第三章复数及其应用.docx

第三章复数机器应用在电学及生产实际中，认同通常将正弦交流电的相关问题转化为复数的相关内容进行分析与计算。本章主要介绍发数的概念、附属的运算及复数在日常生活中的应用。3.1 复数的概念与几何表示3.1.1 复数的概念实例我们知道，一元二次方程炉二2没有有理数解。实际上，在接触无理数之前，我们不知道有没有一个数，它的平方等于2。为解决这一问题，我们引入了无理数的概念，把数的概念扩充到实数。而且，实数的四则运算保持了原来有理数四则运算的运算律(包括交换律、结合律和分配律)。现在，我们来考虑一元二次方程d=-lo我们知道，即使在实数范围内，方程V=-1也没有解。那么我们能否将数的概念再进行扩充，使得在新的数集中，这一问题可以得到圆满的解决呢？想一想你觉得怎样才可以算是“圆满的解决”呢？一新知识历史上，数学家为了让一元二次方程V=T有解，引入了一个新的数i,称为虚数单位。并且规定：(1) i2=-l;(2)实数可以与i进行四则运算，运算时保持原有的加法与乘法的运算律仍然成立。这样就解决了前面提出的问题，即i是一元二次方程V=T的解，而且根据前面的规定，i与实数的运算满足原来的运算律，则(-i)2=(-l×i)2=(-l)2×i2=l×(-l)=-l说明T也是一元二次方程f=7的解.形如+加(4,bR)的数叫做复数，通常用小写英文字母z,w,表示。复数+历中，。称为复数的实部，力称为复数的虚部.全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C表示，即C=+同,bwR°特别地，当b=0时，复数+*=是实数，当a=0且人工0时，称复数a+i=Z?i为纯虚数而一般当方0时，称复数4+"i为虚数，知识巩固例1指出下列各数中，哪些是实数，哪些是虚数，哪些又是纯虚数.解显然Sinl是实数；i?=T是实数.-i=O+(-l)i,对应于复数。+例当=O且b/0时的情况，因此它是虚数，也是纯虚数；-i，对应于复数+/当b0时的情况，因此是虚数，但由于0=0,它不是纯22虚数；所以，这四个数中Sin工和i?是实数；M和匕！是虚数；M是纯虚数.72例2指出复数±2和J_一如的实部和虚部，并判断它们是实数还是虚数.22解将复数改写为。+研4力£R)的形式，苫g=等+于是的实部为立，虚部为-,，它是虚数。22的实部为5/3,虚部为0,它是实数.22新知识为了后面讨论复数的运算,这里先要讲清楚两个复数相等的概念。我们称两个复数相等,是指它们的实部与虚部分别相等.即复数。+例与c+M相等(,b,c,dR),当且仅当a=c且b=d.根据复数相等的定义，每一个复数Z按照+bi(0gR)形式的表示方式就唯一确定了.糠一想为什么每一个复数Z按照4+例(0,bR)形式的表示方式是唯一确定的？两个更数相等的概念已经明确，但是复数能否比大小呢？一般地，两个复数之间不能比较大小,除非两者都是实数。想一若复数”+历=0,则和要满足什么条件？为什么？知识巩固例3已知(2z-l)+3Ai="+(+9i,其中。,力R,求和的值.解由两个更数相等的定义可得：2a-=a23b=a+b（6/-I）2=O即1b=-a2于是，得到=l,b=1.2练习3.1.11.指出下列复数的实部和虚部，并判断它们是实数还是虚数./，RC后1>3i.2.D-OZ«3-272、一iacosF1sin一2332 .已知（2a-l）+2fei=（b-2）+（34+L）i,其中,bR,求0和匕的值.3 .试确定实数m、n,使（3机+"）+2病i=0成立.3.1.2里数的几何表示问题我们知道，实数可以和数轴上的点一一对应起来，有时我们借助数轴来研究实数，好处是这样更加直观。那么为了研究复数，我们能否借设法助几何的直观呢？新知识由上一节的知识我们知道，每一个复数都可以表示为+Ai（a,bR）的形式，而且表示方法唯一，从而建立了复数+沅与有序实数对（。乃）的一一对应关系。如果把（。涉）看作平面直角坐标系中某个点的坐标，这样就建立了复数+与平面直角坐标系中点（4。）的一一对应关系（图3-1）。这就是说，复数集与直角坐标平面之间可以建立一一对应关系,因此我们可以借助这样的平面来研究复数，在后面我们可以看到这样做的方便之处。有序实数组（。力）bZ(0,A)t发数二abi图3-1我们把建立了平面直角坐标系来表示更数的平面称为复平面,其中X轴称为实轴，它上面的点表示实数；y轴称为虚轴.它上面除原点以外所有的点都表示纯虚数。如果两个复数的实部相等而复数互为相反数，我们称这两个复数互为共枕复数，并记复数Z的共挽复数为5。例如，z=+历（,8R）的共挽复:数就是5=。一方.在复平面内，z=+历（,AR）共拢的复数彳="-加分别用点（,b）和点（。,一）表示，它们是关于实轴对称的(图3-2的h，(“)O'Qxb匕血.图3-2也一想什么样的复数是自身的共艇复数？知识巩固例4在复平面内分别标出表示下列第数的点：z1=1+2i,z2=-3i,z3=2,z4=1-2i解如图33所示，复数z=l+2i,z2=-3i,23=2和24=1-2在复平面内所对应的点分别为点Z(,2),Z2(0,-3),23(2,0)和24(1,-2).AVW)-OZ1(XO)xZ,(L-2)Z1(QT)图3-3短一想一图中有没有两个点是关于实轴对称的，它们表示的复数之间有什么关系？例5求Z=-l+i,z2=-3i,z3=fZ4=l-"复数的共枕复数。解z；=-l-i,z2=3i,弓=乃，¾=l+2i新知识借助平面直角坐标系,我们己经知道复数集与平面上所有的点的集合之间可以建立一一对应关系，下面进一步考虑更数集与平面上所有向量的集合之间的对应关系。学习过平面向量的坐标，我们知道：平面直角坐标系内每一点Z都可以唯一地对应到以坐标原点。为始点且以Z点为终点的向量，向量的坐标就定义为该点的坐标。而平面上每一个始点在坐标原点的向量OZ也可以确定平面直角坐标系内的一点Z.如图3-4所示，Z(a,A)为平面内一点，它唯一地确定了一个以坐标原点。为始点且以Z点为终点的向量OZo在复平面内，点Z(a,b)表示复数z=+折，因此可以将上述对应看作是复数z=+Zi和向量02的一一对应。这样就得到了复数集与平面上所有向量的集合之间的一一对应关系.以后我们在平面直角坐标系中，可以用向量OZ来表示复数z=+bi.并且,称向量OZ的模为复数z=+比的模,记作忖.根据向量的模定义，有z=z=>a2+b2如果复数z=a+力i0,我们把以X轴正半轴为始边，射线OZ为终边的角夕称为z=+比的辐角(如图3-4).按照定义，究数z=+洌的辐角并不唯一，我们把适合条件一；<6<的辐角。的值，称为辐角的主值，记作argz.复数O的辐角不确定.林一想为什之复数z=。+例的辐角不是唯一的？角和辐角的主值有着怎样的关系？想一想一当复数z=a+为对应的点Z(4)在实轴或虚轴上时，它的模与辐角的主值分别有怎样的规律？知识巩固例6用向量表示复数Z1=l+2i,z2=-3i,z3=2,z4=1-2io解如图3-5所示，复数Z、Z2、Z3、Zil分别用向量0Z、OZ2>OZ3>表示。例7求下列复数的模以及辐角的主值：(1) z1=2+2i；(2)z2=-3+3>3i;(3)z3=-5i；解(1)4=2+2i在复平面中对应的点为4(2,2),则IZJ=J2?+2?=224(2,2)位于第一象限，它的辐角满足tan=l因此，argz=(2) Z2=3+3M在复平面中对应的点为Z2(-3,36),则="3)2+(36=6Zz(-3,3G)位于第二象限，它的辐角满足tan。=当=-6因此，argz2=-.(3) 23=一"在复平面中对应的点为23(0,5),则El=JO2+(-5)2=5TT23(0,-5)位于上，因此，argz3.练习3.1.21.指出下列复数的实部和虚部，并判断它们是实数还是虚数.3+i、3i-2应、cos-isin992.在复平面内分别标出表示下列复数及其共枕复数的点：-3+2i,2+i,-3,2i3 .用向量表示下列复数z=g+3i和z2=53i.4 .求下列复数的模以及辐角的主值：(1) z1=1+i；(2)z2=1>3i；(3)z3=3i；(4)Z4=10课后练习习题A1 .在更平面内分别标出表示下列更数的点：3+2i,2-3i,4i,-22 .求下列复数及其共规复数的辐角的主值：Z2+2i；Z2=i；Z3=-4i；3 .已知4(m-l)+3/Hi=1+(m+2")i,其中WR,求7和的值.习题B1 .指出复数上巴和2-的实部和虚部，并判断它们是实数还是虚数.22 .求下列复数的模以及辐角的主值：z1=-1+i；z2=1>3i；z3=3；3 .已知(3-2)+2M与0-2)-(3+b)i互为共飘复数,其中,bR,求G和人的值.3.2复数的运算3.2.1 复数的代数形式运算实例回顾向量的加减法，给定两个向量，它们的坐标分别为(。力)和(c,d).根据向量的加法与减法的定义，我们有：(,b)+(c,d)=(+c,b+d)(a,b)-(c,d)=(a-c,b-d)在复平面上，复数和向量是一一对应的，我们当然要保证：两个向量的和所表示的复数,就是这两个向量分别表示的夏数的和.想一想我们为什么要保证两个向量的和所表示的复数，就是这两个向量分别表示的复数的和？新知识设Z1=+历(”,bR),Z2=c+M(c,dR)，我们将复数的加法和减法分别规定为:(+bi)+(c+*)=(a+c)+(8+d)i(3.1)(+历)一(c+%)=(-c)+(A-d)i(3.2)这样，两个复数的和的实部就是这两个复数的实部的和，两个复数的和的虚部就是这两个复数的虚部的和。这样的规定和向量的加减法相对应，也使得更数的加法和减法运算可以按照多项式的加法和减法运算进行.而且容易验证，复数的加法满足下面的运算律：对任意的复数4、Z2和Z3,满足：(1)交换律：Z1+z2=Z2+Z1(2)结合律：(Z+Z2)+Z3=4+(Z2+Z3)知识巩固例1计算下列各组复数中Z1与Z2的和与差(1) Z=2+3i,z2=4+i(2)z1=3-2i,Z2=2i解(1)(2+3i)+(4+i)=(2+4)+(3+l)i=6+4i(2+3i)-(4+i)=(2-4)+(3-l)i=-2+2i(2) (3-2i)+(2-i)=(3+2)+(-2-l)i=5-3i(3-2i)-(2-i)=(3-2)+-2-(-l)i=l-i例2已知Z、Z2是复数，求证：z1+z2=z1+Z2.证明设Z=+历(,6R),z2=c+ch(c,dR)于是z1+z2=(+Z)+(c+M)=(a+c)+(A+d)i则z1+z2=(+c)-(+d,)i而Z=-"i,z2=c-di则zl+z2=(«-/;i)+(c-/i)=(6t+c)-(Z?+J)i于是zl+z2=zl+z2.想一想Z1z2=z1-Z2是否成立？新知识设z=+历(,bR),z2=c+d(c,dR),我们将复数的乘法规定为：(4+biMc+M)=(QC-Z%/)+(4iJ+bc)i(3.3)其实，我们希望第数的乘法运算可以按照多项式的乘法运算进行，注意到i2=-l,就有：(+历)(c+di)=ac+adi+bc+Mi2=ac+ad+bc-bd=(ac-hd)+(ad+bc)i容易验证，按照上面的规定，复数的乘法满足下面的运算律：对任意的复数4、Z2和Z3,满足：(1)交换律：z1z2=z2zl(2)结合律：(z1z2)z3=z1(z2z3)(3)分配律：z1(z2+z3)=z1z2+z1z3特别地，我们规定z"二zzz,nN+,称为复数Z的次塞.，照复数的乘法的规定，对任意的复数Z、N2和Z3,都满足(Z1+Z2)>Z3=ZZ3+Z2Z3瓯知识巩固例3设z=3+2i,z2=2+i,Z3=-3+2i,计算：(1) z1z2；(2)z2z3；(3)Z32.解(1)z1z2=(3+2i>(2+i)=6+3i+4i-2=4+7i；(2) z2.z3=(2+i)(-3+2i)=-6+4i-3i-2=-8+i;Z32=Z3"3=(-3÷2i)(-3÷2i)=9-6i-6i-4=5-12i例4设z=2+i,计算z3.解由于i=zzz=z<z且Z2=(2+i)2=(2+i)(2+i)=3+4i则z3=z2z=(3+4i)(2+i)=2+1Ii例5设Z=+bi,z2=a-b,计算zz2.解z1z2=+Zn)(6fM)=a2abi+abi+b2=a2+b2I根据这一例题，立即可以得到如下公式"zz=Z2(3.4)说明：一个复数和它的共粗复数的乘积等于这个匆数的模的平方，而且其结果显然是一个实数.新知识回忆二次根式的除法运算，我们将分子、分母同时乘以分母的共辄因式，把分式化简.比如:1_2-叵2-7?2+2(2+5/2).(2-5/2)2同样，我们借助这样的思想来定义复数的除法.设z=+历(0,bR),z2=c+d(c,dR),我们将复数的除法规定为:a+biac+bdbe-ad.(3.5)=11c+dic2+d2c2+d2其实，我们将分子、分母同时乘以分母的共辄复数，注意到i2=-l,就有:a+b_(+历)(c-4)c+di(c+di)(c-办)(QC+Z?d)+(be-od)ic2+d2_ac+bdbe-ad.c2+J2+c2+J21这就是说,这里用到了前面讲过的公式(3-4).知识巩固例 6 设 z=3 + 2i, z,=2 + i, z3=-3 + 2i,计算五与五.Z2 Z342 z1 _ 3 + 2i _ (3÷2i)(2-i) _ 8÷i _ 8 1.Z2 2 + i (2÷i)(2-i)55 5z1 _ 3 + 2i _ (3 + 2i>(-3-2i) _ -5-12i _12.£ - -3 + 2i - (-3 + 2i>(-3-2i) - 13 一一石一Til例7设z=5+2i,计算J z解 z=5-2i于是,Z (5 + 2i)(5 + 2i) 21 + 20i 21 20.-= = = + 1Z (5-2i)(5÷2i)2929 29练习3.2.11 .计算下列各式：(1) (5 + 2i)+(-2+3i);(3) (-3+2i>(2-3i);2.设z = 2+i,求：(1) Z2:(2) z4;(2) (2+3i)-(-3i);(4)2 + 5i1-i(4)3.2.2发数的三角形式及其运算实例对复数Z=石+i,我们可以作如下整理:z=3+(31.=2+122/Cf.=2cos+isinI66读者不难验证，上式中的2刚好是复数z=6+i的模，而上式中的工是复数z=J+i的6一个辐角(三3-6).图3-6新知识设复数z=O+加(,力R),。是它的一个辐角并且忖=r,如图37所示.由三角函数的定义，容易得到4=rcos6,b=rsin.所以z=+历=rcos+*sini=r(cos+isin)今后，我们称z=(cose+isin6)为复数二的三角形式：相应地，称z=+诩为复数二的代数形式.而在复数Z的三角形式中，常常用。表示复数Z辐角的主值.想一想两个复数相等，那么的模和辐角的主值是否就分别相等呢？知识巩固例8将下列复数化为三角形式：(1)Z=2+2i;(2)z2=3V3i；(3)z3=3i.解(1)复数z=2+2i对应的点4(2,2)在第一象限，且r=22+22=222tan，=12于是argZ=复数4=2+2i的三角形式为Z=2J(cos7+isin?.(2)复数Zz=3-JGi对应的点z2卜,一石)在第四象限，且r=32+(3)2=23a-63tan=-33/于是argZ2=-C,复数Z=3石i的三角形式为Z2=26cos+isin-6I66(3)复数Z3=3i对应的点Z3(OJ)在虚轴正半轴上，则argZ3=,且r=02+32=3于是，复数Z3=3i的三角形式为Z3=3fcos+isin.新知识利用复数的三角形式作乘法运算与除法运算，可以使运算简化.设Z=4(cosq+isi11q),z2=(cos+isin)»我们来计算zz2,这里要用到在第一章学过的两角和的正弦公式与余弦公式.z1z2二4(COSa+isin"(cosa+ising)=斗弓(CoSa+isinl)(cos÷isinft)=rxr2(coscos2-sinxsin2)+i(sinxcos2+cosxsin&)=jwcos(+a)+isin(+q)就得到生数的三角形式的乘法运算公式：r(cosx+isin);(cos2+isinft)=a;/;cos(+ft)+isin(1+ft)(3.6)因此，两个好数的乘积的模等于两个复数的模的乘积；两个复数的辐角的和等于这两个复数的乘积的一个辐角.想一想两个复数的乘积的辐角的主值是否等于这两个复数的辐角的主值之和，为什么？特别地，当Z=Zl=Z2=Ncos9+isin9)时，由前面复数的三角形式的乘法运算公式，有：z2=r2(cos2+isin26)我们还可以证明下面更为一般的结果：对复数Z=KCOSe+isin6),有z,t=rn(cosn+sinn),nN'(3.7)显然，做爱数的乘方运算，用三角形式计算比用代数形式运算要简便得多.此外，设Z=(cos+isi11),z?=弓(CoSa+isinq),当z2#。时，有如下复数的三角形式的除法运算公式：黑然含=*°s(i)+L-68)心IcosCAj+1sinu,K你能否借助复数的三角形式的乘法运算公式来证明公式(3.8)?提示：Z=4(cosq+isi11q),Z2=弓(CoSa+isin),且z2.。，先将区设为一个复数的三角形式，并将它代入式Zl=Wz,中，求解五.Z2Z2知识巩固2C5c(冗.7tI=2 cos-I 6. + ism， 6例9设4=3cos§+iSmlb(1)z1z2；(2)幺；(3)z14;(4)解(1)复数的三角形式的乘法运算公式(3.6),zz2 =31 COSy + ISinyc( . . 2 cos + ism =3×2cos(+÷isin(36；/(71.Tt=6cos+ism-I22(2)由复数的三角形式的除法运算公式(3.8)J.3cos+ismZ=I33)z-2fcos-+isinl二小。S工+isin42166；(3)由公式(3.7)ZlJTt.乃丫|. . . =4 cos + ism I 331.I33JJ04f44.3cos+sno.(4万.4万)=81cos+1sinI33)(4)由公式(3.7)易得Z2?,t2 c ( TT .乃则 ZZ2 =3C0Sy + ISiny=12.4cos+1sinI44fl.2cos+sn例10计算下列各式并将结果用代数形式表示:(I)cos+ism(2)"3+3i解(1)由公式(3.7),(2)(3)于是,.cos+ismI=1cos+isinII88将士色化为三角形式，则21.+123=COs"+isin/F=1.cos÷sn-=IXC唠+is嘲.cos+ism6J、6=27cos+sn-I66)6兀.6五、-27cos+snI66)=27JTJT先将复数cosisin化为标准的三角形式cos33,3>+isincos32T练习3.2.21 .将下列复数化为三角形式:(1) z1 = 5 - 5i ；(2) z2 = 3 3i ；(3) Z3 = 13i ；(4) Z3 = 4 .言2 .计算:1；C、/LC(冗冗3.设Z=2(305+151111，Z2Ql=3cos+1sinI66；，求:(3) z24.(l)zz,;(2)-；Z24.计算:(1)2cos+isinI12cosA+isinAt1010J(+i)°3.2.3发数的指数形式及其运算实例数学家欧拉(LeonhardEUler,1707-1783)为数学作出了巨大的贡献。这一节中的欧拉公式就是他的一个伟大成就。这一公式揭示了复数范围内正弦函数、余弦函数与指数函数之间的联系。新知识根据欧拉公式：e'=cos÷isin(39)复数Z=r(cos6>+isin(9)就可以表示为Z=d,这里在指数位置上的角。用弧度制表示，我们称z=r为复数Z的指数形式.想一想z二中的和e分别有怎样的意义？根据指数运算法则，我们可以得到复数指数形式的乘法运算与除法运算公式：设ZI=rlelff,z2=r2el2,则有rlel0ir2ei02=rlr2el°l+°2(30)卜屋)"=/*,nN*(311)(312)上面这三个公式分别对应于复数三角形式的运算公式(3.6)、(3.7)和(3.8).知识巩固例H将下列复数化为指数形式：(1)z1=3-3i；(2)z2=>2i；(3)Z3=-5.解(1)复数z=3-3i对应的点4(3,-3)在第四象限，且r=532+(-3)2=32z31tan。=-13于是，argz1=-p则复数z=3-3i的指数形式为Z1=3J5JF.(2)复数Z2=J%对应的点Z2(,j5)在虚轴正半轴上，则argz2=,且-=1。2+()=6则复数Z2="的指数形式为z2=-Jle1.(3)复数Z3=-5对应的点Z3(-5,0)在实轴负半轴上，则argZ3=)，且则复数Z3=-5的指数形式为Z3=53”.例12计算:工£红巴(1)3e'"(2)6e3÷4e.解(1)由公式(3.10)：3/用.一=3技一同=3缶"(2)由公式(3.12)：练习3.2.31.将下列复数化为指数形式：(1)z1=1+>3i；(2)z2=-i；(3)z3=5-5i.2 .将下列复数化为代数形式：三if-)(1) zl=4；(2)z2=y5e；3 .设ZI=J如号，z2=67S计算：(1) z2;(2)-.Z2课后练习习题A1.计算下列各组复数中Zl与Zz的和与差1 1)z1=5+6i,z2=-2+i(2)z1=-3-2i,z2=5+i2 .设Z=3+2i,z2=-2-3i,求z1z2；(2)；(3)ziz2.Z23 .将下列复数化为三角形式与指数形式：(1) z1=-2-2i(2)z2=>6-3V2i(3)z3=-8i.4 .将下列复数化为代数形式:(1) z2=cos+isini(2)z2=-e'3'(3)z3=j5e45(66)55 .计算：(Di8(2)(l+i)4(3)(4)-1-i(l+i)(2-i)(5)Wel*6”(6)e3÷5e(7)3fcos÷isinMlfcos÷isinI77J2k14146.设ZPZ2是两个复数，求证：ZZ2=ZHz2习题BLc(1乃t(1冗)is././>、Z1.kzi=2cos+sn-,z)=8cos+sn,求(1)z1z2；(2).V33J-II212)z22 .设Z=2j+i,z2=2+3i,求：(1) zz2(2)-(3)Z2«Z1Z9.Zl3 .已知z+5=8,zz=10,求复数z.4 .已知回=4,argz=-y,求复数二.5 .分别求出满足下列条件的更数z：(1)z+3-4i=5(2)2-z-i=-l(3)z(l+i)=-ll = l6 .求证：G=-+且i是方程/一1=0的一个根.227 .求证：(1)z1z2=zlz2；(2)3.3复数的应用实例物理学中把随时间按正弦规律变化的电量称为正弦电量，简称正弦量。在第一章学习正弦型函数时，我们介绍过简谐交流电。简谐交流电的电流强度/就是一个正弦量，它随时间的变化规律可以表示为：/=I111sin(t+i)其中，。是电流的峰值，0是角频率，而分是电流的初相位.简谐交流电的电压U也是一个正弦量，并且有类似的变化规律:U=UmSm(SPU)其中，Um是电压的峰值，G是角频率，而外是电压的初相位.这一节我们初步介绍利用复数分析正弦电路的一种便捷方法一一相量法.该方法自1893年由德裔美国电机工程师施泰因梅茨(Steinmetz*CharlesProtells)提出后，得到了广泛的应用。借助复数，可以定义复电流和复电压,我们称，“=/,”85(创+%)+15吊(由+e)为复电流，。,=。,“8$(诩+%)+15访(诩+0)为复电压.将它们表示为复数的指数形式，我们有An=/"+*ULUN(F)我们把一段电路上的复电压与复电流之比，称为该段电路或该元件的复阻抗，用大写字母Z表示，即z=4，并将复阻抗的模IZl称为这段电路上的阻抗.经过简单的计算，我1m们得到:f¼-w)(313)UU$3+/)UZ-=-e'IJKW+6)Im1mcm将式(3-13)两边同时取模，注意到=1,可得:(314)将式(314)代入式(313)得:(3.15)Z=IZH也一观察上式，我们可以发现：引入复阻抗这概念后，复电压、复:电流和复阻抗之间就呈现出类似于欧姆定律的形式，这给运算带来方便；另外，复阻抗的模就是电路的阻抗，复阻抗的辐角就是电压与电流的相位差。可见，复阻抗同时反映了电压与电流的量值关系和相位关系两方面的信息，因而它是求解交流电路的关键。由于正弦量是时间变量，的函数，其瞬时值随着时间发生变化，因此不便于测量或是计算。在实践过程中，人们常常使用正弦量的“有效值”.以交流电的电流为例，所谓有效值,是指在交流电变化的一个周期内，交流电流在电阻R上产生的热量相当于多大数值的直流电流在该电阻上所产生的热量，此直流电流的数值称为该交流电流的有效值。我们常用的交流电流表测量交流电的电流强度，它的读数其实就是交流电流的有效值.这里，我们用/和U”分别表示交流电流和交流电压的有效值，经计算可以发现有如下关系:而电学中将交流电流和交流电压的复有效值分别规定为=Id和U.=U.e帆，由此可得:4=2/-,UEUlUa=IZ这里(3.15)式被称为复数形式或相量形式的欧姆定律，它与直流电路中的欧姆定律U=IR0本章小结一、复数的概念(1)形如+历(,bR)的数叫做复数,通常用小写英文字母z,w,表示.复数中，。称为复数的实部，力称为复数的虚部.全体复数所成的集合叫做复数集.用字母C表示,即C=4+。i|4,。R.当人=O时，复数+为=是实数，当。=O且O时,称复数4+加=历为纯虚数。而一般当人工0时，称复数+比为虚数.(2)我们称两个复数相等，是指它们的实部与虚部分别相等.如果两个复数的实部相等而复数互为相反数，我们称这两个里数互为共枕复数，并记复数Z的共聊复数为5.二、复数的几何表示(1)建立平面直角坐标系来表示复数的平面称为复平面，其中X轴称为实轴，它上面的点表示实数；y轴称为虚轴,它上面除原点以外所有的点都表示纯虚数.将每一个复数z=+比对应于复平面上的点Z(,b),就建立了复数集C与复平面上点集合间的一一对应.将每一个复数z=+例对应于以(,力)为坐标的向量，就建立了复数集C与平面上所有向量组成的集合之间的一一对应.(2)设OZ为复数z=+0i所对应的向量，称向量OZ的模为复数Z的模,记作忖.计算公式为：IZl=IoZI=Ja2+从.(3)如果复数z=+力0,我们把以X轴正半轴为始边，射线OZ为终边的角。称为z=+例的辐角.把适合条件一4V6九的辐角。的值，称为辐角的主值，记作argz.三、复数的运算(1)更数的代数形式运算：(+bi)+(c+M)=(+c)+S+d)i(a+Z?i)-(c+6fi)=(6t-c)+(/?-6/)i(+bi)(c+%)=(4c-bd)+(d+bc)ia+bac+bdbe-ad.=1ic+dic2+J2c2+J2(2)复数的三角形式运算：4(CoSa+isin6)4(cose2+isin2)=4cos(+2)÷isin(+幻zn=rn(cosn+isinn)，N"芈里坐雪耳+ir2(cosa+isinO?)与L(3)更数的指数形式运算：qe冏吨e明=4弓/4+与rei)n=rnen,zN*d+i=5r2复习题习题AI.选择题(I)在复平面内，与复数z=2-3i对应的点位于()A.第一象限B.第二角限C.第三象限D.第四象限(2)设Z为虚数，则Z?()A.一定是非负实数或虚数B.一定是负数或虚数C.一定也是虚数D.有可能是正数(3)复数Z=T-3的共辄复数是()A.i÷3B.i+3C.i-3D.-i-3(4)复数z=2(cos生一isin女I的辐角的主值是()3133,a2A.n2乃DC.巴D.-3333(5)复数±2等于()1-iA.l+2iB.l-2iC.2+iD.2-i(6)对复数z,下列结论中正确的是()A.z2=z2B,=I-IC.z-7I=2IzID.z+z=2z2.填空题(1)(10+i)-(5+2i)=(2)复数i2(l+i)的实部是.(1)(3)(5)(3)将复数2-2i的指数形式是(4)若一=。+历(i为虚数单位,1-i3.计算题(3+i)(5+i)1a,bsR)WJa+b=2(cos÷isin(.cos+ism(1)A.第一象限B.第二角限C.第三象限D.第四象限习题BI.选择题在复平面内，与复数2-3i与5+2i的和对应的点位于关于复数z=2+i与Zz=3+2i,下列说法中错误的是A. z2 > Z1b l¾l>lzlcIzi¾I=IziHz2D. arg z2 > arg z1(4)卜列的取值中，使i”=l （i是虚数单位）A. n=2已知复数z = l-2i,的是C.二4D.n=5C.1 2.+15 5D.1 2. i5 5设Z1 =召6 5 , Z2,则人的辐角的主值是A.B.10（6）下列计算中，错误的是IoC.2D.C.ei0=D.eifa-j=e 1 i (2) y/3 ÷i-ei2.填空题(1)(5 + 3i)÷(l + i) =(2)复数LF的共枕复数是2(3)复数112色的三角形式是2(4)若（一1）2+（苏+人=0 （i为虚数单位,a,be R )则 ab =3.求下列复数的辐角的主值3 3)isin+cos4 .求复数z,满足恸=2且z+司=2.拉(Euier)5.求复数z,使z2=2i.课外阅读失明的数学家欧拉欧拉(LzOnardEUIer)SI707年4月15日生于瑞士的巴塞尔(BaSe1),1783年9月18日卒于彼矍堡，原籍瑞士，是全世界历史上最伟大的数学家之一.他的深海渊博的知识，无穷无尽的创作精力和空前丰富的著作都是令人吃惊的.他从19岁起就开始写作，直到76岁.半个多世纪写下浩如烟海的书籍和论文.至今几乎每一个数学部门，