第9讲系数放缩.docx

第9讲系数放缩若已知己)>g(x),其中4>0且。是Fa)的系数,要证明力(x)(x)>g(x)恒成立，只需要证明(x)4即可，也就是把人。)作为幻的系数来实现放缩，这种放缩方式，称之为系数放缩.【例1】证明：4sin+2,lnx-3x2-10.【解析】证明：所证不等式等价于x(3x-21nx+-)4sinx.由三角不等式可得x>sinxO,只需证明3x-21nx+24即可.X冯心/、3Oi,1卬/2213x2-2x-1(3x+1)(-1)设h(x)=3x-2nx+-，h,(x)=3y=z=.XXjVx'X./(外在(0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增.(x)(l)=4,BP3x-2lnx+-4X由三角不等式可得xsinxO.x3x-21nx+-4sinx,原不等式得证.【例2】已知函数/(X)=曲设以幻=12+/«),其中r(x)为/()的导函数.证明：对x>0,g(x)<l+e2.eA-(lnx+l)etInx-I【解析】证明：ff=；.ee所证不等式等价于：IInX1)x+x)X<1+e-2<=>1-xlnx-x<+e2).设MX)=I-XInX-X,则“(%)=-I-Inx-I=-InX-2.令pf(x)>O=>-InX-2>O=>X<e2.P(X)在(Od)单调递增，在卜-2,+8)单调递减.P(X)<j(e-2j=l+e2.若要证I-XInX-X<(l+e2),只需证->1<=>et>x+1.x+lv)x+1设g(x)=e*-X-I,/(X)=e*-1,令g(x)>O解得x>0.q(x)在(0,+8)单调递增.rer.q(x)>q(0)=0.:.q>x+=>>1.x+/.1-xlnx-x<(1+e2),即原不等式得证.x+1v,【例3】已知函数/(x)='-lnx-"a(meR).若机=1,求证:X(x)+x-)In(X+1)-1<q【解析】证明；要证('-Inx-a)ln(x+l)-1<j,即证(l_xlnx_ar)x!My+!)<l.,Xei己(X)=I-XlnXor,则h,(x)=-lnx-1-tz.令"(x)=0得x=e-+,当XW(O£(。旬)时，”(x)>0"(X)单调递增.当X(e"+D,+8)时,Zf()<O,(x)单调递减.I4"十.I-Mx)MeP砌)二1+”=-令4(X)=ln(l+X)-X(X>0)，则kx)=!1=<0,+x1+x.M(x)在(0,+oo)上单调递减.则&(X)VA(O)=0,即ln(l+x)<x(x>0)恒成立.-1、ln(x+1)e"+l后.>.(1-XInX-OV)X<-'怛成立.Xe(/(x)+x-。)In(X+1)-1<-己证不等式放缩这一类题目无法直接用常用的不等式进行放缩，但其题目特征也比较明显，通常第一小问会产生一个不等式，它可用于后面小问的放缩，而且最后一小问的不等式证明一般会比较麻烦.【例1】已知函数/(x)=JdnX+”+1,R(1)当x>0时，若关于X的不等式/(x)(恒成立，求。的取值范围.(2)当xe(l,+8)时，证明：e"D<Inxvf-%ejr【解析】(1)由/(x)0得-Mlnx+'恒成立.X令u(x)=In%+,则u,(x)=-r=J!,XXXX幻在(0,1)上单调递减，在(1，+8)上单调递增.'"(x)min=L.,-al,即T,故的取值范围是-1,+8).证明由(1)题知，。=一1时，有JdnXx-l,要证巡二!2<klx,可证巡二12<3(>i),只需证e'Tx.e,xerX易证e"x+l(证明略)，.e"x.要证InX<2-%,可证InXVX-1.易证InXx-l(证明略)，由于x>l,.x-l>O.xT<x(X-I)=f-尤.InX<X2-X.综上所述，当Xt(I,+8)时，y<nx<x2-X.【例2】已知函数/(x)=xlnx+e”.(1)讨论函数g。)=/(X)-(e+1口的单调性.2(2)证明：对任意Xe(0,+oo),/(x)-y+x-l恒成立.e*【解析】(1)(x)=nx÷ev-(e÷l)x,定义域为(0,+8),g'(x)=InX+1+et-e-1=In%+-e.(x)=+ex>0,X：.函数/(X)在(0,+00)上单调递增，且g<l)=O.二.在(0,1)上，g，(X)<0.在(1,+8)上，g<x)>O.二.函数g(%)在(0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增.证明由(1)题可知，g(x)mhl=g=7),即/(x)(e+l)x-l.221要证/(x)Z-+X1,只需证(e+l)x1Z-+X1,即证一.ex2ex2eer令人(Jo=2，则/(x)=3.当X£(0,1)时，"(x)>0"(X)单调递增.e-rer当XG(I,+8)时出(X)V0,(%)单调递减.11Y故(x)max=(1)=-»即一jeee对任意x(0,+8),f(x)y+x-l恒成立.【例3】已知/(x)=lnx+2+g+2)+(R).(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)设Z,对任意K>0,(x)0恒成立，求整数”的最大值;(3)求证:当x>0时，eA-XlnA:+21-f+-i>o.【解析】(1)/(x)=InX+or?+g+2)+l(R),1j,ol+2ax+(a+2)x(2x+l)(ax+l)f(X)=+2ax+3+2)=(x>0)XXX若0,则，*)>0,函数在(0,+8)上为增函数. 若<o,由r（x）>o可得OVXV-L 由r（x）<o可得x>-L a上为增函数，在，+8（2）若0,贝J（l） = 2 + 3>0,不满足题意. 若av,则/（幻在（0,因此/（x）在（0 ,上为减函数.-£|上为增函数，在bJ,+上为减函数.G=O=吧0.设g(x)=lnx+x,则g(-L)0.(x)=l+l>0,.8(幻在(0,+8)上单调递增.X且g=1>0%)=吗+；<0.故存在唯一闻(g,1),使得g(%)=o.当XW(O,/)时，g(x)<0.当Xe(,+oo)时，g(x)>0.故OV,解得./(-2>1)>又4Z,Cl2.a综上，。的最大值为-2.证明由(2)题可知，。=2时，/(x)=lnx-2x2+l0.In2x2-1,-xlnx-2x3+x.e*-xnx+2xi-x2+x-l>eA-2x3+x+2x3-x2+x-l=ex-x2+2x-.i己u(x)=ev-x2+2x-l(x>0),则u,(x)=ex-2x+2.记A(x)=eK-2x+2,则"(x)=e*-2.由(幻=©、-2=0可得=1112.X(0,In2),h,(x)<0;(ln2,+),h,(x)>0.函数人(X)在(0,ln2)上单调递减,在(k2,+8)上单调递增.ZZ(X)min=Qn2)=e,n2-21n2+2=4-21n2>0.(x)>0.u,(x)>0,函数w(x)>0.m(x)在(0,+8)上单调递增."(x)>"(0)=0.即e*f+2,x1>0,xXInX+2/f+1>0.凹凸性切线放缩如果要证明的两个函数一个是凹函数f()(向下凸出的函数)，一个是凸函数g(%)(向上凸出的函数)，则证明/(x)g(x)时，去找它们的共切线y="+8，只需要证明/(x)yg(x)即可，这个证明过程称为凹凸性切线放缩.【例1】已知函数/(x)=Inx-L2,证明：f(x)->Jx4+1-.444【解析】证明：将原式变形为4lnx-f<"G7T-3,两个函数有公共点(1,-1),函数e*)=41nx-2在(,_)的切线为y=2x3.(x)=2x4+1-3½(1,一1)的切线也是y=2x-3,两个曲线一个上凸，一个下凸，/.4InX-X22x-32x4+1-3.e(x)和g(x)图像,如下图所示.【例2】已知函数O"'-/.(1)求曲线f(x)在X=I处的切线方程；(2)求证：当x>0时，et+c2eu1lnx+l.X【解析】(1)f(X)=Qx-X2,(x)=ev-2x,由题设得/=e-2,/=el.曲线/(x)在x=l处的切线方程为y=(e-2)(x-l)+e-l,即j=(e-2)x÷l.(2)证明令g(x)=r(x),则g<x)=eA-2,当XVln2时，g<)<O.当x>ln2时，g'(x)>O.函数冢#=广*)在(-00,112)上单调递减，在(In2,+8)上单调递增，g(x)mb=g(ln2)=/Xln2)=2-21n2>0,.函数f(x)=ev-f在(0,+8)上单调递增，且为凹函数.由于曲线/(X)在x=l处的切线方程为y=(e-2)x+l(l)=e-l,可猜测函数的图像恒在切线j=(e-2)x+l的上方.先证明当x>0时，/(x)(e-2)x+l.h(x)=/()-(e-2)X-l(x>0),则"(%)=/_2x_(e-2)th(x)=ex-2.当xvln2时，人(x)<0.当x>ln2时，h(x)>0,厂."(X)在(O,In2)上单调递减,在(1112,+8)上单调递增.由"(0)=3e>O,"(1)=0.0<ln2<l,.(ln2)<0.;.存在而(0,In2),使得"(%)=0,当x(0,)U0,+0°)时，h,(x)>0.当(,1)时，h,(x)<0./(幻在(0,而)上单调递增，在(XO,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增.Zi(O)=Zz(I)=O,.(x)O,BPf(x)(e-2)x+l,当且仅当x=l时，取等号，.当x>0时，er-x2(e-2)x+l,变形可得十。一©)1%X又由于xlnx+l,当且仅当尤=1时，取等号(证明略)，eA+(2-e)x-|nx+1>当且仅当=1时，取等号.