精品解析：第一章集合与常用逻辑用语讲核心（解析版）.docx

第一章集合与常用逻辑用语1 .元素与集合(1)集合中元素的特性：、.(2)元素与集合的关系：如果是集合力的元素，就说集合4记作:如果不是集合力中的元素，就说集合4记作.(3)集合的表示方法：列举法、描述法、图示法.(4)常用数集及其记法：数集非负整数集(或自然数集)正整数集整数集有理数集实数集复数集符号N或(N+)ZQRC注：图表中所列举的字母符号均是集合的形式，不要加,这是因为便不是实数集，它表示一个集合，该集合中只有一个元素R.【答案】.确定性.互异性.无序性.属于.q4.不属于.aA.N【解析】【分析】略【详解】略故答案为：确定性；互异性；无序性；属于；aeA；不属于；N.2 .集合间的基本关系文字语言符号语言记法子集集合4中的任意一个元素集合B中的元素A=x三B(或)真子集集合A是集合B的子集，但B中存在元素AAGB,且mxoB,XOAAB(或8Z)相等集合/的任何一个元素都是集合8的元素，同时集合8的任何一个元素都是集合力的元素AQB,RBQA空集不含任何元素的集合x,x0,QA,0-B(80)注：(1)子集的传递性：AGB,BGC,则4GC(2)子集个数：对于有限集合4,其元素个数为，则集合Z的子集个数为2”,真子集个数为21,非空真子集个数为2,2.【答案】.都是.AQB.B2A.不属于.A=B.0【解析】【分析】根据集合的包含关系即可求解.【详解】集合力中的任意一个元素都是集合8中的元素，记为力£8或83人集合4是集合8的子集，但8中存在元素不属于4,记为B或8A；集合4的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合8的任何一个元素都是集合力的元素，记为月=B;不含任何元素的集合，记为0.故答案为：都是AQB BnA不属于A=B 0.3.集合的基本运算文字语言符号语言图形语言记法并集由所有属于集合/集合B的元素组成的集合小Z,或x三B交集由所有属于集合/集合B的元素组成的集合xxA,且x三B补集由全集。中集合Z的所有元素组成的集合小U,且xL0【答案】.或属于.4UB.且属于.408.不属于.jA【解析】【分析】根据集合的包含关系和集合的运算即可求解.【详解】由所有属于集合力或属于集合8的元素组成的集合，记为力U历由所有属于集合且属于集合8的元素组成的集合，记为48:由全集U中不属于集合4的所有元素组成的集合，记为电/.故答案为：或属于AUB且属于ACB不属于电力.4 .集合运算性质(1)并集运算性质：4UB34；4UB3B；AUA=A;JU0=J;AUB=BUA.(2)交集运算'性质：ACBQA;ACBQiACA=Ai%110=0;ACB=BCA.(3)补集运算性质：411(CU4)=0,JU(CU4)=U,CU(CuA)=A.(4)重要等价关系：AnB=A=AEBoAUB=B;AClB=AUB<=>A=B.5 .元素个数记含有限个元素的集合48的元素个数为cs(N),cm(6),贝J:Wd(AUB)=card(J)+card(5)card(J).6 .德摩根定律又称反演律，即G7(411B)=(CuA)U(CuB),G7(NUB)=(CuA)(CuB).7 .五个关系式AQB,ACB=AfAUB=B,CljBqCU4以及An(CUB)=0是两两等价的.4 .充分条件、必要条件与充要条件如果P=/则称P是g的,g是P的.一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件；每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件；每一条数学定义都给出了相应数学结论成立的一个充要条件P是9的充分不必要条件记作一且P是9的必要不充分条件记作.且P是9的充分必要条件（简称充要条件）记作P是g的既不充分又不必要条件记作一且【答案】.充分条件.必要条件.p=夕.夕4p.p4q.q=p.POq.p4夕.qip【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义即可求解.【详解】P=%则称P是q的充分条件,夕是P的必要条件;P是9的充分不必要条件，记作P=夕且夕4p;P是g的必要不充分条件，记作p4夕且夕=P；P是9的充分必要条件(简称充要条件)，记作p=q;P是9的既不充分又不必要条件，记作p4夕且夕&p.故答案为：充分条件必要条件P=夕qipPlq夕=PPOqPIqqip.答案：5 .全称量词与存在量词(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做,并用符号“''表示.含有全称量词的命题，叫做.全称量词命题”对M中任意一个X,P(x)成立"可用符号简记为.(2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个“在逻辑中通常叫做,并用符号F”表示.含有存在量词的命题，叫做.存在量词命题“存在Af中的元素X,p(x)成立"可用符号简记为.【答案】.全称量词.全称量词命题.xM,p(x).存在量词.存在量词命题.3xM,p(X)【解析】【分析】根据全称量词和存在量词的定义即可求解.【详解】全称量词：短语“所有的”“任意一个''在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“V”表示.含有全称量词的命题，叫做全称量词命题.全称量词命题“对”中任意一个X,p(x)成立"可用符号简记为xM,p(X)；存在量词：短语“存在一个"至少有一个“在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号T”表示.含有存在量词的命题，叫做存在量词命题.存在量词命题“存在M中的元素X,p(X)成立"可用符号简记为mxM,p(x).故答案为：全称量词全称量词命题x三>p(x)存在量词存在量词命题3x,p(X).10.全称量词命题和存在量词命题的否定(1)全称量词命题的否定全称量词命题否定结论x,p(X)mWp(x)全称量词命题的否定是存在量词命题(2)存在量词命题的否定存在量词命题否定结论3xM,p(X)VvWA/,p(X)存在量词命题的否定是全称量词命题11.充分、必要条件的传递性若P是g的充分(必要)条件，夕是的充分(必要)条件，则P是的充分(必要)条件.12 .以下说法等价p=q;P是9的充分条件；夕是P的必要条件；p的一个必要条件是q；q的一个充分条件是p.13 .关键量词的否定(1)常用全称量词的否定每一个所有的个也没有任意存在一个有的至少有一个存在(2)常用存在量词的否定至少有个至多有一个存在至多有n1个至少有两个任意(3)一些常见判断词的否定是一定是都是大于小于不大于不是不一定是不都是小于或等于大于或等于大于14 .充分、必要条件与集合间的关系：集合4=x(x),B=xq(x),则：(1)若4=B,则P是夕的充分条件；(2)若B=4,则P是夕的必要条件：(3)若4日5,则P是夕的充分不必要条件；(4)若8*4,则P是夕的必要不充分条件；(5)若彳=4,则P是夕的充要条件；(6)若48且4B,则P是夕的既不充分也不必要条件.用描述法表示集合，先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他类型的集合，要知道=/(X),My=f()，(%，yy>y=/()三者是不同的.弄清代表元素的含义后，再依据元素特征构造关系式解决问题.【例题】6.给出下列关系：;R：J5iR；一3N;JJQ.其中正确的个数为()A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】【分析】根据给定信息，利用元素与集合的关系判断作答.【详解】显然L,都是实数，正确，错误；2|-3|=3是自然数，正确；I-JJI=J是无理数，不是有理数，错误，所以正确的个数为2.故选：B7 .设集合屈=2加-1,加一3,若-3M,则实数加=()A.OB.-1C.O或-1D.O或1【答案】C【解析】【分析】根据元素与集合的关系，分别讨论2加-1=-3和加-3=-3两种情况，求解加并检验集合的互异性，可得到答案.【详解】设集合M=2m-1,加一3,若-3,.-3,.2m-1=-3或加一3=一3,当2m-l=-3时，冽=,此时M=-3,4；当a-3=3时，W=O,此时Al=-3,1；所以1=-1或0.故选：C【练习题】8 .已知集合-N,qN,用列举法表示M=.I5-。J【答案】2,3,4【解析】【分析】由一9-N,N直接求解.5-a【详解】根据题意，5-。应该为6的因数，故可能取值为1,2,3,6,其对应的值分别为：4,3,2,-1.又N,所以。的值分别为：4,3,2.故集合M=2,3,4.故答案为：2,3,4l-9.已知集合4满足x4,-EA,若3,则集合4所有元素之和为（）【答案】C【解析】1+X【分析】根据x4,4,代入元素依次计算得到答案.【详解】集合X满足DX4,3Z,故9=-24,L4=-!,=!4,711j二34,故4=-2,-5,5,3,2117则集合/所有元素之和为：2+3=.326故选：C10 .已知集合4=H#3x+2=0的元素只有一个，则实数4的值为（）9D.无解C.'或08【答案】C【解析】【分析】集合A有一个元素，即方程分2一3工+2=0有-解，分=0,a0两种情况讨论，即可得解.【详解】集合A有一个元素，即方程分2一3工+2=0有一解，,符合题意,当0时，G2-3x+2=0有一解,9则A=98a=0,解得：a=-O9综上可得：4=0或。=一，O故选：C.【易错题小练习】11 .集合A=,b,c中的三个元素分别表示某一个三角形的三边长度，那么这个三角形一定不是（）A.等腰三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.钝角三角形【答案】A【解析】【分析】根据集合中元素的互异性可得答案.【详解】根据集合中元素的互异性得。工6,bc,4Wj故三角形一定不是等腰三角形.故选：A12 .已知集合Z=l,3,0,B=3,m2f若8=4,则实数机的值为（）A.0B.1C.1D.y/3【答案】ABC【解析】【分析】由集合B与集合A的关系，对选项依次辨析即可.【详解】对于A,m=0时，8=3,0,有Bu4,故选项A正确；对于B,7=1时，B=3,1,有Bq4,故选项B正确：对于C,出=-1时，8=3,有B±A,故选项C正确；对于D,/=Q时，=3,集合3不满足集合元素的互异性，故选项D不正确.故选：ABC.判断集合关系主要有两种方法：一是化简集合，二是列举或数形结合.已知两个集合之间的关系求参数时，要根据集合间的关系来确定元素之间的关系，须关注子集是否为空集.一般地，当集合为有限集时，往往通过列方程或方程组来处理，此时需注意集合中元素的互异性，当集合为连续型无限集时，往往借助数轴列不等式或不等式组来求解，要注意运用分类与整合、数形结合等思想方法，尤其需注意端点值能否取到.【例题】13 .已知集合4=4,x,2y,B=-2,x2A-yf若4=8,则实数X的取值集合为（A.-l,0,2B.-2,2C.-l,0,2D.-2,1,2【答案】B【解析】【分析】根据集合元素的唯一性分类讨论即可.【详解】因为4=8,所以一24当=-2时，2y=l-y,得y=；当2y=-2时，贝Jx=2.故实数X的取值集合为-2,2.故选：B14 .设M=IXX=左Z,N=x卜=攵+g,ZZ»,则（）A.MNB.NMC.M=ND.MCN=0【答案】B【解析】【分析】分别分析两个集合中的元素所代表的意思即可判断选项.【详解】解：因为工=4+；=；（2k+1）,因为左Z,所以集合N是由所有奇数的一半组成，而集合M是由所有整数的一半组成，故NM.故选：B15 .集合4=xx-7<0N.,则4=yBN,y力的子集的个数为（）A.4B.8C.15D.16【答案】D【解析】【分析】先求出A,再找出A中6的正约数，可确定集合8,进而得到答案.【详解】集合4=-7<0,xN=xx<7,xN*=l,2,3,4,5,6,8二3(N*,ym=l,236,故8有24=16个子集.故选：D.【练习题】16 .已知集合4=l,b,B=aa,abf若A=B,则/必+/°?°=.【答案】-1【解析】【分析】利用集合相等即可得出结果.【详解】由元素的互异性可得06l,当=1时，a2=b,解得=l,舍去；当02=1时,=-l,此时4=1,-l,b,3=LT,-b,此时A=B需要满足b=-b,即b=O；2021,»20201a+o=-1.故答案为：-L17 .已知集合“满足2,3qMql,2,3,4,5,那么这样的集合M的个数为()A.6B.7C.8D.9【答案】C【解析】【分析】根据集合的包含关系一一列举出来即可.【详解】因为2,31M=1,2,3,4,5,所以集合M可以为：2,3,1,2,3,2,3,4,2,3,5,1,2,3,5,1,2,3,4,2,3,4,5,1,2,3,4,5共8个,故选：C.18 .已知集合4=6,4，%的所有非空真子集的元素之和等于9，则q+&+%=()9A.1B.2C.3D.-4【发】C【解析】【分析】先写出集合4=q,4,4的非空真子集，从而得到方程，计算出结果.【详解】集合4=q,。2国的非空真子集为q-%1%/%，?/%，?/%，所以3%+3&+3%=9,解得：a1+a2+a3=3.故选：C【易错题小练习】19.已知集合力=x|-3x4,8=x|2加一lx加+l,且8仁4,则实数机的取值范围是【答案】-1,+8）【解析】【分析】分B为空集和不是空集两种情况，根据集合建的包含关系得到不等式（组）求解.【详解】解：分两种情况考虑：若8不为空集，可得：2加一1加+1,解得：加2,.Bq4,4=xI-3x4,二.2加一1一3且2+14,解得：-lw3,所以一lm2,若5为空集，符合题意，可得：2加一lm+l,解得：m2.综上，实数机的取值范围是m-l故答案为：-1,+8）.20 .已知集合4=Jx-2卜8=xxa,若AqB,则的取值范围为（）A.a2B.a2C.a0D.a0【答案】A【解析】【分析】先根据定义域求出=xx2,由4g8得到。的取值范围.【详解】由题意得x-20,解得x2,故4=xx2,因为=8,所以2.故选：A集合的运算问题，一般要先研究集合中元素的构成，能化简的要先化简，同时注意数形结合，即借助数轴、坐标系、韦恩()图等进行运算，还要注意延伸知识的考查.集合运算中的求参数问题，首先要会化简集合，因为在高考中此类问题常与不等式等知识综合考查，以体现综合性，其次注意数形结合(包括用数轴、韦恩(忆川?)图等)及端点值的取舍.(一)交、并、补运算【例题】21 .已知集合U=1,2,3,4,5,6,M=2,3,4,N=4,5,则1,6=()A.MuNB.MCNC.4，(MUN)D.¾(M7V)【答案】C【解析】【分析】根据集合的交并补运算，即可求解.【详解】MUN=2,3,4,5,且U=1,2,3,4,5,6,所以O(MUN)=1,6.故选：C【练习题】22 .设集合4=H-l<x<2,8=xN0x<3,则4118=<)A.1B.0,1C.1x0x<2D,x-l<x<3【答案】B【解析】【分析】根据交集定义直接求解即可.【详解】-A=x-<x<2f5=xN0x<3=0,l,2,.JnB=0,1.故选：B.23 .己知集合4=xN-lx3,8=2,4,则4uB=()A.1,2,3B.1,2,3,4C.0,l,2,3,4D.-1,0,1,2,3,4【答案】C【解析】【分析】根据描述法表示的集合可得4=0,1,2,3,再利用并集运算即可得出结果.【详解】由题可知Z=xN-lx3=0,l,2,38=2,4；根据并集运算可得4U8=0J2,3,4,故选：C.24 .已知集合4=xy=2x,xR,8=（x,y）y=x+l,x,yR,则（）A.AnB=1,2B.B=（1,2）C.Z=B=RD.AryB=0【答案】D【解析】【分析】判断集合48的元素类型，根据集合交集运算的含义，可得答窠.【详解】由题意可知集合4=xy=2x,xcR为数集，集合B=（x,y）仅=x+l,x,yR表示点集,二者元素类型不同，所以c5=0,故选：D.25.已知全集U=xx<9,xN,集合彳=3,4,5,B=4,7,8.求：（1） ACB；（2） AuB;（3）（物4）c（/）.【答案】（1）4（3） 3,4,5,7,8（4） 0,1,2,6【解析】【分析】（1）根据交集概念进行计算；（2）根据并集概念进行计算；（3）先求出赖，u8,进而求出答案.【小问1详解】J5=3,4,54,7,8=4:【小问2详解】4UB=3,4,54,7,8=3,4,5,7,8.【小问3详解】C/=xX<9,XN=0,1,2,3,4,5,6,7,8,故药4=0,l,2,6,7,8,电8=0,l,2,3,5,6,（秒I）C（M）=0J2,6.（二）由集合的运算求参数【例题】26 .已知集合4=1,3,。2,=l,a+2,ZDB=力，则实数。的值为（）A.2B.-l,2C.L2D.0,2【答案】A【解析】【分析】由题设知8U力，讨论。+2=3、q+2=q2求。值，结合集合的性质确定。值即可.【详解】由uB=力知：B=4,当+2=3,即=l,则/=>与集合中元素互异性有矛盾，不符合；当q+2=q"即。=T或=2,若=T,则/=1，与集合中元素互异性有矛盾，不符合；若=2,则4=1,3,4,8=1,4,满足要求.综上，a=2.故选：A27 .已知全集U=R,4=xx2或x,8=x0<xv5.（1）当=l时，求4cB，AuB，（2）若NnB=8,求实数。的取值范围.【答案】（1）cB=xlx<5,4u8=xxT或x>0,（电4）门8=x0<x<1(2)47或<0【解析】【分析】（1）代入。=1,再根据交，并，补的定义求解即可；（2）由NnB=B得到3u4,根据集合的关系可得实数。的取值范围.【小问1详解】当Q=I时，4=xkw-l或l,J=x-l<x<lj,又5=x0<xv5,/.JnB=1xlx<5,uB=xx-l或X>0,（电X）CB=x0VXV1；【小问2详解】若=则8q4,。-25或0,.7或4O.【练习题】28 .设全集U=R,M=x3a<x<2a+5fP=x-2x1.若=0,求A/）cP.（2）若MRP,求实数a的取值范围.【答案】（QM）nP=x-2x0;（71、（2） 一8、U-,+.2|_3J【解析】【分析】（1）利用集合的补集和交集的运算知识即可求解.(2)求出电/，MRF,分M=0,M0,两种情况讨论，根据集合的运算求解即可.【小问1详解】当=0时，/=x10<X<5,P=R-2xl,所以e=xxO或x'5,(¾)nP=x-2x0；【小问2详解】全集U=R,P=x-2xf=xx<-2或X>1,*:MP,分M=0,0,两种情况讨论.（1）当蛊时，如图可得,3a<2a+5(3a<2a+5或2。+5-23a1/.a钎2或、a<5；23（2）当M=0时，应有：32+5,解得5;71综上可知，.或-,23（711、故得实数。的取值范围一8,-二UT,+.I2329.已知R为全集，集合=xl<x<7,集合8=H+l<x<2+5.(1)求(2)若4c8=x3vx<7,求实数Q的值.【答案】(1)QN=xxl或x7;（2） a=y/2.【解析】【分析】（1）根据补集的定义求解即可；（2）根据交集的定义求解即可.【小问1详解】解：因为R为全集，集合4=xl<x<7,所以，4=xxl或）7;【小问2详解】解：因为4=xl<x<7,集合B=H+<v2+5,4c8=x3<x<7,2所以+=,解得=J5.20+57【易错题小练习】30.已知集合4=x2+lx3-5,8=xx<-1或x>16.（1）若A为非空集合，求实数。的取值范围;(2)若力118=4,求实数。的取值范围.【答案】(1)a6(2)。<6或。>2【解析】【分析】(1)由条件可知，2+l34-5,即可求解不等式;(2)分4=0和/H0两种情况，列不等式求解.【小问1详解】若A为非空集，则2+l34-5,解得：46;【小问2详解】若力口4=%，则Nq8,当/=0时，24+l>34-5,解得：。<6,当月W0时，24 + l 3a - 53a-5<-l解得：02a + 3a-52 + l>16解得：a > 2所以实数。的取值范围是6或。>一231.已知4=x-2x3,B=xa-2<x<3a,全集U=R(1)若=2,求力(4,8);(2)若求实数。的取值范围.【答案】(1)rc%3)=H-2x0(2)(-,-lu,l【解析】【分析】(1)根据交集与补集的运算求解即可；(2)分5=0与8/0由条件列不等式求范围即可.【小问1详解】当=2时，8=x0<x<6,所以电5=xx0或x6,又N=x-2x3,所以c(a,B)=x-2x.【小问2详解】由题可得：当8=0时，有a23",解得。的取值范围为(-8,一小a-2<3a当Bh0时有<-2-2,解得。的取值范围为0,1,3a<3综上所述的取值范围为(-8,-1u0.韦恩(旅川?)图能更直观地表示集合之间的关系，先分析集合关系，化简集合，再由韦恩(出)图所呈现的集合关系进行运算.【例题】32 .已知集合”=xx(x-2)<0,N=xx-l<0,则下列Verm图中阴影部分可以表示集合【解析】【分析】根据一元二次不等式的解法，结合四个选项的Venn图逐一判断即可.【详解】x(x-2)<0=>0<x<2,x-l<0>x<l,选项A中Venn图中阴影部分表示11N=(0),不符合题意；选项B中Venn图中阴影部分表示即(MnN)=1,2),符合题意；选项C中Venn图中阴影部分表示6N(MnN)=(-,0,不符合题意；选项D中Venn图中阴影部分表示MUN=(-8,2),不符合题意，故选：B33 .集合U=xx10且xN,AqU,BaJ,且nB=4,5,a8)c4=1,2,3,(桐)c(*)=6,7,8,则8=()A.4,5,6,7B.4,5,6,9C.4,5,9,10D.4,5,6,9,10【答案】C【解析】【分析】根据已知条件利用Veml图进行求解即可.【详解】作出Venn图如图所示，则4=1,2,3,4,5,B=4,5,9,10.故选：C.【练习题】34 .设全集U及集合M与N,则如图阴影部分所表示的集合为()A.McNB.MuNC.名MnND.d(MUN)【答案】D【解析】【分析】根据集合并集，补集的定义即可判断.【详解】依题意图中阴影部分所表示的集合为电，(MUN).故选：D.35 .如图,两个区域分别对应集合48,其中4=-2,-1,01,21=k£M“<4.则阴影部分表示的集合为()A.,l,2B.,lC.-2,1,2D.-2,-l)【答案】D【解析】【分析】根据题意表示出集合,将集合中元素还原到图形中,即可得到结果.【详解】解:由题意知,4=-2,-LO,l,2,8=xNk<4,阴影部分表示的集合为/n电石，因为6=xNk<4=0J2,3,所以nd,8=-2,-l.故选:D36.向某50名学生调查对48两事件的态度，其中有30人赞成4其余20人不赞成出有33人赞成8,其余17人不赞成8；且对48都不赞成的学生人数比对4B都赞成的学生人数的三分之一多1人，则对A,8都赞成的学生人数为.【答案】21【解析】【分析】根据给定条件利用集合并结合Venn图列出方程求解作答.【详解】记赞成4的学生组成集合出赞成8的学生组成集合8,50名学生组成全集U,则集合4有30个元素，集合B有33个元素.设对48都赞成的学生人数为工，则集合电(4U8)的元素个数为：+1,如图，(X2.x由Venn图可知，(30X)+(33-X)+x+11-1=50,即14=0,解得X=21,13J3所以对力，8都赞成的学生有21人.故答案为：21.【例题】37 .给定集合S=1,2,3,4,5,6,7,8,对于xwS,如果x+1史S,x-1任S,那么X是S的一个“好元素”，由S的3个元素构成的所有集合中，不含"好元素''的集合共有个.【答案】6【解析】【分析】根据题意，要使S的三个元素构成的集合中不含好元素，只要这三个元素相连即可，所以找出相连的三个数构成的集合即可.【详解】若不含好元素，则集合S中的3个元素必须为连续的三个数，故不含好元素的集合共有1,2,3,2,3,4,3,4,5,4,5,6,5,6,7,6,7,8,共有6个.故答案为：6.38 .定义集合4G>5=xx4且X纪8,已知集合4=-3,-2,2,3,3=-3,-1,1,2,则力8=()A. -3,2C. -2,3D. 0【答案】C【解析】【分析】根据集合新定义即可求解.【详解】因为集合力B=xXWZ且X昼团，A=-3,-2,2,3,B=-3,-1,1,2,所以45=-2,3故选：C【练习题】39 .定义集合*8=zz=中,x4'e8,设集合4=T,O,1,5=-1,1,3,则力*3中元素的个数为（）A.4B.5C.6D.7【答案】B【解析】【分析】根据集合的新定义求得4*8,从而确定正确答案.【详解】因为4=一l,O,l,B=-1,1,3，所以*8=-3,T（M,3,故4*B中元素的个数为5.故选：B.40 .定义集合Z+B=x+Hx4且y8.已知集合/=2,4,6,B=-l,l,则4+8中元素的个数为（）A.6B.5C.4D.7【答案】C【解析】【分析】根据集合新定义求解即可.【详解】根据题意，因为4=2,4,6,B=-l,l,所以4+8=l,3,5,7.故选：C.充要条件的三种判断方法：定义法：分三步进行，第一步，分清条件与结论；第二步，判断p=q及9=的真假；第三步，下结论.集合法.等价转化法：将命题转化为另一个等价且容易判断真假的命题.【例题】41 .下列命题中是假命题的有()A.-a>b-a2>/”的充分但不必要条件B.iia>b”是“ac2>bc2”的必要但不充分条件C.tt->1”是“x<1”的既不充分也不必要的条件XD.iim/”是“不等式一2+m0在R上恒成立”的充要条件【答案】AC【解析】【分析】利用特例及充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】对于A：若=l,6=-1满足4>b,但/=从不满足反之，若例如(-2)2>I2,令=-2,b=l,显然不满足”>b,所以“a>b”是“/>/”的既不充分也不必要条件，故A错误；对于B：当C=O时，由>6得不到aC2>bc2,即充分性不成立，反之，若ac2>bc?,可得4人，即必要性成立，所以“a>b”是“知2>兀2”的必要不充分条件，故B正确；对于C：l=>0,可得式X1)VO,.O<XV1,因为(0)(-00,1),XX所以是“工<1”的充分不必要条件，故C错误；X对于D：2一2+mN0在R上恒成立，则A=4-4m0,"71,则“俄”是"不等式/-2x+机0在R上恒成立”的充要条件，故D正确.故选：AC.42 .若关于X的方程/+(6-I)X+1=0至多有一个实数根，则它成立的必要条件可以是()A.-<m<3B.-2<m<4C.n<4D.-m<2【答案】BC【解析】【分析】利用/+(m-l)+l=O的判别式A0,求出7的范围，再利用必要条件的定义即可求得.【详解】因为方程/+(m-l)+l=0至多有一个实数根,所以方程d+（m-l）+l=O的判别式A0,即：（机一I）2一40,解得TWmW3,利用必要条件的定义，结合选项可知，TW加W3成立的必要条件可以是选项B和选项C.故选：BC.43 .“l”的一个充分不必要条件是（）A.lB.q4C.a-2D.a=4【答案】BD【解析】【分析】根据充分不必要条件的定义，将问题转化为集合问题即所求结果为Q1的真子集，再根据选项判断即可.【详解】根据题意可得，所求结果为l的真子集，根据选项可得4和=4这两个选项都是“l的真子集，即通过这两个条件都可推出l,满足充分条件，但ql不能推出这两个条件，不满足必要条件，所以4和。=4都是l的充分不必要条件.故选：BD.【练习题】44 .设xR,则"x=2”是“/=4”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】当x=2时犬=4,故充分性成立，由/=4可得x=2或=-2,故必要性不成立，所以“x=2”是“犬二4”的充分不必要条件.故选：A45 .设>O,b>O,则“>Z>”是“工<?”的（）B.必要不充分条件A,充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】利用作差法结合得出l<4的等价条件，即可得出结论.ab【详解】因为。>0，b>0,由可得L=巴?>0,则4b>0,即>b,abbaab因此，若。>0，b>0,则“"是的充要条件.ab故选：C.求解充要条件的应用问题常根据相应集合之间的关系列出关于参数的方程（组）或不等式（组）求解;求解参数的取值范围时，一定要注意对区间端点值进行检验.【例题】46 .已知集合P=xa+x2a-,Q=x-2x5.（1）若4=3,求（尸）C0；（2）若"xP"是"工£。”充分不必要条件，求实数。的取值范围.【答案】x-2x<4;（2）（-0o,2【解析】【分析】（1）用集合交集，补集的运算可得；（2）由条件可得P是。的真子集，再分集合户是否为空集讨论求出结果即可【小问1详解】当=3时，集合P=x4x7,可得条尸=xx<4或x>7,因为0=x-2x5,所以（QP）110=x-2x<4【小问2详解】若"xP”是"x。"的充分不必要条件，所以?是。的真子集，当q+1>2q+1时，即。<0时，此时尸=0,满足P是。的真子集，2a+la+l当尸。0时，则满足<2o+l5且不能同时取等号，解得02,÷1-2综上，实数。的取值范围为（-8,2.【练习题】47.设U=R,已知集合A=x-2x5,B=xm+ix2nt-.(1)当48时，求实数7的范围；(2)设p*4;q：X£B,若P是夕的必要不充分条件，求实数7的范围.