重难点专题训练：圆中的最值与范围问题精练30题（解析版）.docx

圆中的最值与范围问题1.(2023河南洛阳高三洛宁县第一高级中学校考阶段练习)已知直线/：犹+(5-2必-2=O("7R)和圆O：/+V=4,则圆心。到直线/的距离的最大值为()A.-B.拽C,亚D.-5532【答案】B【解析】由直线/：，我+(5-2加*-2=0(61<),可得/:e(工一2封+5'2=0,'_45y-2=0-5令IyW解得2,"W所以直线/恒过定点4熊),且|。4I=旧+=乎<2，所以定点A在圆。内，所以当04，/时，圆心。到直线/的距离的最大值为IoAI=竽，故选：B.2.(2023.天津.高三芦台第一中学校考期末)己知直线：Lx-y+3=0被圆Ua-4+(y-2)2=4(>0)截得的弦长为2直，则点(-4，。-1)与圆上点的距离最大值为()A.22+2B.22-2C.2D.4【答案】A【解析】由题可得，圆的半径=2,圆心C(,2)到直线l-.x-y+3=0的距离为d=直线/被圆C截得的弦长为2,4-丝詈=2,解得=L或。=-3(舍去),则点(-GM-1)的坐标为(To),该点到圆心C(I的距离为U：=2近,所以点(To)到圆上点的距离最大值为2+r=2+2,故选A3(2023安徽安庆校联考模拟预测)已知点A(-4,l)在直线/:(26+l)x-(6-5=0(meR)上的射影为点8,则点B到点尸(3,-1)距离的最大值为().A.5-iB.5C.5+fD.5+2f【答案】C【解析】将直线/整理彳导至i(2xyi)m+(x+y5)=0ff2x-y-1=Ofx=2/、于是+v5=O,解得|)，=3'所以直线/恒过点C(W，因为点A(Tl)在直线/：(2加+1)1-(，-l)y-m-5=0(机R)上的射影为点8,所以AB工BC,则点8在以线段AC为直径的圆上，该圆的圆心坐标为。(-1,2),半径大小为J(T-2)2+(2-3)2=M,又IDPl=J(T-3f+(2+l)2=5,所以点8到点*3,-1)距离的最大值为5+国，故选：C.4.(2023.广东深圳统考二模)若过点M(2,l)的直线/与圆O:/+V=8交于AB两点,则弦A8最短时直线/的方程为()A.2x-y-3=0B.x+y-3=0C.x+2y-4=0【答案】D【解析】当A8最短时，直线/_!_OM,所以勺*=T又=所以匕=-2,所以/的方程为yT=-2(x-2),即2x+y-5=0.故选：D5.(2023福建龙岩统考二模)已知M是圆C:f+y2=2上f动点，且直线：皿工一3)-()，-2)=O与直线4：n(x-2)+m(y-3)=0(XR,m2+n20)相交于点P,则俨MI的最小值是()A.42B.3&C.22D.y2【答案】D【解析】由两直线方程可知4、，2分别过定点A(3,2)8(2,3),且两直线互相垂直，设A8的中点为O,则0(252.5),如图所示，则两直线的交点。的轨迹为以。为圆心AB为直径的圆。，MSIoq=平,可知两圆相离，设直线OC交圆C于E,交圆。于。，显然IPMIE*oq-c目-幽=华-当二"故选：D6(2023浙江模拟预测)已知圆0:/+)7=4和点A(4,4),由圆外一点P向圆。引切线,切点分别为何、N,若IAF=归Ml=Iw,则IOH的最小值是（A逑B.逑C,也424【答案】C【解析】设P（XM，连接。M,则OMj.尸M,可得IOM+归附二|。叶，所以IoPl =后了所以O叶=IOM2+1尸Mr=4+pm2=4+pa2,gp4÷(x-4)2+(y-4)2=x2+y2,可得4+y=f当V时，I舛竽.故选:C.7.（2023吉林白山统考一模）已知圆C:/+y2一叔-6y+12=0与直线/：x+y-1=0,P,Q分别是圆。和直线/上的点且直线PQ与圆。恰有1个公共点，则IpQl的最小值是（）A.7B.22C.7-lD.22-l【答案】A【解析】圆UX2+/一4工-6丁+12=0化为标准方程为U（x-2y+（y-3）2=l,则圆C的圆心为C（2,3）,半径l=1,则ICH=1,直线尸Q与圆C相切，有IPQl=JCQ-|时=JcqJi,因为点Q在直线/上，所以ICQlN笠工2&,则IP霏a.即IPQ的最小值是近.故选：A8.（2023广东佛山统考模拟预测）已知圆C:（X-I）2+/=4,过点A（0,1）的两条直线/一/?互相垂直，圆心C到直线4,A的距离分别为4,d2,则的最大值为（）A.正B.1C.2D.42【答案】B【解析】过圆心。分别作直线/-4的垂线，垂足分别为E,F.4,互相垂直，所以四边形AEC尸为矩形.由圆C：（x-lp+y2=4,可得CaO）,又A（0,l）,.Jl2+=ICEI2+1CFI2=|ACI2=221J2,所以44£1,当且仅当4=4=1时取等号，即4出的最大值为,故选：氏9.(2023.陕西商洛镇安中学校考模拟预测)在RtZXABC中，？890?,AB=/,BC=I,若动点P满足网=&,则BPC尸的最大值为()A.16B.17C.18D.19【答案】B【解析】如图，以8为坐标原点，BA ,BC的方向分别为K轴、y轴的正方向，建立平面直角坐标系,则B(0,0),A(7,),C(0,2).设P(X，y),贝l8Pb=X2+/2)，=/+(5一1)2一1因为网=忘，所以P是圆A:1-+v=2上的点.又点P与点(OJ)距离的最大值为2+7TT=32,即+(y_i)2q3&)2=8,所以4PCP17.故4PCP的最大值为17.故选：B.10.(2023黑龙江哈尔滨哈师大附中校考模拟预测)圆。：/+产=4与直线/d+()y-zi=o交于“、N,当IMM最小时，4的值为()A.-2B.2C.-1D.1【答案】B【解析】直线/:+(-l)y-=O,即(y-1)4+(Ay)=O,fy-1=0x=1令八，解得1,x-y=Oy=即直线/恒过定点C(U),Xl2+12=2<4,所以点C(Ll)在圆内，所以当OCL/时弦IMNl最小，因为心c=l,所以M=T,即JT=T，解得a=2.故选：B11.(2023四川绵阳高三南山中学实验学校校考阶段练习)点P在圆Cl(x-4)2+(y-4)2=9±,A(3,0),8(0,1),贝”P84最小时，pH=()A.8B.6C.4D.2【答案】C【解析】如图所示，由题意圆C：(x-4)2+(y-4)2=9的圆心。(4,4),半径r=3,当直线依与圆C相切时，即尸为切点时，NP6A最小,此时依与X轴平行，P(4,l),阀=4.故选：C12.(2023四川绵阳统考二模)已知DCaT)2+(y-l)2=3,点A为直线/：y=-1上的动点，过点A作直线与相切于点P,若Q(-2,0),则A"+AQ最小值为()A.3÷1B.23C.13D.4【答案】C【解析】设A3-1),由已知C(I/)，圆半径为r=6，由切线长公式得IAPI=7AC2-r2=(-1)2+4-3=(6r-l)2+l,所以IAH+AQ=J(-l)2+l+J(+2)2+lf它表示点A(,T)到。(-2,0)和M(LO)的距离之和，即同+阐=|刎+解，设Q关于直线y=T的对称点为N(-2,-2),AP+A=AM+A(=AM+AN,易知当M,AN三点共线时"AM+AN取得最小值MN=(-2-l)2+(-2-0)2=13.故选：C.13.(2022山东济宁高三统考期末)已知圆Uf+丁-4y+3=O,点M(7,12),直线/:y=X点是圆C上的动点，点Q是/上的动点，则PQ+QM的最小值为()A.11B.12C.13D.14【答案】B【解析】由题设CX2+(y-2)2=l,即是圆心为C(0.2),半径为的圆，X72+(12-2)2=149>l,在圆外同时不在直线/：y=x上，如下图示：若Ar为M关于/：y=x的对称点，则”(12,7),则P0+QM=P+Q"P"l,而IPMLn=IC,所以IPa+QMC"T=12f仅当CRQ,M'共线且P在CQ之间时等号成立，故PQ+QM的最小值为12.故选：B14.(2023湖南校联考二模)已知A(2,0),点P为直线a>5=0上的一点，点。为圆V9=上的一点，则|P+夕40|的最小值为()A密B,亚C.座D.H2224【答案】D【解析】设MaO),Q(,y),令gAQ=MQ,则gJ(-2)2+y；=J(X-XJ2+犬n12+粤X1+y：221IO片+X=InX=5,则O)=IPQI+；IAQI=IPa+|M.如图，当P，。，M三点共线时，且尸M垂直于直线x-y+5=0时，|叫+|雨有最小值，为IPM,1÷5r=2 ,贝|24+俨3|2即直线X-"5=0到点M距离，为2J2.¾：D15.(2023全国高三专题练习)若平面内两定点A,B间的距离为2,动点P满足的最小值为是()A.36-24&B.48-242C.362D.242【答案】A【解析】以经过A,B的直线为.v轴，线段AB的垂直平分线为.v轴，建立平面直角坐标系,则A(TO),8(1,0),.、IpaI-J(+)2+y2r设PaA因为扁=口所以Mx=应，两边平方并整理，得Y+y2-6x+l=0fgp(x-3)2+=8,所以点尸的轨迹是以(3,0)为圆心,2为半径的圆，则IPAl2+p2=(+)2+y2+(7)2+y2=2(+y2)+2,因为/+y2-6x+l=0,fiffUlPA2÷PB2=2(6x-l)+2=12x,=8-(x-3)2O,W3-223+22,所以36-24五12x36+24>,由此可知附+俨8的最小值为36-24正.故选：A.16.(2023陕西西安大明宫中学校考模拟预测)已知Ai是圆M:(x-2)2+y2=i上不同的两个动点，IABI=2,0为坐标原点，则IOA+OBI的取值范围是()A.2-2,4+2B.3-2,4+2C.4-,4+"D.2-2,2+2【答案】C【解析】(A2)2+y2=,.圆M的圆心坐标m(2,0),半径R=I,设圆心到直线/的距离为d,由圆的弦长公式,可得IA8=2n*,BP27=2,解得d=J,设AB的中点为NjMNl=孝，点N的轨迹表示以M(2,0)为圆心，以也为半径的圆,2N的轨迹方程为-2f+y2=:,因为|04+0以=|20"|=2|0乂|,又IoMI=2,.OM一乎M<OM+4,即2一乎ON<2+乎.即IoA+0例的取值范围为4-£4+后.故选：C17.(2023北京统考一模)若点M是圆C:/+V一©=0上的任一点，直线/：x+N+2=0与X轴、轴分别相交于A、B两点，则ZMAB的最小值为()CC冗a11b7c3d6【答案】A【解析】如下图所示：直线/的斜率为T,倾斜角为与，故？OAB号，圆C的标准方程为(x-2f+y2=4,圆心为C(2,0),半径为厂=2,易知直线/交X轴于点A（-2,0）,所以,IACl=4,由图可知，当直线AM与圆。相切,且切点位于X轴下方时，NMAB取最小值，1JF由圆的几何性质可知CMLAM,且ICMl=2，则NCAM=Z,ZOTrTrTrjr故NM4旌8-"m=3故选：A.O4OIZ18.（2023湖南永州统考一模）在平面直角坐标系中，过直线2x-y-3=0上一点。作圆UX2+2x+V=1的两条切线，切点分别为A.B,则SinZAPB的最大值为（）A.侦B,还C.叵D.正5555【答案】A【解析】如下图所示：由题意圆C的标准方程为Cr（x+1）÷=2sinZAPe = sin2« = 2sinacos ,所以SinNAP5 = 2SinaCoSa = 2WCPrl cp-),I-203又圆心C(TO)到直线2x-y-3=0的距离为d=42+(7)2=所以ICHNd=6,所以不妨设，=击，则SinzAH=2底,谕）=2=2HTJ+；=，）,又因为在（。单调递增，所以当且仅当，4即IeH=K,即当且仅当直线CP垂直已知直线2x-y-3=0时，SinZAP8有最大值（SinNAP叽=山12J4Lj+；=半.故选：A.19 .（2023浙江嘉兴统考模拟预测）已知点P是直线:nx-ny-5m+n=Ol2:心+冲-5l=0(利cR,病+1工0)的交点，点。是圆C：(x+lf+y2=上的动点，则IPQI的最大值是()A.5+22B.6+22C.5+23D.6+23【答案】B【解析】因为直线4:mx-ny-5m+n=0gpw(x-5)-(y-l)=0,令(LI=O,解得=,可知直线4过定点A(5,l),同理可知：直线A过定点B(l,5),又因为加"+()相=。,可知Zlj,所以直线4与直线4的交点产的轨迹是以A8的中点M(3,3),半径=2应的圆，因为圆C的圆心C(To),半径R=L所以|尸0的最大值是IMCI+r+R=J(3+lf+32+2+l=6+2应.故选:B.20 .(2023河南高三信阳高中校联考阶段练习)已知函数/(x)=ln(x+l)+l(R)的图象恒过定点A,圆O:f+),2=4上的两点P(X,y),Q(W,必)满足PA=44Q(4tR),则|2玉+乂+7|+|29+为+7的最小值为()A.25B.7+5C.15-有D.30-25【答案】C【解析】由题可知A为(0,1),且P、4Q三点共线，设弦PQ的中点为E(X,y),连接OE,则OELPQ,即OELAE,OE-AE=Q,由此可得E的轨迹方程为f+1-gj=；即E的轨迹是以(。，£|为圆心，:为半径的圆,设直线/为2x+y+7=0,l+7则E到/的最小距离为2_1=JL_1.>2252过RE、。分别作直线/的垂线，垂足分别为“、R、N1则四边形MNQP是直角梯形，且K是例N的中点，则ER是直角梯形的中位线，.I网+|叫=23用，gp2x'+g÷Z+2+g+7=2ER55即2%+y+7+22+%+7=25ER2石（亲一g）=15-正.姆：C.21.(2023全国高三专题练习)已知圆C：x2+V+2x-2"9-4-4?=0(mtR),则当圆C的面积最小时，圆上的点到坐标原点的距离的最大值为.【答案】5+ll+5【解析】X2+y2+2x-2my-4-4m=0三>(x+)2+(>,-zn)2=n2+4n+5=(n+2)2+1,所以半径r=JW+2y+ll,当且仅当初=-2时，半径最小，此时圆心为C(T,-2),圆心到原点的距离为d=J(T)?+(-2)2=6,(0+l)2+(0+2)2>l,所以原点在圆外，根据圆的性质，圆上的点到坐标原点的距离的最大值为t+r=5+l.22.(2023全国高三专题练习)点(g)在曲线y="7-2上，则E-4y+4的取值范围为【答案】【解析】如图，曲线)，="7-2为圆/+()，+2)2=4的上半圆，圆心A(0,-2),半径为2,以2,-2),3x-4y+4表示点(,y)到直线3x-4y+4=0距离的5倍.由点到直线的距离公式得IADI=9>2,BC=y,所以直线3x-4y+4=0与圆相离，3x-4y+4最大值为5(D-2)=23-4y+4最小值为5忸C=18贝Jj3x-4y+4的取值范围为2,18.23.(2023四川达州高三校考开学考试)已知椭圆C:9+=1的左、右焦点分别为尸一6，M为椭圆C43上任意一点，N为圆七：-3p+(y-2)2=l上任意一点，则IMAblM用的最小值为.【答案】22-5-5+22【解析】由题意椭圆C：+=l,M为椭圆C上任意一，N为圆E：(x-3p+(y-2)2=l上任意一点，故IM尸J+M8=4,IMNlMET,当且仅当ME共线时等号成立，故IMNlTM用=|的|一(4-|MEI)=MN+MElTlME+MK-5亚|-5,当且仅当M,ME,E共线时等号成立，而6(1,E(3,2)fEF2=a(3-1)2+(2-0)2=2,MN-MFi的最小值为2应-5.24.(2023河南开封统考三模)已知点M在圆/+V=4上，直线2x+y-4=O与X轴、y轴的交点分别A、B,则2M4+M目的最小值为.【答案】25【解析】2x+y-4=0中，令冗=O得)，=4,令,=O得*=2,故A(2,0),3(0,4).设C(O，)，点M在圆上运动时，始终有|M。=；IM同，设(，儿),则有片+(%->=；片+(%-4)1,又有其+必=4,可得2(li)%+(l7)=0,gp(l-H)(2yo-l-n)=0,所以=1,故C(,l),.2MA+MB=2MA÷j=2(MA+MC)2AC=25.25.(2023湖北荆州高三沙市中学校考阶段练习)已知,O1:x2+(y-2)2=LO2:(-3)2÷(y-4)2=4,过X轴上一点分别作两圆的切线，切点分别是M,N,当9+PN取到最小值时，点。坐标为.【答案】(LO)【解析】如图所示：设尸(7,0),则IPMI+1PNI=加1-1+JPa-2=Vr+4-1+J(f-3.+16-4=J产+3+(Z-3)2+12=(r-O)2+(-(-3)2+J(z-3)2+(0-23)2,A(,-3),(3,23),PM+PN=P+PBA,当且仅当API三点共线时，取等号,此时丝土9=6,直线AB的方程为y+0=L,八83-0令广。，得X=I,所以P(LO).26.(2023广东广州统考模拟预测)已知点C的坐标为(2,0),点A5是圆o：./+川。上任意两个不同的点，且满足ACbC=O,设P为线段AB的中点，则QH+op的最大值为.【答案】25【解析】如图，连接CRoPQA因为ACBC=O,所以AC_LBC,因为尸为线段45的中点，所以ICPI=IAH=忸H=TaBI,由垂径定理可得Of+|例2=|0小2,贝叶+cpp=o,所以ICtIoPl,盛近=石,所以IS+|。闫25,CP+O的最大值为25.当且仅当IoH=ICH=6时取等.27.(2023安徽亳州第一中学校考模拟预测)已知两定点A(TO),8(2,0),如果动点M满足IMAI=2阿叫,点N是圆V+(y-3)2=9上的动点，则IMVI的最大值为.【答案】12【解析】设点May),则J(x+4)2+y2=2j(x-2)2+1,整理为：(x-4)2÷=16,设圆(x-4)2+V=%的圆心为C一圆f+()3)2=9的圆心为G,如图，可知，M7V的最大值是圆心S!)晒个圆的半径，即5+3+4=12.28.(2023海南嘉积中学校考三模)已知M(X,y),N(2,%)是圆C:(工-3+(y-4=4上的两个不同的点，若IMNI=2,则归+R+但十刃的取值范围为.【答案】10,18【解析】由题知，圆C的圆心坐标。(3,4),半径为2,因为IMNl=2应，所以CMJ_CN.设尸为MN的中点，所以ICH=应，所以点尸的轨迹方程为(X3+(y4)2=2.点尸的轨迹是以。(3,4)为圆心半径为的圆.设点M,N,尸到直线x+尸。的距离分别为4,4,d,所以|苔+川+居+匆=应(4+4)=2缶.因为点C至I直线+y=o的距离为岁=华，所以挛一0d坐+,，2222即"小空,所以102d18.22所以k+W+H+对的取值范围为10,18.29.(2023.河北沧州.校考模拟预测)阿波罗尼斯是古希腊著名的数学家，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作圆锥曲线论一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是以口果动点M与两定点AB的距离之比为(2(4>OM1),那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆”下面我们来研究与此相关的f问题，已知点尸为圆。:丁+丁=4上的动点,M(To),N(3,1),则PM+2IPM的最小值为.【答案】2I7【解析】假设存在这样的点Qao),使得微=2,则IPM=4归才，¾My-设点Pay),则(工+4)2+9=4()2+丁,/zZgpx2+÷8x+16=4(x2+-2+r2)=>3x2+3-(8+8)x+4r2-16=0,./该圆对照/+y2=4,所以r=T,所以点Q(TO),所以IPM+2PM=2P+2P7=2(P+P7V)2QN=211.30.(2023湖北高三校联考阶段练习)已知64：/+(丫-2)2=1,eO2:(x-3)2÷(y-6)2=9,过X轴上一点P分别作两圆的切线，切点分别是M1N1当IPM+1PNl取到最小值时，点P坐标为.【答案】弓,0)【解析】eQ"2+(y_2)2=l的圆心为卬0,2),半径T1=I,eQ：(x3)2+(y-6)2=9的圆心为0(3,6),半径，3=3,设尸(八。)，贝IIIPMI=质(二T=炉HT=/71,IPNl=JIPO2=7(r-3)2+62-9=(z-3)2+27所以PM+IPM=4+3+(r-3)2+27=(z-0)2+0-(-5)2+取A(O,-如，B(3,33)则归M+?Nl=PAI+pbaM=J32+(46)°=质,当RA8三点共线时取等号，此时48直线：y+J=华(X-O)令)，=o,贝口=：,.川5，0