数学必修4平面向量综合练习题.doc
-数学必修4平面向量综合练习题一、选择题 【共12道小题】1、以下说法中正确的选项是( ) A.两个单位向量的数量积为1 B.假设a·b=a·c且a0,则b=cC. D.假设bc,则(a+c)·b=a·b参考答案与解析:解析：A中两向量的夹角不确定;B中假设ab,ac,b与c反方向则不成立;C中应为;D中bcb·c=0,所以(a+c)·b=a·b+c·b=a·b. 答案：D主要考察知识点:向量、向量的运算2、设e是单位向量,=2e,=-2e,|=2,则四边形ABCD是( ) A.梯形 B.菱形 C.矩形 D.形参考答案与解析:解析：,所以|=|,且ABCD,所以四边形ABCD是平行四边形.又因为|=|=2,所以四边形ABCD是菱形. 答案：B主要考察知识点:向量、向量的运算3、|a|=|b|=1，a与b的夹角为90°,且c=2a+3b，d=ka-4b,假设cd,则实数k的值为( ) A.6 B.-6 C.3 D.-3参考答案与解析:解析：cd,c·d=(2a+3b)·(ka-4b)=0,即2k-12=0,k=6. 答案：A主要考察知识点:向量、向量的运算4、设02,两个向量=(cos，sin),=(2+sin，2-cos)，则向量长度的最大值是( ) A. B. C. D.参考答案与解析:解析：=(2+sin-cos,2-cos-sin), 所以|=.答案：C主要考察知识点:向量与向量运算的坐标表示5、设向量a=(1,-3)，b=(-2,4)，c=(-1,-2)，假设表示向量4a、4b-2c、2(a-c)、d的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量d为( ) A.(2,6) B.(-2,6) C.(2,-6) D.(-2,-6)参考答案与解析:解析：依题意,4a+4b-2c+2(a-c)+d=0,所以d=-6a+4b-4c=(-2，-6). 答案：D主要考察知识点:向量与向量运算的坐标表示6、向量a=(3，4)，b=(-3，1)，a与b的夹角为,则tan等于( ) A. B.- C.3 D.-3参考答案与解析:解析：由得a·b=3×(-3)+4×1=-5，|a|=5，|b|=， 所以cos=.由于0，,所以sin=.所以tan=-3.答案：D主要考察知识点:向量与向量运算的坐标表示7、向量a与b不共线,=a+kb,=la+b(k、lR),且与共线,则k、l应满足( ) A.k+l=0 B.k-l=0 C.kl+1=0 D.kl-1=0参考答案与解析:解析：因为与共线,所以设=(R),即la+b=(a+kb)=a+kb,所以(l-)a+(1-k)b=0. 因为a与b不共线,所以l-=0且1-k=0,消去得1-lk=0,即kl-1=0.答案：D主要考察知识点:向量、向量的运算8、平面三点A(-1,0),B(5,6),P(3,4),且AP=PB,则的值为( ) A.3 B.2 C. D.参考答案与解析:解析：因为=,所以(4，4)=(2，2).所以=. 答案：C主要考察知识点:向量与向量运算的坐标表示9、设平面向量a1，a2，a3的和a1+a2+a3=0，如果平面向量b1，b2，b3满足|bi|=2|ai|，且ai顺时针旋转30°后与bi同向，其中i=1，2，3，则( ) A.-b1+b2+b3=0 B.b1-b2+b3=0C.b1+b2-b3=0 D.b1+b2+b3=0参考答案与解析:解析：根据题意,由向量的物理意义,共点的向量模伸长为原来的2倍,三个向量都顺时针旋转30°后合力为原来的2倍,原来的合力为零,所以由a1+a2+a3=0,可得b1+b2+b3=0. 答案：D主要考察知识点:向量、向量的运算10、设过点P(*，y)的直线分别与*轴的正半轴和y轴的正半轴交于A、B两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点，假设,且·=1,则P点的轨迹方程是( ) A.3*2+y2=1(*0,y0) B.3*2y2=1(*0,y0)C.*2-3y2=1(*0,y0) D.*2+3y2=1(*0,y0)参考答案与解析:解析：设P(*,y),则Q(-*,y).设A(*A),*A,B(0,yByB0,=(*,y-yB)=(*A*,-y). =2PA,*=2(*A,*),y-yB=2y,*A=*,yB=3y(*0,y0).又·=1,(-*,y)·(-*A,yB)=1,(-*,y)·(*,3y)=1,即*2+3y2=1(*0,y0).答案：D主要考察知识点:向量、向量的运算11、ABC中，点D在BC边上，且，假设,则r+s的值是( ) A. B.0 C. D.-3参考答案与解析:解析：ABC中，=()=-，故r+s=0. 答案：B主要考察知识点:向量、向量的运算12、定义ab=|a|b|sin，是向量a和b的夹角，|a|、|b|分别为a、b的模，点A(-3,2)、B(2,3),O是坐标原点，则等于( ) A.-2 B.0 C.6.5 D.13参考答案与解析:解析：由题意可知=(-3,2),=(2,3), 计算得·=-3×2+2×3=0，另一方面·=|cos，cos=0,又(0,)，从而sin=1，=|sin=13.答案：D主要考察知识点:向量与向量运算的坐标表示二、填空题 【共4道小题】1、a+b+c=0,且|a|=3,|b|=5,|c|=7,则向量a与b的夹角是_.参考答案与解析:解析：由得a+b=-c,两边平方得a2+2a·b+b2=c2,所以2a·b=72-32-52=15.设a与b的夹角为,则cos=, 所以=60°.答案：60°主要考察知识点:向量、向量的运算2、假设=2e1+e2,=e1-3e2,=5e1+e2,且B、C、D三点共线,则实数=_. 参考答案与解析:解析：由可得=(e1-3e2)-(2e1+e2)=-e1-4e2, =(5e1+e2)-(e1-3e2)=4e1+(+3)e2.由于B、C、D三点共线,所以存在实数m使得,即-e1-4e2=m4e1+(+3)e2.所以-1=4m且-4=m(+3),消去m得=13.答案：13主要考察知识点:向量、向量的运算3、e1、e2是夹角为60°的两个单位向量,则a=2e1+e2和b=2e2-3e1的夹角是_. 参考答案与解析:解析：运用夹角公式cos=，代入数据即可得到结果. 答案：120°主要考察知识点:向量、向量的运算4、如图2-1所示，两射线OA与OB交于O，则以下选项中向量的终点落在阴影区域的是_. 图2-1 + + -参考答案与解析:解析：由向量减法法则可知不符合条件,显然满足，不满足. 答案：主要考察知识点:向量、向量的运算三、解答题 【共6道小题】1、如图2-2所示，在ABC中,=c,=a,=b,且a·b=b·c=c·a，试判断ABC的形状.图2-2参考答案与解析:解：a·b=b·c,b·(a-c)=0. 又b=-(a+c),-(a+c)·(a-c)=0,即c2-a2=0.|c|=|a|.同理,|b|=|a|,故|a|=|b|=|c|,所以ABC为等边三角形.主要考察知识点:向量、向量的运算2、如图2-3所示,|=|=1，、的夹角为120°,与的夹角为45°,|=5,用，表示.(注：cos75°=) 图2-3参考答案与解析:解：设=+, 则·=(+)·=+·=+cos120°=.又·=|cos45°=5cos45°=,=,·=(+)·=·+=cos120°+=+.又·=|·|cos(120°-45°)=5cos75°=,+=.=,=.=+.主要考察知识点:向量、向量的运算3、在四边形ABCD中(A、B、C、D顺时针排列),=(6，1)，=(-2，-3).假设有,又有,求的坐标. 参考答案与解析:解：设=(*,y),则=(6+*,1+y),=(4+*,y-2),=(-*-4,2-y),=(*-2,y-3). 又及,所以*(2-y)-(-*-4)y=0, (6+*)(*-2)+(1+y)(y-3)=0. 解得或=(-6,3)或(2,-1).主要考察知识点:向量与向量运算的坐标表示4、平面向量a=(,-1),b=(,). (1)证明ab;(2)假设存在不同时为零的实数k、t,使得*=a+(t2-3)b,y=-ka+tb,且*y,求函数关系式k=f(t).参考答案与解析:(1)证明：因为a·b=(，-1)·(，)=+(-1)×=0，所以ab. (2)解：由得|a|=2，|b|=1,由于*y,所以*·y=0,即a+(t2-3)b·(-ka+tb)=0.所以-ka2+ta·b-k(t2-3)b·a+t(t2-3)b2=0.由于a·b=0,所以-4k+t(t2-3)=0.所以k=t(t2-3).由k，t不同时为零得k=t(t2-3)(t0).主要考察知识点:向量与向量运算的坐标表示5、a、b、c是同一平面的三个向量,其中a=(1,2). (1)假设|c|=,且ca,求c的坐标;(2)假设|b|=,且a+2b与2a-b垂直,求a与b的夹角.参考答案与解析:解：(1)设c=(*，y),|c|=,即*2+y2=20, ca,a=(1，2),2*-y=0,即y=2*. 联立得或c=(2,4)或(-2,-4).(2)(a+2b)(2a-b),(a+2b)·(2a-b)=0,即2a2+3a·b-2b2=0.2|a|2+3a·b-2|b|2=0. |a|2=5，|b|2=,代入式得a·b=.cos=-1.又0，=.主要考察知识点:向量与向量运算的坐标表示6、如图2-4所示,AOB,其中=a,=b,而M、N分别是AOB的两边OA、OB上的点,且=a(01),=b(01),设BM与AN相交于P,试将向量=p用a、b表示出来. 图2-4参考答案与解析:解：由题图可知p=或p=,而=a， 设=m()=m(b-a),又=b，设=n()=n(a-b),p=a+m(b-a)=(1-m)a+mb，p=b+n(a-b)=na+(1-n)b.a、b不共线,且表示方法唯一，解得p=a+，即p=.主要考察知识点:向量、向量的运算. z.
