齐次化妙解圆锥曲线斜率问题.docx

大招一齐次化妙解圆锥曲线斜率问题大招总结圆锥曲线的定点、定值、弦长、面积，很多都可以转化为斜率问题，当圆锥曲线遇到斜率之和或者斜率之积，以往我们的常用方法是设直线y=区+b,与圆锥曲线方程联立方程组，韦达定理，再将斜率之和或之积的式子通分后，将士十x2和5W代入，得到关于大。的式子。方法不难，计算量较为复杂。如果采用齐次化解决，直接得到关于女的方程，会使题目计算量大大减少。“齐次”，即次数相等的意思，例如，。）=0+岫+02称为二次齐式，即二次齐次式的意思，因为/（X）中每一项都是关于X、y的二次项。如果公共点在原点，不需要平移。如果不在原点，先平移图形，将公共点平移到原点，无论如何平移，直线斜率是不变的.注意平移口诀是“左加右减，上减下加”，你没有看错，“上减下加”，因为是在等式与y同侧进行加减，我们以往记的“上加下减”都是在等式与y的异侧进行的。例：y=履+b向上平移1个单位，变为y=fcr+O+l,即y-l=履£+探=1向上平移1个单位，变为5+"F=Icrbcrb设平移后的直线为如+y=l（为什么这样设？因为这样齐次化更加方便，相当于“1”的妙用），与平移后的圆锥联立，一次项乘以点+），常数项乘以（mx+犯）2,构造ay2+bxy+cx2=0,然后等式两边同时除以公（前面注明X不等于0）,得到4（2）2+bZ+c=O,可以直接利用韦达定理得出斜率之和或者斜率之积，&+比=-2,XXxx2a1.&=£,即可得出答案。如果是过定点题目，还需要还原，之前如何平移，现在反平移回xx2a去。总结方法为：1、平移；2、联立并齐次化；3、同除/；4、韦达定理。证明完毕，如果过定点，还需要还原。优点是：大大减小了计算量，提高准确率！缺点：比+即=1不能表示过原点的直线，少量题目需要讨论。【思维引导1】已知内和占是方程2/+3x-4=OM两个根，求人+-的值.为看bE+、,+111X1+X2b3解：方法1：÷=-=一一=-x1x2x12£c4a方法2：方程两边同时除以-4（1）2+3（一）+2=0,'是方程两根，直接韦达XXX1X2定理，XiX24【思维引导2】直线lx+=1与抛物线=4x交于A（Xl,）和%），求%oa%夕（用小、表示）解:T*”)1齐次化联立得y2=4x(nc+ny),y=4x等式两边同时除以(2)24(马-4加=0.XX所以：Wo8="2=4m【思维引导3】直线如+)，=1与椭圆1+±_=佼于4%,%)和8(%7办)，求&”2O8(用机和表示)43"mx+ny=22解:“fy2齐次化联立得：1+V=(AHX+y)2143等式两边同时除以f,(12一4)(£)2+24刖(2)+12疗,3=0,XX所以%='9=普x1x22n-4【思维引导4】已知动直线/的方程为/三+州=1.若m=2，求直线/的斜率.(2)若加=-1，求直线/所过的定点.2(3)若根=2+1,求直线/所过的定点.(4)若m=2+2,求直线/所过的定点.(5)若包3k=i,求直线/所过的定点.4+12m解:A=-=-2n(2)-x+=l,消去,令y=0,所以过定点(-2,0)(3)整理得m-2=L所以过定点(1,-2)(4)整理得Lm-Z2=1,所以过定点(LT)22(5)整理得6加-;=1,所以过定点(6,-/)【思维引导5】抛物线),2=4%直线/交抛物线于A、8两点，且。A_LOB求证：直线/过定点.解：设直线4B方程为加r+y=1,4玉,丁1),3(工2，月)wc+ny=y2=4x联立得(2)2一4"(马-4m=0所以普1 = 4,得欠.-4 nn 2于是AQAk)8=""1=4"7=-LWn=-x1x24所以直线AB：L+町，=1过定点(4,0).4【思维引导不过原点的动直线交椭圆右厅4晒点'直线。4AA。硼斜率成等比数列，求证：直线/的斜率为定值.解：设直线AB方程为/nr+ny=,A(x1,y),B(x2,y2)mx+ny=炉2联立得(12n2-4)(2)2+24三()+12n2-3=0+=1XX43于是OAOBJiy2=12h2-3x1X212n2-4【思维引导.7】己知椭畤+,0按照平移要求变换椭圆方程，并化简平移后的椭圆方程将椭圆向左平移1个单位，求平移后的椭圆.(2)将椭圆向右平移2个单位，求平移后的椭圆.将椭圆向上平移3个单位，求平移后的椭圆.(4)将椭圆向下平移4个单位，求平移后的椭圆将椭圆向左平移I个单位，向下平移当个单位，求平移后的椭圆.(6)将椭圆向左平移2个单位，向上平移1个单位，求平移后的椭圆.解W)"+0-+y2=,即4/+/+2%-3二04(2)2)-+y2=l,BJ4y2÷x2-4x=042(3)y+(y-3)2=1,即4尸+-24y+32=02(4)+(y+4)2=1,即4y2+x2+32>'÷60=04.(5)5：、+(y+与¥=1,BJ4y2+x2+2x+43y=0(6)(X+2)-+(y-l)2=l,即4/+2+4x-8y+4=04【思维引导8】抛物线)，2=4x,P(l,2),直线/交抛物线于A、8两点,PA工PB,求证：直线/过定点解：将图形向左平移1个单位，向下平移2个单位平移后的抛物线方程为(y+2)2=4(x+1),整理得V+4y-4x=0设平移后直线4'3'方程为如+=1,4'(工,),8'(乙,%)wc+ny="VoV<、联立得(1+4)(2)2+(4加-4)(2)4相=0y+4y-4x=0xx于是w,=a-=-ix1x21+4?整理得47-4=1,所以侬:+=1过定点(4,-4),右移1个，上移2个，直线AB过定点(5,-2)【思维引导椭圆右/1,点队|),45为椭圆上两点，%=0.求证：直线AB斜率为定值.一一P解：将图形向左平移1个单位，向下平移T个单位/平移后的椭圆为W£+2-=1,整理得4/+3/+6x+12y=OV设平移后直线A'B'方程为"优+ny=fA,(xpy1)iB'(x2,y2)nix+ny=4y2+3x2+6x+12y=O联立得4y2+3x2+(6x+12y)(nr+ny)=O(12n+4)y2+6(2/7?+n)xy+(6m+3)x2=O同时除以f,(l2+4)(2>+6(2机+)Z+(6w+3)=0XX-I%=一6(2/+)二0x1x212n+4-6(2w+n)=0,侬+町，=1的斜率-'=Ln2,r2V2,【思维引导.10】双曲线3-=1»P(2,0),A、8为双曲线上两点，且ZPA+Zps=S46不与X轴垂直，求证：直线45过定点.*解：将图形左平移2个单位/平移后的双曲线为多或-=1,整理得/_/_4工_2=0设平移后直线AE方程为Tnr=LAxyl),Bx2,y2)tnx+ny=y2-x2-4x-2=0联立得y2-%2-4x(nr+ny)-2(WLE+ny)2=O(l-22)y2-(4w+4wn)y-(2w2+4w+1)2=O同时除以f,(一2n2)(马2一(4+4mn)2-(2w2+4n+l)=0XX,%必4+4mnkP'A÷=+=2=°x1x21-2n4+4机=4n(m+1)=0,n=0或w=-1AB不与X轴垂直，n0.：./H=-I+y=l过(T,0),右移2个单位，原直线过(LO)典型例题例1.(2017秋重庆期末)已知抛物线。:9=2氏(>0)上一点42,)到其焦点的距离为3.(I)求抛物线C的方程；（三）过点(4,0)的直线与抛物线C交于P,Q两点、,O为坐标原点，证明：NPOQ=90。.法1：(I)由题意知：2-(-)=3=p=2=y2=4;(II)证明：设该直线为my=x-4,P、Q的坐标分别为(,yl),(x2,y2),fiy=X-4：=>y2-4y-16=0,y=4x22OPOQ=x1x2+yiy2="%,+%必=×(-16)2-16=0,16.-16所以NPoQ=90°.法2：要证明NPOQ=90。,即证即。%o=-l设PQ：mx+=1,过(4,0),=1,m=-4y2=4x(mr+7>j)y2-4nxy-4mx2=O同除Y得(上F-4上一4根=OXXk、.k2=-Atn6=；,.Ke=-1即/POQ=90。例2、(2015年陕西文科卷)如图，椭圆上:于a=1(。>6>0)经过点A(O,-1),且离心率为(I)求椭圆E的方程；（三）经过点(1,1),且斜率为A的直线与椭圆E交于不同的两点P,Q(均异于点A),证明:直线AP与A。斜率之和为2.b = fa2结合a?=6+(?,解得=0所以与+丁2=1；(II)证明：由题意设直线尸Q的方程为y=A(x-1)+1伏H0),代入椭圆方程5+V=I,可得(1+2k2)x2-4k(k-l)x+2k(k-2)=0,由已知得(1,1)在椭圆外，设P(,jl),Q(X2，y2)，Xw0，则 x1 + =W-l)2k(k-2)1 + 2公，,x2- + 2k2H=6k2(k-1)2-8A(-2)(1+2k2)>0,解得无>0或无1-2.则有直线AP,AQ的斜率之和为如+以Q=卫!+"!xIx2kx.+2-kkx.+2-k1、小，、十为=-+=2k+(2-2)(一+)=2+(2-)-1= 2k + (2-k).-= 2k-2(k-) = 2.X24&(%-1)2k(k-2)即有直线AP与AQ斜率之和为2.法2：(2)上移一个单位椭圆？和直线Z/：y + (y-l)2=ljnx-vny = 1如+町，=1过点(1,2)m+277=1m=i-2nx2+2(y-l)2=2,x2+2-4y=02y2+x2-4y(wr+>,)=0(-4+2)2-4mxy+x2=0x0.同除2(-4+2产)+4n-+l=0-4n + 2 1-2n2m网=2m4m例3、(2017年全国卷文科)设A,B为曲线C:y='上两点，A与B的横坐标之和为4.,4(1)求直线AB的斜率；(2)设M为曲线。上一点，。在M处的切线与直线AB平行，且AW_LB求直线AB的方程.222解：设A&,予,B(x2,予为曲线Uyq上两点，式_立则直线AB的斜率为A=/-=-(x1+x2)=-×4=1;xl-x,44(2)方法1：设直线4?的方程为y=x+/,代入曲线C:)，=二，可得f-4x-4r=0,即有X+z=4,x1x2=-4/,再由y=?的导数为y=gx,设M(九也)，可得M处切线的斜率为L*42由C在"处的切线与直线AB平行，可得=2解得加=2,即M(2,l),由AMl.8M可得，kAM.kRM=-1,即为/且一=-1,x22化为xlx2+2(x1+x2)+20=0,即为-4f+8+20=0,解得£=7.则直线AB的方程为y=x+7.方法2：2V=?,y'=l,x=2.M(2,l)左移2个单位，下移1个单位CYy+l=("+2),A,B':nx+n>,=144j+4=X2+4x+4X2+4(x-y)(m+ny)=0X2+4(nx2+nxy-mxy-ny2)=0(1+4w)x2+4(rt-w)xy-4>,2=0X0,同除产+ (1+ 4M = O4nk2 -4(n-,)c-(1 +4n) = Omx+ny=1斜率一丝=1,加=T,女4=二(匕刨=Tn-4111+4/n=4,n=-ftn=88x-y + 8 = 02, ±1(x-2)-(y-l)÷8 = 0x-y+7=0例4、(2017年全国卷理)已知椭圆U*=l(>b>0),四点4(1,1),/>(0,1),鸟(一1,4(,二)中恰有三点在椭圆C上.(1)求C的方程；(2)设直线/不经过P2点且与C相交于A,B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为-1,证明：/过定点.解：(1)根据椭圆的对称性，6(-1,以)，E(l,")两点必在椭圆C上,又B的横坐标为1，椭圆必不过6(1,1)，三点在椭圆C上.把2(0,1),6(一1,")代入椭圆C,得:三,z、,解得/=4,Z>2=1>131F+-7=1CT4b2椭圆C的方程为三+V=1.4证明：方法1：(2)当斜率不存在时，设/:%=?，A(m,y),B(m-yA),直线P2A与直线P2B的斜率的和为-1,.K._力一1,一一A-1_-21PtA+kpB*"一1，mIYlIYl解得加=2,此时/过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足.当斜率存在时，设/:y=+f,l),Aa,y),B(X2,必)，联立y"kx+t,整理，得(l+4K)d+83+4/-4=0,x+4»-4=0x+x2-Skt + 4k24t2-4xx2=f1+4公则 A75A + 5y1+乃一1_毛(3+t)-x2+x1(Ax2+r)-x18炉-8，-8小+8公=8女(I)=_,又“,4f-44(r+l)(r-1)1+4公.t=-2k-,此时A=-64A:,存在&,使得>()成立,/.直线/的方程为y="-2攵一1,当x=2时，y=-,./过定点(2,-1).方法2：(2)下移1个单位2E,:-+(y+l)2=1,A,B,.nc+ny=亍+J+2y=OX2+4y2+8y(2x+wy)=O(8H+4)+82tvy+x2=0,x晌除f(8+4)(5)+8?(上)+1=0(8+4*+8求+1=01i8/wiK+L=-18«+48/«=8+42m-2n=:.nix+ny=1过(2,-2)上移1个单位(2,-1)例5、(2018全国一卷文科)设抛物线Uy2=2x,点A(2,0),8(2,0),过点A的直线/与C交于M,N两点.(1)当/与X轴垂直时，求直线的方程；(2)证明：ZABM=ZABn.解：(1)当，与X轴垂直时，x=2,代入抛物线解得y=±2,所以“(2,2)或M(2,-2),直线的方程：y=-+,或：y=-l.22(2)方法1：证明：设直线/的方程为/=)+2,(x1,y1),MX2，、2)，v2-Or联立直线/与抛物线方程得,消X得'2-2"-4=0,x=ty+2即X+%=2r,J1J2=-4»22vv(等y+¾-Xy2)+矽+%)(y+%)(苧+2)则有kBN+*=+l-=0,xl+2x2+2(xl+2)(x2+2)(xl+2)(2+2)所以直线BN与BM的倾斜角互补，.ZABM=ZABN.方法2：(2)右移2个单位C:y2=2(x-2)2':/nx+/Iy=I过(4,0)即4zn=Lm=；y2=2x-4y2=2x(fnx+ny)-4(mx+nyYy2=2mx1+2nxy-Aym2x2+z2y2+2mnxyj(l+4n2y2+(Smn-2n)xy+2m2x2=0.X0,同除一(1+4/)&2+0zwn_211)k+2m2=0.Smn-2n2n(4m-)%+k2=丁=厂Z=O1+4/1+4/.ZABM=4ABN例6、(2018全国一卷理)设椭圆U±+y2=的右焦点为尸，过户的直线/与。交于A,B2两点，点M的坐标为(2,0).(1)当/与X轴垂直时，求直线AM的方程；(2)设O为坐标原点，证明：NOMA=NOMB.解：(1)c=5T=l,.尸(1,0),/与工轴垂直，.x=l,直线 AM 的方程为)，=一*x + , y = x-2 ,证明：方法1：(2)当/与X轴重合时，NOMA=NOMB=U,当/与X轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，.NQMA=NOWA,当/与X轴不重合也不垂直时，设/的方程为y=A(-1),k0,A(XI,yl),B(x2,y2),则<7,x2<Jl,直线M4,MS的斜率之和为女孙，七8之和为%的+七8=+上7,x1-2X2-2由y=%_2,%=也T得勤+%=2”-3：；：+4J,(X,-2)U-2)2将y=k(x-l)Ry+y2=l可得(2公+1)2-Ak2X+2k2-2=0,2k2-22Ar2 + l2k2+.2kXX2-3(x1+x2)+4k=j(4ky-4k-2k3+85+4)=O从而镰+%=0，故M4,MB的倾斜角互补，.noma=nomb,综上NQMA=NQMA.方法2：(2)左移2个单位C:(工；2)+),2=1/,：A?tv+ny=lii(-l,)即-m=l.m=-lx2+4x+2+2=0X2+4x(nx+2y2+2(r+ny)=0(2+2/)y2+(4+4mn)孙+(1+2m2x2=0。工0,同除乂2.(2+22)&2+(4+4nn)k+i+4机+2nr=04+4mn.ZOMA=ZOMB2例7.(2020新课标I)已知A,3分别为椭圆£：，+y2=(o>l)的左、右顶点，G为E的上顶点，AGG8=8.P为直线=6上的动点，叫与石的另一交点为C，9与E的另一交点为£>.(1)求七的方程；(2)证明：直线UD过定点.(1)由题意A(-0),B(aO),G(0,l),/.AG=(a,I),GB=(at-l),AGGB=a2-1=8,解得：a=3,故椭圆E的方程是y2=i;(2)方法 1：由(D 知 A(-3,0), 8(3,0),设 P(6,m),则直线PA的方程是y = £(* + 3)，联立寸 2 _1石+)' =1=>(9 + w2)x2 + 6n2x + 9n2 -81 = 0, y=÷3)由韦达定理-3%9m2-81-3+27T 2z xc 2 9 + m9 + m代入直线PA的方程为y = ( + 3)得：V = 6zw ,即。(一3病+ 27,6m 9 +m29 + n-9+ /M2直线总的方程是y = (x-3)，联立方程X2 2 .+ y = 1=>( + m2)x2 -6n2x + 9m2 -9 = 0,m, 小 y = -(-3)Qni2 -9 由韦达定理%二w，3m2-3l + w2代入直线/中的方程为y = (-3)得知-2ml÷m2即D(W-3l + n22m、：T)， + m'则当司=%即2：-3" 二"不时,有裙=3,9 + n m + 此时儿=XD=3，即CZ为直线X = O , 22当天，与时，直线CD的斜率KCD= &二次=2、， xc - Xd 3(3 - m )直线C"的方程是y-2m4/n1 + nr 3(3 -nr)需)，整理得:3飞户市记尹直线Q过定点§'。),综合故直线8过定点弓，0).方法2：设P(6,因为4(-3,0),B(3,0),则K7=阳p=，根据椭圆第三定义(本书后面有详细讲解),b?Ij1.L=-=p''/.二一不则以以C二一！将图像向右移动3个单位则椭圆E'和克线5口:f+y2=Inx+ny=1联立得：产-6%+9y2=0,/-6x(mx+ny)+9y2=0,即9y2-nxy+(1-6n)x2=0,两边同时除以产,得：946+16m=0,lX则心3=手=9解得m=g,则直线CO过定点0),则平移前过G,0).例8.（2020山东）已知椭圆C二+=l（>">0）的离心率为正，且过点A（2,l）.arb2（1）求C的方程；（2）点、M,N在C上,且A"L4V,ADLMN,。为垂足.证明：存在定点Q,使得|。|为定值.解：（1）离心率e=£=也，a2:.a=Jlc,又/=从+c?,.h=cfa=yflb，把点A（2,l）代入椭圆方程得，÷4=l>解得从=3,2bb故椭圆C的方程为+£=1.63（2）当直线MN的斜率存在时，设其方程为y=d+m,得(2k2 + I)X2 + 4hfix+ 2n2-6 = 0,Iy=kx+nx2y21+=163由=(46P-4(2k2+1)(2-6)>0,知<6r+3,1.,、.r.、rll4hn2m2-6设Ma,y1),N(X2，%)，则内+W=-2.+，NW=2.+，AM±AN,.,.AMAN=(xl-2,y-l)(x2-2,y2-1)=O,即(k2+I)XlX2+(bn-k-2)(M+x2)+n2-2w+5=0,.(k2+l)>2w6+(kn-k-2)(-)+nr-2zn+5=O，化简整理得，2k+12+14k2+Sbn+3m2-2m-=(2k+m-)(2k+3m+)=0t.T22+1./=12或m=»3当M=I-24时，y=kx-2k+f过定点A(2,l),不符合题意，舍去；当m=-当1时，y=履一等1,过定点设£>(.%，尤)，则yo=h+m,.，八SIa/a,/Ax0+/W-1,6i2zs2k2+4k+63k2+4k-()若女工0,AD-LMN,.k=-1>解得X)=；,%=；N)-232+33公+38(A4+2&2 + 1) 8 9(, + 1)2 5/4遂,L2-22+4Zc+222k2+4k-2.2C)+y)=(3,23)+T5.点。在以q,g为圆心，手为半径的圆上,故存在Q(g,1),使得IDQI=半，为定值.(Zz)若&=O,则直线MN的方程为y=-,ADA.MN,/.0(2,-),33.DQ=J(g-2)2+g+g)2=，为定值22当直线MN的斜率不存在时，设其方程为X=/,M(E,s),N(i,),且匚+三=1,63AM±AN,/.AMAN=(/-2,s-1).(/-2>-5-1)=r2-4/-52+5=-2-4/+2=0>解2得F=*或2(舍2),3.Z)(,1),此时IDQl=旧管2+(g_)2=平,为定值.综上所述，存在定点Q(g,1),使得I。Ql为定值，且该定值为手.方法2：将图像向左移动两个单位，向下移动一个单位(X+2)23+1)2_那么平移后的C'和直线ArN2一二十一一1;(mx+ny=1联立得：X2+2y2+(4%+4y)(nx+ny)=0,两边同时除以/:(4n+2)y2+(4m+4n)xy+(4m+l)x2=0,得:(4n+2)fc2+(4n+4n)k+(4m+1)=O,:AMLAN9：.kAM-kAN=-1,=maN4n+24m+1=4n2,即一;m+(3?I)=1,M'N'过定点L一g),则平移前该直线过定点PG,-J.在AADP中，4。_LOP,则D点的轨迹是以AP为直径A为定点，P为定点，则4Pl为定值，则Q为4P中点，此时IDQl为定值，N(2,1),P(p一3则Q(g,扣OQl=TlAPI=半例9.(2020惠州模拟)已知左焦点为尸(TO)的椭圆过点E(l,手).过点P(U)分别作斜率为人，心的椭圆的动弦相，CD,设M,N分别为线段AB,CO的中点.(1)求庙圆的标准方程；(2)若P为线段AB的中点，求仁；(3)若4+&=1，求证直线MN恒过定点，并求出定点坐标.解：(1)由题意C=L且右焦点尸'(l,0).2a=EF+EP=26b2=a2-c2=222所求椭圆方程为5+=1；32(2)设A(X,y1),B(x2,y2),则,一，可得吊=及二&二一冬&±拈二一2；七一%3(y2+y1)3(3)证明：方法1：由题意，%k2,设M(%”,yM),直线AB的方程为y-l=K(x-1),即y=Ax+七,代入椭圆方程并化简得(2+34"+6x÷32-6=0-3k.k-t2&2,“二文W=二声同理，/=二y=垓彳N2+3V八2+3V当匕女2工0时，直线MN的斜率k=以-:10一6XM-XN-9kb直线出的方程为匕赢10-6, z -3kb、10-612二X-9kik23此时直线过定点(0,-|)当3=O时，直线MN即为y轴，此时亦过点(0,-)综上，直线"N恒过定点，且坐标为(0,-全方法2：p(l,1)设中点坐标为(，y()%T%二2XOT/3叩中点的轨迹方程为2(/一X)+3(/-y)=设平移的MN方程为W+肛7=1曲线为2(x+D2-(x+l)+3(y+l)2-(y+l)=02x2+3y2+3y(nx+2x(nr+ny)=O(3+3t)y2+(2+2>ni)孙+(2+2ti)x2=O同除以一(3+3n)/+(2+3m)A+2+=O.ki+k2=.2n+3mco31=1-(3机+5)=3-mn=3+3v)5.二过定点(-1,一：.则平移前的MN过定点1°，一§例10.(2021武汉模拟)已知椭圆。：5+£=1(心工0)的左右顶点分别为A,B,过椭圆内点(,)且不与X轴重合的动直线交椭圆C于尸，Q两点，当直线PQ与X轴垂直4时，IPDHBDI=5.(I)求椭圆C的标准方程；(2)设直线AP,AQ和直线/:“=，分别交于点M,N,若MD_LND恒成立，求，的值.Tqrl,此时 P(,).解：(【)由IBDlv得aW=2,故C的方程为22代入方程工Tr=1，解得庐=2,故C的标准方程为三_4二19b242(H)方法1：设直线PQ的方程为:与椭圆联立得(n2+2)y24y=o,0y-4m设 P(MjI),Q(X2,)2),则 4Y1+y2=3(m2+2)-32'yi729(m2+2)此时直线AP的方程为y=J(+2),与X=f联立，X+2阳.(t+2)y1EE(t+2)y2得点M(t,方工)，同理，N(t,万工)，由MD-LNDi则kMDIcnd=-1,(t+2)y1(t+2)y2即一22r(t=)(x1+2)(t-z)(x2+2)Oo2所以(t+2)2y1y2+(t-*)(my1÷-)(my2+y)=0,即(t+2)2y1y2+(t-)m2y1y2y-(y1+y2)÷=0,把代入得32(t+2)2+6工)232ir2._32ir2+M=Q9(m2+2)39(m2+2)9(m2+2)9化简得-32(t+2)2+(t)-32m2-32m2+64(m2+2)=0>OC92即(t+2)2-4(t4)=0，O9t+2=±2(tw>O解得t=4或t="祟yO方法2：公共点A(2,0)QQ3右移2个单位后P'Q':/nr+y=1过D'(一,0),.+0"=l,m=-33803+J<42P'Q',mx+ny=x2÷2)1-4x(mjc÷=02y2-4nxy+(1-4n)x2=0等式两边同时除以x,2(2)2-4)+(1-4m)=0XXkP AQ AM AAN =-4m2.MD±ND-.kMDIcnd=ZZWKn=T='ZAM,"ANA4咚t一一3 逊T f + 2Q+ 2)NQ2 t一一3NQ-=4 )(/-|)210解得t=或，=.93模拟自测1.(2020秋阎良区期末)已知抛物线Uf=2py(p>0),直线/经过抛物线C的焦点，且垂直于抛物线C的对称轴，直线/与抛物线C交于M,N两点,且IMNI=4.(I)求抛物线C的方程；(ID已知点P(2,l),直线，：y=A(x+2)与抛物线。相交于不同的两点A,B,设直线¾与直线P3的斜率分别为4和占，求证：4B为定值.(I)解：由题意可得2p=4,得p=2,.抛物线C:V=4y；（三）方法1：证明：my=k(x+2)f联立P:""+2),得/_4H_弘=0.x'=4y由4=16+32Q0,得2>0或<-2,设A(菁，y1),B(x2,y2),则xi+x2=4k,x1x2=-Sk,XJ1X-,"-1."2=0zl=H.Mx2/一2xi2X22.(X+2)(/+2)X.V-,+2(N+X2)+482+8k+41y = - +1,设 Aa , y), B(x2 , y2),由Ier 得-6x + l =。，（2 分）可得XI+2=6（4分）由抛物线定义可得|48|=%+工2+2，所以A8=8（6分）（2）证明：方法1：设直线AB方程为：="少+，设A（耳，y1）,B（x2,为），因为O4_LO8,所以OAO8=0.所以内a+乂%=0，由得：y2-4nj,-4r=0（8分）所以，%必=72；XjX2-n2；所以"2-4k=0,解得=0,或=4（10分）当=O时，直线AB过原点，不满足题意；当=4时，直线AB过点（4,0）故当Q4_LO8时，直线AB过定点（4,0）（12分）ffjj+=2联立后得y1=4x（mx+wy）即y2-4nxy-4mx2=0,y=4x（2）2-42-4m=0,OAA-OB,勺&,=入&=-4?=-1,m=-t1+犯，=1过定点（4,0）XXx1X244v223、（2018秋醴陵市期中）已知椭圆。|：一+q=13>6>0）的左右顶点是双曲线。,：二-）ab4的顶点，且椭圆C1的上顶点到双曲线C2的渐近线距离为平.（1）求椭圆G的方程;（2）点尸为椭圆的左焦点，不垂直于X轴且不过尸点的直线/与曲线G相交于A、B两点,若直线E4、/话的斜率之和为0,则动直线/是否一定经过一定点？若存在这样的定点，则求出该定点的坐标；若不存在这样的定点，请说明理由.解：（1）由题意可知：a=2又椭圆的上顶点为（0/）双曲线的渐近线为：2y±x=0由点到直线的距离公式有:”L罕得z,m分5y/522所以椭圆的方程为三+3=1.43（2）方法1：设直线线/的方程为y=依+帆，A（x1,）1）、B（x2,y2）联立7"3得（3+4/）/+8如+4/-12=0y=kx+m则 xl + X2-Sbn-12帝记'g"57寸由已知直线EA、PB的斜率之和为0,有yi+y2_kxl+mkx2+m_2kxlx2+(A:+w)(i+x2)+2n_xl+1x2+1x1+1x2+1x1x2+x1+x2+12kxlx2+伏+m)(xl+x2)÷2"?=OC24zn2-12八、-ShnCC所以2k7-+(k+?)+2/n=O3+4公3+4公化简得利=4A此时=(8An)2-4×(3+4Ar2)(4n2-12)=(323?)2-4×(3+4公)(64-12)=16×64K-16(4*+3)(162_3)=16x9(1-4F)显然=16×9(l-42)>O有机会成立.所以直线/的方程为：y=kx+m=k(x+4)所以存在这样的定点(-4,0)符合题意.方法2：(2)右移1个单位C:+三=L平移的动直线=1.4y2+3x2-6x-9=04y2+3x2-6x(mx+ny)-9mx+ny)=O4y2+3x2-6fx2-Gnxy-9m2x2-9n2y2-1Sfnnxy=O(4-9n2)y2-(6m+18w)xy+(3-6w-9m2)x2=O同除以V(4一9n2k2-(6n+18n?)k+3-6m-9m2=O当五A、/B的斜率之和为O时，h6+1Smn八1八即-=0,M=一一，=04-93.-x=l/.过定点（一3,0）则平移之前的/过（-4,0）22E4.（2017秋德州期末）椭圆C:j+当=l（4>0>0）的离心率是二，过点P（Oj）的动直线/与椭圆相交于A,8两点，当直线/与X轴平行时，直线/被椭圆C截得的线段长为2#.（1）求椭圆C的方程；（2）在y轴上是否存在异于点P的定点Q,使得直线I变化时，总有ZPQA=NPQB?若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.解：（1）e,e2=r=»,2=2c2=b2+c2»b=c,a2=2b2f2a2222椭圆方程化为：二+二=1,由题意知，椭圆过点（后/），2bb'-+-7=1>解得匕*=4,/=8,2b2b2所以椭圆。的方程为：+-=1：84(2)方法1：当直线/斜率存在时，设直线/方程：y