第4讲不等式的证明.docx

第4讲不等式的证明不等式问题是导函数考试的重点，也是难点.一方面是导函数的进一步应用，利用导函数研究出函数的单调性和最值,然后利用单调性来证明和解决不等式问题.反过来,也可以利用不等式来判定导函数的正负号进而来研究函数单调性,所以不等式在基础阶段起重要的衔接作用.在后面的高级课程里面,不等式也是起着关键作用，特别是和放缩法结合来证明不等式,赋值法来找到零点区间等.在后面的极值点偏移和双变量问题都围绕着不等式展开,要好好体会关于不等式的证明,深刻理解不等式在导函数中的作用.不等式问题的核心就是合理地构造函数，函数的构造将在后面章节讲解,这里要重点掌握证明不等式的核心思路.其次是理解不等式的含义是图像之间的上下位置关系，不等式“X)>g(X)的解是“X)在g(对图像上方时X的取值范围.证明无参不等式不等式恒(能)成立问题的转换方法:若/(x)在区间。上有最值,则(1)恒成立xD,(x)>O<>/(x)min>O.VxD,(x)<O<>/(x)max<0.能成立：玉OJ(x)>Oo/(x)皿>03x。J(x)<Oo/(x)nlin<0.【例1】已知函数/(x)=e'-f.证明：当.0时，/(x).l.【解析】证明：函数/(x)=e'-f,则<x)=e'-2x令g(x)=ex-2x,则g<x)=et-2,令g'(x)=O得X=In2.当x(0,ln2)时,/(x)v,当x(ln2,+a?)时,gx)>O,.g(x)在X=ln2处取得最小值.(x).(ln2)=2-21n2>0.,W>o./(冗)在0,+8)单调递增.().(0)=l.x.0时，/(x).l.例2已知函数/(x)=(l+x)lnx+-,求证：/(x).x.X1丫2【解析】证明:由/(x).xW(l+x)lnx+-.x.整理得(l+x)Inx+.0,1X化简得IrU+.0.X令g(x)=lnx+'-1,贝Ug，(X)=U=Y.当OVXVl时,g，(X)<O,g(x)单调递减;当x>l时，g'(x)>O,g(x)单调递增.g(x)min=g(l)=°,即g(x).0恒成立./(jt).x恒成立.【例3】函数/(x)=x-2+3hu.证明：/(x)”2无一2对任意正实数"亘成立.【解析】证明：由/(x)=Xd+3hu;,2x-2(x>0)得2-%一/+31叱,0对任意正实数X恒成立.设g(x)=2-jc-2+3111,则g,(x”-2+二(I)(2x+3)XX当0<尤Vl时，g'(x)>O;当x>l时，g'(x)v.g(力在(0,1)上单调递增,在(1,笆)上单调递减.x.0时，g(x)在X=I处有最大值g=0.g(x)0对任意正实数X恒成立,即2-工-+引叫,0对任意正实数X恒成立,即/(x),2无一2,原命题得证.不等式恒成立求参数取值范围参变分离参变分离法解不等式恒成立求参数取值范围的步骤：第一步：参变分离.若/(x,).0(xD)能参变分离，则将问题转化为：a>/(x)或<(x)恒成立.第二步:转换为最值.a>f(x)<>a>/(x)max4<(x)<=></(x)nin第三步:通过导函数求解函数最值,进而得到参数取值范围.例1已知函数/(x)=e'-ar若Wx0,1j(x).0恒成立,求的取值范围.【解析】x0,lJ(X).0恒成立，即e"-依.0在x0,l上恒成立.(1)当X=O时，L.0恒成立.(2)当XHO时，4X设g(x)=J,xw(0,lX.收，(/)=也沪,0恒成立.g(%)在(0,1上单调递减.g(x)min=g=©.综上所述，ai,e.【例2】已知函数/(尢)=空-er,x>0时，/(x)<l,求的取值范围.【解析】由已知可得。<与匕在(0,+cc)上恒成立,e1-x+lev人/xet+xrhl(xe'+ex+l)ev-(xev+x)ex令则g()=Te(e)令力(X)=e*-x+t则")=eT>O,i(x)>(0)=2.g'(x)>O.g()在(0,+8)上单调递增.g(x)>g(O)=O.4,O例3己知函数/(x)=Inr-X2-冰，若/(尤),0恒成立,求的取值范围.【解析】由已知得InX-f-ax;,O(X>o),则当x>0时，竺一X恒成立.X令(X)=史7(x>0),r,11-Inx则“二p.令左(力=I-X2-InX(X>0),则当x>0时，(x)=-2x-<0,X.女(力在(0,+力)上为减函数.又I(I)=0,.在(OJ)上,“(%)>0.在(1,+纪)上,A,(x)<O.力(司在(0,1)上为增函数.在(1,+8)上为减函数.(x)max=MD=T【例4已知函数/（x）=e'-g2-2x（e为自然对数的底数），若x0,+e）时,/(x)>恒成立,求加的取值范围.【解析】/(x)>-1恒成立,即9一2x+1>mx2恒成立.(1)当X=O时,对于任意的wR,2-2>0恒成立.2(2)当X>0时，/<#恒成立.令g(x)=，则g'(x)=(e)2)x?2xel2x-+1X4.整理得g'(x)=(x-2)e:2x+e-2,令(x)=(五一2)e"+2x+e-2,注意至IJZZ(I)=0,”(尤)=(xl)e"+2.再令0(x)=(x-l)e'+2则C'(x)=xe'>0,.e(x)在(o,+oo)单调递增，e()>e(o)=>o,即z(%)>o.(x)在(0,+8)单调递增.又M(=o,故知在(o,)上,M")<o.在(1,+8)上，(x)>0.从而g(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+8)上单调递增.ee-2F-Ig(x)min=g=1e.'.mV1.2不等式恒成立求参数取值范围分类讨论分类讨论法解不等式恒成立求参数取值范围的步骤：第一步:合理构造含参函数(构造函数的方法在后面章节讲).第二步:把不等式恒成立转化为最值问题.网nQ,4)max0第三步:利用导函数讨论最值的方法,来讨论出函数最值.【例】已知函数力=1W(aR),己知/(x)1对任意xR恒成立,求。的e值.【解析】依题意，”x),l对任意XER恒成立,(l+0r)e'-(l+匈(e')一双十一1()当。=。时，r(力=4,由于e'>0,则r()<0恒成立，e."(X)在R内单调递减./(o)=.当X<0时，/(x)>l,不符合题意.当0时,令r(x)=0,得x=l-g.当。<0时，尤=1-g>0,./(0)=1,那么Mr(X)J(X)的变化情况如下表所示:XE1-1aI。)广(无)O+/3单调递减极小值单调递增.结合X)的单调性知：当X<O时，x)>1,不符合题意.当>0时，x,'(x),(x)的变化情况如下表所示：X1-1a11)1y+a)r()+O尢)单调递增极大值单调递减1 .当O<<l时，x=l<0,a.0)=1,.结合/(x)的单调性知当X(1一：,0)时，/(力>1,不符合题意.ii当>l时，X=I->0,/(0)=1,.结合的单调性知当X(“1-J时，/()>l,不符合题意.111 .当。=1时，1一：=0.由力的单调性可知，/(x)max=/(0)=1,.符合题意.综上，Q=L【例2】已知函数)=ee*-)-a2讨论/(x)的单调性.若丁(冗).0,求4的取值范围.【解析】函数/(X)的定义域为(T,+J，(力=2e2r-e'_a?=0eA+)G-力，若4=0,则/(x)=e2,在(y,+0)单调递增.若>0,则由/(尢)=0得X=In4.当工£(-«Una)时，,(x)<0.当x(Ina,+05)时，z(x)>0."(九)在Ina)单调递减,在(Ina,÷oo)单调递增.若<0,则由r(x)=O得X=In-9.k2>时，r()<°时，/(x)>0.-co,ln -I 2 JJ单调递减,在(In -+0j单调递增.(2)若Q=0,则/(x)=e2r,.).0.若。0,则由题得，当X=Ina时，/'(X)取得最小值,最小值为f(na)=-a2×na.从而当且仅当一/in.0,即04,1时，/(x).0.若。0,则由题得，当X=In时，/(x)取得最小值，最小值为32-时，/(x).0.从而当且仅当Yx 4ln) '°，即3综上，。的取值范围为-2el例3已知函数/(x)=-x(l-0r)-Inx(<7R),当x(1,÷<q)时，/(x)>-av-二InX恒成立,求实数。的取值范围.2【解析】/(x)>-4x-glnx即为-20V-InX<2(x).令(X)=-2or-lnx-2/(X)=加一(2tz+l)x+lnx.根据题意：当x(l,+<xj)时，z(x)<O恒成立，A,(x)=20r-(2+l)÷-=(x-l)(20v-l)X(1)若0<。<！时，2由XT-,+8),(x)>O恒成立，./(X)在(金,+0)上是增函数，且MX)WhT1+8,不符题意.(2)若.1时，2由x(l,+e),"(x)>O恒成立，.z(x)在(1,+8)上是增函数，且MX)(2,+8),不符题意.(3)当0时，由XW(I,+8)时,恒有Az(x)<O,二."(工)在(1,+8)上是减函数././?(1)0,即«-(2«+1)0,解得.1,故啜r0.综上，的取值范围是【例4】已知函数F(X)=X4InXgR).讨论力的单调性.当x.l时，/(x).0,求的取值范围.【解析】由题意得/(不)=1+5一/二厂誓+l(x>O).若a,o,()>o,(x)在(o,+oo)上单调递增.若>0,令g(x)=r2-a+,i .当=-40时，即0<,2时，g(x)>O.即“力在(0,+巧上单调递增.ii .当A=-4>0时，即。>2时，g(x)=x2+1=0的两根为“土呼一4,且两根均为正.C a xe 0,时，r(x)>oj(x)在 0,“一呼 4)上单调递增.XCH号,第习时,/,(“Oja)在F号,s)上单调递减.XE,+8时，f(x)>0,/(x)½,+8上单倜递增.<2)27综上所述,当42时，在(0,+巧上单调递增.当。>2时，/(x)的单调增区间为f.-三4ffl÷T40,+8I2Jl2J单调减区间为(_J"2_4-+J"2_422由题可知当42时，/(x)在1,+“)上单调递增,.().J(I)=O符合题意.当。>2时，g=2-a<0,则"誓ZT+呼三.当1<%<"+"时，/，()<o,即/(力在单调递减.j(x)</(I)=O不符合题意.综上所述，的取值范围是(y,2不等式能成立(存在性)求参数取值范围一一参变分离参变分离法解不等式能成立求参数取值范围的步骤：第一步:参变分离.存在X使得O(XD)能成立,则参变分离,将问题转化为:a>/(x)或<力恒成立.第二步:转换为最值.。>/(x)o4>/(x)nin<(x)<=>tz</(x)nlax.第三步:通过导函数求解函数最值,进而得到参数取值范围.O11【例1】设函数/(X)=-丁+鼠+lnx,若存在“1,使得不等式-G,0成立,求C的取值范围.【解析】在上存在/使得不等式/(X。)一G,。成立,只需C.f(x)min，1 17 + - 3x X2x23+1_(2xl)(x-l)-3xr时，r)>o,>(%)是增函当X(;,;卜j,/'(x)<0,(:)是减函数.当(g,l数.，C的取值范围为-ln2,+0?.-3>例2设函数/(x)=(x-2)lnx-0x+l,若存在正数%,使得/伉),I-InLr0成立,求实数。的取值范围.【解析】存在正数小,使得了(/),1-lruO成立，即(与一l)hu,axxi,即存在x0(0,+<x>)使得a.“西，.令g(x)=g,xe(0,+8),则8,(x)=-*令(X)=Inx+x-l,x(0,+0),(x)=+1>0,则MX)在(0，也)上单调递胤且Ml)=。.当X(0,1)时，(X)VO,即g'(x)V0.当x(L+e)时，力(X)>0,即g'(x)>O.g(x)在(0,1)上单调递减.在(1,+8)上单调递增，则g*)min=g(l)=O,故.0,即实数4的取值范围为0,+%).不等式能成立(存在性)求参数取值范围分类讨论分论讨论法求不等式能成立的参数取值范围的步聚：第一步:合理构造含参函数(构造函数的方法在后面章节讲).第二步:把不等式能否成立转化为最值问题./(x,a)三)n*,)max0,/(x,)釉=/(XM)miri0.第三步:利用导函数讨论最值的方法,来讨论出函数的最值.【例1】已知函数f(x)=g+lnx(O,R),若在区间(,e上至少存在一点飞，使得了(不)<0成立,求实数。的取值范围【解析】.广(力=一-1+色=竺二，X-XX且w,令/'(力=。得X=1.若在区间(O,e上存在一点七,使得/(o)<O成立，其充要条件是/(x)在区间(0,百上的最小值小于0即可.当X=/<0,即<0时，/'(x)<0对r(0,+8)成立，.J(x)在区间(0,e上单调递减.故”力在区间(0,e上的最小值为"e)=3+Hne=:+.由，+<0得<，BPae-i-.eeVe当X=>0,即>0时，ai .若ef,则r(x),0对x(0,e成立./()在区间(0,e上单调递减.(x)在区间(0,e上的最小值为/(e)=-+dne=-+tz>O.ee显然，/(x)在区间(0,e上的最小值小于O不成立.ii .若Ov,<e,即时,则有aeXol)ka)a3)r()O+/()单调递减极小值单调递增.(H在区间(0,e上的最小值为f=a+an.由/j=+ln-=(a(l-ln6f)<0,得I-Ina<0,解得。>e,即。(&+8).综上，由可知og'e,)u(e,+e)符合题意.例2已知函数/(x)=f-(+2)x+如X(Q为实常数)，若存在xl,e,使得/(x),0成立,求实数的取值范围.【解析】/解)=2工-(+2)+9=21-(。+2卜+。=(26矶±1)心同XXX当今,1即2时,xl,e,r(x).O,此时,/(%)在口,百上单调增.力的最小值为/(I)=T-L二.一掇人2.(2)当l<<e即2<”2e时，x(l,?时，r(x)<0j(x)在(1费)上单调递减.(M时，/(尤)>oj()在上单调递增.j(x)的最小值为二工Inq =42aaIn124.2<<2e,.,.0<ln-<1,<+1<+1.2242:.f=aIn1<0I24J.,.2<a<2e当.e即a.2e时,xl,e,/x),。,此时，/(x)在l,e上单调递减.,.(x)的最小值为“。二合一(4+2)e+a1/a)S2e>-y,./(e)<0.,.a2e综上，a.-.