第二章坐标变换与参数方程.docx

第二章坐标变换与参数方程我们按照工件的加工要求，编号程序输入数控机床进行加工的时候，有时会出现工件报废、击床撞车以及刀具损坏等事故。通过对事物的分析，发现坐标系的设置错误是原因之一，坐标系的变换与参数方程，在机械加工与数控编程中有着重要的应用。本章主要介绍了坐标轴的平移与旋转和参数方程等内容。2.1 坐标轴的平移与旋转2.1.1 坐标轴的平移实例研究曲线时，常常需要建立坐标系，而不同坐标系的选取直接影响着问题解决的难易程度。因此，研究过程中，我们经常需要改换坐标系。例如，二次函数），=-2>+l的图像是一条顶点在«（2,1）抛物线，如图2-1所示。如果我们不改变坐标轴的方向和单位长度，将坐标原点移至点01处，得到一个新的坐标系Fay,在新坐标系下，该抛物线的解析式就变成M=玉2.新知识我们把只改变原点的位置,而不改变坐标轴的方向和单位长度的坐标系的变换叫做坐标轴的平移.下面我们研究同一个点在不同坐标系下的坐标之间的关系.观察实例中两个坐标系Xoy和Xay,我们可以得到原坐标系中的X等于新坐标系中的（X+2）,原坐标系中的y等于新坐标系中的（,+1）,即X = Xl + 2 y = %+(2-1)(2-2)一般地，如果将原点。移到。|（人幻，则有坐标轴平移的坐标变换公式:Xxi+hJ=X+&x1x-hy=y-k想一想你能否用向量方法说明这里的坐标轴平移的坐标变换公式？知识巩固例1平移坐标轴，将坐标原点移至(-3,1)求下列各点在新坐标系下的坐标：一(0,0),:(1,1),-(-3,1),)x1=X-h.r解根据坐标轴平移的坐标变换公式I,设6(0,0)在新坐标系下的坐标为y=y-(APyJ,则"=°一(一"，即6在新坐标系下的坐标为(3,T)；同理，将巴、£和2的IyI=O-I坐标分别代入坐标变换公式，就得到它们的在新坐标系下的坐标分别为：(4,0)、(o,o)和(5T)例2平移坐标轴，将坐标原点移至(5,-1),已知点。和。2在新坐标系下的坐标分别是和(3,4),求点2和Q2在原坐标系下的坐标。Xxl+h解根据坐标轴平移的坐标变换公式',设在原坐标系下的坐标为y=y+(x,y),则/=5"，即0在原坐标系下的坐标为件,一2)；同理，O2在原坐标系下的坐标为(8,5).例3平移坐标轴后，方程为f+V+2%一4y+l=0的圆，在某新坐标系下的方程是+=4,求新坐标系原点在原坐标系下的坐标。解将方程炉+V+2一4y+1=0配方变形得到(x+1)?+(y-2)2=4又因为该圆某新坐标系下的方程是x12+=4所以x+1=,y-2=y,根据坐标变换公式11，得到力=一1,左=2。J=y+%设新坐标系原点在原坐标系下的坐标为(x,y)根据坐标变换公式，'得到L即新坐标系原点在原坐标系下的坐y=y+Ay=2标为(一L2).坐标平移变换公式得两个主要应用：(1)己知原坐标系内一点求它在新坐标系内的坐标；已知一点在新坐标系内的坐标求它在原坐标系内的坐标.(2)利用坐标平移变换公式化简曲线的方程.练习2.L11 .平移坐标轴，将坐标原点移至(-2,-1)求6(0,1),鸟(2,1),巴(一2,-1),舄(5,-3)各点在新坐标系下的坐标。2 .在坐标平移下，点4一2,3)的新坐标是(一5,1),求原点。的新坐标应.3 .在Xoy坐标系中，直线/的方程是21一3一6=0,新坐标系中，/的方程是2x1-3yl=0,求原点O与新坐标(X,y)满足的关系.2.1.2坐标轴的旋转实例研究曲线的过程中，我们经常需要改换坐标系，有时候平移坐标系也不能很好的解决问题，这时候就需要尝试新的坐标系的变换方式。新知识本节我们来研究另一种常见坐标系的变换方式一一旋转。我们把只改变坐标轴的方向，而不改变原点的位置和单位长度的变换叫做坐标轴的旋转.下面我们研究同一个点在不同坐标系下的坐标之间的关系，如图2-2所示。在坐标系xy中设点P的坐标为(x,y),设OP所在直线的倾斜角为(06Z)o将坐标轴绕原点，按逆时针旋转角。(00')形成新坐标系苍。弘，设点P在新坐标系中的坐标为(,y),则X=IoHCoSa,y=OPsinax1=Fcosa-yx=QHSin(-6)根据两角差的正弦公式与余弦公式可得：x1=Pcos(a-)=0Pcosacos+IOHSinasin=XCoSe+ysin。y=OPsin(-。)=IOHSinacos-OPcosasin=ycos。TSin这样我们就得到了坐标轴的旋转变换公式：%=xcosO+ysin。(23)y=ycos。一XSine显然，坐标系XOy可以由坐标系玉Oy的坐标轴绕原点旋转-。得到的。由上式得x=xicos(-6)+yisin(-6)y=yiCoS(一夕)-x1sin(一夕)X=X1cos-y1sin即11(2-4)y=ylcos+xlsin一般地，可以证明对于任意的。和6,公式(2-3)和(2-4)仍然成立。知识巩固例4逆时针旋转坐标轴工，求4(-3,1),£(0,0),A(l,1),6(2,-3)各点在新坐标系下6的坐标。M=XCOSe+ysin6解根据坐标轴旋转的坐标变换公式4I,设4(-3,1)在新坐标系M=ycos。一XSine下的坐标为(,),则y . -XCos F y sin 66 . =ycos-xsn-即在新坐标系下的坐标为速二！士芭.同理，将鸟、巴和鸟的坐标分别代入坐标变换公式，就得到它们Z的在新坐标系下的坐标分别为：(0,0)、与L与和例5逆时针旋转坐标轴?，已知点。和。2在新坐标系下的坐标分别是(2,-1)和(3,-4),求点Ql和。2在原坐标系下的坐标。xx.cos-y.sin解根据坐标轴旋转的坐标变换公式41八”八，设。在原坐标系下的y=ycose+x1sin932 也、,2 P.x=x,cosy1sin144坐标为(x,y),则44,即Ql在原坐标系下的坐标为.y-ylcos-+x1sin同理，Q2在原坐标系下的坐标为<72 _叵2'2*例6在Xoy坐标系中，直线/的方程是(3石-2)x+(3+26)y+12=0,将坐标轴顺时针旋转(，求直线/在新坐标系Moy中的方程.解P(X,y)是直线/上的任意一点，设它在新坐标系Xoy下的坐标为(X,y).根据坐一！且，x=x.cos-y.sin-72%标轴旋转的坐标变换公式41，八，得到4Ly=ycos+x1siny=y-y因为尸（x,y）满足方程（3/一2）x+（3+26）y+12=0,即，（3/-2）（；%+乎y）+（3+2石）（；）,一日%）+12=0化简整理得2%一3M一6二0练习2.1.21 .逆时针旋转坐标轴求/?(3,1),4(1,2),(2,-1)各点在新坐标系下的坐标。2 .顺时针旋转坐标轴(，已知点Q1和Q2在新坐标系下的坐标分别是(2,-2)和(1,-2),求点Qi和Q2在原坐标系下的坐标。3 .在x0y坐标系中，直线/的方程是36X+2石y+6=0,将坐标轴逆时针旋转?，求直线/在新坐标系玉OX中的方程。课后练习习题A1 .平移坐标轴，将坐标原点移至(-2,3),求6(0,-1),£(一2),£(2,-1)，2(4,-3)各点在新坐标系下的坐标。2 .方程为f+y24+2y+l=0的圆，在某新坐标系下的方程是呼+墟=4,求新坐标系原点在原坐标系下的坐标。3 .逆时针旋转坐标轴用，求柩£1)，6(1,我,(一1,3)各点在新坐标系下的坐标。4 .逆时针旋转坐标轴亮，已知点2和。2在新坐标系下的坐标分别是(2,-血)和(1,-2),求点0和。2在原坐标系下的坐标。习题B1 .利用坐标轴平移，化简下列各方程：(1) x2+y2-8x+4y+l=0(2)÷v+2=l1692 .平移坐标轴，将坐标原点移至(-2,-1),求/+产+8戈一2y-19=0在新坐标系中的方程并画出新坐标轴和图形.3 .平移坐标轴，把坐标原点移至(2,1),然后再将坐标轴顺时针旋转工，求原坐标系4中的点在新坐标系中的坐标.2.2参数方程2.2.1 曲线的参数方程实例一艘轮船，从A地沿北偏东30°的方向向前航行，为了简单起见，我们做如下假设：(1)轮船在海面上沿直线航行。图2-3（2）轮船以速度VO匀速向前航行。我们把时间记为3轮船开始航行时，记t=0.现在来刻画轮船在t时刻所处的位置。我们以A地为坐标原点，正东方向为X轴正方向，正北方向为），轴正方向，建立平面直角坐标系如图23所示。分析：设时刻t时，轮船所在位置为点M（X,y）,显然M的坐标随着t的变化而改变。下面分别讨论x、y与t的关系。利用平面向量的知识，在X轴、y轴方向上分解轮船的速度向量VO可得：%=匕+3其中，唯、匕,分别表示速度向量Vo在X轴、y轴方向上的分向量，记忆、巳、匕为VoVx、Vy的大小，则VX=VoSin30°,Vy=VOCOS30°日n13即=5%'v>=vo由物理学知识可知，轮船在正北和正东方向分别作匀速直线运动，因此可得(atb)(1)上式是描述轮船航行路线的一种方程。想一想实例中船航行路线的普通方程是什么？新知识在给定的坐标系中，如果曲线上任一点的坐标x、y都是某个变数t的函数"'黑（atb）（2）y=g（f）并且对于t的每一个允许值，由（2）所确定的点M（x、y）都在这条曲线上，则（2）就叫做这条曲线的参数方程，t称作参变数，简称参数,相对于参数方程来说，直接给出曲线上点的坐标X、间关系的方程“（x，y）二°叫做曲线的普通方程C知识巩固'2例1请判断点（2,0）、（|制与是否在由参数方程.仁/（t为参数）确定的曲线上。解令x=2,得t=0,而此时y=0,于是点（2,0）在该曲线上；用类似的方法可以判断点在该曲线上，而点不在该曲线上。例2已知直线的参数方程为一Q为参数），则直线的斜率为:y=2-3r解由x=l+2,得I二乙2Y13将Z=代入y=2-3r,得到=1）3从而得到直线的斜率为-2.2新知识一般地，设。的圆心为原点，半径为1,如图，设OPO所在直线为X轴，以OPO为始边绕着点。按逆时针方向以匀角速度切作圆周运动，现在我们来建立质点P的坐标与时刻f的关系。（其中。为常数，E为变数），如图2.4所示.图2-4结合图形，由任意角三角函数的定义可知:X=COSdX一，t0,+）f为参数（3）y=sinw点户的角速度为口，运动所用的时间为f,则角位移8=函，那么方程组（3）可以改写为X=COSe0,+）。为参数（4）y=sin夕想一想方程（3）、（4）是否都是圆心在原点，半径为1的圆的方程？为什么？提示读者可以自行验证，圆心在点（。功），半径为r的圆，参数方程是X=a+cqs八八，/0,+）。为参数y=+rsin知识巩固1"F2cosg例3试把圆的参数方程化成普通方程。y=-3+2sin6解:x = l + 2cos6, 由，y = -3 + 2sin6;COSe =得,Sine =X- 2 丁 + 32Vsin2÷cos2=1（-）2+（I+）?=122直线,/ ® x = 2cos'（t为参数）被圆八y = 2sn9即（x-l）2+（y+3/=4.（。为参数）截得的弦长为解直线和圆的普通方程分别为：x+y-l=0,/+丁=4。圆心到直线的距离d=玉=与由勾股定理得，弦长的一半为小2二了=半，则弦长为实际运用中，常常需要将参数方程转化成普通方程.其核心是消去参变量，常用的方法是消元法.练习2.2.11.已知直线/经过点P（1,1）,倾斜角=6,直线/的参数方程为2.曲线的参数方程是X=I-Q为参数,t0),则它的普通方程为J=IT22.2.2常见曲线的参数方程除了直线和圆外，现实生活中一些常见的曲线，现将常见曲线的参数方程列表如下:曲线图像参数方程圆心在坐标原点，半径为R的圆茎X=Rcost口公业J，是参数y=RsinZM中心在原点，长轴为2a,短轴为2b的椭圆9x=acost,，是参数y=MinfcH圆的渐开线21Wx=6z(cosr+rsinr)日公生f是参数y=«(sinZ-ZcosZ)COa产£旋轮线:Q二/V<gW-sin。,是参数y=(l-8sf)练习2.2.2Y=cos×用描点法做出圆J的图形。X=Sinx课后习题习题A1.请判断点（0,2）、23,5是否在由参数方程2rX不2tr（t为参数）确定的曲线上。22.将下列方程化成普通方程:X=3+7/y=2-5t(2)X=3COSey=6sin63.求曲线，X=e,y=(e,-e,)y=2-3t（，为参数）与曲线X=+tt2y=-i-l+r%=3COs。y=5sin6的交点坐标.习题B1.已知直线/经过点P(1,2),倾斜角二竺，求该直线/的参数方程.3X-2f2.已知直线一(，为参数)与直线/2：2工一4=5相交于点8,又有点4一2,2),y=5+4f则IM=。2.3应用举例坐标系变换与参数方程，在机械加工与数控编程中有着重要的作用。我们就来看看几个具体的例子.新知识我们需要建立机床加工的坐标系，来定量的研究和描述数控机床上刀具相对工件的运动位置.数控机床有三个坐标系：(1)机床坐标系：是为了确定工件在机床上的位置、机床运动部件的特殊位置以及运动范围而建立的几何坐标系，是机床固有的坐标系，其坐标系原点叫做“机床”原点.(2)工件坐标系：是编程人员根据零件图样及加工工艺等建立的坐标系，目的是为了编程方便，也称为编程坐标系，此坐标系的原点称为工件原点，坐标轴的确定与机床坐标系坐标轴方向一致.将工件放到机床上，如图2-5所示.图2-5数控系统中描述运动轨迹移动量的方式有两种：绝对坐标系与相对坐标系.绝对坐标系是指所有坐标点均以某一固定原点计量的坐标系，点的坐标称为绝对坐标；相对坐标系是指运动轨迹的终点坐标相对于起点来计量的坐标系，点的坐标称为相对坐标，它是后一点相对于前一点的坐标。知识巩固例1如图2-6所示，点A,8位坐标中的两点，在绝对坐标系中，A,8两点的坐标分别为(x,yA)=(40,40),(4,%)=(15,20),如果现在以A为原点，建立相对坐标系，求点B的相对坐标.图2-6解将绝对坐标系中的点A,通过坐标平移变换成相对坐标系中的原点。那么，由公式（2-1）得=40-0,设点B的相对坐标为（x,y）则公式（2-2）得女=400x=15-40=-15y=20-40=-20即点B的相对坐标位为（-15,-20）.例2如图2-7所示，在机床坐标系中，将点A移动到点8,写出点A和点8的绝对坐标，以及点5在相对坐标系中的坐标.图2-7解根据绝对坐标的定义，由图2-7,容易得到,点A和点B的绝对坐标分别为（15,60）、（50,35）.设点B在相对坐标系中的坐标为（z,xp它的前一点是点A因此由公式（2-2）得到zz=50-15=35X7=35-60=-25即点B的相对坐标系中的坐标为（z,xp.例3已知点P、Q在机床坐标系中的坐标分别为（15,10.5）、（10,20）,现将点尸作为工件原点，建立工件坐标系内。再将工件坐标系逆时针旋转30后，形成新坐标系X2Oy2.求点Q在坐标系马。中的坐标.解设点Q在坐标系玉Oy中的坐标为（为,力），利用公式（2-2）得到X1=10-15=-5y1=20-10.5=9.5因此，点Q在坐标系玉OM中的坐标为（-5,9.5）.设点Q在坐标系X2Oy2中的坐标为(x2,y2)根据公式(2-3)得到x2=x1cos+MsinO=(-5)cos30+9.5sin30y2=Xcos-x1sin=9.5cos30-(-5)sin30x219-103得到>j2410 + 1934即点Q在坐标系O%中的坐标为J9T0G10 + 1934练习2.3在机床坐标系中，将点A（40,24）移动到点3（50,65）,写出点B的相对坐标.课后习题习题A1 .如图2-8所示，在机床坐标系中，将点A移动到点3,写出点A和点5的绝对坐标,以及点3在相对坐标系中的坐标.O 1355 Z2 .已知点A在机床坐标系和工件坐标系中的坐标分别为(15,32)、(60,45),求机床原点在工件坐标系中的坐标.3 .已知点A在机床坐标系和工件坐标系中的坐标分别为(45,35)、(20,35),求工件原点机床坐标系中的坐标.习题B1在机床坐标系中，将点P(14,56)移动到点Q(5,15),写出点。的相对坐标.2.已知点P、Q在机床坐标系中的坐标分别为(IoO,20)、(51,35),现将点尸作为工件原点,建立工件坐标系X1Oy1。再将工件坐标系逆时针旋转37后,形成新坐标系x20y2.求点Q在坐标系X2Oy2中的坐标.本章小结一、坐标轴的平移与旋转(1)只改变原点的位置，而不改变坐标轴的方向和单位长度的坐标系的变换叫做坐标轴的平移.(2)如果将原点。移到«(/),则有坐标轴平移的坐标变换公式：,.(3)只改变坐标轴的方向，而不改变原点的位置和单位长度的变换叫做坐标轴的旋转.(4)在坐标系XOy中，点P的坐标为(x,y),将坐标轴绕原点，按逆时针旋转角。形成新坐标系为。力，点P在新坐标系中的坐标为(X,y)。则有坐标轴的旋转变换公式：x1=XCoSe+ysin6yi=cos-xsin二、参数方程(1)在给定的坐标系中，如果曲线上任一点的坐标不、)，都是某个变数/的函数，并且对于，的每一个允许值，由J(a<tb)所确定的点(x、y)都在这条曲线上，.y=g(f)则方程组1'=")(1rb)就叫做这条曲线的参数方程，/称作参变数，简称参数。.y=g(f)(2)圆心在点(,田，半径为7的圆，参数方程是V6>0,+)为y=b+rsin0参数。本章复习题习题A1 .选择题(1)平移坐标轴，将坐标原点移至。1(2,-1)则点(2,5)在新坐标系下的坐标为().A.(0,4)B.(4,6)C.(0,6)D.(4,4)(2)平移坐标轴，将坐标原点移至(-3,1),已知点Ql在新坐标系下的坐标分别是则点0原坐标系下的坐标为().775A.(一不一2)B.(-,0)C.(0,1)D.(-,0)222(3)平移坐标轴后，方程为Y+y2-2-4y+l=0的圆，在某新坐标系下的方程是+yl2=4,求新坐标系原点在原坐标系下的坐标().A.(1,2)B.(1,-2)C.(2,1)D.(-2,1)(4)顺时针旋转坐标轴则点(1,2)在新坐标系下的坐标为().J-232+6、rJ+232-32222z2-31+2®z2-3l-3（2'2）（22）X=1+4/（5）直线一（f为参数）的斜率为（）.y=3-2t2 .填空题(1) 平移坐标轴，将坐标原点移至(4,3),方程V=3x+2在新坐标系中的方程为.(2)将坐标轴逆时针旋转工，则点(1,-3)在新坐标系中的坐标为2X=-(3)曲线的参数方程是I Q为参数,t。0)t2则它的普通方程为3 .利用坐标轴平移，化简方程f+y2+4+8y-5=0,并说出原方程代表什么曲线.4 .在XOy坐标系中，直线/的方程是3x+2y+6=0,将坐标轴逆时针旋转?，求直线/在新坐标系Xloy中的方程.5 .已知点%写在机床坐标系中的坐标分别为(11,13),(30,10),(65,50),现将点匕作为工件原点，求点A在工作坐标系中的坐标.习题B1.选择题(1)平移坐标轴,把原点移到(-2,3),那么在新坐标系中点PQ,-3),它在原坐标系中的坐标是()A(0,0)R(4,-6)C(-4,6)力以上都不是(2)点A在原坐标系中坐标为(0,m)(m0),坐标轴平移后,点A在新坐标系中坐标为(九0),则新坐标系的原点0,在原坐标系中的坐标为()A.(-m,nt)B.(jn,-m)C.(-m9-ni)D.(m,m)(3)在XQy坐标系中，直线/的方程是(2-3JJ)X+(26-3)y-12=0,将坐标轴顺时针旋转?，则直线/在新坐标系为0%中的方程().A.%2y-3=0B.2x3y-6=0C.32y6=0D.3x2y1=0_1%=2tFX=3cos9(4)直线421(t为参数)被圆4一'(6为参数)截得的弦长为().y=-i+-ty=3sin2亚r34万Ad.ZC.U.Z222 .填空题（1）顺时针旋转坐标轴?，已知点。在新坐标系下的坐是（2,-）,则点2在原坐标系下的坐标为.（2）曲线的参数方程是,则它的普通方程为.y=2sin8-33 .平移坐标轴，使新原点为Za）,直线3x-y+5=O变成了直蜴x-y+%=0,在新坐标系下,这条直线过点JU6）求力并写出平移公式4 .已知点尸的工件坐标为（12.5,10）,将工件坐标系旋转15后，形成新坐标系XOM.求点P在坐标系Xloy中的坐标.阅读材料最速降线在一个斜面上，摆两条轨道，一条是直线，一条是曲线，起点高度以及终点高度都相同。两个质量、大小一样的小球同时从起点向下滑落，曲线的小球反而先到终点。这是由于曲线轨道上的小球先达到最高速度，所以先到达。然而，两件之间的直线只有一条，曲线却有无数条，那么，哪一条才是最快的呢？伽利略与1630年提出了这个问题，当时他认为这条线应该是一条弧线，可是后来人们发现这个答案是错误的。1696年，瑞士数学家约翰伯努利解决了这个问题，他还拿这个问题向其他数学家提出了公开挑战。牛顿、莱布尼兹、洛比达以及雅克布伯努利等解决了这个问题。这条最速降线就是一条摆线，也叫旋轮线。意大利科学家伽利略在1630年提出一个分析学的基本问题“一个质点在重力作用下，从一个给定点到不在它垂直下方的另一点，如果不计摩擦力，问沿着什么曲线滑下所需时间最短。他说这曲线是圆，可是这是一个错误的答案。瑞士数学家约翰.伯努利在1696年再提出这个最速降线的问题（problemofbrachistochrone）,征求解答。次年已有多位数学家得到正确答案，其中包括牛顿、莱布尼兹、洛必达和伯努利家族的成员。这问题的正确答案是连接两个点上凹的唯段旋轮线。旋轮线与1673年荷兰科学家惠更斯讨论的摆线相同。因为钟表摆锤作一次完全摆动所用的时间相等，所以摆线（旋轮线）又称等时曲线。看一个稍微有点振奋人心的东东,JohannBernoulli对最速降线问题的beautiful解答：如果使分成的层数n无限地增加，即每层的厚度无限地变薄，则质点的运动便趋于空间A、B两点间质点运动的真实情况，此时折线也就无限增多，其形状就趋近我们所要求的曲线一一最速降线.而折线的每一段趋向于曲线的切线，因而得出最速降线的一个重要性质：任意一点上切线和铅垂线所成的角度的正弦与该点落下的高度的平方根的比是常数.而具有这种性质的曲线就是摆线.所谓摆线，它是一个圆沿着一条直线滚动（无滑动）时，圆周上任意一点的轨迹。因此，最速降线就是摆线，只不过在最速降线问题中，这条摆线是上、下颠倒过来的罢了.以上便是JohannBemOUIli当时所给最速降线问题的解答.当然，这个解答在理论上并不算十分严谨的.但是，这个解答所蕴含的基本观点的发展，导致了一门新的学科一变分学.最速降线问题的最终而完备的解答，需要用到变分学的知识.选自百度百科