第7讲隐零点.docx

第7讲隐零点利用导数解决函数综合性问题最终都会归于函数单调性的判断,而函数的单调性与其导函数的零点有着紧密的联系,导函数零点的判断、数值上的精确求解或估计,是导数综合应用中最核心的问题.导函数的零点,根据其数值计算的差异可分为以下两类：(1)数值上能够精确求解的,称为显零点.(2)能够判断其存在但是无法直接表示的,称为隐零点.对于隐零点问题,由于涉及灵活的代数变形技巧、抽象缜密的逻辑判断和巧妙的不等式应用,对学生的综合能力要求比较高,往往是考查的难点.我们一般可对隐零点“设而不求”,通过一种整体的代换来过渡,再结合其他条件,从而最终解决问题,一般操作步骤如下：第一步:用零点存在性定理判定导函数零点的存在性,列出一阶导函数零点方程/'(与)=0,并结合一%)的单调性,通过取特殊值逼近的方式得到零点的范围.第二步:以一阶导函数零点/为分界点,说明导函数r(x)在/左、右两边的正、负号,进而得到了(力的极值表达式与).第三步:将零点方程广(/)=0适当变形,整体代人极值式子/K)进行化简证明.有时候第一步中的零点范围还可以适当缩小.导函数零点虽然隐形,但只要抓住特征(零点方程),判断其范围(用零点存在性定理),最后整体代人即可.请注意,进行代数式的替换过程中,尽可能将指数、对数函数式用累函数替换,这是简化函数的关键.无参隐零点问题隐零点证明无参不等式恒成立问题:已知无参函数/(X),导函数方程r(x)=o的根存在,却无法精确求出,其一般解题步骤为：第一步:求导,判定一阶导函数的单调性,并设方程r()=o的根为%.第二步:写出零点等式r(%)=o成立.第三步:取点找出注意确定与的合适范围。第四步:把零点等式变形反带回了"),进行简化,从而求解.例1已知函数力=3e*+x2,g(x)=9x-L证明:/(x)>(x).【解析】证明：设X)=f(x)-g(X)=女，+幺-9x+l,."(x)=3e*+2x-9为增函数，.可设/()=0."(0)=-6vl)=3e-7>o(O,1).当x>/时,/(x)>0.当x</时，"(x)<0.(x)min=(用)=3e%+%-9+1.又3eA°+2xo-9=O,3e而=-2x0+9./(%)min=-2xo+9+-9+1=-11xo+1O=(o-1)(xo-1O).(O,1),.(o-1)(-1O)>O,J7(x)min>O,(x)>(x).【例2】已知函数冗)=e'-ln(x+2),求证:x)>0.【解析】证明：:(力=-+在区间(-2,+8)上单调递增,又(-)(o,r(o)o,(X)=O在(-2,+oo)上有唯一实根x0,且%(-l,0).3x(-2,题)时,V0.当xw(%,+a)时J'(x)>O.从而当X=XO时,/（X）取得最小值.由/a）=。,得得=1Xo + 2Jn(Xo+ 2) = T0,/(x)J()=+/=(A：+>0/(J)°人CI4I乙【例3】已知函数/(Jv)=V-X-Jdiu.证明:/(x)存在唯一的极大值点与,且e"<(Xo)<24.【解析】证明：/(x)=x2-x-xlnx,r(x)=2x-2-lnx.设MX)=2x-27nx,当XW(0,；卜j,z'(x)<0.当xe(；,+e)时,z'(x)>O.力（无）在（0,；单调递减,在（；,+/单调递增.又人32）0,仁）0,刈1）=0,.（x）在（。，；零点只有与，在；,+8）零点只有1,且当尢（0,）时,A(x)>0.Sx(,1)时,力(%)<0.当x(L+e)时,P(<)>0.,(x)=A(x),X=%是/(x)在(0,1)上的唯一极大值点.由Z()=OWInr0=2(-1).,()=(1-)由毛(0,l)得0<f(不)<；.TX=Xo是/(x)在(0,1)的最大值点,由e"(O,l),r(e->O得/()>(e,)=e-2'e2<()<22.含参隐零点问题含参函数的隐零点问题:已知含参函数/(x,),其中。为参数,导函数方程f(x,a)=0的根存在,却无法求出,其解题步骤为：第一步:设方程/'(x,)=0的根为小.第二步:写出零点等式/'(x,)=0成立时,含毛,的关系式.第三步:取点找出飞的合适范围,该范围往往和有关.第四步:反带回/(x)进行求解,通常可以消参.例1设函数/(x)=e2x-如%.(1)讨论/(x)的导函数M)零点的个数.z、2(2)证明:当。>0时/(x).2a+6zln-.【解析】/(力的定义域为(0,+e)J'(x)=2e2xq(x>0).当0W,(x)>0,(x)没有零点.当a>0时,.e2v单调递增,-q单调递增.X.J'()在(0,+。)单调递增.又r(G)>O,当b满足0<匕<：且方时,r（八）<O,故当>0时，r存在唯一零点.(证明)由(1)题,可设尸(可在(0,+8)的唯一零点为小,当工.0,不)时，r()<o当5,+<到时,r(X)>0.故“X)在(0,0)单调递减,在(%,+力)单调递增，.当Jr=Xo时,/(x)取得最小值,最小值为/(¾).由于2e?"-q=0,a22./(j)=f+4fln-.2a+Hn-.2%)aaz9故当>0时,/(x).2+ln-.【例2】已知函数/(x)=e*-In(X+m).当典,2时,证明:/(x)>0.【解析】证明：函数/(力的定义域为(-n也),则r(x)=e=,=(i)el.x+mx+m设(x)=(x+n)ex-l.g'(x)=(x+m+l)e'>0,.g(x)在(-肛+)上单调递增.又，>(-n)=-10,(2-w)=2e2-w-12×1-1>0.g(x)=0在(-加,+8)上有唯一实根x0.当xw(-m,x0)时,g(x)vOJ'(x)<O.当xw(%,+<j)时,且(工)>0,/(工)>0,从而当工=冗0时，/(可取得最小值为/()由方程g(x)=0的根为X0,得e"=3,ln(x0+M=To故f(0)=-+x0=-+(/+/W)-".2-机，当且仅当/+m=l时,取等号.x0+mx0+z又.,，2时,.j(%).0./(毛).0取等号的条件是+m=l,e%=M匕及?=2同时成立,这是不可能的,()>0,½(x)>0.例3已知函数/(x)=e*M,g(x)=用nx+Z(x+l).求司的单调区间.证明:当攵>0时,方程x)=Z在区间(0,+8)上只有一个零点.设MX)=/(x)-g(x),其中Z>0,若MX).0恒成立,求人的取值范围.【解析】f(x)=xex+l,.(x)=ex+,+ex+,=(x+l)ev+1,令r()>o得>.令r(x)<o得x<.故/(x)的单调减区间为(-8，-1)，单调增区间为(T+8)(2)证(明)设r()=()-=xex+l-k,k>O9则(x)=+l)e叫由题可知力在(T+8)上单调递增，又r(0)=-MOj=屁"-=MeE-10,.j(x)在(0,+e)上只有一个零点.故当人>0,方程/(x)=A在区间(0,+力)上只有一个零点.(3)由题意得MX)=/(x)-(x)=ev+l-lnx-A:(x+l),(x>0,Z:>0),.(x)=(x+)ex+l-k=(xex+,-A:).令/f(x)=0,贝IJXeM女=0.由题得MX)=m川-左,Q0,在区间(0,+。)上单调递增且只有一个零点.不妨设r(x)的零点为与，则当冗(0,x0)时,r(x)<0,即h,(x)<0,此时z(x)单调递减.当(+8)时J(X)>0,即,(x)>0,此时A(x)单调递增，/.函数MX)的最小值为(毛),且(为)=与户"“一Ah/-Mg+1)由与e。一A=0得Xo=-,故ev,+1h(xo)=k-kn-r-k(x0+1)=攵一kink.e'>根据题意(小).0,即k-dnk.O,解得0<鼠e.故实数Z的取值范围是(0,e.隐零点求最值利用隐零点求最值的步骤：第一步:求出一阶导函数/'(冗),并判定其单调性(也可利用二阶导函数来判定).第二步:利用零点存在定理判定r(M存在零点,写出零点方程广(不)=。,并确定零点取值范围:0(0).第三步:通常极值就是最值,写出最值表达式/(x0).第四步:零点等式变形代人最值表达式,这里常用到一个指对互化的变形方式：ex°-!-=0u>e"=<>x0e,=IoIn(XOe")=Inx0+x0=0【例i】求函数/)=+i+(>o)的最大值.【解析】由已知得1+xer-(x+l)ex×(x+lnx+l)F(X)(Xel)-(x+l)(x+lnj)x2ex.令¢(冗)二冗+Inr(X>0),则“(x)=1+>0.函数x)在(0,+)上单调递增.-l=-(o,()=)o,ee.存在XO(L1,使得*(%)=毛+1叫)=0,其中X()+ln%0=0<>XOe%=1(指对互化).当OVXVxO时,e(x)(0,F,(X)0.当X>/时,(x)>0,F(X)V0.打力在(0,%)上单调递增,在(%,+8)上单调递减./(X)max=f()=+*+l=1.XOe【例2】求尸()=x(et-l)-lnx+2,x>0时的最小值.【解析】F(x)=ev-l+xev-=eA(x+l)-=(x+l)fev->O.XXXj(x)=ev-,x>0.令/(x)=e*+J>0.MX)在(0,+上单调递增.=e-2(,(l)=e-l),存在唯一的小(；,1)使得Mxo)=e%-1=0当OVJrV不时/(x)<0,即尸'<)V0.当X>X。时/(x)>即尸(冗)>。故尸(X)在(0,瓦)上单调递减,在(如+8)上单调递增.FU)min=(ejb-1)-Inx0+2=XoeM7。-InXO+2,由于(%)=1°-=fxoe=1,XO再对XoeAO=1两边取对数得x0+Inx0=0.F()min=%e"-XO-InXO+2=1-0+2=3【例3】求G(X)=匕詈一e'+2的最大值.X-(1+111)_ir22【解析】,(x=5e、=TnX，>0.v7X2X2令(X)=TnA:-x2ev,则“(X)=-工一(2xe*+x2ex)=-xev(2+x)<O(X>0),./(6在(0,+。)单调递减又4(1)=1-ee2>0,/(1)=-e<0,由零点存在性定理知,存在唯一零点g,l),使MXo)=O,即-In0=Me%.两边取对数可得ln(-ln)=21叫+%,即In(-InA0)+(-111a)=毛+Inx0.由函数y=x+hu:为单调增函数可得X0=-Iirv0,当OHo时(x),d(x).当X>及时，x)<0,”(X)V0.9(力在(0,%)上单调递增,在(%,+8)上单调递减."O(X0)=1+ln°-etb+2=-+2=1.隐零点求参数取值范一一参变分离参变分离法求解含参不等式恒成立,求参数取值范围问题,就是按参变分离的基本步骤.不同的只是分离参数之后求最值时,无法精确地求出极值,只能用隐零点的方式求出一个范围,所以所求最值也只是一个范围.这一类题目,会有一个明显的特征,就是所求参数通常为正整数,只有这样,参数才能取到一个确定的值。【例1已知函数/(x)=MInX+1),若对任意的x(l,+oo),/(戈).例(冗-1)恒成立,求正整数机的最大值.【解析】由/(%)=%(山工+1),则上41,+8)时/(工)厨(1-1)恒成立等价于%(1,+8)吐团x(InX+1)恒成立x1令g(力=MhlyT),>L则g'(x)=.X-l(X-I)令(X)=X-InX-2,贝W(X)=1一-./.当X(1,+8)时以X)>0,则MX)单调递增,(3)=l-ln3(,(4)=2-21n2),.丸«3,4),使得/7(/)=0。当x(1,0)时笈(力(0/«/,+05)时(力)0.gQ)min=g(/)="3'。：”XOT.z（八）)=M-1叫)-2=0,1叫)=x-2.,g(%)min=g(毛)="GJ+”=(3,4)./一】.办,不«3,4),即正整数部J最大值为3.【例2】已知函数/(x)=2InX-20r+2,g(x)=d2一2(R),若z,且不等式fOg(x)在(O,-)上恒成立,求。的最小值.【解析】不等式/(x)g(x)为21nx-2ax+2,ax2-2x(0,+)上恒成立，/.不等式2(InX+1)”0r2+2dx-2x在(,+e)上恒成立.21nx + 2 + 2xx2+2x在(0,+8)上恒成立.设 MX) =21nx + 2 + 2xX2 +2x贝小)=-2(x + l)(x÷21nx)(x2 +2x)当x>0时,x+l>0,(2+2X)->0.设夕(X)=X+2InX.夕(犬)=1+->O,9(x)在(0,+e)上是增函数,06)=；一2巾2(0皿1)=1)。，存在毛(g,使得/(%)=0.当0<x</时,e(x)(,"(x).当X>a0时,)>0,”()<0.在(0,%)上单调递增,在伉,+8)上单调递减.()=+21nx0=O,Inx0.2则M力笔詈二法U.a.-.xq(-,1La(1,2).又.Z,.min=2xoJxO.的最小值为2.【例3】知函数力=生产，若恒成立,求实数。的取值范围.【解析】由"力,1+21可得如吐3,e'+21XXX分离4可得4,x(eA-l)-lnx+2,x>0.令F(x)=x(c-l)-lnx+2,x>0.F,(x)=ev-l+xev-=(x+1)c-,x>O.x+1>0,设。(X)=e',x>0.则(力=e*+5>0.(力在(0,+«?)上单调递增=7e-2<6>,(l)=e-l>6>存在唯一的与(3，1)使得4%0)=«*。-=O当O<X</时,(X)<。,即尸'(x)<。.当了>/时,z(x)>O,即F(X)>0.故尸(力在(O,W上单调递减,在(%,+力)上单调递增.F(x)min=(ejb-l)-lnx0+2=eb-iu0+2,由于力(XO)=e"-=O,Wxoexb=1.Xo再对e%=1两边取对数得/+1咻=0.尸(x)min=/e"-X0-Inx0+2=I-0+2=3./.4,3.即实数。的取值范围为3.隐零点缩小参数取值范围分类讨论分类讨论法求解含参不等式恒成立,求参数取值范围问题,也是按前面的分类讨论的基本步骤.不同的是,在验证某一类参数范围是否满足条件时,要利用隐零点来辅助验证,从而排除并缩小范围.【例1】若不等式b(x-l)e"-IrU.O在1,+8)上恒成立,求的取值范围.【解析】由题意,b(x-l)e”-加.0在1,+功上恒成立.(1)若A0,当冗.1时,显然有-1联,0恒成立,不符题意.(2)若>0,记ZZ(X)=6(冗一1)。“Inx,则z'(x)=Z?Xer-L显然少(力在1,+8)单调递增.当s,x1时,“(X)廊<1)=加一10.,.工1,+8)时,/2(冗)./(1)=0.(2)当OVbvg时,“=e-lv,)=-b>e-l>O.存在%>1,使/(x)=0当X(1,)时,'(x)<0.当Xw(A,+)时,(x)>0.z()在(LAO)上单调递减,在优,+8)上单调递增.,.当工(1,)时,(x)<(l)=0,不符合题意.综上所述,所求匕的取值范围是+8).注意:本题可用后面章节的端点效应快速【解析】决.【例2】设函数/(%)=(0¥+1”*(1),对任意工£0,+8),/(6，,工+1恒成立,求实数的取值范围.【解析】令Mx)=(办+l)e-'-l,则力,x+l成立等价于从力”0,若为0,当x.0,则Or+啜1,0<。一"l=>()?1,而x+L.l,即/(x),x+1恒成立.若O<2,则z(x)=ex(a-1-0t)-l,当工.0,由G)=-l-0r(x)=-a<0得r(x)是减函数，Ua)InaX=4。)=。-L,L又ex991,1.Zf(力<0,。(可在0,÷<>上是减函数，此时当M三)M(x)Zi(O)=O.若tz>2,2,()=eo(a-l-a×O)-l=a-2>O,/(l)=el(-l-a)-l=-e-,-l<0,.(x)=0在(0,1)有零点.在区间x(O,l),设g(x)=z'(x)=g'(x)=e(0r+l-2")<e(l-)<,."(x)在x(O,l)上是减函数，即(力=。在(0,1)有唯一零点/,且在(O,)上,"(x)>O.在(o,)为增函数,即MX)在(0,%)上网x)>Mo)=o.J()>+,不合题意.综上可得,符合题意的的取值范围是(-8,2.注意:本题可用后面章节的端点效应快速解决.【例3】已知F(X)=(X-I)e*-(2+1),龙石1,+8),若/(工).一2+111%恒成立,求实数的取值范围.【解析】令g(x)=(x-l)e"-(f_I)TrLX问题转化为g(X).0在X£1,+8)上恒成立.g'(x)=xe'2ax:注意至IJg(I)=0.当”>、时,g'=e-2-l<0,/(ln(20+l)=ln(2"+l)-悬可,24z+l>e,.ln(2+l)>l,(ln(2t2+l)>0.存在x0(l,ln(2tz+1),使g'(%J=0.当(1,)时,gx)<O,g(x)单调递减,.g(x)vg(l)=O,不满足题意.当火!时,g,(x).xe'-(e-l)x-=xer-(e-l)-.x>l,xex-(e-l)>l,O<-<1,X.卬(%)>0,8(力在1,+0?)上单调递增.8(%).8(1)=0,满足题意.综上所述,4,曰.2【例4】已知函数Fa)=Xe-Hnx-奴,若对任意x>0恒有不等式/(x).l成立,求实数。的值.【解析】由题意知r(x)=(x+l)fex,l当”0时,r(x)=(x+l)卜-力>0恒成立,此时一(力单调递增，外”的值域为R,不符合题意.(I11g=ge2<l,也不符合题意.1.)L当>0时,令,(x)=(x+l)-X)=O可得e'-g=O,即ev-=0.X令g(%)=eJ,则g'(x)=e"x+e"=v(x+1)>O,.,.g(x)=eX在(0,+单调递增.设存在Ai)(0,+8)使得e*,/=,两边同时取对数可得Ao+l11=Ino.则O<X</眈ev-%<a,fx)<0.当X>为时,e".%/(冗)>O./.当X=XO时，/(x)mhl=Aj)*e%-6111-cixq=a-。(一与+Irk7)-%=a-ana.故只需-4lna.l即可，令MG=Cl-cina(c>0),“=I-Ina-ax=-Ana,a由”(QAO可得0<vl.由/()<0可得>1.因此h(a)在(0,1)上单调递增,在(l,+cc)上单调递减,从而z()max=A(I)=I-O=L.()=一勿叫1.又.hc)=a-ana.,.".ha)=a-(na=.由以上证明可知MI)=1,.a=.故满足条件的实数的值为1.