第15讲导数中的端点效应法.docx
第15讲导数中的端点效应法本节主要讲解高考题的解题技巧:端点效应.“端点效应”,是指在处理“定区间上函数不等式恒成立,求参量取值范围”一类问题中,将变量在端点处的值代人,求出参量的取值范围(题设成立的必要条件),再在所求出的参量的范围内进行分类讨论,求解验证题设成立时参量所满足的充分条件.“端点效应”法最大的优点就是,能够缩小参量的范围,避开不必要的讨论,为我们在解题中节约时间,做到快解.它也是高考数学中一种常用的技巧方法.端点效应的多维度表达第一层维度:若f(x).0(含参数)在xm,网上恒成立,则F(X).0在区间Xem,川端点处也必须成立,即PwQ1/W.0第二层维度:若"M二°,要使*).0(含参数。)在mM上恒成立,则必然有1r(M°.Im=Ol,(11),O第三层维度:若(八二°要使F(X)0(含参数。)在Xd上恒成立,则必然有J”(M°/5)=0/().O(函数凹凸性证明).第四层维度、第五层维度(放心,不会考).端点效应缩小必要性范围利用端点效应法的一般解题步骤：第一步:必要性缩小范围,利用端点效应,我们可以得出参数的一个取值范围,虽然很多考题中,我们得到的范围就是最终的结果,但要注意的是这个范围是必要性范围,实际范围可能会更小,不过有了这个范围之后,可以大大降低我们后续的思考难度,减少解题步骤,接下来,继续正常求导,只是需要让刚刚得到的参数范围帮帮忙.第二步:充分性验证或者确定结果,有了前面的必要性范围之后,我们就按照常规的恒成立问题的解题思路求解即可,利用反证法验证或者常规讨论都行.【例1】已知函数/(x)=XlnX-1)2+l,R,若对任意X(l,÷oo),f(X)Co恒成立,求实数的取值范围.【解析】解法一:分类讨论由题f(x)=lnx-2(x-l),x(1,”).令g(x)=f,(x),则g,(x)=.X(1)当4,0时,在X>1时,g'>0,从而g(x)>g=0. /(X)在(l,+)上单调递增.J/(x)>(l)=0,不合题意.(2)当0>0时,令gf(x)=0,解得冗=1.2ai若,1,即在x>l时,g'(x)<0,2a2：,g(x)vg(l)v0./(x)在(1,+8)上为减函数./(x)<f(l)=0符合题意.ii若>1,即当Xe(I时,g'(x)>0,在(1,卷)时,g(x)>g(l)=0, /(x)在(1,上单调递增,从而XJ1,-1W,(x)>/(1)>0不合题意.12a)12aJ综上所述,若/(幻<0对戈(1,+)征成立,则.法二:端点效应法第一步:必要性缩小范围.要使/(x)=xlnx-tz(x-l)2-x+l<OmR,在x(1,+8)上恒成立,则需要在端点处也成立,即/(l),0恒成立. /=0,则由端点效应可知有/'(1),0成立.又/(1)=0,则由端点效应可知：有0成立.又,ff()="1-2。,则r(1),0可得a.L.X2第二步:充分性验证,见法一.ax-x)【例2】已知函数/(x)=xlnx,g(x)=L,若f(x)<g(x)在(l,+oo)上恒成立,求实数。的取值范围.【解析】解法一:分类讨论/(x)Vg(X)等价于XlnX”<0,即Xlnx-"l)<0，2L2P“、1(xT)m,/、Ia2-ax记(x)=Inx,则(x)=,2X22x(D当,0时,'(x)>0,0(X)在(L+)上单调递增,由(l)=0,z(x)>A(I)=O,冗/>0,即/(x)<g(x)不恒成立.2/2、_(2)当OVaV2时,一>1,X1,时,h,(x)>0,(x)单调递增,/(x)<g(x)不恒成立.aa)(3)当a.2时,X(1,+),hf(x)<0,(x)在(1,+oo)上单调递减,h(x)<A(I)=0,Xh(X)<0,即f(x)<g(x)恒成立.故/(x)<g*)在(1,+8)上恒成立，实数a的取值范围是2,+8).法二:端点效应法第一步:必要性缩小范围./(4)Vg(X)等价于XInX-"(A-”)Co,即XhnX-如心<0,2L2记A(x)=Inx-"0",要使h(x)在(1,+)上,h(x)<0恒成立.2则力(1),0,(1)=0,根据端点效应,则必然有"(1),0.又"(X)=Lq=生竺,可得厅(1)=1q京。2.X22x2第二步:充分性验证结果.可以用法一中的分类讨论,来验证。V2时,f(X)<g(x)不恒成立.【例3】已知函数/(x)=(x+l)lnx(x-l),若当X(l,+oo)时,/(x)>0,求。的取值范知【解析】解法一：当x(l,÷)时，/(x)>0等价于Inx，D0.设x+1g(x)=InX-华D,则=1-=v+-q)j+L()=0.x+1X(x+1)x(x+l)(1)当区,2,x(l,+)时,J+2(1-a)%+1./-2+l>0,故g<)>0,g()在(l,+)上单调递增,因此g(x)>0.(2)当。>2时,令g'(x)=0得玉=-l-(-l)2-l,x2=-l+(-l)2-l由%>1和再=1得百<1，故当re(L¾)吐g'()<0,g()在(LW)上单调递减,因此g(x)<0.综上,a的取值范围是(-,2.法二:端点效应法第一步:必要性缩小范围.要使f(x)=(x+l)lnx-(x-l)>0在XW(I,+8)上恒成立,则需要在端点处也成立,即/(1).0恒成立.V/(1)=0,则由端点效应可知有(l).0成立，又r(x)=In1+X+1-,则/'(1).0可得a,2.第二步:充分性验证,见法一.【例4】已知函数八¥)=-1一尢一奴2,当彳0时,/(为0,求实数。的取值范围【解析】解法一:分类讨论第一步:求导,讨论函数单调性,并结合特殊值/(0)=0缩小参数范围.(。)=ev-l-lax.第二步:当a,0时,不等式恒成立.当60时,在0,+)上ff(x).0恒成立,则有f(X).f(0)=0.第三步:当>0时,拆分函数,结合指数不等式放缩,进一步确定参数范围.当。>0时,令8。)=©',*¥)=2奴+1,由指数不等式可知,当0<3，1,即0<«,；时,g(x)./Z(X).此时/'(x).0,同样有/(x).0.第四步:当白>!时,利用隐零点和不等式放缩反证不等式不恒成立.2当>(时,函数y=g(x)与y=(x)相交于点(0,1)和(X0,%).同时,当X(0,%)时,广(幻V0.当戈(0,+)f,(x)>0,即可知"(x)mhl=/伍)=e"7-八一国,将C"=1+2”代入得e，"-1gx_/(-v0)=e%-1-与-.X0(Xo>O),F(x)=ev-x-x(x>0),则广(X)=Cl1?二！.又由指数不等式可知l+(r),©-二那么尸”-l=O,BPF(x)在区间(0,+8)上递减,因此有"j)<(0)=0,与/(x).0矛盾,故不合题意.综上可知,满足题意的实数。的取值范围为卜8,；.法二:端点效应第一步:利用端点效应得参数必要性范围.f(x)=e*-1-X-?,当Xo时J(X)0恒成立=>/(0).0./(0)=On/(0).0,又(x)=ex-l-20r,J/"(0)=0.广(0)=On/(0).0,又尸(X)=F-2m可得;./.第二步:充分性验证结果略.
