2022届一模分类汇编-集合、复数、平面向量、概率统计专题练习（解析版）.docx

目录集合与不等式21集合22常见不等式求斛4数余的犷充与复数的引入61复教的粕关概念，表示及几何意义，8则运算6平面向量81基本概念及线性运算82平行与垂直103平面向量敷量积及应用10计数原理与概率分布111计教原理，二项式定理，概率小题112概率统计大题13集合与不等大1集合一、选择题1. （202204东城一模01）已知集合A=xx-1,B=-l<2,贝J4U3=A.x-l<xv3B.xx>-1C.x-lxv3D.H%-1【答案】D2. （202204西城一模01）己知集合A=-2,0,2,=,则AlB=A.0,2B.2C.-2,2D.-2,0,2【答案】A3. （202204海淀一模01）己知集合A=x-1x2,B=>,则AUB二A.巾2B.（xx-1C.xx>-1D.xx>【答案】B4. （202203朝阳一模01）己知集合4<4,集合8=卜,-3x+2v,则AUB=A.0B.x1<<2C.x2x<4D.xl<x<45. (202203丰台一模01)已知集合A=何一1vx2,8=小2<xl,则AUB二A.x-1 < X V 1C.x-2<x<2B.x-l<xlD.x-2<x2【答案】D6. (202203石景山一模01)设全集U=xcRxNl,集合A=xRK3,则Q,A二A.l,3)B.l,3C.(3,+oo)D.3,-o)【答案】A7. (202203门头沟一模01)已知集合A=-4,-3,-2,T,0,L2,3,4,B=x<9,则AIB=A.0,l,2,3,4B.-3,-2,-1,0,1,2,3)C.-2,-l,0J,2D.(-3,3)【答案】C8. （202203房山一模10）已知U是非空数集，若非空集合A，4满足以下三个条件，则称（A，&）为集合U的一种真分拆，并规定（l,A）与（4,A）为集合U的同一种真分拆.AlA2=0；AU&二U；Aa=1,2）的元素个数不是Aj中的元素.则集合U=1,2,3,4,5,6的真分拆的种数是A.5B.6C.10D.152米见不等式求解1. (202204东城一模08)已知R,则"2十2"是"T"l"的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A2. (202204西城一模03)设=log3O.4,Z?=Iog30.3,c=O.33,则A.a<c<bB.b<c<aC.a<b<cD.b<a<c【答案】D3. (202204海淀一模08)已知二次函数/(x)的图象如图所示，将其向右平移2个单位长度得到函数g(x)的图象，则不等式g(x)>Iog2X的解集是A.(-,2)B.(2,+)C.(0,2)D.(0,l)【答案】C4. (202203朝阳一模04)设m(0,1),若=lgn,?=lgn2,C=(Igm)2,则.a>b>cB.b>c>aC.c>a>bD.c>b>a【答案】C5. (202203平谷一模04)已知vbv<c,下列不等式正确的是.ha22A.>B.a>cabC.2“<2°DJogc(F)<logf(-Z?)数余的犷充与复教的引入X复教的相关*念，就示及几何意义、四则运算一、选择题1.（202204东城一模03）已知复数Z满足iz=2+i,则Z的虚部为A.2B.-2C.lD.-1【答案】B2.（202204西城一模02）亚数z='-的共捌兔数Z=1+i一.1.n11A.1iB.l+iC.iD.-+-2222【答案】B3.（202204海淀一模02）在复平面内，复数Z对应的点为（1,7）,则z(l+i)=A.2B.2iC.-2iD.-2【答案】A4.（202203丰台一模03）已知复数z=a+历（,0R）,则"=0”是“z为纯虚数”的A.充分而不必要条件C.充分必要条件【答案】B5. （202203石景山一模02）复数ZA.-iB.i【答案】A6. （202203门头沟一模02）复数ZA.第一象限C.第三象限B.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件满足（l+i）z=l-i,则Z=C.-1D.1=（-1+i）（2+i）对应的点在复平面内的B.第二象限D.第四象限【答案】B27.（202203平谷一模02）在夏平面内，复数z=，-,则Z的虚部是1+iA.-lB.lC.2D.-2【答案】A二、填空题1.（202203朝阳一模11）计算复数i（l+i）=.【答案】7+i平面向量X基本概念及或性运算一、选择题1. （202203门头沟一模08）已知。是边长为2的正AC边BC上的动点，则A8A。的取值范围是A.3,4B.3,2C.0,2D.2,4【答案】D2. （202203平谷一模07）已知边长为2的正方形ABa）,设Q为平面ABCZ）内任一点,uumUUiD则"0A3AP4"是"点P在正方形及内部”的B.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件A.充分必要条件C.充分必要条件【答案】B二、填空题1. （202204东城一模12）已知向量A8,CO在正方形网格中的位置如图所示.若网格上小正方形的边长为1,贝JA3CD=.【答案】52. （202203平谷一模12）已知向量,b,c在正方形网格中的位置，如图所示.则（+b）c=【答案】63. （202204海淀一模14）已知6心是单位向量，且qv?=。，设向量。=义勺+%，当4. ="=1时，<,e1>=；当4+=2时，-ej的最小值为.2【答案】14,4,22平行与委女一、填空题1.(202203丰台一模12)已知向量0=(-2,3),b=(x,-0.若aHb,则X=.【答案】43平面向量救量病及应用一、选择题1. （202204西城一模06）已知向量,b满足IH=5,b=（3,4）,ab=O.则IaTI=A.5B.5点C.10D.102【答案】B2. （202203朝阳一模03）已知平面向量,b满足同=2,Ml=I，且人与力的夹角为生，则,+同=A.3B.5C.7D.3【答案】A计数原理与概率分布1计效原理，二项灰定理，概率小题1. （202204海淀一模04）在（-行1的展开式中，/的系数为A.-1B.1C.TD.4【答案】B2. （202204朝阳模07）已知三棱锥A-BCD,现有质点Q从A点出发沿棱移动，规定质点Q从个顶点沿棱移动到另一个顶点为1次移动，则该质点经过3次移动后返回到A点的不同路径的种数为A.3B.6C.9D.12【答案】B3. （202204东城一模11）在（2-返产的展开式中，常数项为.（用数字作答）【答案】644. （202204西城一模04）在（1-2x）6的展开式中，常数项为XA.-120B.I20C.-160D.160【答案】C5. （202204房山一模04）若卜+£）的展开式中的常数项为20,则=（）（八）2（B）-2（C）1（D）-1【答案】D6. （202204门头沟一模11）在（2/一厅的展开式中，/的系数为.（用数字作答）【答案】-407. （202204平谷一模11）在（V+2尸的展开式中，常数项为.（用数字作答）X【答案】128. （202204石景山一模03）从1,2,3,4,5中不放回地抽取2个数，则在第1次抽到偶数的条件下，第2次抽到奇数的概率是A.-B.-C.-D.-5254【答案】D9. （202204石景山一模12）在（V+3的展开式中，审的系数是.（用数字填X写答案）【答案】352税率优计大题1.（202204海淀一模18）（本小题14分）黄帝内经中十二时辰养生法认为：子时的睡眠对一天至关重要（子时是指23点到次日凌晨1点）.相关数据表明，入睡时间越晚，深睡时间越少，睡眠指数也就越低.根据某次的抽样数据，对早睡群体和晚睡群体睡眠指数的统计如下表.组别睡眠指数早睡人群占比晚睡人群占比10,51)0.1%9.2%251,66)11.1%47.4%366,76)34.6%31.6%476,90)48.6%11.8%590,1005.6%0.0%注：早睡人群为23:00前入睡的人群，晚睡人群为01:00后入睡的人群.（I）根据表中数据，估计早睡人群睡眠指数25%分位数与晚睡人群睡眠指数25%分位数分别在第几组？（II）据统计，睡眠指数得分在区间76,90）内的人群中，早睡人群约占80%.从睡眠指数得分在76,90）内的人群中随机抽取3人，以X表示这3人中属于早睡人群的人数，求X的分布列与数学期望E（X）;（III）根据表中数据，有人认为，早睡人群的睡眠指数平均值一定落在区间76,90）内.试判断这种说法是否正确，并说明理由.【答案】（I）0.1%+ll.l%=11.2%v25%,0.1%÷11.1%+34.6%=45.8%>25%,早睡人群睡眠指数25%分位数在第3组；9.2<25%,9.2%+47.4%=56.6>25%,晚睡人群睡眠指数25%分位数在第2组.（II）由题意得X的取值范围是0J2,3,P(X=O)=%)。*=总；P(X=I)=*y(I)2=哉：P(Xf=<2,=:P(X=3)=<3(i)°=总分布列：X0123112486411251251251254412X8(3,)，.E(X)=3×-=-.555(III)不正确，理由如下：因为各组睡眠指数的原始数据不明，所以当各组睡眠指数集中在左端点时，睡眠指数的平均值估计为00.1%+51l1.1%+6634.6%+7648.6%+905.6%=70.473v76,此时平均睡眠指数并未落在76,90)区间内.2.(202204朝阳一模17)(本小题13分)某学校在寒假期间安排了“垃圾分类知识普及实践活动”.为了解学生的学习成果，该校从全校学生中随机抽取了50名学生作为样本进行测试，记录他们的成绩，测试卷满分100分，将数据分成6组:40,50),50,60),60,70),70,80),80,90),90,100,并整理得到如下频率分布直方图:频率组距（I）若全校学生参加同样的测试，试估计全校学生的平均成绩（每组成绩用中间值代替）；（三）在样本中，从其成绩在80分及以上的学生中随机抽取3人，用X表示其成绩在90,100中的人数，求X的分布列及数学期望；（III）在（三）抽取的3人中，用Y表示其成绩在80,90）的人数，试判断方差。（X）与D（y）的大小.（直接写结果）解：(I)由题意得，(0.006+r+0.018+0.032+0.020+0.010)×10=l,解得I=O.014.因为0.06x45+0.14x55+0.18x65+0.32*75+0.20x85+0.10x95=72.6,所以X的分布列为X0123244520291919191所以X的数学期望为E(X)=OX"+Ix竺+20+3Z=.10分91919191(III)D(X)=D(Y),13分3.(202204东城一模18)(本小题13分)根据Z市2020年人口普查的数据，在该市15岁及以上常住人口中，各种受教育程度人口所占比例(精确到0.01)如下表所示：育程度性别未上学小学初中高中大学专科大学本科硕士研究生博士研究生男0.000.030.140.110.070.110.030.01女0.010.040.110.110.080.120.030.00合计0.010.070.250.220.150.230.060.01(I)已知Z市15岁及以上常住人口在全市常住人口中所占比例约为85%,从全市常住人口中随机选取1人，试估计该市民年龄为15岁及以上且受教育程度为硕士研究生的概率；(II)从Z市15岁及以上常住人口中随机选取2人，记这2人中受教育程度为大学本科及以上的人数为X,求X的分布列和数学期望；(HI)若受教育程度为未上学、小学、初中、高中、大学专科及以上的受教育年限分别记为。年、6年、9年、12年、16年，设Z市15岁及以上男性与女性常住人口的平均受教育年限分别为年和b年，依据表中的数据直接写出。与b的大小关系.(结论不要求证明)解：(I)设事件A="该市民年龄为15岁及以上”，事件B=”该市民受教育程度为硕士研究生”.依题意,P（八）=0.85,P(BA)=0.06.由概率的乘法公式可得,P(AB)=P（八）P(BA)=0.85×0.06=0.051.因此，从全市常住人口中随机选取1人，该市民年龄为15岁及以上且受教育程度为硕士研究生的概率约为0.051(3分)(II)从Z市15岁及以上的常住人口中随机选取1人，受教育程度为大学本科及以上的概率为0.23I0.06I0.01=0.3.X的所有可能取值为0,1,2.P(X=O)=(1-0.3)2=0.49,P(X=I)=C*×0.3×(l-0.3)=0.42,P(X=2)=0.32=0.09,所以X的分布列为X012P0.490.420.09故X的数学期望E（X）=OXO.49+1x0.42+2x0.09=0.6.（11分）（III）->b.（13分）4. （202204西城一模18）（本小题4分）2021年是北京城市轨道交通新线开通的“大年”，开通线路的条、段数为历年最多.12月31日首班车起，地铁19号线一期开通试运营.地铁19号线一期全长约22公里，共设10座车站，此次开通牡丹园、积水潭、牛街、草桥、新发地、新宫共6座车站.在试运营期间，地铁公司随机选取了乘坐19号线一期的200名乘客，记录了他们的乘车情况，得到下表(单位：人)：车站上车端、牡丹园积水潭牛街草桥新发地新宫合计牡丹园/5642724积水源12/20137860牛街57/38124草桥1399/1638新发地410162/335新宫25543/19合计363656262125200(I)在试运营期间，从在积水潭站上车的乘客中任选一人，估计该乘客在牛街站下车的概率；（三）在试运营期间，从在积水潭站上车的所专乘客中随机选取三人，设其中在牛街站下车的人数为X,求随机变量X的分布列以及数学期望；(III)为了研究各站客流量的相关情况，用。表示所有在积水潭站上下车的乘客的上、下车情况，表示上车，“。=0”表示下车.相应地，用J2，&分别表示牛街，草桥站上、下车情况，直接写出方差D2,。刍大小关系.解：(【)设选取的乘客在积水潭站上车、在牛街站下车为事件A,由已知，在积水潭站上车的乘客有60人，其中在牛街站下车的乘客有20人,所以P（八）=史=1603(II)由题意可知，X=0,1,2,3.ax=。) =。4827P(X=D=GX-"=2)=CM4P(X =3) =随机变量X的分布列为X0123P827122762712710分所以随机变量X的数学期望为EY=0×-+l×-+2×-+3×-=l.2727272713分5. （202204房山一模18）（本小题14分）良好的生态环境是最普惠的民生福祉，北京市集中开展大气污染防治以来，在经济社会快速发展的同时实现了大气主要污染物浓度持续下降.2021年，经过全市共同努力，空气质量首次全面达标，大气污染治理取得里程碑式突破，下表是2021年每个月空气质量优良和污染的天数统计.月份1月2月3月4月5月6月7月8月9月10月11月12月合计空气质量优良天数241811272321262927292330288空气质量污染天数7102038952327177（I）从2021年中任选1天，求这一天空气质量优良的概率；（II）从2021年的4月、6月和9月中各任选大，设随机变量X表示选出的3天中空气质量优良的天数，求X的分布列；（III）在2021年的1月、3月、5月、7月、8月、10月、12月中，设空气质量优良天数的方差为S；,空气质量污染天数的方差为£会.试判断S；,之的大小关系.（结论不要求证明）解：（I）记事件A为“从2021年中任选1天，这天空气质量优良”,（IDX的所有可能取值为0,1,2,31方法1：记事件8为“从4月任选1天，这一天空气质量优良”,事件。为“从6月任选1天，这一天空气质量优良”,事件。为“从9月任选1天，这一天空气质量优良”.由题意知，事件B,C,。相互独立,279217且P(B)=P(£>)=,P(C)=-=30103010-1313所以P(X=O)=P(BCD)=P(B)P(C)P(O)=xx=1010101000P(X=1)=P(BCD+BCD+BCD)=P(B)P(C)P(D)+P(B)P(C)P(D)+P(B)P(C)P(D)=-3x2101010101010101010100010 10 10 10 10 10 10 10 10 1000P(X=2)=P(BCD+BCD+BCD)=P(B)P(C)P(D)+P(B)P(C)P(D)+Pe)P(C)P(D)979567P(X=3)=P(BCD)=P(B)P(C)P(D)=-X-X-=1010101000方法2：P(X=0)=3×9×330×30×301000P(X=I)=27×9×3+3×21×3+3×9×276130×30×301000P(X=2)=27×21×3+27×9×27+3×21×273693O×3O×3O1000P(X=3)=27×21×275673×3×3i所以X的分布列为:X0123361369567P1000100010001000(III)6. (202203丰台一模18)(本小题共14分)为研究某地区2021届大学毕业生毕业三个月后的毕业去向，某调查公司从该地区2021届大学毕业生中随机选取了IOoo人作为样本进行调查，结果如下：毕业去向继续学习深造单位就业自主创业自由职业慢就业人数2005601412898假设该地区2021届大学毕业生选择的毕业去向相互独立.(I)若该地区一所高校2021届大学毕业生的人数为2500,试根据样本估计该校2021届大学毕业生选择“单位就业”的人数;(II)从该地区2021届大学毕业生中随机选取3人，记随机变量X为这3人中选择“继续学习深造”的人数.以样本的频率估计概率，求X的分布列和数学期望E(X);(IH)该公司在半年后对样本中的毕业生进行再调查，发现仅有选择“慢就业”的毕业生中的(0<<98)人选择了上表中的其他的毕业去向，记此时表中五种毕业去向对应人数的方差为当为何值时，S?最小(结论不要求证明)解：(I)由题意得，该校2021届大学毕业生选择“单位就业”的人数为2500×=14004分1000（三）由题意得，样本中IOoo名毕业生选择“继续学习深造”的频率为2"=LI(XX)5用频率估计概率，从该地区2021届大学毕业生中随机选取1名学生，估计该生选择“继续学习深造”的概率为g.随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.所以P(X=O)=C(SO(IT3=总，P(X=D=氓)(7J怎=11IOP(X=2)=(一)2(lP(X=3)=C冲3(1一$。=击.所以X的分布列为X0123P64T254812512T251T25皿、八aI48C12,1311E(X)0×+l+2+3×1251251251255分(III)a=42.14分7. (202204门头沟一模17)(本小题满分13分)第24届冬季奥林匹克运动会于2022年2月4日在北京、张家口盛大开幕.为保障本届冬奥会顺利运行，共招募约2.7万人参与赛会志愿服务.赛会共设对外联络服务、竞赛运行服务、媒体运行与转播服务、场馆运行服务、市场开发服务、人力资源服务、技术运行服务、文化展示服务、赛会综合服务、安保服务、交通服务、其他共12类志愿服务.(I)甲、乙两名志愿者被随机分配到不同类志愿服务中，每人只参加一类志愿服务，已知甲被分配到对外联络服务，求乙被分配到场馆运行服务的概率是多少？(II)已知来自某中学的每名志愿者被分配到文化展示服务类的概率是L,设来自该中学10的2名志愿者被分配到文化展示服务类的人数为4,求J的分布列与期望；(111) 2.7万名志愿者中，18-35岁人群占比达到95%,为了解志愿者对某一活动方案是否支持，通过分层抽样获得如下数据：18-35岁人群其他人群支持不支持支持不支持方案90人5人1人4人假设所有志愿者对活动方案是否支持相互独立.将志愿者支持方案的概率估计值记为外,去掉其它人群志愿者，支持方案的概率估计值记为0,试比较Po与Pl的大小.(结论不要求证明)O2IOO81100(In) P1 > P018lob8. (202204平谷一模18)(本小题满分14分)为了迎接北京冬奥会，弘扬奥林匹克精神，某学校组织全体高一学生开展了冬奥知识竞赛活动.从参加该活动的学生中随机抽取了12名学生的竞赛成绩，数据如下表：男生818486868891女生728084889297(I)从抽出的男生和女生中，各随机选取一人，求男生成绩高于女生成绩的概率；(II)从该校的高一学生中，随机抽取3人，记成绩为优秀(>90分)的学生人数为X,求X的分布列和数学期望；(III)表中男生和女生成绩的方差分别记为不,$.现在再从参加活动的男生中抽取一名学生，成绩为86分，组成新的男生样本，方差记为试比较s；,sbs；的大小.(只需写出结论)解：(I)解：设“从抽出的男生和女生中，男生成绩高于女生成绩”为事件A,1分由表格可得：从抽出的12名学生中，男生和女生各随机选取一人，即样本空间Q=C:猥=36：3分其中男生成绩高于女生成绩的有(81,(72) 1,80)(84,72)(84,80)(86,72)(86,80)(86,84)(86,80)(86,72)(86,80)(86,84)(86,80).事件A包含17个样本点，因此P()=5分36(Il)由数据可知，在抽取的12名学生中，成绩为优秀(>90分)的有3人，即从该校参加活动的高一学生中随机抽取1人，该学生成绩优秀的概率为工.4因此从该校高一学生中随机抽取3人，这3人中成绩优秀人数X可取0,1,2,3,且(1、7分I4P(X=O)=IJ磊，P(X=1)Y/管磊IP(X=2)VH1=P(X=3)=1j/所以随机变量X的分布列X0123P2727916464646411分2791483数学期望EX=O+lM+2x3+3x-=竺二二646464644或者X B 3,- 41312分,所以£X=3x=_4414分9. （202204石景山一模17）（本小题13分）某学校高中三个年级共有300名学生，为调查他们的课后学习时间情况，通过分层抽样获得了20名学生一周的课后学习时间，数据如下表（单位：小时）：高一年级77.588.59高二年级78910111213高三年级66.578.51113.51718.5（I）试估计该校高三年级的学生人数;（II）从高一年级和高二年级抽出的学生中，各随机选取一人，高一年级选出的人记为甲，高二年级选出的人记为乙，求该周甲的课后学习时间不大于乙的课后学习时间的概率；(III)再从高中三个年级中各随机抽取一名学生，他们该周的课后学习时间分别是8,9,10(单位：小时)，这三个数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为1,表格中的数据平均数记为京，试判断R与X的大小.(结论不要求证明)解：(I)抽出的20位学生中，来自高三年级的有8名，根据分层抽样方法，Q可得高三年级的学生共有300x2=120(人)；3分20(II)设事件Aj为“甲是现有样本中高一年级中的第i个学生”，i=L2,3,4,5,事件Cj为“乙是现有样本中高二年级中的第/个学生"，/=1,2,3,4,5,6,7,由题意知：P（八）=g，PC)=；,由于事件A与事件Cj相互独立，所以P(AG)=H=(，设事件B为“该周甲的学习时间不大于乙的学习时间”，由题意知，B=A2C1UGUGA4C21.,A5C1A5C2,由于4G、AG、A4C1.A4C2.A5C1,AG彼此互斥，所以P(B)=PtA2CiUAGU4GA4C2UAiC1IJAiC2)=P(A2C)+P(AG)+P(AtC1)+P(A1C2)+P(ACI)+P(AG)=6XH卷_629所以P(B)=I-P(B)=I-7=377,353529故该周甲的课后学习时间不大于乙的课后学习时间概率为三7分35z7+7.5+8+8.5+9Q7+8+9+10+11+12+13S(In)%一=8,=10，6+6.5+7+8.5+11+13.5+17+18.5一三组总平均值1="土四土遗=9.9,新加入的三个数8,9,10的平均数为9,勺20比三小，故拉低了平均值，所以IV京.13分