线代试卷和习题考点_线代考点（第四章）.docx

注：看完PPt再来看这份资料（不然看不懂）一、第一份PPt的重点是向量b能Ih向量1组/线性表示口线性方程组Ax = b有解<=> r(A) = r(A,b)二、第二份PPt的重点是第一个：设/W2,qm为7维向量，.，向量组m元齐次线性方程：Az。1,02,，Qm<>Av=O<>r（八）<m线性相关有非零解1Ia=O第二个：*向量组1，。2，与线性无关Or（G1，。2，aQ=m一般怎么判断向量组是否线性无关呢，首先是把向量组全部化成行阶梯形矩阵，然后看存在非零行的个数。而这个方法恰恰好也是求矩阵的秩的方法，所以有了上面的等价关系。第三个：什么是最大无关组?（课本p91页的黑体字）最大无关组的求法。（PPt最后一个例子）四、线性方程组的解的结构1 .齐次方程组解的性质(1)若4看2为AX=O的解，则"=$+&也是AX=O的解。(2)若4为AX=O的解，贝!)"=彳也是AX=O的解。证明(1)由Aq=O,4&=0有A(l-b2)=Al+A2=09故=4+互也是AX=O的解。(2)由Ag=O有A(Ag)=AAg=0,即"=AJ也是AX=O的解。表明齐次线性方程组解的线性组合仍然是它的解。2 .非齐次方程组解的性质(I)IftX=7lx=%都三Ar=。的解,则X=7-力为对应的齐次方程AX=O的解.证明4=仇A2=b.A(i一2)=。一。=。.即X=7-满足方程4r=(2)设X=是方程AX=b的解,x=4是方程Ax=0的解,则X=J+仍是方程AX=b的解.证明A+-A+A=+b=b所以X=4+是方程AX=方的解.3 .基础解系以及求法1 .基础解系的定义7,小，双称为齐次线性方程组AX=O的基础解系,如果如2,，7是Ar=O的一组线性无关的解；（2）AX=O的任一解都可由"1，2，,力,线性表出.注：课本p97页的例12和plOl页的16页都是先求出基础解系再求通解。我不建议这么做，因为过程复杂了，我建议直接求出通解，不用写出什么基础解系。知道最后的通解是由基础解系构成的就好了（看下面这个例子，考试就照这种格式写）x1+Ix2+3x3+x4=0例求解齐次线性方程组,2-1+x2-2x3-2x4=0x1-x2-4x33x4=0解（1）对系数矩阵施行初等行变换化为标准阶梯形由标准阶梯形得到方程组为x1-2x3-(5/3)x4=0,x2+2x3+(43)x4=0.由此得到方程组的解:x1=2x3+(53)x4X2=-2x3-(43)x4“3=X3="4其中七/4任意取值。部分答案在最后一页(难的题目直接给答案；而需要你自己先做一遍的题我把答案放在最后一页)"1f3"关.1 .向量组a=1,/?=1jI-I2 .设是非齐次方程组AX=力的一个解，apa2,ar是AX=O的基础解系，则（八）因。,，线性相关。(B) 4,r线性无关。(C) a0,al,巴的线性组合是4X=/?的解。(D) a0,a1,巴的线性组合是AX=O的解。3 .已知外中的向量组,%,线性无关，向量组4=因一Aa2，a=。2+%，4 =%+线性相关，求k值。4 .设f，%,当是齐次线性方程组Ar=O的基础解系，则下列向量组中，不是AX=O的基础解系的是DA、项,312,4工3B、x1,x1+x2,x1+x2+X3C、x1,x1 +x2,x3D、x1-x2,x2-x3,x3-x1解析:首先，基础解系是线性无关的，所以看各个选项是否是线性无关的，直接目测一下就好了，看有没有某一项能被其他两项线性组合出来。比如这道题的D选项，第一个向量组可以被后面两个向量组相加再乘以负1得到，所以是线性相关的。5 .设秩（%,%，&）=乙£不能由向量组，见线性表示，则AA、秩,.) = r+l,B、秩（c,%,，&，£） = r,c、不能确定秩（%,%,，%/）D、以上结论都不正确6,设有向量组q=Q,-1,2,4),2=0,3,1,2),3=(3,0,7,14),%=Q，-2,2,0)与%=2,l,5,10）,则向量组的极大线性无关组是（）(A) ar a2, a3 ；(B) ar a2, a4 ；(D) z, a2, 4, a5.(C)ra2,a5：1.无2.B3.解:设存在三个实数为，2,3,使44+2b1+=4(-2?)+友(%+%)+4(%+Zaj=(4+24)%+(-4%+4)%+(>+4)%=O勺O A2 J匕=0,4+u3=o(1得4-4女+4=0k÷=01O因为4,4,4相关，所以4,4,4有非零解，7分故系数行列式=o,得攵=±1。10分6.B