重难点04圆锥曲线三角形面积与四边形面积问题（六大题型）（解析版）.docx

重难点04圆锥曲线三角形面积与四边形面积问题【题型归纳目录】题型一：三角形的面积问题之治=；底高题型二：三角形的面积问题之分割法题型三：三角形的面积比问题题型四：四边形的面积问题之对角线垂直模型题型五：四边形的面积问题之一般四边形题型六：三角形、四边形的面积问题之面积坐标化【方法技巧与总结】1、三角形的面积处理方法(1) S=：底高(通常选弦长做底，点到直线的距离为高)(2)S=：水平宽铅锤高=如用kfI或SA=*z-%(3)在平面直角坐标系Xoy中，己知4ON的顶点分别为。(0,0),M(再，弘)，N(X?，必)，三角形的面积为S=JjvlzW.2、三角形面积比处理方法(1)对顶角模型(2)等角、共角模型3、四边形面积处理方法(1)对角线垂直(2) 一般四边形(3)分割两个三角形4、面积的最值问题或者取值范围问题一般都是利用面积公式表示面积，然后将面积转化为某个变量的一个函数，再求解函数的最值(一般处理方法有换元，基本不等式，建立函数模型，利用二次函数、三角函数的有界性求最值或利用导数法求最值，构造函数求导等等)，在算面积的过程中，优先选择长度为定值的线段参与运算，灵活使用割补法计算面积.【典型例题】题型一：三角形的面积问题之小=；底高例1.(2023全国高三校联考阶段练习)已知椭圆gE=l(>6>0)的一个焦点与抛物线=8y的焦点ab相同，且点(1,&)在椭圆上.(I)求椭圆的标准方程;(2)设过点(0,3)的直线/与椭圆交于不同的两点48,且48与坐标原点。构成三角形，求力03面积的最大值.【解析】(1)抛物线=8y的焦点坐标为(0,2),.椭圆的半焦距c=2,c=2A+=l解得/=8万=4,a2=h2+c2椭圆的标准方程为仁+=184(2)设点N(XpK)*(人,72)VA9B9O三点构成三角形，所以直线/的斜率存在且不为0,则可设直线/的方程为)，=区+3,y=kx+3,联立/+=184消去N整理得(2+公)/+6履+1=0.由>()得36124(2+12)>0,6kWi7尸2工(1 +/)6k2 + k242 + k23易知，点。到直线/：y="+3的距离h=-J=当且仅当,即制时等号成立,：.HlAOBLHI积的最大值为35/5,=26"例2.(2023四川巴中统考一模)己知椭圆UW+y=1(。>6>0)左右焦点分别为耳(To),g(L0),上顶ab点为8,直线8片被椭圆C截得的线段长为(1)求椭圆C的方程；(2)设过鸟的直线/与椭圆C交于尸,。两点，若BP工BQ,求三角形8尸。的面积.【解析】由题意，得上顶点为6(0,6),设OaoJO)(0)'y0=bx0+b,2故直线86的方程为y=bx+b,由焉yl消去歹解得：=-M,ab：.IdI=+P-L)-d=-a-,.,解得/=2,故>2=l÷a1+3椭圆C的方程为工+/=1；2(2)由(1)及题意知，在线/不过点5且与X轴不重合设直线)的方程为x=my+l(mT),P(wjl+l,jl),Q(my2+yy2)由BPlBQ得：SPBQ=O,(wy1+l)(my2+l)+(j1-1)(2-1)=0变形化简得：(小+)yiy2+(利-1)(必+为)+2=0(*)由二?：1消去X整理得：(w2+2)+2-l=0X+2y-2=0,=(2m)2+4(/+2)=8(/+1)>0恒成立由韦达定理，得：必+乂=一一"彳，必为=一一L;，w+2m+2代入(*)式得：-*-冽华+2=0nr+2m+2化简得：M-2m-3=0,由-l及上式解得=3,，直线I的方程为X3y1=0,=8(2+l)=80,由弦长公式及求根公式得:IPOI=WNfI1080 202i11又点8到直线/的距离为d=-=105S-"p.1x202=W5.°2251111例3.（2023福建漳州高二福建省华安县第一中学校考期中）已知椭圆氏£+=1（>6>0）的半焦距为Q-b%原点。到经过两点（GO）,（0,力）的直线的距离为gc,椭圆的长轴长为4J（1）求椭圆E的方程；（2）直线/与椭圆交于48两点，线段48的中点为M（2,T）,尸为椭圆的左焦点，求三角形处8的面积.【解析】（D经过两点（G0）,（0力）的直线为：-+=1,即云+少-bc=O.cb由一知：原点到直线的距离d=-"T=生=%即>2+c202a2又2。=46，则b=I所以椭圆的标准方程为：+-=1123（2）当直线/斜率不存在时，线段48的中点在X轴上，不合题意，所以宜线/的斜率存在，设为k,则直ly+=k（x-2）fy=kx-2k-l,设/（不必），5（孙力）联立整理得：（1+42卜2一8人（2k+1片+16犬+16-8=0显然>（）由韦达定理得+/=喏216公+16k-8+4k2又彳8的中点为M(2,T),则彳,：；)=4,解得A=；,则VW=2所以81=Vl+Zr2x1-x2=+X2)2-4x1x2=VlO又尸（一3,0）至IJ直线/：去一y 2% 1 = 0的是巨离为d=卜3-2左-1|卜*-J7逐5 + = l（>b>0）短轴顶点与焦点所以SAPAB=gMX当变式1.（2023江西南昌高二江西师大附中校考阶段练习）已知椭圆所组成的四边形面积为2,离心率为也.2（1）求椭圆的方程;(2)过点尸(0,2)的直线/与椭圆相交于48两点，求三角形048面积的最大值.【解析】(I)由题意可得e=£=正，又g2b2c=2,即A=I,。22×a2-b2=c2,解得a=亚,b=c=,则椭圆的方程为三+y=1；(2)可设直线/的方程为y=h+2,与椭圆方程r+2V=2联立，可得(1+2k2)x2+Skx+6=0,则A=64-460+2F)>0,化为2/一30，设A,8的横坐标分别为七，演，阳8k6可得再+”一币F，中2=W则IABI=Jl+/X/占+2)2-4Xrr2=4+k2×JX+'广V+2×当而O到宜线/的距离为d21 + 2则 ×7= Xg X义善二IrN %2_ 31+ I2-设t=y2k2-3(/>0)»即=，；3,_222忘2逝Eb7744''T,/+7V×7当且仅当，=2即2=±巫时，三角形。48面积取得最大值也22变式2.(2023上浙江嘉兴高二校联考期中)已知点M到直线/：=2的距离和它到定点厂(1,0)的距离之比为常数&.(1)求点M的轨迹E的方程；(2)若点。是直线/上一点，过尸作曲线E的两条切线分别切于点A与点8,试求三角形/MB面积的最小值.(二次曲线及2+取2+。=0在其上一点0M,打)处的切线为4%工+孙/+。=0)lx2厂2【解析】(I)设M(Xj)，则Uj="，化简得E：y+=11所以点M的轨迹E的方程为+V=I.(2)设尸(2j),4(%,必)，则切线北为当+KV=1,切线8尸为子+必歹=1,x.+ty.=将点P分别代入得'1,所以宜线48为，：x+W=l,M+叱=1点P到加的距离d=1 +/gT,当 f = O 时，dm=l .x+ty=另一方面，联立直线48与Em得(入2)/_2OT=0,万+y_I+y2t所以.I,则48=Jl+f2.卜乃|二+小步|+歹2)2-外必=>M=T7iIJ当LO时，物Ln="所以S.=；IMId孝故Z=O时，SA的,最小值为变.2题型二：三角形的面积问题之分割法例4.(2023河南南阳高二统考期末)已知抛物线E：/=X的焦点为F,过X轴正半轴上一点的直线/与抛物线E交于A、B两点,O为坐标原点，且R.9=6.(1)求点M的坐标；(2)设点户关于直线08的对称点为C,求四边形。力8C面积的最小值.【解析】(1)设直线/的方程为X=少+",联立V=,可得"-my-"=0,需满足A=+4”>o,设/XM),8(巧,必)，则M+必=MMy2=-，由于My2<°，.”0,由刃丽=6可得XlX2+必必=(My2)+必必=6,解得=3或=-2(舍去)，则x=my+3过X釉正半轴上一点(3,0),即点M的坐标为(3,0).(2)由题意知尸(2，0),结合(1)知Ky2=-3,4不妨设乂>°,-2=-3,13,3/3、则5回8=弓|。Mll必一为1=亍(乂一必)=于必+一，ZZ2Vy)由于C,户关于08对称，故SqBC=SAoBFToF11为卜蓝-,28%“°CC3393(131、3八13B故S四边形.sc=&N8+£瓯=彳、4XH-×214-=>,28%队8，必2当且仅当4必=U时，即必=姮时，等号成立，乂I2故四边形Q48C面积的最小值为亚.2例5.(2023黑龙江哈尔滨高二哈师大附中校考期末)已知椭圆U=E=l(>b>0),焦距为40，且ab经过点M书.(1)求椭圆。的方程；(2)设4，4是椭圆C的左、右顶点，。为直线x=6上的动点，直线40,40分别交椭圆于/,N两点，求四边形4MN面积的最大值.【解析】V2c=42-.c=22,F,(-22,o),/(22,),Y经过点P,P6+IPqI=JI8+1+#+"=6=勿，=3.所以椭圆C的方程为+炉=(2)椭圆及直线x=6关于X轴对称，不妨设。(6j),(AO),M(XQi),N(X2,%)，4(-3,0),4(3,0),则直线04：N=(X+3),宜线04:歹='X-3),由、'=§(x+3),消去X得一%=o,解得必=其，+9=9jtZ+9同理由)'=3("一"，得=白，X2+9y2=9t+则四边形AMA2N的面积为S=$S外=加阕(瓦|+网)=3帆必I设U=F(U=+:2曰=26,当且仅当f=j,即Z=G时等号成立)，、4,4(w+2)(w2)/(w)=M+-,/(W)=1r=-UUUw23,(w)>O,/()是增函数，所以=2时，歹=“+3最小值为8叵，S最大为36，/=JLM3例6.(2023浙江嘉兴高三统考期末)已知抛物线U=2px(p>0)上的任意一点到焦点的距离比到),轴的距离大上.(1)求抛物线C的方程；(2)过抛物线外一点尸(八)作抛物线的两条切线，切点分别为4B,若三角形4BP的重心G在定直线/：y=|x上，求三角形/5尸面积的最大值.【解析】(1)根据题意，抛物线C上的任意点到焦点的距离与到直线X=-g的距离相等，由抛物线的定义可知：f=pP=I,抛物线C的方程为/=2x./2(2(2)设动点尸(叽)，切点力与小，By,J2.设过力的切线RI方程为1-k=出-月)，与抛物线方程联立一会一必)，2l=2x消去X整理得/一2少+(如4)=0,=4r2-8(y1+4y12=0,所以£=必，所以切线pa方程为My=X+f，同理可得切线PB方程为y=+4，联立解得两切线的交点PGim,2尹,所以有HM=I22)乂+必=/X=4+号+号-丁=因为。36乂+y>+"+",v_1-2÷V2-性-3-2-又G在定直线/"=x,所以有?=2/-2,因为。在抛物线外，所以2>2（2/-2）=J斗2-tn391，即P的轨迹为X=2/_2y,7w0,如图，取力8中点0,置二些.则 XQ - F- -4 一-m。=必十必二2所以IP。I=-2/，因为I必-为I=J(M+8)一例必=242-如,3所以S神=3俨。卜|必一歹2|=(2-2哺，所以Smp=(4"城F=一'("I)+J'所以当=1时,c-83max9变式3.(2023四川成都高二四川省成都市新都一中校联考期中)已知椭圆W+E=l(a>b>0)的离心率为ab3"F,(1)点尸是椭圆上异于左、右顶点的任意一点，4(-。，0),A2(。，0),证明点P与小，山连线的斜率的乘积为定值，并求出该定值；(2)若椭圆的短轴长为2,动直线/与椭圆交于48两点，且坐标原点。在以AB为直径的圆上.判断是否存在定圆与直线/恒相切，若存在，求定圆的方程，若不存在，请说明理由；求三角形OAB的面积的取值范围.【解析】设P(MyO),则从片#=t2,整理可得K=与J一/),Q-hlll"b2,._/b2则-2=-»所以女p4kPAi-；=-2=一_F，Xq-(a-xq+axit-aXj-Cra因为椭圆W+g=l(>b>0)的离心率为巫，则e=1X=也，Crb-2a2所以4=L,则即4即4=-：，故点。与小，4连线的斜率的乘积为定值43-44(2)因为椭圆的短轴长为2,则6=1,由(1)可知，=2,所以椭圆的方程为+/=1,因为坐标原点4。在以48为宜径的圆上，所以假设存在定圆与直线/相切，由对称性可知定圆的圆心在坐标原点O,Wm.线/的斜率不存在时，有对称性设彳,Q,则F+4F=4,解得*=,此时坐标原点。到百线/的距4离的平方为，当直线/的斜率存在时，设直线/的方程为y=Ax+m,设力(x,力)，B(刈，二)，联立方程组*2+4/_4，消去P可得（4/+1）x2÷8x+4（m2-1）=0»则4=16（4A÷1）-w2>0>消去4可得，（4Aj+l）y2-2my-m2-42=0*因为04JLo8,P!Jxx2+y.y2=4w4÷m4k=0,gJ5w2=4（4H）,止匕时A=3（16+l）>0,2"24A-2+l42+l5坐标原点O到直线/：y=kx+m的距离的平方为"2=KL=.k+54综上所述，存在定圆/+V=与直线/恒相切；当直线/的斜率不存在时，AOiB的面积S=q,',l白:线/的斜率存在时，AOAB的面积S=占，叶以-x"=口=±J（16公+1）（公刊,22ll4A:2+15婕+1令尸吠+】，仑1,则S=邸-*3）=MPJ=升叶/碎,所以（SL41综上所述，ao49的面积的取值范围为-,1.23变式4.（2023河南高二校联考阶段练习）已知椭圆C:=+与=l（>b>O）的离心率为右焦点为凡上ab5顶点为O,且三角形R?。的面积为6,过点（0,3）的直线交椭圆与48两点，点N（0,）（1）证明：直线M4和直线N8关于y轴对称；（2）求三角形面积的最大值.c3I【解析】（1）设椭圆的半焦距为C,则由已知有£=,>c=6.a52又由1=+/,。，b,c>0解得=5,b=4,c=3所以椭圆的方程为1+4=1.2516设点A的坐标为（4凹），点B的坐标为（，必），设白:线48的方程为广质+3（显然，不存在时H线和NB与V轴重合，满足题意）.X2V2+-=1联立直线与椭圆的方程2516,消法y,y=kx+3整理得（25*+16）/+150Ax-25×7=0,1.J-rzh150左25x7由此可得*+%=砺前，2=布?_26,_26直线N4的斜率为，:二“一7,直线N8的斜率为e=2二，因此有I芭2Z16z、W+%M-Ta+Z)%+&=2.中2又因为WM=X(q+3)=Ax1x2+Sx2,同理XM=kxx1÷3xl,故x2yx+XM-4a+W)=2Ax1x2-(xl+x2),将带入可得16z、-350350kC匕乂+-y('+3=须F须寸°-所以，A1+A2=O,故直线乂4和直线四关于y轴对称.17(2)由已知可得，三角形N48的面积等于PmVIXk-七|=：卜1-工2|,26而($一七)？=(芭+x2-4XlX2将(1)带入，、21600(252+7)记25/+7=，整理得(XLX2)，=-l;-E(252+16)(25公+7)tt11F'+00)'则(25公+16厂加牙、+1a+81=111工软，当且仅当f=9即左=±g时，等号成立.因此人的最大值为T，72070故三角形NAB的面积的最大值为:X#=；.639题型三：三角形的面积比问题例7.(2023天津校联考二模)已知椭圆WE=l(>b>0)右焦点为尸，已知椭圆短轴长为4,离心率为ab22.(1)求椭圆的方程；(2)若直线>=h+W/0)与椭圆相交于“、N两点,线段MN垂直平分线与直线/及X轴和)，轴相交于点0、E、G,直线G/与直线=4相交于点，记三角形EFG与三角形GOH的面积分别为B,S2,求IL的值.d2Of(1)由题意可得2b=4,即6=2,又.e=£=",且。2=+。2,a2解得：a=22，c=2,所以椭圆的方程为二+乙=1.84(2)22由(1)知椭圆的方程为土+=1,所以右焦点产(2,0),84由直线/：歹二奴+(工0),且线段WN的垂直平分线与X,y轴都相交，所以七0,y=kx+t联立/2消去N并化简得：(1+2公卜2+4妹+2/8=0,+=184此时需满足=8(8公-J+4)>O,设M(XQ3N(X2，必)，rll4kt./c2/则再+W=TTT,M+%=Mx+/)+2/=777，1 IZK1+ZK所以4i三,T),线段MV的垂直平分线的方程为尸YTT=+鲁方，+2kk2k)令，解得/=，则有高，0)，令x=o,解得几=彘，则有g(o<11J.-DfG关于E点对称，所以IOEHEGI,宜线仃的方程为kO=上&(一)，即尸罢畜，20令、=4,解得切=i,贝监Mai)所以G,H关于尸对称，所以IG尸I=IH/I,c-GEGFsinZEGF1所以=4-o2-GDGHSmNDGH"2例8.(2023上天津高二天津市第一百中学校联考期中)设椭圆£+£=1(a>b>0)的左右焦点分别ab为耳，F左右顶点分别为4,B,FiF2=2fAF2=3.(1)求椭圆的方程；(2)已知尸为椭圆上一动点(不与端点重合)，直线8尸交y轴于点0,O为坐标原点，若四边形OPQl与三角形OPB的面积之比为3:2,求点P坐标.【解析】（1）因为怩1=2,I典1=3,所以2c=2,+c=3,所以=2,c=l,所以=J-c2=石，所以椭圆方程为二十=1;43（2）如下图所示：因为四边形OPQA与三角形OPB的面积之比为3:2,所以三角形力8。与三角形OP5的面积比为5:2,l×ljl×l5%5所以=彳，所以拉二G×l×2yp4显然直线BP的斜率不为0,设直线BP的方程为X=少+2,联立所以(3+4)/+12叩=0,DA十f-IXl-rrl？2所以=一菽），y。=:_2_所以=J,解得tn=士迈,12m433w2+4当M=平时，BP:x=巫yd%=一=一还33'"3"+45生22CC22r12m62Im=时，BP:X=y+2»yp=；=33f3w2+45所以XP综上可知，P点坐标为或例9.（2023天津统考高考真题）设椭圆与+y=1（。60）的左右顶点分别为4,4,右焦点为尸，已知ab1F=2F=.（1）求椭圆方程及其离心率；（2）已知点P是椭圆上一动点（不与端点重合），直线4P交y轴于点。，若三角形4P。的面积是三角形4尸。面积的二倍，求直线4P的方程.【解析】（1）如图，a+C-3一解得=2,c=l,所以b=庐干=JLac=1所以椭圆的方程为二+或=1,离心率为e=S=!43a2(2)由题意得，直线4尸斜率存在，由椭圆的方程为二+己=1可得4(2,0),43设直线40的方程为y=%(-2),(3 + 4 Wl6%与 +16左2 -12 = 0 ,联立方程组?+?=，消去V整理得:y=k(x-2)由韦达定理得9小6k2-23 + 4公所以XP8Ar2-63+ Ak2所以P；Sk2-G 3+ 4F,。(0,一24).所以SAA2qa=；X4X内,S”=；X1X|谒,Sw2P=34X卬,所以S4A1QAl=SaqPQ+Sa4m=2S.A1PF+Jlf2P*所以2尻卜肌即2留=3-r,解得k=±告,所以直线4尸的方程为y=±手(-2)题型四：四边形的面积问题之对角线垂直模型例10.(2023重庆沙坪坝高二重庆南开中学校考期中)如图，双曲线过原点。的直nr线44与双曲线分别交于力、C、B、。四点，且4L2.(1)若加=J,P为双曲线的右顶点，记直线尸力、PB、PC、P。的斜率分别为勺、&、&、匕,求Wk3%的值；(2)求四边形为BCO面积的取值范围.【解析】(1)由题设，44的斜率都存在且不为0,令h：y=h,则4：y=-；x,k-m <k <m所以1-m < < m-3 <)l<3r 1 L=ka*,-3 < <3 k,3),联立4：歹二履与双曲线，得不妨令题后'悟）C（一后'-喏1'同理D（咫G）'B（由W则占=T.、感力'夜令二'"尸飞/工二所以#4 =3k3-(3-2) 3攵2一(3二一1)=9.联立所以四边形力BeO面积S = ；MCI8012m2( + k2)y-m2k4 +(7M4 +1)A2 -/W2令 = 1+F (1 Hr,l + if),m所以S2m2 fyj-ffi(kti It +1) + (w4 ÷ 1)(-1) - n2m2ty -m2t2 +(n2 +l)2-(w2 +1)22n= n2+l)2(y-w2, 1 z 1 n2 . r <而片(谈,不/)且必>1 + m2"1/八T = T G 11)l + n1 + m2（2）由题设且同（1）得左（-机,L）Ud,，rnmy=kx2,y2=>(m2-k2)x2-m2=O,则/+%=0,/%=77Xr=1nr-k所以I彳Cl=Jl+炉'y(A+)2-xaxcH1+幺-2TiVm-lm1(+k2)y(m2-k2)(m2k2当！趋向于；I时,一（加2+1）2（-1）?+（"一D-趋向于0,即S趋向于正无穷，t1+wt24所以四边形48C0面积的取值范围是学-,+co）.m-1例IL（2023浙江高二校联考期中）在平面直角坐标系Xoy中，己知点后卜6,0）,工（百,0）,点尸满足PFx+Pf=26.记P的轨迹为M.(1)求/的方程；(2)直线x+y-J=O交M于A,B两点，C,。为上的两点，若四边形4C8O的对角线。_L48,求四边形/C8O面积的最大值.【解析】(1)因为IP周+|尸周=2指>比巴卜26,由椭圆定义，轨迹C是以点耳(一6,0),鸟(6,0)为焦点，长轴长为2席的椭圆，设椭圆方程噂+,=I (a > /> > 0)»则2a=2#，*a=y乂'c=3,则b2=a2-C2=3椭圆"的方程为fg=l;63x + y-3=0解得43 X =3百或，设直线Co的方程为y=x+，设C(X3,必)，O(X4,居).y=x+n由,Yy2得3/+4ax+2-6=0.一+=163=16w2-12(2-6)>0,故-3<<3.又AB,Co的交点在A,8之间，故一更<z,<J3因为直线Co的斜率为L所以|。I=GkT3=逐X延手正=勺婪又四边形NCBO的面积S=-CD=板囱二/，当=O时，S取得最大值，最大值为鼠i,3所以四边形4C8O面积的最大值为九5.3例12,(2023安徽铜陵高二校联考期中)己知圆C的圆心在坐标原点，面积为9.(1)求圆C的方程；(2)若直线/,厂都经过点(0,2),且/1/',直线/交圆C于M,N两点，直线/'交圆C于尸，Q两点,求四边形PMON面积的最大值.【解析】(1)由题可知圆C的圆心为C(0,0),半径r=3.所以圆C的方程为f+V=9.(2)当直线/的斜率存在且不为O时，设宜线/的方程为丁=履+2,圆心到直线/的距离为d,当直线/的斜率不存在时，IMAq= 6, p = 232-22 =25 ,此时SPMQN=VP=l×6×25=65.当直线/的斜率为O时，根据对称性可得Spw=6J.综上所述，四边形PM0N面积的最大值为14.变式5.(2023江苏泰州高二泰州中学校考阶段练习)己知椭圆心X y7+F(a>b>O)的左右两个焦点为耳玛，且山闾=2,椭圆上一动点尸满足PK+IPKI=2J.(1)求椭圆W的标准方程及离心率；(2)如图，过点耳作直线4与椭圆力交于点4C,过点用作直线2L,且6与椭圆少交于点氏。，4与4交于点E,试求四边形彳BCQ面积的最大值.【解析】(1)由题意=JIc=l,又因为=q2-c2,所以b=e，饰网方程为+=1，离心率为立.323(2)当直线4C斜率不存在或者为。时，易得“18D=2J苧=8,从而四边形48C。的面积为4.当直线4C斜率存在且不为O时，设NaJI),Cw,()，直线NC：=HX+1),y=k(x+)联立2=>(3k2+2)x2+6k2X+3k2-6=O,+-=132易知>O,由韦达定理得xi+2=f,xix2=，3/+2123A2+2c=7F（x1÷x2）2-4x1A-2=析班与第三二叫名，3k+23K+N同理阳=46妇?乙K十D门.、CldD八I0/1（女"+1）'X14+22+1,一14+2>2+1_人四边膨他>=5,伊l=（2/+3）（3标+2）=67"+13F+6,6（Jt4+2A:2+1）=，从而四边形48CO面积的最大值为4.变式6.（2023河南周口高二校联考阶段练习）已知椭圆W+4=l（>6>0）的离心率为正，点（0，1）在ab2v7椭圆上.（1）求椭圆的标准方程；（2）若椭圆过原点。的弦/C5。相互垂直，求四边形力BCO面积的最大值.【解析】（1）由£=也，得=2c2,a2则=°2,故椭圆方程可化为f+2=2°2,将（亚,1）代入上式得d=2,则/=4,加=2,故椭圆的标准方程为+乙=1.42（2）由题意得，四边形48Co为菱形，则菱形ABCD的面积S/88=g4C忸=；x2p42p8卜2p4卜p6I当直线/C的斜率不存在或为O时，易得SjIBCD=$4x26=4也;当直线AC的斜率存在且不为O时，设直线AC的方程为y=kx,则BD的方程为y=-x,设Za,凹）,8（孙必），将必=村,必=一：2代入土+匕=1，k422424得不二咫-r+1=J(+FH=J(I+0高Sabcd=2OAOB综上，S.se的最大值为4变式7.(2023山西朔州高三校联考开学考试)己知椭圆氏7+J=i(0>6>0)的左、右焦点分别为小ab用，为椭圆E的上顶点，砒丽=0,点N(,-1)在椭圆E上.(1)求椭圆E的标准方程；(2)设经过焦点与的两条互相垂直的直线分别与椭圆E相交于48两点和C,O两点，求四边形ZCB。的面积的最小值.【解析】(1)设K(C,0),由丽丽=0,有丽_1_丽.又由IMGI=IM周，有NMEo=：(O为坐标原点)，可得b=c,a2=2b2,可得椭圆E的方程为£+4=1,2b2b271代入点N的坐标，有二7+77=l'解得b=J,。=2,2bb故椭圆E的标准方程为+己=1：42(2)当直线48的斜率不存在或为0时，|48|为长轴长或"二a不妨设H5=2=4,eq=/=2,故与边形3=g网¥0=4；y = k(X-4 联立方程，22当直线48的斜率存在且不为0时，设宜线48：=(-2),力(士,必)，B(x2,2),消去y得(l+2)2-452+4-一4=0,所以|力却=y(l-2)2+(yi-y2)2=l-2)2+(,-2)-Zr(x2-2)J则 x1 +x2 + 2k2 + 2k211.8(/+广所以S四边形IXICQI=伏2+2)W+1),/,/,便+2)+(2F+*9fc2+l)2因为(公+2)(”2+1悭ALL=-L-Lf当且仅当F+2=2+l,即左=±1时等号成立,8(.+1)2_32所以S四边形4£,上+2=亍,而*4,432综卜.：四边形/C80的面积的最小值为9题型五：四边形的面积问题之一般四边形例23湖北武汉高二校联考期中)如图所示，椭圆氏。g，。)的上顶点和右顶点分别是4(0,1)和8,离心率e=旁，C,。是椭圆上的两个动点，且C。/8.(1)求椭圆的标准方程；求四边形力8C。面积的最大值；(3)试判断直线力。与8C的斜率之积是否为定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由.【解析】(1)因为力(0,1),所以6=1,又离心率为3,所以£=正，2a2Hrl)4)4/2)4z4?即-=C-Zr)=J-7/二4,所以椭圆的标准方程为+/=14(2)因为=2,所以3(2,0),所以“越=-；,设直线C。的方程为y=-x+Q<l),O(XQJ，C(x21y2),2i+y=1由，,得/一2戊+2/-2=0，y=x+tI2由A=4产一4(2/一2)>0得-J<vi,则M+=23x,x2=2t2-2t故|8|=当归_q=/+(一32.'418：+8=62一？,宜线48方程为x+2y-2=0,8(2,0),所以48=JJ,直线48与CO之间的距离为d=也爽故四边形48S的面积为S=g(48+Cq)d=T(+52三7)=IT(IJT=7卜令f=在85。仔<6<),则S=(l-f)(l+Vsine)=(I-2cos)(I÷2sin6>)=1+2sin-2cos。-2sinOCoS，令m=SinO-COSe=岳in(6：)，贝J<w,2sincos<9=l-w2,所以S=M，+e入,而函数S=/+JS"在(0,&上单调递增，所以当n=时，即f=T时，四边形4BC。面积的最大值为4；(3)由第(2)问得石+/=2八x,x2=2t2-2f1211小I2Il1/2I-Vt+-(2t-x)-rX-(r-1-1二222、=222'=2"P,2r-2-2xi2t1-2-2xx2(2-l-j)4故直线力。与BC的斜率之积为定值，且定值为!.4例14.(2023湖南长沙高二长郡中学校考期中)已知椭圆C：4+£=1(。>/)>0)的左、右焦点分别为可、ab3心，焦距为2,上、下顶点分别为鸟、B2,4为椭圆上的点，且满足左代不保二-不(1)求椭圆。的标准方程；(2)过耳、玛作两条相互平行的直线小6交C于"，N和P,Q,顺次连接构成四边形尸。N”,求四边形POMV面积的取值范围.【解析】(1)由条件C=I,设4(/Jo)(Xo0),则G4+4=*ab"又用(0,6),¾(0,-Z>),y0-byQ+by-b2b23=一=,XO-%XQa4/，=£(/),33v7=2,b=y3.即椭圆C的标准方程为占+-=1.43（2）由对称性可知，四边形P0NM为平行四边形，设MN：X=吵+1,与椭圆方程联立得：（3/+4）/+6ZWy-9=0.-93m2 + 4设M（X”必）,N（X2，8），则K+必=不当7,必必3"+42设点用（LO）到直线4的距离为力则d=Sq,l+n所以四边形尸。NW面积为：S=IMNId=空手.设J+=fl,一24/24则乐T-TT,在“口，+8）单调递减,JZ+-所以S的取值范围为（0,6.例5（2。23新疆高二校联考期中）动点P与定点"（后。）的距离和它到直线/：X=竽的距离的比是常数立，记点尸的轨迹为E.2（1）求E的方程；（2）已知M（O1），过点N（-2,1）的直线与曲线E交于不同的两点4B,点力在第二象限，点B在X轴的下方,直线M4,分别与X轴交于C,。两点，求四边形4C8O面积的最大值.7（x-3）2÷3【解析】（1）设点P（）,依题意可得丁耳二一二5,化简得V+4=4,即E的方程为+/=所以(X-G)