第28讲函数与方程7大题型总结（解析版）.docx

第28讲函数与方程7大题型总结【考点分析】考点一：函数的零点的概念函数零点的定义对于函数y=(x)(xw。)，我们把使/(x)=0的实数X叫做函数歹=(x)(xe。)的零点.零点存在性定理：一般地，如果函数y=()在区间。，句上的图像是连续不断的一条曲线，并且有/()3)<0,那么函数y=/(X)在区间(。，6)内有零点，即存在c(",b),使得/(C)=O,这个C也就是/(X)=O的根.注意:连续不断的函数/O)在闭区间。，村上有零点，不一定能推出/()S)<0考点二，二分法的概念对于在区间。，6上连续不断且")(6)<0的函数y=(x),通过不断把函数/(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.对于给定精确度£,利用二分法求函数/(x)零点近似值的步骤如下：确定区间口，句,验证/()S)<O,给定精确度£求区间(。，6)的中点c；计算/(c)；/(c)=0,则C就是函数的零点；f(a)f(c)<Of则令b=c(此时零点x0e(a,c);f(b)f(c)<0,则令。=c(此时零点(c,b).判断是否达到精确度6,即:若卜-耳<£,则得到零点近似值(或6);否则重复.【题型目录】题型一：求函数的零点题型二：函数的零点区间题型三：判断函数的零点个数题型四：根据函数零点的存在情况求参数题型五：二分法的应用题型六：函数等高问题题型七：函数零点和问题【典型例题】题型一，求函数的零点【例1】函数/(x)=3'7的零点为()A.(0,0)B.(1,1)C.0D.1【答案】C【分析】利用零点的定义求解.【详解】令/(x)=3<l=0,解得X=O,故选:C.【题型专练】3t-l,x01 .函数/(x)=l八零点是(),x>0A.0B.1C.2D.3【答案】A【分析】分x0和x>0两种情况，直接解方程即可.【详解】当x0时，由3'1=0解得X=0：当x>0时，令L=O,显然无实数解.X综上，函数/(X)的零点为0.故选：A2 .若不等式d_x_c>o的解集为H-3<x<2,则函数尸a?+%”的零点为()A.(3,0)和(-2,0)B.(3,0)和(2,0)C.2和一3D.一2和3【答案】D【分析】根据一元二次不等式的解与一元二次方程根之间的关系求解二，然后根据零点的定义求解即可.【详解】因为办211>o的解集为卜卜3<xv2,所以方程&r-c=0的两根分别为-3和2,且”0,-3+2=-G=T则",解得(3)x2=，a故函数y+-c=-x2+x+6=-(x+2)(x-3),则与X轴的交点坐标为(3,0)和(-2,0),所以零点为-2和3.故选：D.题型二：函数的零点区间例1函数/(x)=l11x+x-8的零点所在的区间为()A.(4,5)B.(5,6)C.(6,7)D.(7,8)【答案】C【分析】先判断函数的单调性，再根据零点的存在性定理即可得解.【详解】因为函数V=Mxj=X-8在(O,+。)上都是增函数，所以/(x)在(0,+。)匕单调递增，因为/(6)=In6-2<0J(7)=ln7T>0,所以/(x)的零点所在的区间为(6,7).故选：C.【例2】已知函数/(X)=：-/,则函数/()的零点所在区间为()A.(-2,-1)B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3)【答案】C【分析】可直接求的对应方程的根，即可.【详解】由3-/=0,解得,因为1<5<8,Xx-0所以1<5：<2,则函数的零点所在区间为(1,2).故选：C【例3】函数/(x)=2'-2-的一个零点在区间(1,3)内，则实数。的取值范围是()XA.(7,+oo)B.(°0,1)C.(-,-l)U(7,+)D.(-1,7)【答案】D3【解析】因为y=2'和y=-在(O,+W上是增函数，X所以f(x)=2*-2-在(O,+8)上是增函数，X所以只需/(3)Vo即可，即(T)(7-)<0,解得-1<"7.故选：D.【题型专练】1 .函数/(x)=81"180的零点位于区间()A.(1,2)B.(2,3)C.(3,4)D.(4,5)【答案】B【分析】根据函数的单调性及函数零点的存在性定理选择正确选项即可.【详解】因为函数V=811nx与丁=一(；80在(0,+8)上均为增函数，所以/(x)在(0,+8)上为增函数.因为/(2)=811n2-83<0,/(3)=811n3-81>O,所以函数/(x)的零点位于区间(2,3)内.故选：B2 .函数)=+x-20的零点所在的区间是()A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)【答案】C【分析】得到函数单调性，结合特殊点的函数值，由零点存在性定理得到答案.【详解】y=(x)的图象是条连续不断的曲线，则/(X)在R上递增，而/(0)=-20,/=-18,/(2)=-10,/(3)=10,/(4)=48,可得/(2)(3)<0,满足零点存在性定理，故零点所在的区间是(2,3).故选：C.题型三：判断函数的零点个数【例1】已知函数f(x)=<,当时，方程尸(力-(。2+。)/(司+。3=0的根的个数是()Iog2(-x),XVOA. 3B. 4C. 5D. 6【答案】D【分析】根据题意，画出函数/(力的大致图象，将方程根的问题转化为函数图象交点问题，结合图象，即可得到结果.【详解】设f=(x),则(/+)f+3=o,即(")(")=0,½1=,2=2,因为>l,故6>1冉>1，画出/(%)的大致图象，由图象可知=/与y=()共有6个公共点，故原方程共有6个根.故选：D.【例2】函数/(x)=!-lg”的零点个数为()eA.0B.1C.2D.3【答案】C【解析】函数/()=±ig,由/()=o,可得-V=IlgM，作出P=A和y=ig的图象，eee由图象可得它们有2个交点，则/(x)的零点个数为2,故选：C.【例3】定义域和值域均为HMd的函数y=(%)和y=g()的图象如图所示，其中4>b>c>O,给出下列四个结论正确结论的是()A.方程/g(x)=0有且仅有三个解B.方程g(x)=0有且仅有三个解C.方程/(x)=0有且仅有九个解D.方程gg(x)=O有且仅有一个解【答案】AD【分析】由函数图象和复合函数的性质依次判断即可.【详解】由>6>c>0可得一4<-b<CC0,对于A,/g(x)=0,结合y=()图象可得g()=,g()=o或g()=6,结合y=g()的图象可得，g()=q,g()=o,g()=6各有一个解，即方程fg()=o有且仅有三个解，A正确；X寸于B,g()=0,结合y=g()图象可得/()=6,结合y=()的图象可得，/(%)=b有一个解，即方程g(x)=0有且仅有一个解，B错误；对于C,/(x)=0,结合尸/(x)图象可得/(x)=-6,/(x)=0或/(x)=b,又/(力=0有3个解，f()=-b,/(x)=b各有一个解，即方程/(x)=0有且仅有五个解，C错误；对于D,gg(x)=O,结合y=g(x)图象可得g(x)=b,又g(x)=b有一个解,即方程gg(x)=O有且仅有一个解，D正确.故选：AD.【题型专练】1 .函数/(x)=+g的零点个数是()A.0B.1C.2D.3【答案】B【分析】根据零点的定义求解.【详解】函数/(X)=，+的定义域为xx0,X令/a)=/+：=。，即F=T,解得尸1,所以函数/(X)=，+'的零点个数是1个，X故选:B.2 .函数/(x)=2vlog0.5x|l的零点个数为（八）I(B)2(C)3(D)4【答案】B【解析】令/(X)=O可得2jOgOSXI-I=O,即1<H=()，在坐标系中分别作出两个函数的图象如图：,由图象可知两个函数的交点个数为2个，零点个数为2个，故选：B3 .已知/(X)=H：2二3"则方程/()=+l-4的实数解个数为()I-Inx,0<x2A.3B.4C.5D.6【答案】A【分析】'1ix4()时，解方程求出实根，当0<x<2时，分析函数取值情况判断根的个数即得.【详解】当XMo时，由/(x)=x+l-4,得(x+l)2-4=x+l-4,贝Jx+l=O或x+l=l,解得x=-2或X=-I或X=0,即当x0时，方程/(x)=k+l-4有3个实根，当0<xK2时，方程/(x)=x+l-4化为x+lnx-4=0,令g(x)=x+lnx-4,0<x2,函数g(x)在(0,2上单调递增,于是g(x)g(2)=ln2-2<0,因此方程/(x)=x+l|-4在(0,2上无实根,所以方程/()=+i-4的实数解个数为3.故选：AITx-1,x(-,2)4 .设函数/(x)=1,则函数尸(X)=(x)-l的零点的个数为-U-2),x2,+)A.4B.5C.6D.7【答案】C【解析】令F(X)=O可得M(X)-I=O,即f(x)=LX在坐标系中分别作出两个函数的图象如图：由图象可知两个函数的交点个数为6个，零点个数为6个，故选：C题型四：根据函数零点的存在情况求参数【例1】若关于X的不等式6>卜-2|恰好有4个整数解，则实数女的范围为()21(231<32(21-I5(55J(53j(3J【答案】C【分析】数形结合可知0<%<l,进而可得4个整数解分别为2,3,4,5,所以X=三(5,6,即可解1k得”的取值范围.函数N=H与y=|x-2|的图像如图所示，可知当A<-时，两函数的图像有1个交点，不等式有无数个整数解,当-1攵<0,两函数的图像无交点，不等式无整数解，当左=0时，两函数的图像有1个交点，不等式无整数解，当攵1时，两函数的图像有1个交点，不等式有无数个整数解，所以0<女<1,则%>1,所以不等式的4个整数解分别为2,3,4,5,F="，解得=e(5,6,y=x-2-kJ32解得*?故选：C.一2一2XVo【例2】已知函数/(x)=Il,'若函数g(x)=32(x)-(m+3)(x)+机有5个不同的零点，则IIn，I,X>U,实数加的取值范围是()A.(-,-2)B.(-oo,-6)C.6U(-g,-6)D.(-,-6)u(6,+)【答案】B【分析】根据解析式画出/()草图，将问题化为y=()的图象与直线y=,y=/共有5个交点，数形结合有y=()的图象与直线V=T有1个交点，即可求参数范围.【详解】作出函数/()的图象如图所示，函数g(x)=3/2(x)_(?+3)/(x)+M,且g(x)有5个零点,等价于(3(x)-柏(/(x)-1)=0有5个解，即/(x)=l或/(x)=g共有5个解,等价于y=()的图象与直线y=,y=g共有5个交点.由图得y=()的图象与直线V=I在4个交点,所以y=(x)的图象与比线V=T有1个交点，则宜线尸玄应位于仃.线尸-2下方，所以T<-2,解得m<-6,即实数机的取值范围是(-,-6).故选：B3h1-1,0<x2，若关于X的方程【例3】已知函数y=(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，/(x)=1,、-f(x-2),x>2Iy(X)T-(m+2)(x)+2M=O(mR)恰有4个不相等的实数根，则实数加的值是()A.B.-C.0D.±333【答案】D【分析】将原方程根的问题转化为函数图像交点问题，结合函数性质求解答案即可.【详解】由于函数y=()是定义在R上的奇函数，所以讨论Xo情况如下：作歹=/(),0图像如下图所示，关于X的方程/(x)2-(m+2)(x)+2m=0(mR),解得/(x)=2或/(x)=m,由于y=2与y=(x),xwR图像有一个公共点，2 机=§，则V=(x)图像与丁=加图像有三个公共点，如图所示,同理，XVO时，m=-1，所以实数冽的值是土|.故选：D【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图像,利用数形结合的方法求解.【例。对于实数。和6,定义运算T=m设仆)=(21)*g),且关于X的方程/(x)=(R)恰有三个互不相等的实数根，则实数。的取值范围是()A.0,B.0,_4J16C.(03UaM)D(°中【答案】D【分析】根据代数式2xT和x7之间的大小关系，结合题中所给的定义，用分段函数的形式表示函数/(x)的解析式，画出函数的图像，利用数形结合求出1的取值范围.【详解】由2x-lx-l可得x0,由2x-l>x-l可得x>0,所以根据题意得/(') = <(2x-l)2-(2x-l)(x-l),x0(x-1)-(2x-l)(x-l),x>O即/(x) = <2x2 -x,x0X-X2,x>0做出函数/(x)的图像如图，当x>0时，/(x)=x-f开口向下，对称轴为=g,所以当x>0时，函数的最大值为函数的图像和直线y=。(。WR)有三个不同的交点.可得的取值范围是(0,；).故选：D【例S】若关于X的方程2"-2=机有两个不等的实数解，则实数加的取值范围是()A.(0,2)B.(0,2C.(0,+<x>)D.2,+8)【答案】A【分析】由题意可得g(x)=|27-21二机的图象有两个交点，画出g(x)=2,-2的图象如图，结介图象可得出答案.【详解】关于X的方程归、-2卜机有两个不等的实数解，即8(、)=忙；与，'=阳的图象有两个交点，画出83=|2-'-2|的图象如图,由图象可得：0<m<2.故选：A.【题型专练】/、2x+2-1,x0r,1.已知函数/3=.l,若关于X的方程/(x)+W(x)+2=O恰有6个不同的实数根，则?的log2x,x>0【分析】根据分段函数的解析式，作出函数的图象，根据图象可得当£取不同值时，/(x)=Z的交点个数,即可结合二次函数零点的分布求解./、2+2-1,x0/、【详解】根据/()=l1,作出/(4)的大致图象如下：log2x,>0由图可知：当/(x)=0时，此时由两个根，分别为-2,1,当O<z<l时，此时/(x)=f有4个交点，当lz3时，此时/(x)=f有3个交点，当f>3时，此时/(X)=Z有2个交点，故要使得/(切2+/叭刈+2=0由6个不同的零点，则令/(x)=f,"+加+2=0有6个不同的实数根，/(x)=0显然不是Wa)+2=0的根，设g()="+制+2的两个零点分别为廿2，且4，故当Oy<14>3时，此时/(x)=4有4个交点，/(x)=4有2个交点，满足题意,g(0)=2>0故需要满足g(l)=3÷w<0,解得g(3)=1l+3/w<0当l%y3时，此时/(x)f有3个交点，/(x)=%有3个交点，满足题意,-m1 <<32故需要满足八=机2-8>°,解得-3"7V-2,g(l)=3+w0g(3)=ll+3w0综上可得-3m<-22或m<-，故选：A2.已知函数/(x)若总存在实数/,使得函数g(x) = /(X)T有三个零点，则实数4X" + 2x + 2, X > 1, 2的取值范围为(A. a>0B.。>0或C.>0或22【答案】C【分析】利用分段函数的单调性及值域数形结合计算即可.【详解】对于函数乂=产=-l,xl,易知该函数在(-8,T)和(-1,1上单调递减,M(-oo,-l)U,+oo):易知该函数在(1,2)上单调递增，(2,+CQ)上单调递减，y2(-oo,;g(x)=/(X)T有三个零点等价于函数y=(x)与y=f有三个交点,符合题意，需J=，与%=T(X-2)2+,x>l有两个交点，且交点的纵坐标在区间(-8,-l)u0,+8)内，如卜图所示，故选：C3 .已知函数=二)>0,若方程/(x)=x+有且只有两个不相等的实数根，则实数。的取值范围是()A.(-oo,l)B.(o,lC.(O,I)D.0,÷0>)【答案】A【分析】转化为y=()与y=+的图象有2个不同的交点，结合图象可得答案.-x,x0Cn八的图象如下图，j-i),x>u方程/()=+。有且只有两个不相等的实数根可看作y=()的图象与y=x+的图象有2个不同的交点，可得a<1.故选：A.log2(x-l),x>l4 .已知函数/(x)=M,下列结论不正确的是()5 ,EA.若/()=l,则。=3b/(!圜卜C.若S)2,则l或5D.若方程/(X)=有两个不同的实数根，则A;【答案】ABC2023【分析】选项A分情况代入。的值讨论即可；选项B直接把黑代入分段函数求值；选项C分情况讨论。；选项D利用函数单调性求分段函数图像与直线歹二左的交点分析即可.【详解】对于A：当>l时，Iog2(-I)=I,解得。=3；当l时，解得=0,则=0或=3,故选项A不正确；202320231对于B：八近)=l°g2-D=lg2(一)=-lg22022<0'/(./()=/(-Iog22022)=()-,2°22=2tog"=2022,故选项B不正确；2,解得。-l,则对于C：当a>l时，Iog2(-l)2=log24,即-l4,解得5;当l时,1或5,故选项C不正确;对于D：函数歹=IogzG-I)在(1,+8)上单调递增，值域为R,则log?"-1)=左时，eR,函数y=g)'在S，l上单调递减，值域为g,+8),则时，kN；,因此，方程/()=%有两个不同的实数根，则故选项D正确.故选：ABC5.若关于X的方程4'+(4-3)2x+。=0在x(-R,l)上有两个不等实根，则实数的取值范围是2【答案】仔1)【分析】设f=2',x(-oo,l),得到fe(0,2),转化为产+(-3)f+=O在fw(0,2)上有两个不等的实根,设f(t)=t2+(a-3)t+a,列出不等式组，即可求解.【详解】由方程4、+33)2"+=0等价于Qxf+S3)2"+=0,设f=2r(-oo,l),可得小(0,2),即方程等价于一+(3)l+4=0在rw(0,2)上有两个不等的实根，设/¢)=/+3-3)1+4,2 解得7<<l,=(-3)2-4a=2-10i7+9>0/(0)=>0则满足,/，2)=3一2>02即实数。的取值范围为(：).6.已知函数/(X)=(Q,EX2 -6x + 8,v > 1若函数尸(x) = 2(x)2-(m + 2)(x) + m,且函数P(X)有5个零点,则实数机的取值范围是.【答案】同2vm<3u4【分析】作出函数的图象，函数尸(X)有5个'零点等价于y=()与P=I有两个交点，所以V=()与y=晟有三个交点，结合图象求解即可.【详解】解：作出函数的图象如下:f(x)=2(x)2(w+2)(x)+w,且函数产有5个零点等价于(/-1)(2/(X)-M)=O有5个解，等价于/(力=1或/(x)=5共有5个解等价于函数y=()与y=y=l共有5个交点，由图可得y=/()与y=1有两个交点，所以y=/()与y=T有三个交点则直线y=?应位于y=l,y=±Hj,或与y=2重合，所以1<<2或"=2=2<m<3或机=4222故答案为：w2<m<3u4题型五：二分法的应用【例1】1.(2022全国高一课时练习)关于用二分法求方程的近似解，下列说法正确的是()A,用二分法求方程的近似解一定可以得到/(X)=0在凡以内的所有根B.用二分法求方程的近似解有可能得到/(x)=0在肉内的重根C.用二分法求方程的近似解有可能得出/(X)=。在。肉内没有根D.用二分法求方程的近似解有可能得到/(x)=0在句内的精确解【答案】D【分析】根据二分法求近似解的定义，可得答案.【详解】利用二分法求方程"x)=0在d可内的近似解，即在区间内肯定有根存在，而对卜重根无法求解出来，且所得的近似解可能是句内的精确解.故选：D.【例2】用二分法求函数/(x)=+2-2x-2的一个零点的近似值(精确度为0.1)时，依次计算得到如下数据：/(l)=-2,/(1.5)=0.625,/(1.25)-0.984,/(1.375)-0.260,则下列说法正确的是()A.函数/(x)在(L25,1.5)上有零点B.已经达到精确度，可以取1.375作为近似值C.没有达到精确度，应该接着计算/(L3125)D.没有达到精确度，应该接着计算/(1.4375)【答案】AD【分析】利用二分法判断出方程根的分布区间，即可根据精确度求出根的近似值.【详解】对于A项：/(L25)(1.5)<0,由函数零点存在定理知，方程/+/一2工-2=0在区间(125,1.5)有实根，故A正确；对于B、CTi:1.5-1.375=0.125>0.1,没有达到精确度的要求，故B错误；对于D项：由1.5-L375=0.125>0.1,没有达到精确度的要求，应该接着计算/(1.4375),故C错误，D止确；故选：AD.【题型专练】1 .设/(x)=3'+3x-8,用二分法求方程3、3x-8=0在X«1,2)内近似解的过程中得/(l)<0,(1.5)>0,(1.25)<0,则下列学有方程的根的区间为()A.(1.5,2)B.(1,1.25)C.(1.25,1.5)D.不能确定【答案】C【分析】根据零点存在定理判断.【详解】由题可知函数/(力为增函数，结合零点存在定理知在区间(L25,L5)上必有根.故选：C.2 .若函数)=>j+J2x-2的部分函数值如下，那么方程1+2-2-2=0的一个近似根(精确到0.1)可以是()f(1)二-2/(l.5)=0.625/(1.25)-0.984/(1.375)-0.260/(1.4375)0.162【答案】C【分析】根据题干中所给的函数值，利用二分法求方程的近似解即可.【详解】解：因为/(l375)<0,/(1.4375)>0,旦1.375与1.4375精确到0.1的近似值都为14所以原方程的一个近似根为1.4.故选：C.题型六：函数等高问题X2+4.v+3,x0【例1】已知/(x)=,2,若再<#2<当<匕，且/(xj=(x2)=(x3)=(x4),则3,x>UX+三三三()【答案】A22【分析】画出函数图象，结合对称性，数形结合得到X+X2=Y,x1(-4,-3),x2(-1,0),-3=3,X3X4114(4、求出E=Era一1得到答案【详解】画出/(x) = ,X2 +4x + 3,x<03 ,X > 0 X的图象,如下,设/(xj=(x2)=(x3)=/(%)=%则w(0,3),令/+4x+3=3,解得X=-4或0,因为丁=/+4工+3的对称轴为“=-2,由对称性可得玉+%=Y，且玉e(-4,-3)>-r2W(一1，。)，11X1+X,-4-44(H+1=111=1=,再X2X1X2XIX2(TT2卜2(“2+2)4因为马«-1,0)，所以(马+2)2-4£(一3,0),114(41故/e二e三H一寸-3=3-,i-÷-=3,巧AX3X4故选：A-x2-2xixO【例2】已知函数/(x)=八若。力Cd互不相等，且S)=e)=(c)=(d),贝j+*c+dIog1X,x>03的取值范围是()A.(-2,3)B.("g)C.(-1,2)D.,g)【答案】D【分析】先画出分段函数的图像，然后转换变量化成对勾函数模型，再根据自变量的取值范围求出整体取值范围即可.【详解】作出分段函数的图像，如图所示，直线y=?与函数图像有4个交点，则,b关于直线产-1对称，所以。+8=-2,而IogLc=-logd,所以Ioglc÷!og1d=OnIogrd=OnCW=I33333所以d=LC所以+6+c+d=-2+c+Lc因为直线与函数图像有4个交点，所以m(o,i),所以IogLC(O,l)nc(g,l),根据对勾函数性质可知f=c+g在上单调递减，所以所以“+b+c+dw,g,故选：D【例3】已知函数=+若互不相等的实数玉，x&,当满足/（»）=/（9）=/伉），则J人I*,人UXl+X2+X3的值可能是（）A.3B.4C.5D.6【答案】BC【分析】作出函数x）的图像，根据图像得出玉,，马满足的条件和玉+W范围,从而得出答案.【详解】函数/（） = ,K-6x+6,x03x+4,XVO画出/（X）的图象如下图所示：不妨设为<X<Xy设/（不）=/（工2）=/（再）=，则”（-3,4）,才2、W关于直线4=3对称，.*.x2+xy=6,7当3+4=-3时，X=,3所以阳满足一<X<0,则-<x1+x2+x3<6,故占+x2+X3的取值范围是故选：BC【题型专练】1 .已知函数/（x）=J：6x+6YO若存在再<w<X3,使得/（玉）=/（42）=/亿）=，则下列结论正确3x+4,x<0的有（）A.x2+x3=B.2七的最大值为9C.，的取值范围是（-3,4）D./+超+看的取值范围是（，6）【答案】ACD【分析】作出函数图象，结合图形一一判定选项即可.【详解】作出/（x）图象如图所示，易知玉<0<七<七，结合二次函数对称性可知Z+Z=6,故A正确；由X2七&=9,又ZX3,所以等号不成立，故B错误;由图象及函数的值域可知，xO=>x2-6x+6=(x-3)2-3-3,且x<0=>3x+4<4,贝J-3<f<4,故C正确；77因为/(3)=-3,由/(x)=-3<O)=x=-故一？<为<0/2+、3=6,故石+工3W(T"4).故D正确.故选：ACD2.已知函数/(4)=?("1)|，1<"-4,若方程/()=有4个解分别为士,用，"且玉<与<彳4，x-IOx+25,X>4【答案】10【分析】作出函数/()图象，Itl对数函数的性质可得'+'=1,有二次函数的对称性可得当+儿=10,代XX2入1：+:卜3+几)求解即可.【详解】作出函数/(X)的大致图象，如下：可知,0<”1且当lvx4时"l0g3(X-I)I=有2个解不覆;Iog3(x1-1)=-w,Iog3(x2-)=n,111113"=3-n+,x,=3w+I,=h=-上一1:12xlx23,+l3w+l3"+11+3”当x>4时，由/_102+21=有2个解七，七，根据图象的对称性，得演+工4=10.(x3+ x4)= 1× 10= 10 .故答案为：10.3.已知函数/(%) 二 X ÷ 2,X > 0X-2,x02x若存在实数&,使得方程/(x) = %有4个不同实根不X2,W,Z且X1 < X2 < X3 < X4f则k的取值范围是2r' +2-的值为.【答案】(0,11/0.25【分析】结合函数图像，即可求出人的取值范围；对天是方程2二左的两根，则可求得=4,即Ox+¾11./3r=,与，Z是方程x+：-2 = %的两个根，化简结合韦达定理得七 =L进而可求2x' +2h的值.【详解】由/(X)=L，x“0,即/(x) = <X + 2,X > 0 X2-,-1<0 2x2-2,x -1 2x由结合/(力图象可知k的取值范围是(0中,玉，工2是方程5"-2=%的两根，即("-2=2-=4,即2x+x2 J2x'+2x2 4由题意得覆，S是方程x+L-2=A的两个根，即方程-(4+2)x+l=0的两个根,所以砧=L则x4 2x'+jf2 1 1 1-=故答案为：(0川，；4.已知>0,函数/(X) = "-2log2x,xx-3口 ，当。=2时，/(力的值域为；若不存在为，x2(x1),X 。且X 3使得/(xj = (w),则实数的取值范围是.【答案】 (0,+e)2,3【分析】由a = 2得到/(x) = "-2log2x,2,再分一和x2,分别利用反比例型函数和对数函数的性质求解；画出函数/(x)的图象，利用数形结合法求解.【详解】解：当 = 2时，/(x)= x-2log2x,x2,x-3,x <2.当X <2 时，/(X)=x2 %-3+1 1=1 +x-3x-3e(0,l),X-J当X2时，/(x)=log2x=log2xl,+oo),所以当4=2时,/(x)的值域为(0,+8).画出/(X)每段的图象，如图所示：由图象知：当"2或>3时,存在玉，2(12),使得/(玉)=/()，当23时，不存在玉，(须工W)，使得/(%)=/(42).故答案为：(0,+笛)，2,3题型七：函数零点和问题'2C八工，一3xX<0【例1己知函数/(X)=八'J以下结论正确的序号是./(x-3),x0,/(x)在区间7,9上是增函数/(-2)+/(2022)=2若函数尸/(XH在(YO,6)上有6个零点七(i=L2,3,4,5,6),则6个零点的和£>,=9/=!若方程/(力=履+1恰有3个实根，则kGT)【答案】【分析】根据/(X)的周期性判断区间单调性判断，利用周期性求得/(2022)=/'(-3)=O即可判断,转化为V=b与y=()的交点问题，应用数形结合法及对称性求零点的和判断，根据函数图象求得y=履+1与y=(x)交点个数为2或3时的临界值，即可得范围判断.一23X<O【详解】由/(x)=L二、八可知，当XN-3时/(x)以3为周期的函数，/(x3)，X-U故/(x)在7,9上的单调性与/(x)在-2,0上的单调性相同，而当<0时/(切=_卜+|)+?对称轴方程为x=-g-2,0,故/(切在-2,0上不单调，故错误；因为/(一2)=2,/(2022)=/(-3)=0,(-2)+(2022)=2,故正确;作出J=(x)的函数图象如图所示：由于y=(x)-b在(,6)上有6个零点，故直线尸b与尸/(x)在(>,6)上有6个交点,33不妨设Xj<Z+,i=l,2,3,4,5,6,由图象知:与，关于直线工二-万对称，七，5关于宜线工=对称，&，/关于直线x=3对称，JW=-7x2+7x2+7x2=9,故正确；2：222f3X<O直线y=Ax+l过定点(0,1),在同一平面直角坐标系内作出/(x)=(,/八'、八，y=x+l图象，如图，/(x-3),x0若直线y=Ax+l经过(3,0),则A=-1,若直线y=b+l与y=-2-3x(x<0)相切，贝U消元可得：x2+(3+)x+1=0,令A=O可得(3+左P-4=0,解得=-1或=-5(舍)，若直线歹=丘+1与y=(x)在(0,3)上的图象相切，由对称性得：k=.因为/()=h+i恰有3个实根，故直线y=A+l与y=()有3个交点,一1<%<-；或=1,故错误.故答案为：.【例2】已知函数=/(月(工火)满足/(+1)=-/(一刈，若方程/()=有2022个不同的实数2x-l根Xj(i=l,2,2022),则玉+)22=()A.IOlOB.IOllC.2020D,20222x 12二T也关于H,()对称，所X,1122【答案】B【解析】因/(x+l)=-(-x),所以/(x)关于工O对称，而y=12)以函数/(X)=的零点也关于化0对称，所以每一组关于仕01对称的两根之和为2Ll,所以2x-l2J2)2X1+X2+X2022=10H×l=lll故选B【题型专练】1 .已知函数/(x)=V+,函数g()满足g()+g(2-X)=0,若函数MX)=g(x)-(x-l)