第13讲双变量问题（原卷版）.docx

第13讲双变量问题经过前面对极值点偏移的学习,我们对双元问题的解决有了一个深刻的认识,本节讲解一般的双元问题,其核心思路和极值点偏移的核心思路差不多,都需要把双元问题转换成一元问题来解决,其转化方法类似前面极值点偏移总结的方法.韦达代换消元韦达代换消元是解决双变量问题的常用方法,其题目特征是所求的双变量X，“2为一元二次方程加+瓜+c=O的两个解,其一般解题步骤为：hC第一步:找到两个变量的关系,+x2=-,x12=-.aa第二步:统一变量,把要求解的双变量问题演出韦达,把根与系数的关系带进去,消掉参数和多余变量,统一为一元变量.第三步:构造函数求【解析L构造一元函数,即按照一元函数的方式求解问题.例1函数/(6=嬴-3-山(。氏)，若。|，函数/(刈有两个极值点演，工2(5乙)，求/(3)-/(F)的取值范围【例2】函数f(x)=e'x-ex+ax,aR.(1)讨论F(X)的单调性.若“X)存在两个极值点/X2,石42.证明：/(王)一/()(一2乂一©").【例3】函数/(力=高丁且/()存在两个极值点不刍,求证：)+/伍)亨.【例4】函数/(x)=:2-0r+41n2x(4H).若“v时/(可在l,e上的最小值是q-ln2,求”.若a.e,且与七是f(x)的两个极值点.证明:/(X)+/(x,)(x12+J)-2e(其中e为自然对数的底数6*2.71.)差式引参消元所谓差式引参消元就是找X1-X2这样的作差的式子,整体代换从而实现统一变量,其一般解题步骤和“极值点偏移”的类似,通过变形/&)=/(£),构造出X-9，令玉-9=，引人参数，,用参数f表示出变量I%=?,进而构造出一元函数.H=g()【例1】已知函数/(X)=XeT,若O<内<w，且/(X)=f(x2),求证:3x1+X2>3.例2已知函数/(x)=me'-1一1,若/(x)的两个零点为且不<%，求*一炉)卜、：一)的取值范围.齐次分式引参消元所谓齐次分式引参消元,其步骤与“极值点偏移”的类似,先根据已知条件变形出土,然后令X2%用参数，表示出变量4=/y,进而构造一元函数,将关于X",待求的问题转化为，9X2=g()的函数问题.【例1】已知函数/(x)=lnx7+4.(1)求函数x)的最大值.若函数/(x)存在两个零点%,(/)证明：21叫+Inx2<O.【例2】已知函数一有两个极值点设函数“打的两个极值点分别为xpx,且少.2,求实数的取值范围.齐次分式整体代换消元所谓齐次分式整体代换消元就是变形出齐次分式五,然后整体代换土=，得出一元函数X2X2求解,一般步骤和“极值点偏移”的类似,通过将所有涉及Xd的式子转化为关于土的式子,整X2体代换五=t,构造关于I的一元函数g(t)来求解.【例1已知函数/(x)=Inx-OXM为常数,若函数/(x)有两个零点X"2证明:rM>«2.例2设°(彳)=HnX-X,若O(X)有两个相异零点内,毛,且M<毛，求证：】g+g21m<0.例3已知函数8(力=1以-7+«，1<)有两个零点工,彳2.(1)求实数f的取值范围.(2)求证：'+-!->：.x1x2e例4设函数f(x)=x2+(2-tz)x-HnX(eR),若>2且方程f(x)=b,beR,在(l,+)上有两个不相等的实数根x1,x2,求证:<x1+x2.同构函数单调性证明同构函数:变量分离后若结构相同,则可将相同的结构构造一个函数,进而通过函数的单调性与自变量大小来证明不等式.例1已知函数(X)=X2-(6,+)+111x,a(p/Ia)，8(工2，(乙("0是函数MX)图像上任意两点,且满足MXJ-MX2)>1,求实数。的取值范围.例2已知函数/()=g2-(+!卜+Inx,若(,;),证明:对任意,大2,2),“2)<恒成立.2'-K2