蒙日圆的定义、证明及其几何性质（解析版）.docx

蒙日圆的定义,证明及其几何性质微点1蒙日圆的定义、证明及其几何性质【微点综述】蒙日是法国著名的数学家，他首先发现椭圆、双曲线两条相互垂直的切线交点的轨迹是圆,所以这个圆又被叫做“蒙日圆本微点主要介绍蒙日圆的定义、证明及其几何性质.1 .人物简介加斯帕尔蒙日（GaspardMonge,17461818）,法国数学家、化学家和物理学家.生于博恩的平民人家.蒙日的一生励志又传奇，蒙日出身贫寒，但他自幼聪颖好学，自强不息、，少年时在家乡一所天主教开设的学校学习，后转学里昂，14岁时就能造出消防用的灭火机，16岁毕业，留校任物理学教师.接着被推荐到梅济耶尔皇家军事工程学院学习，年仅22岁就初创“画法几何学”，23岁时任该校教师.26岁时被巴黎科学院选为通讯研究员.29岁时任皇家军事工程学院''皇家数学和物理学教授”.34岁时当选为科学院的几何学副研究员.38岁时被任命为法国海军学员的主考官.46岁时任海军部长8个月.51岁时任法国著名的综合工科学校校长.72岁在巴黎逝世.蒙日所处的时代，人们在设计工程时由于计算失误而导致工程不符合要求，只好把已建成的工事拆毁重建，而蒙日的画法几何方法就轻而易举解决了这类问题，不止如此，他的、'画法几何学”还推动了空间解析几何学的独立发展，奠定了空间微分几何学的宽厚基础，引导了纯粹几何学在19世纪的复兴.此外，他在物理学、化学、冶金学、机械学方面也取得了卓越的成就.蒙日是19世纪著名的几何学家，他创立了画法几何学，推动了空间解析几何学的独立发展，奠定了空间微分几何学的宽厚基础，创立了偏微分方程的特征理论，引导了纯粹几何学在19世纪的复兴.此外，他在物理学、化学、冶金学、机械学方面也取得了卓越的成就.他的大炮制造工艺在机械制造界影响颇大.主要著作有：曲面的解析式（1755I静力学引论（1788画法几何学（1798代数在几何学中的应用(18021分析在几何学中的应用(1805)等.2 .蒙日圆定义及其证明先来看一道高考题：例1(2014年高考广东理20)已知椭圆C：5+£=l(a>b>0)的一个焦点为(6,0),离心率为q.(I)求椭圆C的标准方程；(H)若动点P(M，%)为椭圆外一点，且点/>到椭圆C的两条切线相互垂直,求点。的轨迹方程.【解析】(I)可知c=6,y,e=-=-=.a=3,h2=a2-C2=9-5=4,故椭圆Caa3（三）设两切线为44,当/Jx轴或轴时，对应/"X轴或，2轴，可知P(±3,2)或P(3,±2).当4与工轴不垂直且不平行时，/工±3,设4的斜率为攵，则ZWOd的斜率为一;，4的方程为y-%=MX-Ai),联立/+=,得(9+4)x2÷18(y0-)x+9(y0-)2-4=0,直线与椭圆相切，=(),得(1弘)2(%-也)2-36(先-5)2-4侬2+4)=0,.4(刈-5)2-4(%2+4)=(),整理得-9)2-2xo3+-4=O(*),./是方程(*)的Y根，同理是方程(*)的另一个根，其中x#±3,，点P的轨迹方程为f+y2=13(x±3),又P(±3,2)或P(3,±2)满足上式.综上知：点P的轨迹方程为-+V=?.【点评】本题以椭圆为载体，考查直线与圆锥曲线的位置关系以及动点的轨迹方程，将直线与二次曲线的公共点的个数利用的符号来进行转化，计算量较大，从中也涉及了方程思想的灵活应用.例1中的圆是蒙日的画法几何学中有一个有趣的结论(可以形象的称为筷子夹定理)：【定理1】在椭圆上，任意两条相互垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是椭圆的中心,半径等于椭圆长半轴短半轴平方和的几何平方根,这个圆叫蒙日圆，如图1.如图1,设椭圆的方程为5+£=l（a>b>0）,则椭圆两条互相垂直的切线附,PB交点尸的轨迹是蒙日圆：2+V+6.证明：证法一（解析法+韦达定理）：当题设中的两条互相垂直的切线PA,PB斜率均存在且不为。时，可设?（天,为）（/±"且）/±人），过P的椭圆的切线方程为丫-%=（。%）,丁-%=Mxf）（AWO）,由/2得a2k2+b1x2-2ka2（kx0-y0）x+a2（-y0）2-a2b2=0,由其判别式值为。，得（片一万）依一2Ao%+解一/=0（片-12O）,MA，即8是这个关于左的一元二次方程的两个根，即A即B=2二，由已知PA上PB,:'*=-1,.军名二T,.片+4=/+从，,点尸的坐标满足方g2+y2=2+2.当题设中的两条互相垂直的切线PA,PB有斜率不存在或斜率为。时，可得点尸的坐标为（土即。）或（,士力），此时点尸也在圆d+y2="+从上综上所述：椭圆5+/=1（。">0）两条互相垂直的切线处/8交点尸的轨迹是蒙日圆：x2+y2=a2+h2.证法二（椭圆的切线方程+切点弦方程+点在公共曲线上）:当题设中的两条互相垂直的切线PA,PB斜率均存在且不为。时，设P（0，%）(3±a且工±方),切点A(X,),B(w,%XyrV20)，则切线PAM+浮=1,电警+岑=1.a-ba-b-P（AO，%）在切线PAJB上，.竽+等=1,竽+竽=I,由两点确定T直线得直线A8的方程为学+挈=1.a-b-即A%="Y一"=，七也8=21匹="，一（G%）（%L）=,（ay2）"XH玉/XM2a（%/乂，=1,2）即在圆的方程为4+鸟=1,又在直线.：学+等=1上，（Tb-ClD.。营=（沪豹，可得/（），：_"）£|+22以0为目+叩;_力0,丁跖/（£一）/（,一。2）克-从/4高一所询一通询TeAJ/一下又("ft%?)(404%08)=/；,kpkpB=由已知尸W6""T'-'Y+N*t.点P的坐标满足方当题设中的两条互相垂直的切线PA,PB有斜率不存在或斜率为。时，可得点尸的坐标为（土即。）或（,士力），此时点尸也在圆d+y2="+从上综上所述：椭圆5+/=1（。">0）两条互相垂直的切线处/8交点尸的轨迹是蒙日圆：x2+y2=a2+b2.先给出几个引理，然后给出证法三蒙日圆的几何证法.【引理1】（椭圆的光学性质）从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线交于椭圆的另一个焦点上（如图2所示）.证明：如图3所示，设。为椭圆（其左、右焦点分别是）上任意给定的点，过点。作NKP鸟的外角平分线所在的直线/（N3=N4）.先证明/和相切于点。,只要证明/上异于P的点产都在椭圆的外部，即证尸&+P6>W+P国.在直线”上选取点尸，使IPM=IP用，得ApP尸'二ApPEg"因，.PF=PH,可得P6+P闾=PK+PF>山/I=旧H+I尸尸1=|尸制+|朋|再过点P作NKPV的平分线PA（NI=N2）,易得尸A3,入射角等于反射角，这就证得了引理1成立.【引理2】过椭圆（其中心是点O,长半轴长是。）的任一焦点F作椭圆的任意切线/的垂线，设垂足是H,则|。川=.证明：如图4所示，设点尸,尸分别是椭圆的左、右焦点，A是椭圆的切线上的切点，又设直线可,UA交于点3.由引理1,得NfAN=NSk=NBA”（即反射角与入射角的余角相等）,进而可得AEA”且MiAH,，点H是FB的中点，得OH是BFF的中位线.又IAFI=I蜴，oM=J（F'4+AM）=y尸到+A尸）=.【引理3】平行四边形各边的平方和等于其两条对角线的平方和.证明：这里略去过程（可用余弦、可作垂线、可用坐标）.【弓I理4】设点。是矩形ABCD所在平面上一点，则PA1+PC2=PB2+PD2.证明：如图5所示，设矩形ABC拉的中心是点。.由引理3,可得尸T+R72=2(Q42+0尸)=2(.2+0尸)=?出+尸,即欲证成立.把引理4推广到空间彳导到的结论就是:底面是矩形的四棱锥相对侧棱长的平方和相等.下面给出定理1的证法三.证法三(几何法)：不妨设.当=时，易证成立.下面只证明>/，的情形.如图6所示.设椭圆的中心是点O,左、右焦点分别是J鸟，焦距是2c,过动点P的两条切线分别是PM,/W.连结OP,作OG±PMQHj.PN,垂足分别是G,”.过点A作PM,垂足为。，由引理2得IOq=.再作"K，。G于K.记NoKK=J,得IDGI=I6K=8ose.由RtAa)G,得IoG=|oDfTDGl2=-c2cos2j又作F2E±PN,F2LlOH垂足分别为EL.在Rt田/中，同理可得：O2=|O£|2-|H£|2=a2-c2sin.(1)若PMlPN,得矩形OGP”,JIoPl2=OG2+OH2=(2-c2cos2)+(a2-c2sin20)=a2+b2(2)若Iaf=/+从,得IOpI2=2-cW6>)+(2-c2sin)=2+O72,由OGj_PM,得IOH2=|凶2+1GPl2IGPI=IOHI.同理，有IOq=I期，四边形OGP”是平行四边形，进而得四边形OGP”是矩形，；PM工PN.由(1)(2)得点P的轨迹方程是.r2+V+2,以上过程中的%b,分别是椭圆长半轴、短半轴长.证法四(高等几何法)：蒙日圆的另一种叙述：中心为。的椭圆外切矩形ABC。的外切圆圆心也为。，作椭圆的两条平行切线分别交圆。于A,。,C'则蒙日圆性质可以表示为Ab及CD'与椭圆相切.证明：A'。，*C与椭圆相切且平行,由对称性知四边形AEcD也为矩形.设M,N,K,Q均为矩形ABC。与AbCTy的边边交点(如图7),BtA1DA=P.逆推：要证ATr与椭圆相切U六边形NDQWK*的布列安桑定理UB1QKDMN=SU一对红色三角形笛沙格定理UBDHKQ(KM/DN,MQHENu一对绿色三角形笛沙格逆定理(KQHBIyHBD)UBB'"PM/DD=Nl=N2=N3(成立).3.蒙日圆的几何性质：【定理2过圆Y+y2=a2+b2上的动点/，作椭圆%营=(a>b>0)的两条切线P,PB,则必_1尸6.'22工+匕=1证明：设P点坐标(AO,%),由a2M,得y-%=MXrO)(a2k2+b2)x2-Ika2(kxQ-y0)x+a2(-y0)2-a2b2=0,由其判别式的值为0,得(片-/*-2/)，#+呼-/=O(W-a?#0),%,原6是这个关于k的一元二次方程的两个根，./=亭与，片+¥=/+/,正一从kpA%=N-=-,PAVPB.【定理3】设。为蒙日圆O：/+/=/+02上任一点过点尸作椭圆捺+m=的两条1.2切线，交椭圆于点儿从。为原点，则OPjB的斜率乘积为定值%.L=.【定理4】设。为蒙日圆O:V+y2.+o2上任一点过点尸作椭圆捺+m=的两条切线，切点分别为人，从。为原点，则OA,幺的斜率乘积为定值从A原A=-4，且ah2。乩PA的斜率乘积为定值坛B/,"=一发(垂径定理的推广).【定理5】过圆/÷=÷Ir上的动点P作椭圆5g=l(>8>O)的两条切线，O为原点，则Po平分椭圆的切点弦A8.证明：P点坐标伍，%)直线OP斜率=资，由切点弦公式得到AB方程警+挈=1,h2g=-高L,由点差法可知，OP平分AB,如图M是中点.【定理6】设。为蒙日圆O"2=、上任一点，过点P作椭圆5+2=l(>b>O)的两条切线，切点分别为4，B,。为原点，延长PA,PB交蒙日圆O于两点C,D,则CD/AB.证明:由定理5可知，M为A8中点.由蒙日圆性质可知，ZPB=90°IMA=MB=MPl同理OP=OC=QD,因此;有N4M=NAP=NCQO=NPCoiAB/CD.由定理3和定理6可得如下的定理7:【定理7】设。为蒙日圆O，+*/+上任一点,过点P作椭圆5*l(”>0)的两条切线，交蒙日圆O于两点C,D,则。P,C。的斜率乘积为定值bph0=-.22【定理8】设。为蒙日圆入V+6上任一点，过点P作椭圆£+£=1(。>>0)的A4两条切线,切点分别为七凤。为原点，则。4。4的斜率乘积为定值%,*=二,a【定理9】设。为蒙日圆入户片+过点。作椭圆探+白心)的两条切线切点分别为A，乩。为原点则SMm的最大值为胃心山的最小值为¥2a+h【定理设。为蒙日圆2+y上任一点，过点。作椭圆5g=l（>8>0）的两条切线，切点分别为,则SM>8的最大值为工Saps的最小值为FJ.【定理11】设尸为蒙日圆八V+过点。作椭圆，g=l（”>0）的两条切线，切点分别为45,则椭圆切点弦AB的中点E的轨迹方程是/+，=9+/）（同+/打.y2v2【定理12设P为蒙日圆O：八V+/上任一点，过点，作椭圆力方=1的两条切线，交椭圆于点A，仇O为原点，则。，P到AB的距离分别为4，4,则4，d2乘积为证明：如图所示，设PRa2+/8s/，Jc/+从Sin6),则直线AB的方程为Xbidal+/cose+)/J、+/sin-a2b2=0,a2b2则点。到直线AB的则原点。到直线”的距离为4=产R就臼距离为d2 =tz4sin2 + >4 cos2 J(2 +2)(tz4sin2 + h4 cos2忖(2+Zj2)cos2+a2(a2+Z>2)sin2-a2b2ya2+h2a4sin2+h4cos2"4=磊（定值）.4.蒙日圆的应用例2.（2022吉林抚松一中高二月考）蒙日圆涉及的是几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为原椭圆的蒙日圆，若椭圆c：-4-+21=l>0）（a>O）的蒙日圆/+）,2=4,a=4+2a（）A.1B.2C.3D.4【答案】A【解析】椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，找两个特殊点分别为仅，4）,（万7。），则两条切线分别是X=万,y=G,这两条切线相互垂直,且两条直线的交点为P（>国，&）,而尸在蒙日圆上，（"C）2+（疝2=4,解得a=1,故选A.【点评】由题意可得椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，设特殊值法，求出两条切线的交点坐标，代入蒙日圆的方程可得。的值.例3.（2022安徽舒城中学三模）若椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，该圆的圆心是椭圆中心，则称这个圆为蒙日圆.若椭圆C:+1=1,2>4）的蒙日圆的半径为26，则椭圆。的离心率为.【答案】*【分析】由蒙日圆定义可知H&2）在蒙日圆上，由此可根据半径构造方程求得屋，由此可求得椭圆离心率.【解析】过P（a，2）可作椭圆。的两条互相垂直的切线X=。和产2,在蒙日圆上，774=23,解得：/=8,.椭圆。的离心率c=?=jIKR=§.【点评】思路点睛：求解圆推曲线离心率或离心率取值范围问题的基本思路有两种：（1）根据已知条件，求解得到的值或取值范围，由=£求得结果；a（2）根据已知的等量关系或不等关系,构造关于的齐次方程或齐次不等式，配凑出离心率。，从而得到结果.例4i三圆*&上一点M作圆-F的两条切线，切点为M'过M的直线与X轴和)'轴分别交于P,Q,则APOQ面积的最小值为.【答案】9【分析】设出M点坐标，根据相切关系分析得到AB的直线方程，由此表示出P,Q的坐标并表示出APOQ的面积，再根据M在椭圆上结合基本不等式求解出面积的最小值.【解析】设M(m,%),A点坐标为(N,y),/点坐标为(天，必)，,|州2+|。4=|0用,附8+|0麻=|0知，化简可得!,“：)：为;；，4士是方.f2If2程+y0y=2的两个解，直线A8的方程为+yOy=2,：P-一,0,。0,且IXOjly0)APOQ的面积2IXoyOl，且I = A鞋2,22,L=±逑I=±逑,扇毛,取等号时y=y,BP,-s'0,级t可知：XPOQ面7积的最小值为1.【点评】结论点睛：和圆的切线有关的结论如下：(1)过圆/+V=/上一点P5，%)作圆的切线，则切线方程为Xo+%y=/;(2)过圆Y+y2=/夕一点P(Aoyo)作圆的切线，切点为A,B,则直线AB的方程为v÷J0y=r2.例5.已知椭圆方程为*g=l(>b>O),过椭圆外一点P可以做出两条切线(如图一),我们形象的称为“筷子夹汤圆”.若P点在变化过程中，保持两根“筷子”垂直不变，则P到原点的距离始终为一个定值，即P的运动轨迹为一个以原点为圆心，半径为定值的一个圆,我们把该圆称为椭圆的,淮圆”,试写出该“准圆”的方程是.若矩形ABC。的四条边都与该椭圆相切（如图二），则矩形ABCQ的面积最大值为【答案】xy2=a2+b22（/+从）【分析】根据特殊位置。点的坐标，求得“准圆”的半径，由此求得准圆方程.根据圆内接矩形的几何性质，求得矩形A8C。面积的最大值.【解析】由于“准圆”上的点。到原点的距离始终为一个定值，不妨取Ha力），如下图所示.尸（"）到原点的距离为曲工7,准圆”的半径为77万，“准圆”的方程为xy2=a2+h2.由于四边形ABCD是“准圆”的内接矩形，对角线AC、8。是“准圆”的直径，JOA=OB=OC=OD,J当4CJ,8。时，矩形ABCO的面积最大，最大值为【点评】本小题主要考查新定义圆的概念的理解和运用,考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.例6.（2022江苏南京十三中高三开学考试）定义椭圆uE+m=l（>b>0）的“蒙日ab'圆”的方程为/+J=。、尸,已知椭圆。的长轴长为4,离心率为e=g.（1）求椭圆C的标准方程和它的,、蒙日圆”E的方程；（2）过,蒙日圆”E上的任意一点M作椭圆。的一条切线MA,A为切点，延长M4与,、蒙日圆”点E交于点O,。为坐标原点，若直线OM,0。的斜率存在,且分别设为公，网,证明:仁“为定值.【答案】（1）c:g+?=l；E:x2+y2=l；（2）证明见解析.43【分析】（1）由题意可得=2,c=l,再由"=/一/可求得从=3,进而可求出椭圆C的标准方程和它的“蒙日圆”E的方程（2挡切线M4的斜率存在且不为零时,设切线处的方程为V=依+，然后将直线方程和椭圆方程联立，消去y,再由判别式等于零，可得加=3+4公，再将直线方程和''蒙日圆”上的方程联立，消去J,再利用根与系数的关系可得芭+W=卷，V2=，然后求用心的值，当切线M4的斜率不存在且为零时，再求解攵人的值即可C1【解析】（1）解：由题意知为=4,e=-=,.,C=1,.h2=3a2椭圆的方程5+4=1,蒙日IrE的方程为/+V=4+3=7,即/+/=743（2）证明：当切线M4的斜率存在且不为零时，设切线MA的方程为N=辰+？，y=kx+m则由Y,消去），得（3+4/+8淑+4-12=0,43.=64m2-4（3+42）（4m2-12）=Of.m2=3+42,y = kx+mU2+y消去）'彳导（1 +公）-+2加履+，/-7 = 0 ,=4m2J-4(1÷2)(h2-7)=4+122>0,设MaM /,则为+W=-link.kk、=X._(3+m)(3+M,k*2+版(M+/)+>,2am2-7.-Itnk2kT-+kmr+«r22+公+公二m-7ktn2-lnr-1+k1,nr =3+423 + 4及2-7223 + 4j12-73当切线MA的斜率不存在且为零时，女4=-1成立，/他为定值【点评】此题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆的位置的关系，解题的关键设切线M4的方程为.v=U+"L先与椭圆方程联立,消去q,由判别式为O,得加=3+4公,再?口''蒙日圆"E的方程联立，消去V,再利用根与系数关系和斜率公式化简可得结果.例7.法国数学家加斯帕尔蒙日是19世纪著名的几何学家，他创立了画法几何学，推动了空间解析几何学的独立发展，奠定了空间微分几何学的宽厚基础.根据他的研究成果，我们定义：给定椭圆cW+=l(%>O),则称圆心在原点。，半径是7I*的圆为“椭圆C的伴随圆”，已知椭圆。:£+4=15>>0)的一个焦点为"(0',0),其ab短轴的一个端点到焦点产的距离为6.(1)求椭圆C和其''伴随圆”的方程；(2)若点A是椭圆C的,伴随圆”与大轴正半轴的交点，用。是椭圆C上的两相异点，且8O_Lx轴，求A8A。的取值范围；(3)在椭圆C的“伴随圆”上任取一点P,过点。作直线4J2,使得4、/?与椭圆C都只有一个交点，试判断4、6是否垂直?并说明理由.2【答案】(I)C：5+丁=1伴随圆”方程为Y+V=4J(2)IO,7÷43)；(3)垂直，理由见解析.【分析】(1)首先根据题意得到c=,且=?TF=G，可得wl,从而得到椭圆C和其,伴随圆”的方程.(2)首先设8(皿)，D(fn,-n)l(-><m<3),得到ABAO=*,J,从而得到ABAO的取值范围是,7+4档).(3)首先设P(Sj),得至以2+/=4,当s=±5时"=±1,易得/口乙，当sw±6时，设/的方程为)T=Mx-s),代入椭圆。方程可得(32+l)x2+6k(t-ks)x+3(f-s)2-3=O,根据A=O得到(3-S2)公+2sfk+l-产=O,从而得到心=-1,即可得到答案.【解析】(1)由题意知c=,且4=病=6,可得=1,故椭圆C的方程为y+y2=l,其“伴随圆”方程为X2+/=4.(2)由题意，可设则,)，D(m,f),(-3<w<3),则有与+2=1,又A点坐标为(2,0),故A4=("2,"),A£>=("?_2,一)，ABAD=(«2-2)2-n2=m2-47n+4-l-g)=g"2-4"i+3=g(wz-T)l又-+<m<&,故3'一野w0,7+4G),48乂0的取值范围是1°，7+46).(3)设P(SJ),则+/=4.当s=±6时，f=±l,则/其中之一斜率不存在，另一斜率为0,显然有4U.当sw±6时，设过P"")且与椭圆有一个公共点的直线/的斜率为攵，则/的方程为)T=Mx-S),代入椭圆。方程可得r+3版+。-依)2=3,即(3k2+l)x2÷6k(t-ks)x÷3(r-Jly)2-3=O,由A=36%2(f-抬)2-4(3/+1)3«-依)2-3=0,(3-s2)k2+2stk+l-t2=O,其中3-s20.设/的斜率分别为,则K，&是上述方程的两个根教g=F=-,即4U.综上可知，对于椭圆。上的任意点P,都有4.【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系，解决本题的关键为分类讨论，设出直线方程y-t=k(x-s)l根据直线与椭圆的位置关系得到相应的关系式，从而证明直线垂直.【针对训练】221.已知双曲线4-=1(心1)上存在一点M过点M向圆/+y2=做两条切线M4MBl若欣.施=O,则实数。的取值范围是()A.(1，应)B.(b2C,2,+oo)D.(£+8)2 .已知椭圆C:y+2=l,M是圆/+V=3上的任意一点，MA,分别与椭圆切于A,8.求一AOB面积的取值范围.3 .设椭圆÷=1的两条互相垂直的切线的交点轨迹为C,曲线C的两条切线以、54PB交于点P,且与C分别切于A、B两点，求必的最小值.224.给定椭圆C：*+方=Igb>0),称圆心在原点O、半径是77寿的圆为椭圆C的、淮圆已知椭圆C的一个焦点为耳¢,0)其短轴的一个端点到点产的距离为G.(1)求椭圆C及其''准圆”的方程；若点A是椭圆C的淮圆”与K轴正半轴的交点，B,。是椭圆C上的相异两点，且8。Lt轴，求ABA。的取值范围；(3)在椭圆C的“准圆”上任取一点尸(取)，过点P作两条直线4,Z2,使得A与椭圆C都只有一个公共点，且4,4分别与椭圆的“准圆”交于吃N两点.证明：直线MN过原点O.5 .已知A是圆/+V=4上的一个动点，过点A作两条直线44,它们与椭圆+V=都只有一个公共点，且分别交圆于点M，N.(I)若A(-2,0),求直线/的方程；(II)求证：对于圆上的任意点A,都有4成立；求AMN面积的取值范围.6 .在平面直角坐标系g中，已知R(X。，)，。)是椭圆C:J+=l(。)上一点，从原点。向圆R:(X-Xo)2+(y泗)2=8作两条切线,分别交P、Q两点.(1)若R点在第一象限，且直线OP_LoQ,求圆R的方程；(2)若直线OP、OQ的斜率存在，并记为从k2,求klk2；(3)试问OP?+。?是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由.参考答案：【解析】利用已知条件，推出。的关系式，即可求解结果.【详解】双曲线忘-5=1(。1)上存在一点M,过点M向圆V+y2=做两条切线做4、MB若MB=O,可知MAo8是正方形，MO=2,所以双曲线的实半轴长的最大值为人,所以"l,.故选：B.【点睛】本题考查双曲线的简单性质,圆的切线性质的应用考查分析问题解决问题的能力,是中档题.2仁也一2,3,2/【分析】设M(XI),%),A(xpy1),(x2fy2)t得到MA,MB,AB的直线方程，与椭圆。的方程联立，解得弦长/W的值，利用点到直线的距离公式求解点。到直线AA的距离，令r=77Tl,2,即可求解aAOA面积的取值范围，【详解】解:设MaP%),AaM，B(Jy2),因为MA与椭圆切于A故§+#=1对椭圆求导得J=-广则切线MA的斜率为k=-2，故切线MA的方程为：y-=-2(X-XJ,整理得W+yy=,同理，切线的方程为竽+%y=,竽+%y=又点M(X2。)为切线MA与切线皿的交点，且M+y；=3,故,竽+%=1从而直线AB的方程为：当+%y=i,将直线AB的方程与椭圆。的方程联立，得(4+3)f-4依-4尤+4=0.因此，AB=(x1-x2)2+(jl-y2)2又原点。到直线/W的距离”"2?嬴TT，S3;A8d = 2rH t令/=7,2,得到S/=2=2/【分析】先根据条件求出C的方程，作图，分析图中的几何关系，设定参数即可求解.【详解】设椭圆的两切线为4,4.当/口”轴或J轴时，对应6X轴或X轴，可知切点为；当4与X轴不垂直且不平行时，±5,设4的斜率为攵，贝此o,4的斜率为一:,并设44的交点为(%，%),则4的方程为L%=A(xf),联立+=I,54得：(5P÷4)2+10(yo-)br+5(yo-Vo)2-20=0,直线与椭圆相切,A=O,得5(%-M)晨2-(5&2+4)(%-5)2-4卜0(xq-5)Zc2-2x0y0+Jo-4=, k是方程(片-5)k2-2x0y0k+火-4=。的一个根，同理一是方程N-5*-2XQN/+y-4=0的另Y根， "卜5=±1得X+)*=9，其中xw±五， 交点的轨迹方程为：x2+y2=9(x±5),1±后±2)也满足上式;综上知：轨迹C方程为V+V=9;设4=P8=x,ZAP8=e,则在AOB与APB中应用余弦定理知，AB2=OA2+OB2-2OAOBcosZAOB=PA1+PB2-IPAPB-cosZAPB,即32+32-233cos(1800-e)=2+f-2xxcos<9,即Y=9(l+coSe),l-cosPA-PB=MPBICOSZAPB=Xxcos=外"。'"",Illll-cos<9令/=1-COSe(0,2,则COSe=I,"PB='二止，)=9(:3,+2)=9,+3)9.2l-3=9(22-3),当且仅当,即/=应时，PA/8取得最小9(2忘-3);综上，"PB的最小为9仅应-3).4.椭圆C的方程为y+=l,其“准圆”为X2÷=467+4句(3)证明见解析【分析】(1)根据条件即可求出“准圆”方程；(2)设8,。的坐标，根据数量积的定义计算即可；(3)根据切线44的斜率是否存在分类讨论，再利用判别式和韦达定理即可求解.(1)解：由题意知C=0，a=Jb2+c2=>3>解得人=1,椭圆C的方程为9+丁=1,其“准圆”为A-2÷r=4；(2)由题意，设8(也),。(皿T),-3<,w<3,则有1+2=1,又A点坐标为(2,0),故A5=(n-2),AD=(m-2-n),<2、2.*.ABAD=(7W2)-n=m4w+4-1=ft4/?z+3=f|,(3133V2J又-不<m<小,二1"-T)w°,7+46),JA8AE>的取值范围是0,7+4G);(3)设P(M,则S?+=4,当s=±J时，f=±l,则4,4其中之一斜率不存在，另T斜率为0,4；当贡6时，设过P(S")且与有一个公共点的直线/的斜率为第则/的方程为：y-t=k(x-s),代入椭圆C的方程，得：X2+3(x-5)+=3,即(3/+1)Y+64«一依)+3(f依J-3二0,由A=36k2(t-ks)2-4(3k2+1)13(，一公-31=0,得：(3-52)2+2+l-2=0,将/=4代入上式得(3-s2)k2+2sfk+s2-3=0,其中3-工0,设/一人的斜率分别为分，h则勺，卷分别是上述方程的两个根，毕2=T,112.综上所述，4U,MN是准圆的直径，,直线MN过原点。；综上，椭圆方程为f+V=l淮圆”为f+V=4,48AO的取值范围是,7+4>).5.(1)y=-x-2,y=x+2；(11)证明见解析；2J,4.【分析】(I)设出直线方程，代入椭圆方程,利用直线与椭圆9+V=I都只有一个公共点,求出直线的斜率.即可求直线44的方程i11XD分类讨论,斜率不存在时成立,斜率存在时，利用判别式等于零可得关于攵的一元二次方程，由韦达定理可得攵#2二成立，即可证得结论；记原点到直线4/的距离分别为4,4,可得片+片=4,设AMN面积为S,可得52=4=p12-2)2+16,利用二次函数的性质可求其取值范围.【详解】(I)设直线的方程为y=z(+2),代入椭圆1+y2=,消去y,可得(l+3)x2+12Ar+i2A2-3=0,由A=O,可得公一1=0,设44的斜率分别为Rh,=-1=1r，直线44的方程分别为y=-2,y=x+2;(II)证明:当直线44的斜率有一条不存在时,不妨设4无斜率A与椭圆只有一个公共点,所以其方程为x=±3,当的方程为戈=有时，此时与圆的交点坐标为(6±1),的方程为y=M或F=T,4U成立，同理可证，当4的方程为X=时，结论成立；当直线的斜率都存在时,设点4(弧)且>+2=4,设方程为y=%()+,代入椭圆方程，可彳导(+BA?)/+6(一7)彳+3(-6)2-3=0t由=0化简整理得(3-/)k2+2nnk+1-2=0,m2+n2=4,.(3-n2)A:2+2wz+w2-3=0,设44的斜率分别为匕，心,格=TMU成立,综上,对于圆上的任意点A,都有4成立；记原点到直线/的距离分别为44,因为M4_LN4,所以MN是圆的直径，所以MA=2d,NA=2出，d；+d；=OA?=4,AAMN面积为S=JAMXNA=2d4,S?=4d；d；=4d；(4-d；)=Y(d；-21+16,J121,3,S2L12J6J,.523,4【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系.以及求范围问题,综合性强.难度大.解决解析几何中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将解析几何中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法求解.6.(1)(x-2)2÷(-22)2=8；(2)；(3)是定值，理由见解析.【解析】(1)根据直线OP,OQ互相垂直，且和圆R相切，得到ORI=4,即小+那=16,再根据点K在椭圆C上,即圣+冷】求解.(2根据直线OPy=为X和。Qy=&都与圆R相切得到呼；=j°=,两边平方可得3后为(初2-8)N2xoyok+(M-8)=0的两根求解.(3)当直线OP,OQ不落在坐标轴上时，设P(M,刀)，Q(右，”)，由(2)知2kjk2+l=0,即y2y22=72,再根据P(Xi,y),Q(2,y?)在椭圆C上，得到工户+正进而得到W?+)/由两点间距离公式求解.【详解】(1)由圆R的方程知圆R的半径，=20,因为直线OP,OQ互相垂直，且和圆R相切，所以I。Rl=7厂=4,即初2+y=16又点R在椭圆C±,所以条+否=1联立,解得XO=yo=2J,所以，所求圆R的方程为(2&)2+(y-22)2=8;(2)因为直线OP：)=2x和OQ:y=蚣都与圆R相切，所以两边平方可得为，攵2为(M2-8)d-2xoyok+(>-8)=0的两根，因为点R(Myo)在椭圆C上，所以+=，即W=I2呆落4-ln21所以M2=2U=-7；V-8(3)当直线OP,OQ不落在坐标轴上时，设P(8,#),Q(X2,y>2).由(2)知2QQ+1=O,所以+1=0,故"2”2=XI2X22,因为P(,y),Q(2,y2)在椭圆。上，所以江+支=1,立+立=1,24122412SPy2=I2-Xl2,J22=I2-yX22/所以(I2-7X/2)(12722)=yX2X22,整理得"+42=24,所以)M+”2=(12-呆/2)+(12-122)=12,所