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第四章逻辑代数初步逻辑代数又称为布尔代数，是开关电路与逻辑电路设计的重要依据，同时也是学习计算机相关知识的重要基础。应用逻辑代数可以使电路设计及程序开发简便化，能够解决很多实际的问题。本章主要介绍了二进制、逻辑变量、逻辑图与逻辑代数的运算律、卡诺图及其应用等内容。4.1二进制4.1.1二进制与十进制及其转换问题在生活中我们经常与数字打交道，当然数字有不同的计数方法，人们习惯使用十进制(decimal)的计数方法。那么什么是进制，生活中除了十进制还有其他的进制吗？新知识数制(numberSyStCm)是计数方法和进位规则的简称。人们习惯使用十进制(decimal)的计数方法，而在数字系统中多采用二进制(binary),有时采用八进制(OCtaI)或十六进制(Hexadecimal)e在本节课，我们主要在自然数范围内研究进位制。十进制数的数码符号(或数码)有十个，为0、1、2、3、4、5、6、7、8、9。我们将数码符号在数中的位置称为数位。每个数位上的可以使用的数码个数称为该计数制的基数。如，十进制数的每个数位上可以使用十个数码符号，所以十进制的基数是10。每个数位所代表的数称为“权”。十进制数低位和相邻高位之间的进位关系是“逢十进一”，第一位、第二位、第三位，它们的权分别是10。、10、IOL即，第立的权是10'。任意一个十进制自然数可以表示为(O)o=KjIOiZ=O即(D)=xrn.1onl+n,2o,2+.+kqio0(4-1)式中，D的下标10表示十进制的基数；i是字符在自左至右排起来的数列中的位置数;Kj是第位的系数，可以是09中任何一个数字符号；10'是第位的位数；知识巩固例1将十进制自然数(2568)o表示成它各个数位的数码与其权乘积之和的形式解根据公式(4-1)(2568)io=2×1O3+5×1O2+6×1O,+8×1Oo新知识目前，在数字电路中应用最广泛的是二进制。在二进制数中，每一位仅有0和1两个可能的数码，计数基数为2。低位和相邻高位间的进位关系是“逢二进一”。第一位、第二位、第三位，它们的权分别是2。、2、22.,即第,位的权是2，任意二进制自然数D可以表示为W-I2=Kg1=0即(D)2=Kn,l2n-Kn_22n-2+.+K020(4-2)式中，D的下标2表示二进制的基数；i是字符在自左至右排起来的数列中的位置数；Kj是第位的系数，可以是0,1中任何一个数字符号：2'是第位的位数;知识巩固例2将自然数(IOli1)2表示成它各个数位的数码与其权乘积之和的形式解根据公式(4-2)1()1ll=l×24+O×23+l×22+1×2'+l×20新知识例2中，我们已经得到lolll=IX24+0x23+1x22+1x2+1x2°,将这些数字计算出来，就把二进制数换算成了十进制数。l×24+0×23+l×22+l×2,+l×20=16+4+2+1=23即(IOlll)2=(23)101 .二进制数转换为十进制数的方法将二进制数按权展开后，将各乘积项的积算出来，再将各项积相加，就可得到等值的十进制数。那么，如何将十进制数换算成了二进制数呢？2 .十进制数转换成二进制数的方法：十进制整数转换成二进制数，用除以2取余数的方法(余数只有.。和1)。第一次除以2所得的余数是转换后所得的二进制数的最低位,第二次除以2所得的余数是转换后所得的二进制数的倒数第二位，以此类推，最后一次除以2且商为零时所得的余数是二进制数的最高位。3 在将十进制数23转换回二进制数：2余1最低位2°位232U余1一,位25八22位22AC23位余O2U一余124位0余025位按照从下往上的读取方向，我们得到：(23)i0=(1×24+0×23+1×22+1×2,+1×20)i0=(IOlll)2我们将两种进制的权罗列如下，见表4口。表4-1十进制与二进制的对照从右数的位数I76543210十进制的权I100000001000000100000100001000100101二进制的权1286432168421知识巩固例3将二进制数IlOlll转换成十进制数解先将二进制数IlOlll表示成它各个数位的数码与其权乘积之和的形式根据公式(4-2)有11O111=1×25÷1×24+O×23+1×22+1×2,+1×2o将上式右边求和得到(110111)2=(55)10例4将十进制数(37)o转换成二进制数最低位 2。位解用除以2取余数的方法求23722位21823位292424位2Ll25位按照从下往上的读取方向，我们得到：(37)io=(1×25+0×24+0×23÷1×22+0×2,+1×2o)io=(100lOl)2练习4.1.11 .将十进制自然数(1457)10表示成它各个数位的数码与其权乘积之和的形式2 .将二进制自然数(IIOlOI)?表示成它各个数位的数码与其权乘积之和的形式3 .将下列二进制数转换成十进制数(1) 1010(2)IOllOl(3)100014 .将下列十进制数转换成二进制数4. 8(2)28(3)1000(4)10015. 1.2二进制数的运算问题我们对十进制数的算术运算都是非常的熟悉，那么二进制数的算术运算是怎样的，如何求(UO)2+(111)2呢？新知识二进制数的算术运算比较简单，与十进制算术运算类似，它的基本运算是加法运算和乘法运算。二进制数的基数为2,低位和相邻高位间的进位关系是“逢二进一”.因此二进制数的加法运算法则为(1) 0÷0=0;(2) 0+1=1；1+0=1；(3) 1+1=10(逢二进一，向高位进位1).二进制数的乘法运算法则为(1) 0X0=0；(2) 0×l=l×0=0;(3) 1X1=1.想一想：二进制数的减法和除法运算法则是怎样的？知识巩固例5求(IOllOl)2+(1011)2的值.解根据二进制数的加法运算法则得IOllOl+IollIllOOO即(IOllOl)2+(1011)2=(IllOOO)2例6求(Iolo)2×(IOll)2的值.解根据二进制数的乘法运算法则得1010XIoII101010100000010IlOll10即(1010)2×(IOll)2=(1101110)练习4.1.21.计算下列各题(1) (IOl)2+(IO)22.计算下列各题(1) (IOl)2X(IOl)2(2) (HOl)2+(IOl)2(3) (101101)2+(IOlO)2(2) (1001)2×(lll)2(3) (110101)2×(1010)2课后练习习题A1 .将十进制自然数(2517)o表示成它各个数位的数码与其权乘积之和的形式2 .将二进制自然数(IIOuI1%表示成它各个数位的数码与其权乘积之和的形式3 .将下列二进制数转换成十进制数(1) Ill(2)1010101(3)100114 .将下列十进制数转换成二进制数(1) 5(2)15(3)1005(4)901习题B1.计算下列各题(1)(Ill)2+(IO)2(2)(111)2+(11)2(3)(IOlll)2+(IllO)22.计算下列各题(1)(IO)2X(Ill)2(2)(IOl)2X(Ill)2(3)(110101)2×(110)24.2逻辑变量4.2.1 逻辑变量与基本运算实例1849年，英国数学家乔治布尔(GeOrgeBooIe)首先提出了描述客观事物逻辑关系的数学方法，被称为布尔代数。由于布尔代数被广泛应用于解决开关电路和数字逻辑电路的分析和设计上，所以布尔代数叫做开关代数或逻辑代数。那么逻辑代数是如何解决开关电路和数字逻辑电路的分析和设计呢？新知识观察两个开关相串联的电路，如图4-1所示。由串联电路的性质容易知道，只有当开关A与B同时闭合时，电灯S才会亮；只要其中有一只开关没有闭合(4没有闭合或者8没有闭合)，或者两只开关都没有闭合，那么，电灯S不会亮。图41将开关A、8与电灯S的状态列表如下，见表4-2。表4-2开关A的状态开关8的状态电灯S的状态闭合闭合亮闭合断开不亮断开闭合不亮断开断开不亮容易看出，电灯S的状态取决于开关A、8的状态，它们之间具有逻辑关系.逻辑是指事物的因果关系，即事件的发生和决定该事件发生的条件之间的因果关系。开关A、B与电灯S的状态都只有两种情况。我们将这样的变量称为逻辑变量，用英文大写字母表示。逻辑变量只有两种取值“0”和“1”。这里的“0”和“1”称为逻辑常量，仅代表两种对立的不同逻辑状态，无数量上的大小关系。如灯的亮与灭、电路的通与断等。将开关“闭合”取值为“1”，“断开”为“0”；“灯亮”为“1”，“灯不亮”为“0”.表4-2可表示为表4-3.表4-3开关A的状态开关3的状态电灯S的状态111100010000当决定一件事情的各个条件全部具备时，这件事才会发生，我们将这样的逻辑关系称为与逻辑关系，在开关相串联的电路，如图4-1所示，只有当开关A与8同时闭合时，电灯S才会亮。我们把这种逻辑关系叫做逻辑变量A与逻辑变量8的“与”运算(或逻辑乘法运算)，若S就是A与8的结果，则把尸叫做A、8的逻辑积，记作A8=S(或A3=S),读作“A与B”或“A乘B”为运算符。其运算规则，见表4-4.表4-4ABA.B=S111.1=1101.0=0010.1=0000.0=0观察两个开关相并联的电路，如图4-2所示.图42将开关“闭合”取值为“1”，“断开”为“0”；“灯亮”为“1”，“灯不亮”为“0”.将开关A、8与电灯S的状态列表如下，见表4-5表4-5开关A的状态开关8的状态电灯S的状态111101011000当决定事件发生的条件至少有一个具备，这一事件就会发生。我们将这种逻辑关系称为或逻辑关系.当开关A与开关B至少有一个“合上”时，电灯电灯S就会亮.我们把这种逻辑关系叫做逻辑变量A与逻辑变量8的“或”运算（或逻辑加法运算），若S就是A或B的结果,则把尸叫做4、8的逻辑和，记作A+3=S（或AVB=S）,读作“A加B”或“A或B”,为或运算符。其运算规则，见表4-6。表4-6ABA+B=S111+1=1101+0=1010+1=100()+0=()想一想：表4-6中的1+1=1代表的是什么含义？观察电灯和开关相并联的电路，如图4-3所示。I将开关“闭合”取值为“1”，“断开”为“0”；“灯亮”为“1”，“灯不亮”为“0”.将开关A与电灯S的状态，见表4-7。表4-7开关A的状态电灯S的状态1OO1我们将事件的发生和条件的具备总是相反的逻辑关系称为非逻辑关系国条件具备时事件不发生，条件不具备时事件发生。当开关A“合上”时，电灯电灯S就不亮；当开关A“断开”时，电灯电灯S就亮.我们把这种逻辑关系叫做逻辑变量A的“非”运算，记作N=S。读作“A的非"，逻辑变量上方有符号""为非运算符。其运算规则，见表4-8表4-8AA=S11=0O0=1想一想：表4-8中的6=1和i=o代表的是什么含义？练习4.2.11 .逻辑代数又称为代数。最基本的逻辑关系有三种。2 .以下表达式中符合逻辑运算法则的是（）A.1+1=2B.1+1=10C.lO=lD.0=13 .填补表4-9的空白表4-9ABABA+BA.BA+B11100100422逻辑式与真值表实例上一节我们学习了逻辑变量A与逻辑变量8的“与”运算，“或”运算，还有逻辑变量4的“非”运算。如果已知逻辑变量A与逻辑变量8的取值，如何求式子助+A5的值？新知识我们将逻辑变量以及逻辑常量“1”、“0”经逻辑运算构成的式子叫做逻辑表达式，简称逻辑式，例如AD+B,AB,A+B,AB,ABAB,AB+1,0等都是逻辑式。如果对于逻辑变量的任何一组取值，两个逻辑式的值都相同，则称这两个逻辑式为等值逻辑式注意：逻辑常量“1”，“0”以及单个逻辑变量都看作是逻辑式.实数运算的先后顺序是“先乘除，后加减”.逻辑运算也有它的优先次序。逻辑运算优先次序依次为“非运算”，“与”运算，“或”运算，对于添括号的逻辑式，要先运算括号内的逻辑式.例如S=(A+B).A÷B的运算顺序应为：先计算(A+3),再计算7,然后计算(A+B)X,最后计算(A+B)/+豆.将实例中的逻辑变量A与逻辑变量B的取值代入逻辑式M+AE,就可以得到它的一个值(0或者1).列出A、3的一切可能取值与相应的的逻辑式社+A5的值的表，称为逻辑式M+A万的真值表，见表4-10。.表4-10ABAB+AB11O1O1O11OOO逻辑式的真值表是由逻辑变量所有可能取值的组合及其对应逻辑式的值所构成的表格.两个逻辑变量有22种可能的取值组合，三个变量有23种可能的取值组合，个逻辑变量有2取值组合。知识巩固例1真值表验证两逻辑式48+8和A§+/豆是否相等解列出真值表，见表4-11。表4-11ABABABAB+ABABIbAB+ABAB+AB111O1OOOO1OOOO11O1O1O11OOOOOOOOO1O11由表4-11可以看出，逻辑变量A,3的四种取值组合，两个逻辑式A8+AB和a5+N5的值都相等。故两个逻辑式是等值逻辑式，即A8+M=a5+NX例2证明A+C=AC解列出所要证等式左右两个逻辑式的真值表，见表4-12。表4-12ABCA+B+CA+B+CABCABC1111OOOOO11O1OOO1O1O11OO1OO1OO1OO11OO111O1OOO010101010001101100000011111由于逻辑式里有三个逻辑变量，因此有23=8种的取值组合。可以发现对于八种逻辑变量的取值情况，4+3+C与的值都相等,所以，4+8+C=,瓦成立.练习4.2.21 .用真值表证明等式A否+Nb=（A+8）（N+万）.2 .说说逻辑式与普通代数式有什么异同？课后练习习题A1 .当逻辑函数有n个变量时，共有（）个变量取值组合？A.nB.2nC.n2D.2"2 .判断下列命题1 .逻辑变量的取值，1比。大（）2 .若两个函数具有相同的真值表，则两个逻辑函数必然相等（）3 .因为逻辑表达式A+B+AB=A+B成立，所以AB=O成立（）4 .若两个函数具有不同的真值表，则两个逻辑函数必然不相等（）3填补表4-13的空白。表413ABABABA+BA.BAB+AB11100100习题B1 .画出逻辑表达式+C入的真值表2 .证明AB+BC+AC=AB.BCAC.4.3逻辑图与逻辑代数的运算律4.3.1逻辑图与逻辑函数实例：初中，我们学习了函数的概念：设有两个变量X和y,若变量X在其变化范围内任意取定一个数值时，变量y按照一定的法则总有确定的数值与它对应，则称y是X的函数，记作y=/(x).那么在逻辑代数里是不是也有函数的概念，它们又有什么区别和联系呢？新知识：我们将反映逻辑变量之间关系的函数称为逻辑函数。逻辑函数的自变量是逻辑变量称为输入逻辑变量，逻辑函数的因变量也是逻辑变量称为输出逻辑变量.它们的取值范围均为O和1。与普通代数相类似，逻辑函数可以写作y=(A8)其中，逻辑变量a、B为逻辑函数的自变量，逻辑变量y是逻辑函数的因变量，/是逻辑函数的对应法则。逻辑函数一般用逻辑式来表示，如Y=/(A,B)=A+AB想一想：逻辑函数与普通代数例的函数有什么异同？能够实现逻辑运算的电路称为逻辑门电路，简称门电路我们把能实现逻辑乘运算的电路叫做“与”门；我们把能实现逻辑加运算的电路叫做“或”门；我们把能实现逻辑非运算的电路叫做“非”门。“与”门电路、“或”门电路、“非”门电路为三种基本的逻辑门，它们的图示分别如图4-4中的(a)、(b)、(c)所示。(a)与逻辑门(b)或逻辑门(C)非逻辑门图4-4其中，A、8为输入变量，Y为输出变量。用门电路连接逻辑线路的图称为逻辑图。和普通代数例的函数一样，逻辑函数也可以用逻辑图来表示。画逻辑图的方法为按照逻辑运算的优先次序，顺次联结各门电路。知识巩固例1画出逻辑函数y=4耳+Z8的逻辑图。解按照逻辑运算的优先次序，顺次联结各门电路图示，如图45所示。图4-5函数Y的逻辑图例2写出如图4-6所示逻辑图的逻辑函数式。图4-6解图中的Yl应该为力以图中的丫2应该为6。，图中的丫3应该为因此逻辑函数式为：卜AB+B创AC练习4.3.11 .画出逻辑函数Y=A+X8的逻辑图。2 .写出如图4-7所示逻辑图的逻辑函数式。432逻辑代数的运算规律实例：以前我们学习的代数运算有加、减、乘、除、乘方、开方等多种运算，但是逻辑运算只有“与”、“或”、“非”三种基本逻辑运算。普通代数的运算有许多运算律，逻辑运数也有多种运算律。新知识三种基本逻辑运算的运算律，见表4-14。表4-14公式名称公式OT律40=0A+1=1自等律Al=AA+0=A重叠律A-A=AA+A=A互补律AA=OA+A=还原律A=A其他常用运算律，见表4-15表4-15交换律AB=BAA+B=B+A结合律A(BC)=(AB)CA+(B+C)=(A+B)+C分配律A(B-f-C)=AB+ACA+BC=(A+B)(A+C)吸收律1(A+B)(A)=AB+AB=A吸收律2A(A+B)=AA+AB=A吸收律3ACA-f-B)=ABA+AB=A+B多余项定律(A+B)(a+C)(B+C)=(A+B)(a+C)AB+AC+BCAB+fiC求反律(摩根定律)AB='A+'BA+B=AB表4-14和表4-15的运算律可以通过真值表进行验证。任何数学逻辑门电路都可以用逻辑函数来表示。逻辑表达式越简单，实现起来不仅节省器材，而且可靠性也会提高，所以我们要对逻辑函数进行化简。利用表4-11和表4-12的运算律可以化简逻辑式。化简逻辑函数的一般步骤：(1)去括号：将被加项中的括号去掉；(2)减项数：使被加项的项数最少；(3)减次数：基本逻辑变量出现的次数最少；运算律不仅可以用来化简逻辑式子，还可以用来证明逻辑等式。知识巩固例3化简下列逻辑式(1)Y=AB+AC+4石心(2)Y-AB+AB+AB解(1)Y=ABACABC=A(3+C)+A(B÷C)(摩根定律)=A(互补律)(2) Y=AB+AB+AB=AB+AB÷AB(交换律)=AB+AB+AB+AB(重叠律)=AB+AB+AB-AB(交换律)=A(B+B)+(A+A)B(分配律)=A+B(互补律)例4证明下列等式(1)A+8+C=AeCABC=A+8+C证明：(1)由摩根定律知汨而=无力，若将等式两端的8用8+C代替可得A+B+C=A+(+C)=A(B+C)=ABC即多个变量之和的非，等于各变量之非的积。(2)由摩根定律知丽=N+豆，若将等式两端的8用8C代替可得ABC=A-(C)='A+BC=A+B+C即多个变量之积的非，等于各变量之非的和。练习4.3.21 .化简下列逻辑式(1) ABC+AB(2)A(A+1)(3)AB+A+B2 .证明下列等式1 1)AB+AB+AB+AB=I(2)AB+BCD-VAC+BC=ABC课后习题习题A1.画出下列逻辑函数的逻辑图(1) BC+ AB(2)AB+AC(3)Y=(A+B)(A+B)C+BC2 .写出如图4-8所示逻辑图的逻辑函数式图4-8习题B1.化简下列逻辑函数(1)Y=ABC+ABC(2)Y=AB+CD+AB+CD(3) Y=B+AB+ABCD2.证明下列逻辑等式(1) AB+BD+Z)CE+DA=AB+D(2) AB-AB+BC=ABAC+AB4.4卡诺图及其应用4.4.1 逻辑函数的最小项表达式问题：对于给定的一个逻辑函数，它的表达式的形式多种多样，有没有一种表达形式用起来最方便？新知识对于个逻辑变量，如果P是一个含所有几个逻辑变量因子的乘积项，在P中每个变逻辑量因子都以原变量或者反变量的形式出现一次，且仅出现一次，则称尸是这个逻辑变量的逻辑函数的一个最小项.个逻辑变量一共有2个最小项，例如：逻辑变量A,B,C就有23个最小项.为了书写方便，给最小项进行编号，一般用叫表示第i个最小项：在输入变量顺序确定后，将某一最小项中的原变量记为1,反变量记为0,由此形成一个二进制数，此二进制数对应的十进制数即为i。三个逻辑变量A,B,。的23个最小项，对应的编号，对应的二进制数，见表4-16表4-16最小项最小项的编号二进制赋值ABC血0000ABCS001ABCW2010ABC叫OllABC恤100ABCmS101ABC叫110ABC叫Ill以三个逻辑变量为例，可以验证，最小项具有如下的性质：(I)对于任何一个最小项来说，只有一组逻辑变量的取值使得它的值为1,而在其它任何变量取值组合时，这个最小项的值为0(2) 23个最小项的逻辑和运算结果为1,即zw0+w1+/M2+W3÷w4÷W5+W6+n7=1(3) 23个最小项中的任意两个最小项的逻辑乘运算结果为0,即m,×m,=0(/j)(4)只有一个逻辑变量因子不同的两个最小项称为逻辑相邻的最小项.它们的逻辑和可以消去一个逻辑变量。例如砥+mxABC+ABC=AB(C+C)=AB任何一个逻辑函数都可以表示成唯一的一组最小项之和的形式,称为最小项表达式(“与-或"表达式)。例如f(A,BiC)=AB+AC=ABC+C)+AC(B+B)=ABC+ABC+ABC+ABC此式，由四项组成，每一项都是变量A,B,C的最小项，它们的编号分别为他即6，恤，叫这个表达式也可以写成/(A氏C)=M+M+Al6+M7=Z(l,3,6,7)知识巩固例1将逻辑函数丫=3+就+3e+4亍表示为最小项表达式.»f(A,B,C)=AB+BC+BC+AC=(C+C)+C(A+A)+C(A+A)+4C(B+B)=ABC+ABC+ABC+ABC+ABC+ABC+ABC+ABC=C+ABC+ABC+ABC+ABC+ABC=n3+n2+w5+n1+zn6+w4求一个逻辑函数的最小项表达式的步骤：(1) 将逻辑函数展开成“逻辑和”与“逻辑乘”的形式;(2) 将因子不足的项进行配项补足；练习4.4.1将下列逻辑函数表达式表示为最小项表达式(1) /(A,B,C)=AB+BC+BC+AC(2) /(AB,C)=ABC+A+B+C(3) /(A,B,C)=AB+AB+BC4.4.2卡诺图及逻辑函数的卡诺图表示实例：逻辑函数的表达式不同，对应的逻辑图也就不同。根据某种逻辑要求而归纳出来的逻辑表达式及其对应的逻辑图往往不是最简形式，这就需要对函数表达式进行化简。函数表达式越简单，所表示的逻辑关系越简明，实现电路就越简单新知识：将逻辑函数的每一个最小项用一小方块表示，再将这些小方块进行排序，使得相邻的两个小方块中的最小项是逻辑相邻的最小项，这样的图形称为最小项卡诺图,简称卡诺图.卡诺图也是一种特殊的真值表一一邻接真值表，几何相邻（在几何位置上，应将卡诺图看成上下、左右、四角闭合的图形）的小方格具有逻辑相邻性。下面是两个逻辑变量的卡诺图，如图4-9所示.00OOw0Olzw11IOw2lln3图4-9为了作图方便我们常常将卡诺图简画成如下形式，如图4-10所示。三个逻辑变量的卡诺图，如图4-11所示。播00OIlllomom113m2r411Bnrr6图4-11试一试：画出四个逻辑变量的卡诺图。新知识因为卡诺图的每一个小方格都唯一地对应一个最小项，所以要用卡诺图来表示某逻辑函数，可先将该函数转换成最小项表达式，再在表达式含有的最小项所对应的卡诺图小方格填入“1”，其余位置则填入“0”，就得到该函数所对应的卡诺图.如果已经画出逻辑函数的卡诺图，就可以写出逻辑函数的最小表达式。只要将填“1”的方格对应的最小项写出来，然后将各项相加。知识巩固例2作出逻辑函数Y=Kc+A豆C+AB的卡诺图表示解这是有三个逻辑变量A、B、C的函数，其中和和Ae两项不是最小项.利用公式A+=l将其化成最小项表达式之后才能填写卡诺图。Y=AC(B+B)+ABC+AB(C+C)=ABC+A-BC+ABC+ABC+ABC=ABC+ABC+ABC+ABC+AC=m1÷/z3+n5+w6+n7在三个逻辑变量的卡诺图中，将叫、砥、生、叫、阳7对应的小方格中填入“1”，其余的小方格填入“0”，就得到逻辑函数y=C+AC+AB的卡诺图，如图4-12所示。BC?0001111001100111图4-12例3根据下面的卡诺图，如图4-13所示，写出对应逻辑函数的最小项表达式.O11111O1图4-13解对应逻辑函数的最小项表达式为Y=ABC+ABC+ABC+ABC+ABC+ABC练习4.4.21 .作出下列逻辑函数的卡诺图(1) Y=AB+BC+AC(2)Y=ABC+BC+ABC2 .根据所给的卡诺图写出相对应的逻辑偶函数的最小表达式(1)(2)CDdN oo oi U io4.4.3利用卡诺图化简逻辑函数实例当逻辑函数的变量个数较少（不超过5个）时，卡诺图化简法是化简逻辑函数的有效工具。新知识由于卡诺图两个相邻最小项中，只有一个变量取值不同，而其余的取值都相同。所以可以合并相邻最小项，利用公式A+A=l,AB-hAB=Af可以消去一个变量；相邻的四个最小项,可以消去四个变量；相邻的8个最小项，可以消去3个变量，相邻的2各最小项，可以消去个变量，从而使逻辑函数得到简化。知识巩固例4逻辑函数Y=Z豆C+A5C+A4C的卡诺图，如图4-14所示.利用卡诺图化简该逻辑函数.图 4-14解在卡诺图中可用一个圈（卡诺圈）将相邻的1圈起来，观察左边的圈町与叫的最小项为彳瓦7和AC,只有变量A不同，合并N5C和A豆C即可消去A.观察右边的圈加6和4的最小项为ABG和ABC,只有变量C不同，合并可消去C。所以化简后的逻辑函数表达式为Y=BC+AB可以看出，在卡诺图中采用“圈1”的方法，能够方便的化简逻辑函数.利用卡诺图化简逻辑函数表达式，其基本步骤如下：(1)将逻辑函数写成最小项表达式；(2)按最小项表达式填卡诺图，凡式中包含了的最小项，其对应方格填1,其余方格填。；(3)在卡诺图中将相邻的1圈起来：圈内的相邻项，只能为2项、4项或8项；卡诺圈要尽可能少，因为卡诺圈越少，合并后的与项越少；有些方格可能多次被圈，但是每个圈内的方格至少有一个方格不是其他圈所圈过的.(4)消去各圈中以相反状态出现的变量；(5)写出化简后的逻辑函数表达式；例5利用卡诺图化简y=M+反t+3e+Ae解由4.4.1中的例1可知Y=AB+BC+BC+AC=ABC+ABC+ABC+ABC+ABC+ABC=w3+w2+n5+/W1+w6+rn4对应的卡诺图，如图4-15所示.图4-15观察图中的圈，叫与叫的最小项为N反:和?。，只有变量B不同，合并入豆C和KBC即可消去3：%与网的最小项为A否不和A否C,只有变量C不同，合并45不和A豆。即可消去C；牡和人的最小项为入和ABm，只有变量A不同，合并可消去4。所以化简后的逻辑函数表达式为Y=AC+AB+BC练习4.4.3用卡诺图化简下列逻辑函数(1) K=AC+BC+ABC(2) Y=AC+BC+C+ABC课后练习习题A1.将下列逻辑函数表达式表示为最小项表达式（1） Y=AB+BC-BC（2） Y=AB+BC+B2.作出下列逻辑函数的卡诺图（1） y=AB+BC+ABC（2）Y=ABC+B+BC习题B1.化简下列函数（1）Y=ABC+ABC+ABC（2） Y=ABC+A+B+C（3） Y=ABCD+ABD-ACD4.5逻辑代数的应用举例逻辑代数是分析和设计数字电路的基本数学工具，本节课就来看看它在生活实际中的一些应用。例1某一场运动比赛中，有三名裁判A8,C（认为合格为1,不合格为0）,其中A是主裁判.规定必须有包括主裁判在内的两名裁判认为运动员Y（合格为1,不合格为0）合格,才能发出合格信号。请写出这个逻辑关系式.解列出裁判A,8,C及运动员Y的真值表（表4-17）进行分析.表4-17ABCY11111101101110000110010000100000观察真值表，只有在三种情况下发出合格信号:（1）裁判AB,C均认为运动员合格;（2）裁判AC均认为运动员合格;(3)裁判A,B均认为运动员合格。即在三种情况下Y=I成立：(1) ABC=I成立；(2) ABe=I成立；(3) AC=I成立；因此，逻辑关系式为Y=ABC+A8e+A5C.例2设计一个电路，由三个开关AB,C(闭合为1,断开为0)控制一盏电灯S(灯亮为1,不亮为0),当至少有两个开关闭合时，灯S才能亮.写出这个电路的逻辑关系式并画出逻辑图.解列出开关4,RC及灯S的真值表，见表4-17。表4-17ABCS111111O110111000O1110100001O00OO观察真值表，只在四种情况下等S才亮，可以得到逻辑关系式为S=ABC÷ABC+ABC+ABC我们知道逻辑关系越简明，实现电路就越简单，我们用卡诺图来简化上述逻辑关系式。画出对应的卡诺图，如图4-16所示.BCM(HIIIOOOO0(工9图4-16根据卡诺图，逻辑关系式S=ABC+ABC+ABC+ABC可以化简为S=AB+BC+AC画出逻辑图，如图4-17所示图4-17有上面两个题看出，用逻辑代数解决这类实际问题的基本步骤为：（1）搞清楚全部的逻辑关系及设计要求；（2）列出各逻辑变量及逻辑函数的真值表；（3）导出符合设计要求的逻辑关系式；（4）利用逻辑运算的运算律或者做出对应的卡诺图进行化简；（5）做出逻辑关系式的逻辑图。例3已知某逻辑函数y=（A,8,C）对应的真值表，见表4-18。写出并化简这个逻辑函数的表达式，再画出逻辑图.ABCYOOOOOO11O1OOO1111OOO1O1O11O11111解观察表4-18,可以得到逻辑表达式为r=(AB,C)=ABC+ABC+ABC+ABC利用卡诺图来化简上述逻辑表达式，作出对应的卡诺图，如图4-18所示.图418观察上面的卡诺图，得到化简后的逻辑表达式为Y=/（AB,C）=AB÷AC作出化简后的逻辑表达式的逻辑图，如图419所示.图4-19例4一个公司要通过表决来确定一个新的企划案是否可行，要求董事会高层领导甲、乙、丙三人中至少要有两个人同意，则新的企划案通过表决；但是甲还有否决权，只要甲不同意，则不能通过。写出逻辑关系式，画出逻辑图。解设A,8,C为逻辑变量（同意为1,不同意为0）分别表示甲、乙、丙三人，y表示企划案（通过为L不通过为0）。根据已知的设计要求得到逻辑关系式为Y=ABC+ABC+ABC化简得Y=AB+AC逻辑图，如图420所示图4-20课后练习习题A1 .设计一个保险柜的锁，它有A,8,C三把不同的钥匙，要求没有钥匙4,该锁打不开；如果有了A锁，至少还要有钥匙仇C中的一把，才能将