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三角函数概念7. 2.1任意角的三角函数【第一课时】任意角的三角函数（一）【教学目标】1 .借助圆理解任意角的三角函数定义。2 .能利用求值，判断正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号。【教学重难点】1 .借助圆理解任意角的三角函数定义。2 .能利用求值，判断正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号。【教学过程】一、情境引入如图所示是光明游乐场的一个摩天轮示意图，它的中心离地面的高度为如，它的直径为2R,逆时针方向匀速运动，转动一周需要360秒。问题（1）若现在你坐在座舱中，从初始位置OA出发，过了30秒后，你离地面的高度力为多少？过了45秒呢？过了f秒呢？（2）如图所示建立直角坐标系，设点PaP,"）,你能用直角坐标系中角的终边上的点的坐标来表示锐角。的正弦函数的定义吗？能否也定义其他函数（余弦、正切）？改变终边上的点的位置，这三个比值会改变吗？提示（1）30秒时h=1u）+Rsin30o=fo+7?;45秒时h=ho+Rsin45o,t秒时z=zo+Rsin产。(2)能，sina=yptCOSa=XP,tana=甘，改变终边上点的位置，比值不会改变。二、新知初探1 .任意角的三角函数的定义一般地，对任意角a,在平面直角坐标系中，设。的终边上异于原点的任意一点P的坐标为(,y),它与原点距离是r,则=这五；此时，点P是角。的终边与半径为一的圆的交点。(如图)贝(I：(1)比值料做a的正弦，记作Sina,即Sina=j(3)比值)(x0)叫做a的正切，记作tana,即tana=；(x0)o2 .三角函数对于每一个实数a,都有唯一实数Sina与a对应，故Sina是a的函数，同理CoSa也是Jra的函数；当aE+awZ)时，tana也是a的函数；则sin。、COSa、tana分别叫做a的正弦函数、余弦函数、正切函数;以上三种函数统称为。的三角函数。3 .三角函数值在各象限的符号口诀概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦(如图)。yy÷+-OX-O_sinacosa拓展深化微判断1 .角的三角函数值随终边上点的位置变化而变化。(X)提示角的三角函数值与点在终边上的位置无关。2 .若角Q终边过点(1,3),则Sin。=理/。3)3 .终边在无轴上的角的正切值不存在。(×)提示终边在y轴上的角的正切值不存在。4 .若Sinacos>0,则角为第一象限角。(x)提示sincosa>0,则Sin,COSa同号，则为第一、三象限角。5 .sin>0,则为第一、二象限角。(×)提示的终边位于第一、二象限或y轴正半轴。微训练1 .若=,贝Ucos=oO解析cosQ=坐。3答案M2 .tan-y的符号为。解析y=4-,即事是第四象限角，所以tarN).答案负3 .已知角的终边经过点(3,4),贝!jsin+cos1的值为。,431解析易知r=N32+(4)2=5,所以Sina=-亍COSQ=5，故Sina+coso=-石田1答案一534 .若点P(3,y)是角CC终边上的一点，且满足y<0,cos1=亍则tana=。33解析Tcosa=而百=亍32÷y2=5.*.y2=16,4V><0>.y=-4,Atan=-4答案号微思考1 .三角函数值的大小与点P在角。终边上的位置是否有关？提示三角函数值是比值，是一个实数，没有单位，这个实数大小和点尸,y)在终边上的位置无关，而仅由角a的终边位置所决定。对于确定的角,其终边的位置也唯一确定了，就是说，三角函数值的大小仅与角有关，它是角的函数。2 .若两个角扇4的正弦值相等，那么=夕吗？提示不一定相等，4可能相等，也可能为终边相同的角，还可能终边关于)，轴对称。3 .三角函数值在各象限的符号由什么决定？提示正弦函数值的符号与y的符号相同；余弦函数值的符号与X的符号相同。正切函数值的符号由点角定。三、合作探究题型一利用角。的终边上任意一点的坐标求三角函数值【例1】已知角的终边过点P(-3a,44)(00),求2sin+cos0的值。解r=y(-3)(4。)2=5同，若>0,则r=5,角在第二象限。,y4«4X3a3Sma=F=五=干coSa=：=丁=一亍83所以2sin+cos=-1.若<0,则=5,角在第四象限，4。43。3sina=一丁=-7»cosa=一丁=5a5-5a5Q3所以2sin+cosa=-§+；=1.规律方法(1)已知角终边上任意一点的坐标求三角函数值的方法在的终边上任选一点P(JGy),设P到原点的距离为r贝IJSina=夕COSa=也当已知的终边上一点求a的三角函数值时，用该方法更方便。(2)当角的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论。【训练1】已知角的终边经过点尸(5m,12),且CoSa=一卷，则相=。(m<Qf解析r=y(5m)2÷122=25w2÷144,cosa=<0,AIn1,-I®?+=-!?解得tn=-.答案T题型二求特殊角的三角函数值2TT【例2】利用定义求售的正弦、余弦和正切值。9Jr解如图所示，手的终边与单位圆的交点为P,过点尸作尸8_LX轴于点6,在Rt。尸3中，OP=LNPo8=?则P8=坐0B=9则一g,坐)所以Sin竽=零COSy=12,立22厂tan=-j=-y3<>-2规律方法在单位圆中找到角的终边与单位圆的交点的坐标。然后利用定义，即可得到特殊角的三角函数值。【训练2】对于表中的角,计算Sina、COSa、tana的值，并填写下表。aO6322T567T4T3T5TllT2sinaOX2122西2亚2Ocosatana不存在O不存在O1-2-32323.3 1-2一3 O - 1-25 3233 133 1-2Os 3233 32。 案 答32 1-2题型三三角函数值在各象限的符号【例3】（1）若角。同时满足Sino<0且tan火0,则角。的终边一定位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限（2）判断下列各式的符号：tan191o-cos191°；Sin2cos3tan4.（1）解析由sin8<0,可知。的终边可能位于第三象限或第四象限，也可能与），轴的负半轴重合。由tanv,可知。的终边可能位于第二象限或第四象限，故。的终边只能位于第四象限。故选D.答案D（2）解因为191。是第三象限角；所以tanl910>0,cos191o<0.所以tan191o-cos191o>0.因为2是第二象限角，3是第二象限角，4是第三象限角。所以sin2>0,cos3<0>tan4>0.所以sin2cos3tan4<0.规律方法三角函数值符号的判断问题：（1）由三角函数的定义可知Sina=cosa=?,tana=：3>0）可知三角函数值的符号是由角的终边上一点（除原点）P（x,y）的坐标确定的，故准确确定角的终边位置是判断该角三角函数值符号的关键。（2）由三角函数值的符号确定。角的终边所在象限问题，应首先依据题目中所有三角函数值的符号来确定角的终边所在的象限，则它们的公共象限即为所求。（3）已知正弦或余弦符号时，不要忘记终边可能在坐标轴上。【训练3】判断下列三角函数值的符号：（1） sin3,cos4,tan5；（2） sincostan（为三角形的内角）。角军（1）V<3<<4<y<5<2,3,4,5分别在第二、三、四象限,/.sin3>0,cos4<0,tan5<0.（2） Ca为三角形的一个内角，0<以v7t,0<髡sin>0,cos>0,tan>0/.sincos5tan5>O.四、课堂总结1 .通过本节课的学习，重点提升数学抽象、直观想象素养。2 .正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或比值为函数值的函数。3 .角的三角函数值的符号只与角所在象限有关，角所在象限确定，则三角函数值的符号一定确定，规律是“一全正，二正弦，三正切，四余弦”。五、课堂练习1 .若角a的终边上一点的坐标为（1,-1）,则COSa为（）A.1B.一1C也D-0解析：角a的终边上一点的坐标为（1,1）,它与原点的距离r=l2+（-1）2=2,cosa=o答案C2 .若三角形的两内角,£满足SinaCoS夕<0,则此三角形必为（）A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.以上三种情况都可能解析：北、夕为三角形的内角，所以0<,<,.sina>O,.cosM）,“为钝角。即三角形为钝角三角形。故选B.答案B3 .已知角的终边经过点（3-7,。+4）,且SinaNO,cos<0,则实数的取值范围是解析由三角函数的定义可知Sina>0=>+4>0,cosa<0=>3-7<0,.,.4<<0答案-4,14 .已知点P(tana,CoSa)在第三象限，则角a的终边在第象限。解析因为点P(tana,cosa)在第三象限，则tana<0且COSaV0,故角a的终边在第二象限。答案二5 .已知角a的终边在射线y=lr(QO)上，求角a的正弦、余弦和正切值。解设角«的终边与单位圆的交点为P(x,y),则x2+y2=l,又y=小X(x>0),于是Sina=一近了一 2cosa=x=ytana【第二课时】任意角的三角函数(二)【教学目标】1 .会用三角函数线分别表示任意角的正弦、余弦、正切函数值。2 .理解三角函数线的画法，掌握三角函数值的规律。3 .能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题。【教学重难点】会用三角函数线分别表示任意角的正弦、余弦、正切函数值。【教学过程】一、情境引入角是一个图形概念，也是一个数量概念(弧度数)。作为角的函数三角函数是一个数量概念(比值)，但它是否也是一个图形概念呢？能否用几何方式来表示三角函数呢？如图，设角为第一象限角，其终边与单位圆的交点为P(X,y),则Sina=y,COSa=X问题(1)你能分别用一条线段表示角的正弦值和余弦值吗？tan怎样表示？(2)当为第二、三、四象限角时，如何用一条线段表示角。的正弦值和余弦值呢？tana=：怎样表示呢？提示(1)如图，过角。的终边与单位圆的交点户向X轴作垂线，垂足为M,则MP=y=sin,OM=X=COsa；过点A(1,0)作单位圆的切线，这条切线必然平行于y轴，设它与的终边交于点九根据正切函数的定义与相似三角形的知识，借助有向线段。4、ATf有tana=AT=(2)用类似的方法过点P分别向X轴作垂线及过点A(1,0)作单位圆的切线，则有向线段M尸、OM、AT就分别等于Sin,CoSa,tana。二、新知初探1 .有向线段：规定了方向(即规定了起点和终点)的线段称为有向线段;对于有向线段AB,把它的长度添上正号或负号，这样所得的数，叫做有向线段的数量,即为A8.2 .三角函数线如图，设单位圆与X轴的正半轴交于点A,与角。的终边交于P点，过点P作X轴的垂线PM,垂足为过A作单位圆的切线交。尸的延长线(或反向延长线)于T点。单位圆中的有向线段出、OM.At分别叫做角。的正弦线、余弦线、正切线。记作：sina=Mf,CoSa=0M,tana=ATo3.三角函数的定义域三角函数定义域sinaRcosaRtana+,Z,拓展深化微判断1 .正弦线MP也可写成PM。（×）提示三角函数线是有向线段，端点字母不可颠倒。2 .三角函数线表示的值都只能是非负值。（X）提示三角函数线表示的值也可取负值。3 .当角。的终边在y轴上时，余弦线变成一个点，正切线不存在。（Y）4 .当角的终边在X轴上时，正弦线、正切线都变成点。（T）微训练1 .角郛1角会有相同的（）A.正弦值B.余弦值C.正切线D.不能确定解析因为角群口角合的终边互为反向延长线，因此，过点A（1,0）作单位圆的切线,与直线/有且只有一个交点T即两角有相同的正切线。故选C.答案C2 .己知号的正弦线为MP,正切线为AT,则有（）A.MP与AT的方向相同B.MP=ATC.MP>O,AT<OD.MPvO,A7>0解析三角函数线的方向和三角函数值的符号是一致的。MP=Sin与>0,AT=tan<O.答案C3.下列角的正切线不存在的是（）解析因为亍的终边落在y轴的非负半轴上，故正切线不存在。答案B微思考1 .若为任意角，则Sina,cos的取值范围是多少？提示根据单位圆中正弦线和余弦线的变化规律可得一lsina<,-l<cosal.2 .设为锐角，你能根据正弦线和余弦线说明SinQ+cos吗？提示设角。的终边与单位圆交于点P，过尸作PM_LX轴，垂足为M,则Sina=MP,CoSa=OM,OP=I,在RtZkOMP中，由两边之和大于第三边得MP+OM>OP,即Sina+cos>l.3 .你能根据三角函数线判断正弦函数、余弦函数在0,2兀上的单调性吗？能判断正切函数在区间（甘，宫上的单调性吗？提示正弦函数在o,3和竽,2匕为增函数；在多芋上为减函数；余弦函数在兀，2上为增函数；在0,上为减函数；正切函数在区间（一多，上为增函数。三、合作探究题型一作三角函数线【例1】作出一期的正弦线、余弦线和正切线。O解如图所示,=OM, tanf-规律方法（1）作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过此交点作X轴的垂线得到垂足，从而得到正弦线和余弦线。（2）作正切线时，应从点A（1,0）引单位圆的切线交角的终边或终边的反向延长线于一点。即可得到正切线A兀A.B.正弦线为PM,正弦线为MP,C.正弦线为MP1正切线为ATD.正弦线为PM,正切线为AT,在单位圆中，角。的正弦线、正切线完全正确的是（）答案C题型二利用三角函数线比较大小【例2】利用三角函数线比较：Siil，和sin,cos系和COSatanwtan号的大小。解如图，sig=MP,224-cos-y=OMftan-=ATfSin专=P,COS与=O,tan,=A72Jr4冗显然IMPl>P,符号皆正，人由m>SirrP0M<0M,f符号皆负，Jcos专>cos律A7>AT,符号皆负，,tan等<tan停规律方法利用三角函数线比较三角函数值的大小时，一般分三步：(1)角的位置要“对号入座”。(2)比较三角函数线的长度。(3)确定有向线段的正负。【训练2】依据三角函数线作出如下四个判断：Sint=sin,;COS(g)=cosj;(3)tan>tan;sin,>sin,0其中判断正确的有O解析分别作出各角的三角函数线(图略)，可知Si稔=-si瞪，cos(-2=cos/,ta磋Vtan器，sin¾>sin,所以正确。答案题型三利用三角函数线解不等式(组)【例3在单位圆中画出适合下列条件的角的终边的范围，并由此写出角«的集合。(1) Sina;(2)cos-解(1)作直线y=坐交单位圆于4B两点，连接0A,OB,则OA与OB围成的区域(如图(1)所示的阴影部分，包括边界)，即为角的终边的范围。故满足要求的角的集合为<2+y,Zz(2)作直线X=一义交单位圆于C。两点，连接。与OQ,则OC与。围成的区域（如图（2）所示的阴影部分，包括边界），即为角。的终边的范围。故满足条件的角。的集合为规律方法利用单位圆中三角函数线，可以非常直观方便地求出形如sinx>n或sinx<m的三角函数的角的范围，起到“以形助数”的作用。【训练3】已知点P（Sinacosa,tana）在第一象限，在0,2）内，求a的取值范围。sina>cosa»tana>0.如图，由三角函数线可得3-25,兀? 4四、课堂总结1 .通过利用三角函数线解决问题，重点提升直观想象和数学运算素养；2 .不论角的终边落在第几象限,Sina=M尸，cosa=OM1tana=ATo五、课堂练习1 .若角a（0<a<2）的正弦、余弦线的长度相等，且正弦、余弦符号相异，那么。的值为（）A；ByC.午D.牛或牛解析由角«的正弦线和余弦线是方向相反、长度相等的有向线段，得a的终边在第二、四象限的角平分线上。又O<a<2,；a=苧或苧。答案D2 .使sincosx成立的冗的一个变化区间是（）-3l"A.一产4jB.一2，5C.,（D.0,解析当X的终边落在如图所示的阴影部分时，满足SinCOSXo答案A3 .若角口的余弦线长度为上且方向与X轴负方向相同，则CoSa=。解析因为的余弦线方向与X轴负方向相同，所以COSaV0,所以CoSa=一；。答案V4 .已知俘3在单位圆中角。的正弦线、余弦线、正切线分别是MP,OMATf则它们的模从大到小的顺序为O解析由图可知，cosa<sina<,tan>l,即AT>MP>0M,(H故当(j,2时，AT>MP>0M.答案AT>MP>0M5 .分别作出下列各角的正弦线、余弦线和正切线，并利用它们求出各角的正弦、余弦和正切。/、2/r、13兀（I）F（2）.解如图所示，正弦线、余弦线和正切线分别为MP,OM,ATo(1) cos(-f4tan(-)=3(2) sin(一普)=一/cos(一誓)=坐，tan(-=-o7.2.2同角三角函数关系【教学目标】1 .理解同角三角函数的基本关系式。2 .会用同角三角函数的基本关系式进行三角函数式的求值、化简和证明。【教学重难点】理解同角三角函数的基本关系式。【教学过程】一、情境引入气象学家洛伦兹1963年提出一种观点：南美洲亚马逊河流域热带雨林中的一只蝴蝶，偶尔扇动几下翅膀，可能在两周后引起美国德克萨斯的一场龙卷风。这就是理论界闻名的“蝴蝶效应”，此效应本意是说事物初始条件的微弱变化可能会引起结果的巨大变化。蝴蝶扇翅膀成为龙卷风的导火索。从中我们还可以看出，南美洲亚马逊河流域热带雨林中的一只蝴蝶与北美德克萨斯的龙卷风看来是毫不相干的两种事物，却会有这样的联系，这也正验证了哲学理论中事物是普遍联系的观点。蝴蝶效应问题既然感觉毫不相干的事物都是相互联系的，那么“同一个角”的三角函数一定会有非常密切的关系！到底是什么关系呢？提示sin2+cos2=Ltana=：蓝:(rE+.,女Z)°二、新知初探1 .同角三角函数关系(1)平方关系：sin2a÷COS2Ct=1.(2)商数关系：tana=兴4(x+E,ZeZ)OCOSOL乙J2 .同角三角函数关系的变形(I)Sin2cc+cos2q=1的变形公式：sin=1cos2;cos2=1sin2o/八Sinag八T.sina(2) tana="。的变形公式:sin<¾=cosmanacosa=.zvocos<IarIa拓展深化微判断1. sin2÷cos2=l.(×)提示在同角三角函数的基本关系式中要注意是“同角”才成立，BPsin2+cos2a=l.2. sin2÷cos2=1.()3. 对任意的角,都有tan=黑吃成立。(x)Tr提示当o=+E,女Z时就不成立。1 34. 若Sina=2，则COSa=(×)+日一3提示CoSa=±亍。微训练1.下列四个结论中可能成立的是()aIn1A. Slna=E且CoSa=2B. Sina=O且CoSa=-1C. tan=1且COSQ=-1D.。是第二象限角时，tani=鬻解析根据同角三角函数的基本关系进行验证，因为当=时，Sina=O且CoSa=1,故B成立，而A,C,D都不成立。答案B32.已知CoSa=5，为第四象限角，则SineC=()A.IB.4C.号D.若解析Vcosa=7,。为第四象限角，.sin<0,sina=-ycos2a=-/-5,故选B.答案B3.化简2cos11 2sin2LL2cos2-(sin2cc+cos2)cos2-sin2a斛析原式=(Sin2o+cM)-2sin2=cos%-sh=L答案14.若。£(0,舒且sinacos=,贝!jsina÷cosa=。解析(Sina+cos)2=+2sincos=l+普=条XVaf,。Sina>0,COSa>0,.7.snct÷cos=W°7答案I微思考1 .同角三角函数的基本关系式对任意角都成立吗？提示平方关系对任意角都成立，商数关系只有当(JlZ)时成立。2 .同角三角函数的基本关系式中，“同角”的含义是什么？提示“同角”两层含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)关系式都成立，与角的表达式无关，如：sin23+cos230=l;sin2(a-)÷cos2Ca-B)=1都成立。3 .若已知Sina±cos=m,你能求出Sinacos吗？提示若SinQ+COSQ="7,贝IJsin2÷cos2÷2sinacosa=nv,所以sinctcosa=-,若Sina-cosa=mf贝IJsin2«÷cos2a_2sinacosa=nr,1 nrsinacosa=。三、合作探究题型一利用同角关系式求值4【例1】已知tana=）,且a是第三象限角，求Sina,COSa的值。z,j.Sina4/日.4G角牟田tana=csa=y得sina=gcosa。又sin2a+cos2a=1,169由（5）得KCOS2ct+cos2a=1,即cos%=充。yZD又a是第三象限角，3.44.cosa=Sma=WCoSa=一5。inpt3cCWCl【迁移1（变换结论）在例1的条件下，求.J的值。sina÷cosa4解法一（代入法）tana=?,4-3-a a n)s Sisina4osa,4Czcosa3cos a原式二Zcos a÷cos a5一7aS a0 S »-C 0 3 5-3 C法二（弦化切）Sina-3cos asin a÷cos atana3tan a+13+1570【迁移2】（变换结论）在例1的条件下，求2sin%sin acos a+cos?。的值。4解 法一（代入法）由（迁移1）知Sina=WCosa,又入次。+、%= 1,169-cos2ot÷cos2a= 1, BP cos2a=oC 2.2 C 16242229229 929 2snza-sn acos a+cosza=2×coszacosza+cosza="coszct=6"×25 = 25o法二（弦化切）2sin2a-sincos +cos2 =2sir)2。一sincos a+cos2。sin2+cos2a6_4_2tan%tana+1_X93十_29tan2+116.25oV+1规律方法（1）已知sin。（或cos。）求tan。常用以下方式求解Sin Iano =证为f1匠O=Iri西、sin?d+cos2®=1J«、IsiiVa=I-CosM/（2）若没有给出角是第几象限角，则应分类讨论，先由已知三角函数的值推出。的终边可能在的象限，再分类求解。8【训练1】已知CoSa=一正，求SinQ,tan的值。解Vcos a= a是第二或第三象限角,（1）当是第二象限角时，则sina= y 1 - cos2=1515Tosina17tuntt-=3"=cosa_8_7（2）当是第三象限角时，则sina=-W=-,tana=fo题型二sin±cosa型的求值问题【例2】已知sin夕+cosJ=(0<。<兀)，求sinOcos。和sin夕一cos。的值。解因为sin9+COS9=3(0<<9<),所以(Sine+cos6)2=匕,即sin2+2sin&osJ+cos2。=",3所以sinJCOS=-qoO由上知。为第二象限角，所以sin9cos0>0,所以sin6cos=7(sinJ+cos。)24SineCoS6规律方法已知Sina±cos,sincos0求值问题，一般利用三角恒等式，采用整体代入的方法求解。涉及的三角恒等式有：(1) (sin9+COSJ)2=1+23mJcos仇(2) (sin0cos)2=12SineCosJ；(3) (SinO+cos。)2+(sin。-cos。)2=2;(4) (sin。-CoSe)2=(Sine+cos。)24SineCos仇上述三角恒等式告诉我们，已知sinJ+cosasinJcosaSineeOS。中的任何一个，则另两个式子的值均可求出。【训练2】在AABC中，sinA+cosA=。(1)求SinAcosA的值；(2)判断AABC是锐角三角形还是钝角三角形;(3)求tanA的值。解(1)VsinA+cosA=p两边平方得1+2SinACoSA=,，sinAcosA=一石。(2)由sin Acos A =12八25<0J且0<A<,可知cos4<0,A为钝角，.A48C是钝角三角形。2449(3)*.*(SinA-cosA)2=12sincosA=1÷25=25»7又.sinA>O,COSAV0,sinA-cos>0,sinAcosA=,o4-5ASOC3-54.,SinA54-tanA=一号题型三利用同角三角函数关系式化简【例3】化简：Sina_Sina1 +sina1-sina(2)l+2sin10。CoS10。cos10°+1-cos210o,COS%(3) sin2(ztan÷÷2sinacosaotana,ri,.、sinasina4(1)；：1 +sma1-sinaSina(1sin)sin(l+sin)(1+sina)(1sin)-2tan2a<>-2si2a2si2a1sin2acos2a1+2sin1。°COSTy(COSlO°+sin100)2(4) cos10o+l-cos210o-cos10o+sin10ocos10o+sin10o=COS10。+Sin10。=L(5) lM=sin2sn÷cos2c°s÷2sinacosacosasinasin4a+cos%+2sin2"cos2”sincosa(si/a+cos2。)2sinacosasincosao规律方法三角函数式的化简技巧(1)化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的。(2)对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的。(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2+cos2=l,以降低函数次数，达到化简的目的。【训练3】化简：言篇+(l+tan2a)coso(1+峥、Icos-0,cos2Hm2cos2-(sin2+cos2a)解原式=sMa+cN”一2sircos2ft-sin2,cos2÷sin2a)2COSPt-Smhcos2a2cosza=1+1=2.题型四利用同角三角关系式证明【例4】求证:1+2SinaCoSatan+lsin2a-cos2tana1证明法一左边=sin2÷cos2÷2sincos22SIIra-cos匕(Sina+cosa)2sin+cosatana+1.su3c°s%=SinLc。SQ=XT=右边所以等式成立。sina,一、Lcosa法二右边=国cosa1Sina+cosasinacosa(sina÷cosa)2(sina-cos)(sina÷cosa)1+2sinacosa.,cos2a=左边。所以等式成立。规律方法证明三角恒等式的思路(1)从一边开始证明它等于另一边，遵循由繁到简的原则；(2)证明左右两边等于同一个式子；(3)证明左边减去右边等于零或左、右两边之比等于1；(4)证明与原式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立。【训练4】求证:IanaSinatana+sinatanasinatanasina证明Y右边=tan2a-sin2a(tan-sina)tanasina2429tara-tarcos-tan2a(1cos2)(tansina)tanasina(tanasina)tanasina22IalraSllratanasina(tan«-sina)tansinatana-sina=左边,原等式成立。四、课堂总结1 .通过对公式的正用、逆用、变形用提升学生的数学抽象、逻辑推理和数学运算素养。2 .同角三角函数的基本关系揭示了“同角不同名”的三角函数的运算规律，它的精髓在“同角”二字上，如si2a+cos22a=l,¥=tan8a等都成立，理由是式子中的角为“同COSOGt角”。3 .在化简、求值时要掌握“切化弦”和“弦化切”的技巧和“1”的代换的技巧，更要注意符号的选取。五、课堂练习1.若COSa=4-5且a是第二象限角，贝IJtan«的值等于（）lQ解析由题意可得sina=l-cos2a=,sina3.tana=0cosa4答案B3tt2.已知SinaCOSa=0,且a<a<',则COSasina的值是()1-2 1- 4A.CB.D.1-4解析V<a<2，sin>cos,cosasina<0.答案B3 .若a为第二象限角，化简tanzt7.,r-/1"/1sin2解析tan。、/品忑T=tan,F=tan1f器(。为第二象限角)_Sinacosa_】cosasina,答案T4 .若SinA=I且4是三角形中的一个内角，则沙4+8515cosA-/4解析TsinA=亍A是三角形中的一个内角,3x3/.cosA=§或cos=-5,4ly=6；35sinA+85×5+8当COSA=5时,15cosA-7='Z;当cos A = 一,时5sinA 845×+815CoSA7y 15×12_ 3164°3答案6或一彳,sin÷cos a 、,小.一- 一上5已知Sina8SC=2,计算下列各式的值:/、 3sin «cos a(1);；2sn ct÷3cos a(2) sin2-2sin acos ÷ 1.E . sin a÷cos a .1 .LL 解 由-=2,化间，得 Sina=3cos1,所以 Iana=3.sin a-cos a(1)3tana-13x31原 M=2tana+3=2x3 + 38-9(2)sin2ct_2sinacos a , 原式=sh+8s2 +1tan2-2tana322×313tan2+l+1=32+l+1=15°7. 2.3三角函数的诱导公式【第一课时】诱导公式一、二、三、四【教学目标】1 .了解三角函数的诱导公式的意义与作用。2 .理解诱导公式的推导过程。3 .能运用有关诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题。【教学重难点】能运用有关诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题。【教学过程】一、情境引入南京眼和辽宁的生命之环均利用完美的对称展现自己的和谐之美。而三角函数与(单位)圆是紧密联系的，它的基本性质是圆的几何性质的代数表