约数倍数问题.docx
本讲知识点一、授课目标：本次课我们将复习小升初考试中常考的约数与倍数问题，主要内容包括求约数和与约数个数的方法，由约数个数反求原数，最大公约数与最小公倍数的计算及相关性质.掌握基本解题方法，学会综合运用整除及质数合数相关知识分析问题，提高相关问题的解题能力.二、知识概述：1.约数与倍数1）约数与倍数的概念与整除相关，相应问题可以应用整除的性质，理解一个数的所有约数成对出现的特点；2）将一个数写为分解质因数的标准形式后，计算约数个数与所有约数之和；3）完全平方数有奇数个约数.2.公约数与公倍数（1）最大公约数、最小公倍数的基本求法（短除法、分解质因数、辗转相除法）；2）若日、£均为最简分数，则b（13）若（,b）=k,则可设=%，b=kn,且m、满足（?，）=1.此时，,b=hnn,±b=k（m±n）.升学真题精选精讲【学生请注意】本讲共16道往届升学真题（仅供参考），限时70分钟完成，请大家在听课前完成例题.例题1.（北京市北大附中真题）小雯在研究因数的个数问题时，发现一个有趣的规律，如果一个数可以表示为两个不同质数的乘积（例如15=3×5）,那么它就有4=2x2个因数（包括1和自身），她还联想到（如下图）从A点经由8点到达C点的路径数目问题，发现二者之间颇有共同之处.为此，她又研究了一些更复杂的例子，并发现105=3x5x7有8=2×2×2个因数，225=3×3×5×5有9=3×3个因数从而验证了自己的理解.请你根据上面的分析推算，90000有个因数.例题2.（北京市101中学真题）一个两位数有5个约数，则这个两位数是.例题3.（北京市北大附中真题）古希腊数学家发现正整数中有一种“完美数”，它们的各个因数（除自身之外）之和等于自身，例如6=1+2+3,他们进一步将各个因数之和大于自身的正整数称为盈数，小于自身的自然数称为亏数，那么，不超过100的正整数中，最大的盈数是例题4.（北京市IOl中学真题）数360的约数的和是.例题5.某小学校庆活动上，由编号I-100的100名同学组成的方阵，开始都面朝东方站立,第一次所有编号是1的倍数的小朋友向左转，第二次所有编号是2的倍数的小朋友再向左转，第三次所有编号是3的倍数的小朋友再向左转，最后一次所有编号是100的倍数的小朋友再向左转，最后所有小朋友中有多少名小朋友面朝南方？例题6.bc为各位数字不同的三位数，X+,X的约数个数最少时，X的可能取值有哪些?例题7.为奇数，的约数中，所有完全平方数之和是15的倍数，求的最小值.例题8.有3个不同的正整数，它们的和是91,那它们的最大公因数最大是多少？例题9.有两个自然数不互质，它们的最大公约数和最小公倍数的和是121,求这两个数.例题10.（北京市101中学真题）两个整数A、B的最大公约数是C,最小公倍数是D,并且已知C不等于1,也不等于A或B,C+D=187,那么A+B=.例题11.学校开运动会，在400米环形操场边上每隔16米都一杆彩旗，共插了25杆，后来又增加了一些彩旗，就把彩旗的间隔缩短了，起点的彩旗不动，重新插完后发现，一共有5杆彩旗没动.问：现在彩旗的间隔是多少米？例题12.已知。与b的最大公约数是14,与C的最小公倍数是350,b与C的最小公倍数也是350.满足上述条件的正整数,b,C共有多少组？例题13.M,N是互为反序的两个三位数，且M>N.请问:(1)如果M和N的最大公约数是7,求M；(2)如果M和N的最大公约数是21,求M.例题14.计算:(1)3,2Q)f!25255A125255l-,125T8Jt,T2,i8例题15.求所有各位数字均不相同的十位数的最大公约数.例题16.对于任意的，8-1与18+5的最大公约数有哪些可能的取值?课后限时自测【学生请注意】本次测试共12个空，每空5分，共60分.限时35分钟完成.成绩.1 .有10个约数的自然数最小是一，有8个约数的最小的奇数是.2 .26460的所有约数中，6的倍数有个，与6互质的有个.3 .两个整数的差为7,它们的最小公倍数和最大公约数的差是689,则这两个数分别是和.4 .a,b两数的最大公约数为4,最小公倍数为120.则a,b之差（大减小）的可能值有.5 .一个完全平方数有7个约数，那么这个数的平方有个约数.6 .（北京市IOl中学真题）有一根长180厘米的绳子，从一端开始每隔3厘米作一记号，每隔4厘米也作一记号，然后将所有标有记号的地方剪断.那么绳子共被剪成了段.7 .学生1430人参加团体操，分成人数相等的若干队，每队人数在100到200人之间，那么35 1524,28不同的分组方法有种.8 .计算:
