案】(T-2)【详解】由g(x)=g3-+2x+l,得g'(x)=/一衣+2,当g(x)在(-2,-1)内为减函数时,则g'(x)=2-q+20在(-2,T)内恒成立,所以"x+4在内恒成立,X当g(x)在(-2,-1)内为增函数时,则g'(x)=Y+20在(-2,T)内恒成立,7z所以x+j在(-2,-1)内恒成立,令y=x+j,因为y=x+;在(-2,-I)内单调递增,在(-应,-1)内单调递减,所以y=x+:在(一2,-1)内的值域为卜3,2&,所以-3或q-2,所以函数g(x)在(-2,7)内单调时,夕的取值范围是(YO,-3卜卜2"+oo),故g(x)在(-2,-1)上不单调时,实数a的取值范围是卜3,-2&).故答案为:卜3,-2&).【变式2(2022下福建漳州高二福建省漳州第一中学校考阶段练习)若函数/(x)=y-+4x+l在区间(1,4)上不单调,则实数。的取值范围是.【答案】(4,5)【详解】解::函数/(x)=A-1f+4x+l,/./Cr)=/一0+4,若函数/W在区间(1,4)上不单调,则/(%)=/ax+4=o在(1,4)上存:在变号零点,4由2-q+4=0得=x+一,Xg(x)=x+-,XW(1,4),g,(x)=-2¾-2-XX.g()在(1,2)递减,在(2,4)递增,而g(2)=2+g=4,g(l)=l+=5,g(4)=4+=5,所以4<o<5.故答案为:(4,5).题型07含参问题讨论单调性(导函数有效部分是一次型)【典例1】(2023上陕西咸阳高三统考期中)已知函数/(x)=lnx-G(R).(1)若=1,求函数/S)的极值;求函数/(x)的单调区间.【答案】函数/U)的极大值为-1,无极小值答案见解析【详解】当。=1时,/(x)=lnx-x,其定义域为(0,+8),XX1 X令r(x)=o,则X=LX当0<x<l时,ff(x)>Ot/(X)单调递增;当x>l时,(x)<0,八功单调递减,函数/(x)的极大值为/(I)=T,无极小值.(2)V/(x)=lnx-x,.f,()=-a=-,XX当0时,,>0,/(X)在(0,+00)上单调递增:当4>O时,由fx)=O,得X=L,a若O<x<L则八x)>0,若>L则/'(x)<0,八X)单调递减,aa当>0时,/(%)的单调递增区间为(0,:),单调递减区间为(5+,综上,当0时,函数/V)的单调递增区间为(0,+):%>0时,函数/W的单调递增区间为(Oq),单调递减区间为【典例2】(2023全国高三专题练习)已知函数/(x)=(x-l)-XlnXgR).求函数/的单调区间.【答案】增区间为(0,e"T),减区间为(e“T,+8).【详解】/(x)的定义域为(0,+8),(x)=-(l+lnx)=-Inx+a-l,令一InX+。-1=0,解得=e°.令八月>0,得0<<e2,令/'(x)<0,得x>e"L/W的单调递增区间为(O,e,),单调递减区间为(e°,+oo).【变式1(2023全国高三专题练习)已知函数/(x)=ah.ax-3(aeR),讨论函数/(x)的单调性.【答案】答案见解析【详解】由函数/(x)=lnx-ar-3的定义域为(0,+),且广令/'(x)=O,解得x=l,若>O,当x(O,l)时,fx)>O;当x(l,+8)时,,(x)<O,所以函数/(x)在(0,1)单调递增,在(l,+)单调递减.若>0,当XW(M)时,/'(x)<0:当x(l,+oo)时,f¢(x)>0,所以函数/(x)在(0,1)单调递减,在+8)单调递增.若。=0,此时函数/(x)=-3为常数函数,无单调性.【变式2(2023全国高三专题练习)已知函数/(x)="(e'-2)TieR).讨论函数/(x)的单调性.【答案】答案见解析【详解】由题意,得函数I(X)的定义域为R,则/'(x)="e'-l,当0时,/'(x)<0对任意x6R恒成立,函数/(x)在R上单调递减;当4>0时,令/C(x)>O,得X>Tna,令/'()<0,得x<Tna,,函数/(x)在(F,Tno)上单调递减,在(-ln,+8)上单调递增.综上,当a0时,/(x)在:R上单调递减;当>0时,/()在(-%-Ina)上单调递减,在(-ln,+)上单调递增.题型08含参问题讨论单调性(导函数有效部分是二次型且可因式分解)【典例1(2023上江苏扬州高三仪征市第二中学校考期中)已知函数/(x)=0n+(j24),其中R.若=;是函数/U)的极值点,求的值;若"。,讨论函数/(x)的单调性.【答案】=T答案见解析【详解】.>O,r(x)=22+(1-2")T=(20x+IXA1),XX因为X=;是函数/(X)的极值点,所以/'g)=0,解得O=T,当=T时,,(x)=c2+l0,X若八幻0,则g<x<l,若/'(x)<0,则0<x<;或>l.即函数/W在(,(J上单调递减,在京)上单调递增,即x=g是函数/W的极值点.i = -l.(2) vx> Of,_2ax1+(1-2a)x-_(2ax+)(x-)'J(X)=当<0时,令/'(X)=O,解得X=-A或x=l,当一'-<1,即v-!时,2a2当-;=<时,x)>o,当o<<-!-或时,,()<o,2a2a所以/&)在(,-5)上单调递减,在()上单调递增,在(1,+)上单调递减.当一一>1,即一L<vO时,2a2当E<时,,>0,当0<x<l或时,V)<0,22a所以/(X)在(0)上单调递减,在(I,W)上单调递增,在卜+8卜.单调递减.当W=1,即时,/()0,所以/(X)在(0,+8)上单调递减.综上,当时,/(x)在(0,1)上递减,在(1,-五)上递增,在(-相,+00)上递减;当。=-g时,/(X)在(0,+8)上单调递减;当;时,/在(0,-上单调递减,在卜点/)上单调递增,在(I,+8)上单调递减.【典例2】(2024全国高三专题练习)已知函数/(%)=ln4+2-(2+w,其中。>0.求函数”)的单调区间;【答案】答案见解析【详解】r(力=卜级_伽+1)=RATJ.-啖>0),令r(x)=O得x=g,2=。,当时,/'(x)0,则函数/(x)在(0,+功上单调递增,当0<4<;时,O<x<或x>g时,/(x)>0,a<x<g时,(x)<O,所以函数/(力在(OM),+)上单调递增,在层)上单调递减,当白;时,0<x<;或x>时,O>0,时,z(x)<0,所以函数/(x)在,j),(4,+g)上单调递增,在上单调递减.综上所述,当。=g时,函数/(x)的单调递增区间为(O,+s),无单调递减区间;当0<。<;时,函数/(x)的单调递增区间为(OM),(;,+oc),单调递减区间为(4g);当时,函数x)的单调递增区间为在(,+),单调递减区间为(呆)【典例3】(2023上甘肃庆阳高三校考阶段练习)已知函数/(x)=Xex-£R)若。=0,求曲线V=(x)在点=2处的切线方程;当。>0时,求函数/(%)的单调递增区间.【答案】(I)y=2e3+2e2-4e3答案见解析【详解】(1)当=0时,/(x)=XeX,贝J'(x)=(x+l)e',所以切线的斜率左='(2)=3e2,又/(2)=2e2,所以y=(x)在x=2处的切线方程为丁-2,=2/(工-2),即y=2e3+2e2-44.(2)因为,(x)=廿一4(;/+丫)所以(力=(工+1乂。丫一,令f'(x)=0,得X=T或X=In,又a>0,当=1时,/(x)0恒成立,所以/(x)在R上单调递增.c当OV4<J时,Ina<-1,e令/C(x)>O,得x<ln0或x>T,所以f(x)的单调递增区间为(o,ln),(T,+oo);当。>一时,Intz>-1,e由/C(x)>O,得XVT或x>ln,所以/(x)的单调递增区间为(-8,T),(lna,+oo);综上所述,当。=1时,/(x)的单调递增区间为R;当0<4<L时,/(x)的单调递增区间为(-,ln4),(T,+oo);e当时,/(X)的单调递增区间为(-8,T),(ln,+oo).e【变式1(2023上河南南阳高三校考阶段练习)己知函数),=InX-g0+(l-)x+l.(1)当。=1时,求曲线/在点(IJ)处的切线方程;(2)当l时,讨论函数/(x)的单调性;【答案】广;(2)在区间(0,3上单调递增,在区间(Le)上单调递减aa【详解】(1)当=l时,=lnx-x2÷l,则y'=L-x,2X所以,当X=I时,y=-l=0,又/=Inl-;+1=(所以,由导数的几何意义知曲线/(X)在点(I,/(D)处的切线方程为y=;.(2)因为N=InX-;OX2+(l-)x+l,易知,x>0,则/=LX+j=S2+03+1=-(l)(x+D.,XXX又l,当O<x<L时,y'>0,当x>L时,y<0,aa所以/(x)在区间(Oq)上单调递增,在区间(:,丑)上单调递减.【变式2(2023上北京顺义高三杨镇第一中学校考阶段练习)已知函数/(力=双'-(x+l)2(m0).当加=0时,求函数/(x)的最小值;当加>0时,讨论/(4)的单调性.【答案】(1)-£答案见解析【详解】(1)当W=O时:/'(x)=(x+l)e"令/'(x)=0解得x=1,又因为当XW(Yo,-1),(x)<0,此时函数f(x)单调递减;当x(-l,+oo),/x)>0,此时函数/(x)单调递增.所以f(x)的最小值为/(-I)=-:.(2)/,(x)=(x+l)(er-n),当m>0时,由f'(%)=O,得X=-I或X=In机.若机=;,则r)=+i)*-jo,故/(%)在(-%+动上单调递增;若加>L则ln"z>-l.故当/¢(%)>0时,X<-IsKX>Inzzj:e当/'(x)<0时,一l<x<ln制.所以/(x)在(-,T),(In叫+8)上单调递增,在(-1,InM)上单调递减.若0<川<:,则Inm<1.故当/小)>0时,x<lnwEx>-l;当/'(x)<0时,Inw<x<-l.所以/(x)在(-,lnm),(T+oo)上单调递增,在(InM,-1)上单调递减.综上所述,当加=1时,力在(-,+8)上单调递增:e当机>,时,/(%)在(In孙+8)上单调递增,在(TInm)上单调递减.e当0<m<(时,/(x)在(o,ln"i),(T,+)上单调递增,在(lnm,-l)上单调递减.【变式2(2023全国高三专题练习)B(x)=(x2-av)lnx-x2+2av,求/(x)的单调递减区间.【答案】答案见解析【详解】易得/(x)的定义域为(0,+8),,(x)=(2x-a)ln,+x-a-3x+2=(2x-a)lnx-(2x-)=(2x-a)(lnx-l),令/'(x)=0得1=或x=e.当0时,因为x>0,所以2x-o>0,令/'(x)v得OVXVe,所以/(4)的单调递减区间为(0,e).当>0时,若界e,即0<“<2c,当TO时,/明>0,当时,,(x)<0,当x(e,+)时,f¢x)>O,所以/(x)的单调递减区间为6,e);若=e,即=2e,当XW(O,+功时,f'(x)O恒成立,/(切没有单调递减区间;若>e,即>2e,当x(O,e)时,/心)0,当时,,(x)<0,当X呜,÷时/明>0,所以/(x)的单调递减区间为卜多综上所述,当0时,/(x)的单调递减区间为(O,e);当0v<2e时,/(x)的单调递减区间为(,e当=2e时,/(x)无单调递减区间;当>2e时,/(x)的单调递减区间为(丐)题型09含参问题讨论单调性(导函数有效部分是二次型且不可因式分解)【典例1】(2023全国高三专题练习)设函数/(x)=lnx+q,其中。为常数,讨论函数/(幻的单调性.【答案】答案见解析【详解】根据题意,/(x)=lnx+工;则x>0,导数C)="(+i)'分2种情况讨论:当0时,,(x)>0,函数/()在(0,xo)上为增函数;当时,r=-+ X2_ ax2 +(2a + 2)x + aU+1)2令g(x)=OX2+(2a+2)x+af则有A=(2+2)2-4=8+4,当-/时,A0,有g(r)O恒成立,则Wj'()<O,函数/()为诚当-5<q<0时,>0,+(2+2)+=o有两个根,则在区间(0,一("+1)+后不)和(一(“+1)一"",+8)上,g()<o,aa则有/'(x)<0,函数/S)为减函数,在区间(一(。+1)+缶2,-(÷l)-2-H匕aa/'(x)>0,函数/()为增函数;综合可得:当0时,"X)在(0,+8)上为增函数,当a-g时,函数/S)在(0,+8)上为减函数,当一L<“<O时,在区间(0,-(+D+J2+l)2和(T"+iXJ1l,+8)上,函数/(x)为减函数,Cl在区间(-g+D+0R,-g+D-匹')上,函数x)为增函数.aa【典例2】(2023全国高二专题练习)已知函数/(x)=Br+Inx(>0).讨论/(力的单调性.【答案】答案见解析【详解】由题意知,/(、)定义域为(o,+8),ff()=-u-=-2a+1(fl>0);X-X厂令g(x)=2-奴+i(>0),则a=q2-4当A0,即0<42时,,(x)0(当且仅当=2,x=l时取等号),/(x)在(O,+e)上单调递减;当A>0,即>2时,令g(x)=0,解得再="2&三,g+T三4y22,当“(0,芯)。(%2,”)时,/'(x)v;当Xw(XI,/)时,/C(x)>0;/(X)在,伫华钙三,q上单调递减,在(邙二,喈三)上单调递增;综上所述:当0<2时,/(X)在(0,+8)上单调递减;当。2时,/(无)在o7,竺=i,+8上单调递减,在卜呼m”+呼上单调递增.【变式1(2022甘肃临夏统考一模)已知函数/(x)=21nx+f-h讨论/(x)的单调性;【答案】见解析(2)e+|,+8)【详解】(1)定义域为(0,+8),()=-÷2x-=2x-2,XX令MX)=2-AX+2,当人0时,Q%)>0恒成立,>0,QX)是增函数;女>0时,=)t2-16>当>(),即左>4时,由J)=。得="JVT6,=k+加76,424由/(x)>O=O<xV石或x>*2,/(x)<O=>x<X<X2,故/(X)的单调递减区间为须/2,单调递增区间为(Oj),(乙,+8),当0,即0<%4时,/'()0恒成立,/(X)是增函数,综上可知:4时,/是增函数,4>4时,/(x)的单调递减区间为k7k:-16k+qk:-16,单调(八Ik2-T6(k+yk2-6'递增区间为0,+44Z/【变式2(2023全国高二专题练习)已知函数/(x)=hu+g-2x.讨论当。>0时,/(x)单调性.X【答案】答案见解析【详解】由题意可知x>O,(x)=二二2=_2/4+jXX2X2对于二次函数旷=2/_工+4,4二1一8。.当白J时,AOJ'(x)O恒成立,/()在x>0上单调递减;O当0<q<4时,二次函数>=-2/+一。有2个大于零的零点,分别是XLl2正亚,=业区,84'4当<lz2严上Fl时/总)>0./(x)在xc(上W至,*垣)单调递增;当u0,上手ZMI上守,+8卜",<0,.丫)在XepZ咚可和(上午,+8单调递减综上:当J时/(x)在(0,+8)单调递减O业八,IUIr/八f1一Jl-8。1+Jl-8M,阳,湎尢fn1-J"8)(l+Jl-8a)当0<<1时/(x)在x,IlL倜递增;在XW0,和,+8上单倜8(44Jk4Jl4)递减.A夯实基础B能力提升C综合素养A夯实基础一、单选题1. (2023上高二课时练习)函数/(x)=(x-3)e'的单调递减区间是()A.(-t2B.0,3C.口,4D.2,+8)【答案】A【详解】函数的导数/(x)=ejf+(x-3)ex=(x-2)e由/'(x)<0得(不一2度<0,np<2,所以函数的单调递减区间为(YO,2;故选:A.2. (2023上嘿龙江双鸭山高二双鸭山一中校考期末)函数/(x)=2x-51nx-4的单调递增区间是()A.(0,3)B.(-,0)和g+8)C.0,JD.(|,+8)【答案】D【详解】()的定义域为(0,+动,,(x)=2-=,XX.当x