第11讲数列型不等式.docx

第11讲数列型不等式数列型不等式的证明问题常常会与导数结合起来,解决这一类问题最重要的就是要明白数列的本质，即数列是一种非连续性函数.也就是说，数列本质上是函数，但具有非连续性，从图像上看，数列就是函数图形上的一些不连续的点.既然说数列是函数，那么我们解决数列型不等式，就可以把数列作为一个函数，然后运用前面所讲的关于函数不等式的方法来解决，所要注意的就是数列的非连续性，即数列的自变量只能取正整数.证明数列不等式在讲解数列不等式的证明时，我们先补充个求和符号：Sn=Yjak=al+a2+4.其中，品Jt=I是数列的通项，Sn是数列的前N项和，力如是前N项和的简写.A=I题型：证明Sn=Jt=Ik=步骤：核心是通过证明通项不等式进而证明前项和不等式Sv7；,一般步骤如下.首先对数降级：通常对不等式两边取对数，把乘法运算降级为加法运算.第一步：算通项公式.由前八项和不等式Sn<Tn,通过%=Sn-Stl_=f(n)与，=Ttl-Tt=g(n)计算得到通项不等式/第二步：构造函数.根据通项不等式%整体代换，构造函数不等式：f(x)<g(x).第三步：证明函数不等式.证明：对任意的正整数，不等式ln5+l)>并得通项不【解析】证明：第一步：求数列通项.0zj=S“=ln(+l)-ln=ln,等式.由赳詈>9T>可得通项不等式hrHT第二步：整体代换，得函数不等式.令X=L("n'),可得In(X+1)>f一/第三步：构造函数，证明函数不等式.令h(x)=X3-X2+In(X+1).h,(x)“>oO,+)上恒成立.x+1.(x)在0,+oo)上单调递增，(x)(0)=0.ln(x+1)>X2-X3.【例2】求证:即可得n( + l)>1 +5 + 1)2【解析】证明mA=I1+71÷7( + 1)2=In1+25 + 1)2÷ In册,两边取对数，等价于 ( + 1)22+ (w + l)2+ + InT < 5 + 1)22可得通项公式%=In1+,常用对数不等式变形可得lnx<x-l.令 X = 1 +， k = t 25 + 1)5+1)nYln=InL11+InL2:+In1+4=15+1)25+1)2(n+l)3. In÷ In-+I 2J5+1)2»n,则In1+匕丁<匕丁5+1)2J(“+Ip<1+2+.+=m+1)=J(+1)2(n+l)2(“+I-25+1)22(+1)2.原不等式得证.已知函数不等式证明数列不等式这一类题目通常在第一小问就已经证明了函数不等式,然后在第二小问证明数列不等式时，就可以直接利用函数不等式，其关键是利用已经证明的函数不等式来整体代换并证明通项不等式%V,进而求和并证明前簿项和S”<7；.【例1】已知函数/(x)=ln(x+l)-一X.证明：(1)f(x)=ln(x+1)-X2-X<O.(2)对于任意的正整数，不等式2+。+±+与>in(+l)都成立.49n【解析】证明f,(x)=-21=-(2x+3),令r()>o=>x<O.x+1x+1X(-1,0)(0,+00)广(力+一f(x)单调递增单调递减.,.f(x)</(O)=O,SPln(x+1)<x2+x.第一步：整体代换.由函数不等式In(X+l)<f+得通项不等式.A1ll,.(1(1Y1Hn1+1令X=一、则In-+1<+-,WIn<.nn)n)nn)n第二步：所得通项左、右分别求和，即可证明前项和不等式./1 + 11n+_÷ln<2+nRnC34n+1/.、Gp2H1F4>In(M÷1).49H2【例2】已知函数/(x)=21nx-/+(1)求函数f(x)的最大值.证明：3+/+(+21n(+l)(eN)22(x2-1)【解析】(1)函数/(x)的定义域为(0,+8),且八%)二一23'LXX当OVXVl时，r(x)>0,此时函数/(X)单调递增.当x>l时，,(x)<0,此时函数/(x)单调递减./(x)max=/=0证明由题可知,当x>l时，f(x)</(1)=0,即21n<2-a+1/*.Z?+1+1)12n+1hi.In+1n+令X="N,2In<-1=,即>21n,nv,nnJnnn,572+l2,31/?+n(23w+lA.1.八.3+-+>2In+In+In=21n.=21n(w+1).2232n2112n)U2nJ【例3】已知函数f()=In(X+1)-公，其中R.(1)讨论函数f(x)的单调性.并求当X|0,+oo),/(x)0恒成立时，实数。的取值范围.求证：对任意正整数，都有(l+g)(l+3(1+!)<e(其中e为自然对数的底数).【解析】(1)函数/(x)的定义域为(-1,+8),八#=-a=-.x+1x+1当0时，/(r)>0,./(X)在(一1,+oo)上单调递增.当4>0时，令r(x)=O,解得X=L-1>一1a当-l<x<5-l时，I(K)>0,./(幻在卜，：一1)上单调递增.当%>，一1时，f,(x)<O,.(x)在(工一1,+8)上单调递减.因此，当a0时，函数f(x)在(-1,+8)上单调递增.当0>0时，函数/(x)在卜1,:-1)上单调递增，在,+oo)上单调递减.由于/(0)=0，显然当<0时，/(x)0在0，+8)上恒成立，与题意矛盾.当Ov<l时，l>0,而函数/(X)在(0,上单调递增，在(，+8)上单调递减，-1)>0与题意矛盾.当l时，-l<0,BJO,+)-l,+oo),.函数力在0,+8)上单调递减，即/(x)(0)=0故当。1时，函数/(x)0在0,+8)上恒成立，即4的取值范围为0l.证明由(1)题知，当。=1时，XfxeO,+oo)»有In(K+l)x.令X=次N),则In(I+/4(g) <l = lne【例4】已知f(x)=e',g(x)=x+l(e为自然对数的底数).(1)求证：/(x)g(x)恒成立.(2)设加是正整数，对任意正整数，(l+g)l+*11+/卜加，求加的最小【解析】证明令尸(X)=/(x)-g(x)=er-工一1,则F'(x)=H-L.当x(o,0)时，尸'(x)<0.当XW(O,+8)时，F,(x)>0.尸(X)在(-00,0)上单调递湍在(0,+8)上单调递增.尸(x)min=F(O)=C0-O-I=O,即F(X)=/(X)-g(x)0恒成立.f()g(x)恒成立.1±由题知：1+e3".3("加+*)+/卜L=J=却一本.me2.机为正整数，.m的最小值为2.裂项放缩证明数列不等式这类题目不仅需要结合函数不等式来证明数列不等式，还需要对数列不等式进行放缩，下面是与求和相关的不等式的放缩技巧和放缩变形结构.一、放缩技巧(1)在数列中，“求和看通项”，所以在放缩的过程中通常从数列的通项公式入手.(2)在放缩时要看好所证不等式中不等号的方向，这决定对通项公式是放大还是缩小(应与所证的不等号同向).(3)在放缩时，对通项公式的变形要向可求和数列的通项公式靠拢，常见的是向等比数列与可裂项相消的数列靠拢.(4)若放缩后求和发现放“过”了，即与所证矛盾，通常有两条道路可供选择：第一个是微调：看能否让数列中的一些项不动，其余项放缩从而减小放缩的程度，使之符合所证不等式.第二个就是推翻了原有放缩，重新进行设计，选择放缩程度更小的方式进行尝试.二、常见的放缩变形结构(1)结构一：一一，其中22,zzN可称斗为“进可攻，退可守”，w(w+l)nn(n-)n可依照所证不等式不等号的方向进行选择.注意：对于与，可联想到平方差公式，从而在分母添加一个常数，即可放缩为符合裂项相消特征的数列.这种放缩的尺度要小于“(1)结构一”中的式子.此外还可以构造放缩程度更小的，如：¼1_4_4(n2n2_J_4n2-1(2w-l)(2w+l)2w-l2n+)41 O(2)结构二：4=rf从而有-Jnyjn+2(J +1 G)=2(> y/n 1).212，<<4n+jn+fnM+Jn-X注意:对于白还可放缩为:-J= <yn -Jn-2(3)结构三：分子分母同加常数丝？so,zwo),2竺?(a。，桃o).aa+maa+n此结论容易记混,通常在解题时,作为一种思考的方向，到了具体问题时不妨先构造出形式,再验证不等关系.(4)结构四：-=7j7=7c=77Ihn-l)(2n-l)(2rt-l)(2rt-l)(2,-2)(2z,-l)(2n-1-l)=55(n2,N*).2,_12一1、)可推广为:k"kkn=kn-xWTA"TkT<(r-i)(F-)=(r-i)(r-'-i)J(w2,2,k»N*).knl-k,t-)【例1】已知函数/(x)=InXl+03eR).X(1)讨论f(X)的单调性.(2)当N"时，证明：ln2(l÷l)+ln2fl+-l+ln2fl+-l>-I2)In)2n+4【解析】(1)/(X)的定义域为(0,+8).r)=L-f=XXX当0时，r(x)=±0,则/(x)在(O,+8)上单调递增.当>0时，由广(幻=土?>0得x>,故f(x)在(,+8)上单调递增.x由r)=q<o得XV，故/(“)在(0,4)上单调递减.X证明(2)令=l,由(1)题可得/(外在(0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增,则 InX 1 + !0 , BP lnxl-. XX(w + l)×(n + 2)2 3 3 42×3 3×4 命题得证.n( +1) n + 2 2 + 4【例2】当eN"时，证明：一2 + 4<ln22÷ In2- +证明：设数列% , 的前般项和分别为Sf =2n2 + 41 2 + 1 n+ In <n h + 1，4=七则/1 + 1由于% =m“解析】得为同理，bn=!(11+1).只需证明an( + 1)5 +2)< In2< =-n1 2 " + 1. In n,2c 1 2,2 + 1.'.In 2 + In + +In >2n再证明帝"1<一!一， n ( +1)n + 2 2m+ 4亦即In-<nJn jn +1由不等式lnx-(见“例1”)，X5+1)2(+1)(+2)+1n+2.lW = 2ln 片,，只需证2 In4n J + l G J + lGJ" + l.，即证明 21 <x-L(x> 1).,n+X令h(x)=21nx-x+-(x>1),则h,(x)=-1-=P<O，XXXX.函数人(X)在(1,+8)上单调递减,(x)<A(I)=O.,当x>l时，21nxvx恒成立.X令户严人则如严誓一磊.2|_12+11综上，<in-<.(n+1)(«+2)n(+1)对数列%，ln2,但分别求前项的和得n12«,2319w+1n<ln2+ln-+ln<.2w+42n/2+1