第1章二次函数专题之函数最值问题教师版）公开课教案教学设计课件资料.docx

二次函数专题之函数最值问题【类型综述】二次函数的图像、性质问题中，求给定区间内函数的最值，是中考数学的热点问题.对于整个函数图像来说，最值在顶点处取到，而对于函数图像的一部分来说，则未必。常见的两种类型分别为：是给定区间，对称轴不确定；二是给定对称轴，区间不确定。一般步骤是根据已知，画出函数图像，再根据给定的区间或对称轴进行分类讨论，根据题意建立方程求解。难点是有时分类讨论次数较多，计算比较繁琐，容易出错。【典例分析】【例1】已知二次函数y=Qf+2av+32+3（其中X是自变量），当2时，丁随X的增大而增大，且当-2xl时，V的最大值为9,则。的值为（）A.-1B.1C.-2D.2【答案】B【详解】 二次函数尸0r2+20r+3q2+3（其中X是自变量），；对称轴是直线=-=-1,2a 当迂2时，y随X的增大而增大，a>O, -2<rl时，），的最大值为9,=1时，y=a+2a+3a2+3=9,32+3-6=0,.=l,或=-2（不合题意舍去）.故选：B.【变式1】已知二次函数)，=/+的+的图像经过点(一1,一3),则代数式小+1有(A.最小值一3B,最小值3C.最大值一3D,最大值3【答案】A【详解】 二次函数y=+,“+的图像经过点(-1,-3),-3=1-w+,代入mn+1,得mn+1=n2-4m+1=(-2)2-3. 代数式小+1有最小值-3.故选A.【变式2】己知点A(f,y),B(+2,”)在抛物线尸-的图象上，且-22,则线段AB长的最大值【答案】210【详解】点A(,y),B(t+2,”)在抛物线y=-的图象上,y=-t2fy2=-(r÷2)2=-t2-2t-2t-222.,.AB2=(t+2-02+0j2-Ji)2=22+(-Z2-2/-2+-Z2)222=4+(-2/-2)2=4(7+1)2+4AB?与f是二次函数的关系，由抛物线性质可知：当，=-1时，A中取得最小值，AB2=4,AB=2当，=2时，AB?取得最大值，AB2=4×(2+l)2+4=40,A8=2fd,故答案为：2W.【变式3】已知二次函数y=Y-4+3,当自变量满足一lx3时，y的最大值为小最小值为b,则。一力的值为.【答案】9.【详解】,二次函数y=f-4工+3=(工-2)2-1,该函数图象开11向上，对称轴为直线x=2,.当自变量满足一lx3时，V的最大值为最小值为6,.当X=-I时，取得最大值，当冗=2时，函数取得最小值，a=1+4+3=8,/?=1,a-b=8-(-1)=8÷1=9,故答案为：9.【例2】已知关于X的二次函数y=r2-4avWl(a>0)(1)若二次函数的图象与X轴有交点，求的取值范围；(2)若P(如)和。(5,b)是抛物线上两点，且>仇求实数机的取值范围；(3)当"E"+2时，求y的最小值(用含的代数式表示).【答案】(1)应；(2)m<-1或m>5；(3)，的最小值为：am2-3a+或-3+l或arn2-4am+a+1.【详解】解：(1)由题意得：=(-4a)2-4a(+l)0,且>O,解得：a-;44(2)抛物线的对称轴为直线X=2,2a当=b时，根据函数的对称性，则机=-1或5,故实数，的取值范围为：机<-1或m>5；(3)当?+2V2时，即mVO时，函数在x=m+2时，取得最小值，ymin=a(m+2)2-4a(w+2)+a+=am2-3a+当m<2<m+2时，即0m2,函数在顶点处取得最小值，即ymin=a-4a×2+a+1=-3+l；当机>2时，函数在X="?时，取得最小值,ynin=an2-4am+a+1；综上，y的最小值为：ani2-34+l或-3«+1或am2-4atn+a+1.【变式1】二次函数y=-(X-I)2+5,当11"且mn<O时，y的最小值为2w,最大值2n则m+n的值等于()【答案】B【详解】二次函数尸-(X-I)2+5的大致图象如下：当阳VO夕9<1时，当x=n时，)，取最小值,解得：m=-2,m=2(舍去).当X=时，y取最大值，即2=-(m-1)2+5,解得：=2或=-2(均不合题意，舍去)；当mV0xl时，当X=用时，y取最小值，解得：加=2当x=l时，y取最大值，即2=-(1-1)2+5,解得：n=2.5,或产时，y取最小值，时，)，取最大值，2m=-(-l)2+5,«=2.5,.Hm=,8即 2m=- (m-l) 2+5,即 2m=- (mA ) 2+5,Vn<O,此种情形不合题意，所以用+=2+2.5=0.5.故选：B.【变式2已知二次函数y=x22x+2在mxm+l时有最小值m,则整数m的值是（）A.1B.2C.1或2D.±1或2【答案】C【解析】.v=x22x+2=（x-l）2+1,分类讨论：（1）若顶点横坐标在范围nxm+l右侧时，有MV1,此时y随X的增大而减小，.*.Sx=m+1时，函数取得最小值，yA4dHfi=m=（m+）2-2（zm+1）+2,方程无解.（2）若顶点横坐标在范围EXm+l内时，即有用lm+l,解这个不等式，即09l.此时当户1时，函数取得最小值，），最小值二1,.*.m=1.（3）若顶点横坐标在范围）"qn+l左侧时，即用>1时，y随X的增大而增大，：当=h时，函数取得最小值,yhii=m=m2-2m+2,解得m=2或1（舍弃）.,.m=l或2.故选：C.变式3在平面直角坐标系xy中，直线y=4x+4与X轴，y轴分别交于点A,B,点A在抛物线产加+法3（d<0）上，将点8向右平移3个单位长度，得到点C（1）抛物线的顶点坐标为（用含。的代数式表示）（2）若a=-1,当fISxS时，函数）=a+b-3a（a<0）的最大值为y,最小值为”，且y-"=2,求t的值;(3)若抛物线与线段BC恰有一个公共点，结合函数图象，求。的取值范围.【答案】(I)(l,4z)；(2)Z=J或f=;(3)v-g或。=一1时，抛物线与线段BC有一个交点.【详解】解：(1)直线y=4x+4与X轴，y轴分别交于点A,B,AA(-1,O),B(0,4),点A在抛物线)=02+r.30(«<0)上，.*.b=-2at；抛物线)'=tix2+bx3=4(x-l)2-4a,抛物线的顶点坐标为(1,-4a).故答案为：(LYa)；(2)Vtz=-I,，抛物线的解析式为y=f2+2+3.当EVl时,yy2=-I2+2/+3-(I-1)?+2(Zl)+3j=2/+3=2,1t=一.2当f-l>l时,即£>2时,y,-y2=-(-l)2+2(r-l)+3-2+2+3=2r-3=2.2,当时，y1-y2=4-(r-l)2+2(r-l)+3=r-4r+4=2.解得，r=2±2（舍去）.当<<2时，yi-y2=4一一产+2，+3="2/+1=2.解得，f=l±（舍去）.(3)把X=O代入抛物线，得y=-34. 抛物线与线段BC只有一个公共点， *-3c>4.4 CI<.3当抛物线顶点在线段BC上时，则顶点坐标为(1,4).：.4=a-2a-3a:Q=1.4<-§或。=T时，抛物线与线段BC有一个交点.【例3】已知点A(1,1)为函数y=f+bx+4(,b为常数，且t0)上一点.用。的代数式表示b；(2)若142,求一"的范围；2a(3)在(2)的条件下，设当lv2时，函数y=+法+4的最大值为相，最小值为,求机-(用。的代数式表示).【解答】解：(1)把A(1,1)代入y=r2+灰+4得，l=+H4,:b=-a-3；(2) Vh=-3-a,=加(a+3)x+4=a(X-)2-+?，对称轴为直线X=2aV12,.5-±2;42a(3) 3-=2,l<x<2,42a业Ia+34a95 力X=时,n=F2a44a2抛物线开口向上,离对称轴越远，函数值越大,当3-VT时，X=2函数值最大,w=4w-2a-6+4=2«-2, Ia999a99m-n-2a1=1442442当jV*2时，x=1函数值最大，22am=a-a-3+4=1, al93.m-n-H.442【变式1】已知二次函数y=/+mx+"?（?为常数），当2r4时，y的最大值是15,则m的值是（）313131A.-19或丁B.6或彳或一10C.-19或6D.6或M或一19【答案】C【详解】2解：二次函数y=-32+g+zw=一（X-£）2+3_+m，tn，当一V2时，即?V42当-2804时，y的最大值是15,；当X=2时，一（一2）22n+n=15,得?n=19；tn当一2一4时，即-4m8时，2当-2x4时,y的最大值是15,2当无='时，+w=15,得町=TO（舍去），科=6；24当%>4时，即?>8,2当2r4时，y的最大值是15,31，当X=4时，-42+4+;?=15，得机二不（舍去）；综上可得，机的值是-19或6.故选：C.【变式2当-2<<1时，二次函数y=-（x-m）2+w2+l有最大值4,则实数in的值为（）77A.B.3K-3C.2或一GD.2或一6或一一44【答案】C【详解】二次函数的对称轴为直线x=m,MV-2时，X=-2时二次函数有最大值，此时-（-2川）2+n2+l=4,7解得加=,与AnV-2矛盾，故机值不存在；4当-23壮1时，x=m时，二次函数有最大值，此时，加+1=4,解得机二-、万，rn=yf3（舍去）；当阳>1时，ml时二次函数有最大值，此时，-（1-/n）2+m2+1=4,解得m=2,综上所述，加的值为2或-3.故选C【变式3】已知，抛物线y=ar2-2wnx+a?2+2?-5与X轴交于A(X1,O),Ba2,0)(xi<X2)两点，顶点为P.(1)当el,m=2时，求线段48的长度；(2)当斫2,若点尸到彳轴的距离与点P到)，轴的距离相等，求该抛物线的解析式；(3)若=-;，当2m-5Wx2m-2时，y的最大值为2,求小的值.【答案】(1)2；(2)y=2(x-5f+5或y=2x-3；(3)不或10+2M332【详解】解：(1)当"1,加=2时，y=-4x+3,当产0时，X2-4x+3=0,X1=LX2=3,AB=3-1=2;(2)当a=2时，y=2x2-4f11+2m2+2m-5=2(Xm)“+2m5,顶点为P,工P(m,2m-5),，点P在直线产2x-5上，点P到X轴的距离与点P到y轴的距离相等，当点P在第一象限时，机=2m-5,解得5,该抛物线的解析式为：y=2(x-5)2+5;当点P在第四象限时，m=-(2?-5),解得加=(,该抛物线的解析式为：y=2fx-l-I3J3（3）当。二一（时，抛物线的解析式为产（X-ZM）2+2m-5,分三种情况考虑：当wt>2机-2,即加V2时，有一（2m-2-帆）2+2？-5=2,整理，得：整-14n+39=0,解得：Wi=7-510（舍去），W2=7+o（舍去）：(2)S2w-5<m2m-2,即2m5时，有2m-5=2,7解得：，=:2当w7<2“z-5,即?>5时，有一!(2n-5-n)2+2zn-5=2,整理，得：nt2-20w+60=0,解得：如=Io-2加（舍去），?4=10+2JiG.7综上所述：用的值为W或0+2M.拔高检测1 .二次函数y=-2+l在3XW5范围内的最小值为.【答案】4【详解】y=x2-2x+l=(x-l)2,可见该二次函数图象的对称轴是X=1,a=l>O,开口向上，且在3<x<5范围内随X的增大而增大，；当x=3时，>小=(31)2=4.2 .当-l%时，函数y=2x+l的最小值为1,则。的值为()A.1B.2C.1或2£>.O或3【答案】D【详解】当y=l时，有V-2+=,解得：X=°,工2=2,.当-lx时，函数有最小值1,。-1=2或。=0,。=3或。=0.3.二次函数y=-(x-1)z+5,当nSr"且?<0时，y的最小值为2m，最大值为2，则【答案】05【详解】解：二次函数y=-(x-l)2+5的对称轴为直线x=l,开口向下，大致图象如下:mxnB.mn<0».m<0<n分两种情况讨论：第种情况：当0<<1时，此时2<0v"<l,；.当mx九时，y随X增大而增大，.当X=7时，y取最小值26，即2机=一(加一+5,解之得：加=-2(6=2舍去).当X=时，y取最大值2，J2h=-(11-1)2+5,/.=24=-2这两个根都与0<<1相矛盾,故全部舍去.第情况：当lk时，此时机V<l",根据图象：当x=n时，y的最小值为2?，即：2机=一（m一I）?+5,解之得：加=-2（6=2舍去），当=1时，），取最大值为2，即：2n=-（l-l）2+5解之得：=2.52+"=-2+2.5=0.5,故答案为:0.5.4.当一2冗<1时，二次函数y=-（x-机）2+w2+l有最大值4,则实数团的值为【答案】2或-6【详解】解：二次函数y=-（x-2+的对称轴为直线X=ZM,且开口向下，MV-2时，x=-2取得最大值，（-2-w）2+m2+l=4,解得m.不符合题意，-2ml时，X=m取得最大值，/W2+1=4,解得in=±3,所以m二-3，m>l时，x=l取得最大值，-(l-n)2+m2+l=4,解得m=2,综上所述，m=2或时，二次函数有最大值.故答案为：2或-JJ.5 .已知二次函数y=-+2+(是常数).(1)求此函数的顶点坐标.(用含/的代数式表示)(2)当入2时，y随X的增大而减小，求，的取值范围.(3)当0人1时，该函数有最大值4,求/的值.【答案】(1)顶点坐标为(62-r+l);(2)2;(3)F=-3或4.【详解】(1) Vy=-x2+2tx-/+1=-(X-Z)2+t2-t+i,顶点坐标为Q,17+1)；(2) Vy=-x2+2tx-r+1=-(x-r)2+i2-t+, 抛物线开口向下，在对称轴x=t的右边)，随X的增大而减小， 当迂，时，y随X的增大而减小， 当也2时，y随X的增大而减小，r2;(3) Y当Oxl时，该函数有最大值4,，若，V0,则当X=O时，y=+l=4,解得，F=-3；若Orl,则P+1=4,解得，尸生叵(舍)；2若i>1,则当x=l时，y=-1+2/-/+1=4,解得，f=4.综上，f=-3或4.6 .已知抛物线=公2+法+0经过点4(0,-1)和点3(1,4+1),顶点为C.(1)求力、C的值；(2)若C的坐标为(1,0),当f-lxr+2时，二次函数y=+b+c有最大值-4,求，的值；13(3)直线y=X-；与直线A:=3、直线尤=1分别相交于M、N,若抛物线y=0+法+c与线段MN(包含M、N两点)有两个公共点，求。的取值范围.49【答案】(1)2；-1(2)-3或4(3)-a<-或<-298【详解】解：(1)由于抛物线y=02+/ZX+c经过点A(O,-1),点3(l,+l)所以一I=c,+l=+b+c,所以b=2(2)因为抛物线为y=公2+2k-1,又顶点坐标为(1,0)2所以X=一丁=1,所以。=一12a<l,，抛物线开口向下，对称轴X=1,/lxr+2时，y有最大值T，.当y=-4时，有T2+2x-1=-4,无=-1或冗=3,在X=I左侧，y随X的增大而增大，'x=+2=-1时，y有最大值-4，/=-3；在对称轴x=右侧，y随X增大而减小，1=3时，y有最大值-4；综上所述：，=-3或/=4；13(3)y=-x一一与直线”=3、直线犬=1分别相交于M、N,22M(-3,-3),V(1,-1)。<0时，X=I时，y-l,即-2;4>0时，X=3时，y-3t即§,13直线MN的解析式为y=x2，抛物线与直线联立：0r2+2x-l=-x-,22231八2299=2G>O,.*.u<一,4849：,。的取值范围为g<w或-2.