2022届一模分类汇编-三角函数与解三角形、立体几何专题练习（解析版）.docx

目录三角函教与解三角形21三角函数选填22解三角形选填53三角舀数与解三角形大题72'<2>>1立体几何选填基础222立体几何选填压轴233立体几何大题26三角函数与解三角形1三角的数选填一、选择题31.(2022东城一模第5题)已知Sina=W，则sin(兀一2。)tan=a32°32Q18A.B.C.252525答案：CC18D.252.(2022门头沟一模第7题)“角/的终边关于原点。对称”是“cos(-0=-l”的,充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案：C；由题意得：2-4=2E+(ZZ),cos(a-)=cos=-1,反之，若cos(a-/7)=-1,则-7=2E+,角,的终边关于原点0对称3.(2022海淀一模第7题)已知角a的终边绕原点。逆时针旋转后与角的终边重合,且CoS(+/)=1,则的取值可以为A?C兀-2-5B.-C.D.336答案：C4. (2022西城一模第8题)将函数y=sin(2x+的图象向右平移个单位所得函数图象关于原点对称，向左平移。个单位所得函数图象关于y轴对称，其中0e,则0=,兀C兀八兀C兀A.-B.-C.-D.一6384答案：D5. (2022房山一模第8题)已知函数房幻=2cos2(:+己一1,则“6二匹+hr(女Z)"是4“/(X)为奇函数”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案：A6. (2022平谷一模第9题)已知函数/(x)=ASin(S;+°),(A>0,切>0,同<)部分图像，如图所示.则下列说法正确的是A.函数F(X)最小正周期为B(l)<(2)4IlTtC函数F(X)的一个单调递减区间是(把,U)36D.若/()=f(x2)=y3(x1X2),则W-5|的最小值是:答案:C7. (2022西城一模第10题)如图，曲线C为函数y=sinx(0x半)的图象，甲粒子沿曲线。从4点向目的地8点运动，乙粒子沿曲线。从8点向目的地A点运动.两个粒子同时出发，且乙的水平速率为甲的2倍，当其中一个粒子先到达目的地时，另一个粒子随之停止运动.在运动过程中，设甲粒子的坐标为，乙粒子的坐标为(,u),若记-u=/(加)，则下列说法正确的是A.(m)在区间(,兀)上是增函数B.(w)恰有2个零点CJ(M的最小值为-2DJ(M的图象关于点(二,0)中心对称6答案：B二、填空题1. (2022房山一模第13题)将函数/(x)=S加2x的图象向右平移工个单位长度后得到函6数g(x)的图象，则g。)=；若g(x)在区间0,m上的最小值为g，则加的最大值为.答案：sin(2x-);-5TT2. (2022朝阳一模第13题)已知直线X=和冗=二是曲线y=sin(s+0)(0>0)的相36邻的两条对称轴，则满足条件的一个夕的值是.答案：=-(答案不唯一)62解三角形选填一、选择题1. （2022 丰台一模第 6 题）在仆 ABC 中，a = 2, b = 3 , cos B -,则 NA =4 A.-6答案：AC兀B.-3八 一 5D.一或66Tr2. （2022 石景山一模第 8 题）在 ABC中，sin2 A = sin sinC,若 NA = t,则 NB的 3大小是C兀八兀八2A.-B.-C.-D.6433答案：C3. （2022年海淀一模第9题）在乙ABC中，A = -,则“sinB也”是“ ABC是钝角三42角形''的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案：A二、填空题1. （2022门头沟一模第13题）在ABC中，AC=2,AB=23,ZC=-,则N3=3；。为BC的中点，则AO的长为.答案：解：由正弦定理得：ZB=-;由余弦定理得：AO=".TF2. （2022朝阳一模第14题）某地进行老旧小区改造，有半径为60米，圆心角为上的一块3扇形空置地（如图），现欲从中规划出一块三角形绿地PQR,其中P在BC上，PQ_LAB,7垂足为Q,PRLAC,垂足为R,设NaAB二（0,y）,则尸Q=（用表示）；当点P在BC上运动时，这块三角形绿地的最大面积是.答案：60Sinam225>3m23. （2022东城一模第15题）某学校开展“测量故宫角楼高度”的综合实践活动.如图1所示,线段A3表示角楼的高，C,。,E为三个可供选择的测量点，点8,C在同一水平面内，CD与水平面垂直.现设计能计算出角楼高度的测量方案，从以下六组几何量中选择三组进行测量，则可以选择的几何量的编号为.（只需写出一种方案）C,£>两点间的距离：CE两点间的距离；由点C观察点A的仰角；由点。观察点A的仰角夕；ZACE和NAEC；NAz汨和ZAED.图1答案：（答案不昨3三食函教与等三角形大题1.(2022海淀一模第16题)(本小题共14分)设函数/(x)=2sinXCos%+Acos2x(AR).已知存在A使得f(x)同时满足下列三个条件中的两个:条件：/(0)=0；条件：/(幻的最大值为J;条件：X二'是图象的一条对称轴.8(I)请写出f(x)满足的两个条件，并说明理由；(II)若F(X)在区间(0,根)上有且只有一个零点，求加的取值范围.16.(本小题满分14分)(I)f(x)=2sinxcosx+cos2x=sin2x+Acos2x=1+Asin(2x)TU7(其中tan。=A,0(-5,);由条件/()=0得A=O;由条件f(x)的最大值为J得A=±1;由条件：X=I是f(x)图象的一条对称轴得=k+keZ;所以Q=A乃+二,Z,所以A=Iane=IanN=1;44所以/(幻满足条件.（三）由(I)知/(x)=sin(2x+工)：4f(x)在区间(0,m)上有且只有一个零点，所以；r<Im+工2乃，-<m;488加的取值范围(网,上.882.(2022丰台一模第16题)(本小题共13分)已知函数/(x)=sin(69X+)(>0,<)f再从条件、条件、条件这三个条件中选择两个作为一组已知条件，使/(x)的解析式唯一确定.(I)求F(X)的解析式；7rJr(II)设函数g(x)=/(X)+f(x+2),求g(x)在区间0-上的最大值.64_条件：/(幻的最小正周期为;条件：/(冗)为奇函数；条件：/(X)图象的一条对称轴为X二4.4注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分.16.(本小题共13分)解：选择条件：(I)由条件及已知得T=生=,所以G=2.由条件得/()=一/(x)，所以f(0)=O,即sin=0.解得e二kkZ).JT因为I夕<5»所以夕=O,所以f()=sin2r.经检验*=0符合题意.6分(II)由题意得8(工)=5访2工+5皿(24+1),化简得g(x)=V3sin(2x+)-6因为OWXW3,4所以Nw2x+三W2,663所以当Zr+'=',即x=3时，g(x)的最大值为013分626选择条件：(I)由条件及已知得T=至=,所以0=2.由条件得22+e=E+2(Rz),42解得O=E(AZ).Tt因为191<5>所以*=0.所以/(x)=sin2r.6分(II)由题意得g(x)=sin2x+sin(2x+$，化简得g()=GSin(2X+)-6因为0xW3,4UL兀_C,2所以一2xH,663所以当2x+m=m,即时，g(x)的最大值为613分6263.(2022西城一模第16题)(本小题满分13分)在中，cosB+-Z?=C.2(I)求A的大小；(II)再从条件、条件、条件这三个条件中选择一个作为已知，使得AABC存在且唯一确定,求BC边上高线的长.条件:b = k14条件:0 = 2, c = 2>3 ；条件:注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答给分.16.(本小题满分13分)(I)acosB+-b=c,2由正弦定理得sinAcosB+-sinB=sinC.2在2ABC中A+8+C=r,A8,C(0,乃)，所以SinC=sin-(A+B)=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB.所以立sin8=cosAsinB2因为SinBW0,所以COSA=立.2Tl所以A=6（三）选条件:因为在AMC中'c。SB=噜所以sin8=JI-CoS*B=亚14所以.厂zddA-D3>TJ3y/lf2切以SlnC=Sln(A+B)=sinAcos8+cosAsinB=x+X=2142147设BC边上高线的长为，所以人=bsinC=-77选条件：由正弦定理一L=一-得SinC=立sinAsinC2所以C二2或C=包.33所以AABC不唯一.所以条件不能选选条件：由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA=9+3-2x3XGCOS宗=3,所以=所以4=C=所以AABC为等腰三角形，C=A=-.6设BC边上高线的长为。，所以人=SinC=3J=3.224.(2022东城一模第16题)(本小题13分)已知函数/(x)=asinscos3x(>O,0>O),从下列四个条件中选择两个作为己知,使函数/(x)存在且唯一确定.(I)求F(X)的解析式；(II)(g(x)/(x)-2C0S269X+1,求函数g(x)在(0,71)上的单调递增区间.条件：/()=1；条件：，(冗)为偶函数；条件：/(X)的最大值为1；条件：/(X)图象的相邻两条对称轴之间的距离为5注：如果选择的条件不符合要求，第(I)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.解：(D/(x)="singcOStyX=sin20x。选择条件：因为函数，(/)图象的相邻两条对称轴之间的距离为,所以女乃，即G=I.所以f(x)=sin2%。22因为=所以ISiIlI=1,即4=2.所以/(x)=sin2x(7分)选择条件：因为函数/(x)图象的相邻两条对称轴之间的距离为,所以至;r,即勿=1.所以f(x)=sin2x.22因为函数的最大值为1,所以£=1,即=2.所以/(x)=sin2x.(7分)(II)g(x)=/(x)-2cos2x+l=sin2x-cos2x=>2sinl2x-【4J因为y=sinx在卜+2k,/+2氏J（攵Z）上单调递增,所以F2kv<2x<F2kr(kZ).242所以卜kr<X<Fkr(kZ).（13 分）88所以函数g“）在（0,乃）上的单调递增区间为0,8在乙ABC中，sinC+coosA=O.(I)求NA；(II)再从条件、条件、条件这三个条件中选择两个作为已知，使得存在且唯一确定，求&ABC的面积.条件：b=2c；条件：sinB=；10条件：。=加.注：如果选择的条件不符合要求，第（三）问得。分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.解：(I)因为asinC+ccosA=O,由正弦定理，一=,sinAsinC得sinAsinC+sinCCOSA=O,即sinC(sinA+cosA)=0.因为NC(O,r),所以SinC0.所以SinA+cosA=()所以NA工一.所以COSA().2所以tanA=江A=-1.cos所以NA=型.6分4(II)选条件:由正弦定理一二/_,及a=M,Sin3=®,sinAsinB10得吗-=与，所以b=.Sin型叵410因为NA=型，所以N8(0,C),44所以cosB=Vl-sin2B=10所以SinC=Sin(A+8)=SinACOSB+cosAsinB=正X亚乌x®=巨2102105所以Swc=；"SinC=gxMxxt=l.13分选条件：由余弦定理/=+C?-2Z?CCOSA,及b=垃c,得10=2c?+C?+2岳2X变，2解得c=所以b=gc=2.所以Sjjc=；ASinA=gx2x虚x=l.13分已知函数/(x)=msin(s+N)(m>0,3>0)只能同时满足下列三个条件中的两个:6函数/(X)的最大值为2；函数f(x)的图象可由y=sin(2x一四)的图象平移得到；4函数f(x)图象的相邻两条对称轴之间的距离为.(I)请写出这两个条件的序号，说明理由，并求出了(X)的解析式；(Il)在4ABC中，内角A,8,C所对的边分别为c,A=pa=/（八）,求ABC面积的最大值.Tr解：(I)函数f(x)=msin(s+-)满足条件为，6理由如下：由题意可知条件互相矛盾，Tr故为函数/(x)=msin(s+2)满足的条件之一，6由可知：T=2»所以。=1.故不合题意，Tr所以函数/(x)=MSin(GX+)满足条件为，6JT由知：A=2,所以/(x)=2Sin(X+).7分6Tl(II)由题意可得a=/（八）=/()=2Sini=2,由余弦定理得4=Z?2+c2-2bccos,3所以4="+c2-bcN2bc-bc=bc,当且仅当b=C时取“二”所以灰W4,所以S=gbcsinAW；x4XSinm=>J,所以ABC面积的最大值为相.13分在ZiABC中，加in=acosB.(I)求N5的大小；(II)再从下列三个条件中，选择两个作为已知，使得AABC存在且唯一，求AABC的面积.条件：cosA=-；2条件：=2;条件：AB边上的高为好.2注：如果选择的条件不符合要求，第（三）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.答案：(I)由正弦定理一-=及力SinA=acos3sinAsinB得asinB=acosB.所以tanB=L因为0o<ZB<180o,所以NB=45o.(II)选择条件，AABC存在且唯一，解答如下：由CoSA=-1，及0°<NAV135°,得NA=I20。2由正弦定理，一=一及=&sinAsinB得一-=X-,解得sin120osin45°方法1：由A+8+C=180o,得Ne=I5。.sinC=sin15°=sin(45o-30°)=sin45ocos30o-cos45osin30o232162=××-=222244firrlCIla6瓜-C3-6所以Su”=«/?sinC=×3×2×=abc2244方法2：由余弦定理*=b2+c2-2bccosA,得3=2+c2-2岳（；）*+后7二。，解得”学*I”C1RIA（示、五3->3所以Sgg=csmB=-×3×（-）×-=-选择，AABC存在且唯一，解答如下：由CoSA=-1，及OoVZA<135。，得ZA=I20。2显因为AB边上的高为亚，所以b=一=与=正2sinA3T由正弦定理，一二一2一及A=&sinAsinB（以下与选择条件相同）8.(2022门头沟一模第16题)(本小题满分12分)已知函数/(x)=sin(69X-)(iy>0,9<),X=工是函数/(x)的对称轴，且/(x)26在区间(巴,空)上单调.63(I)从条件、条件、条件中选一个作为已知，使得/(x)的解析式存在，并求出其解析式；条件：函数f(x)的图像经过点A(0,；)；条件：(1,0)是Fa)的对称中心；5Tt条件：(三，°)是/(X)的对称中心注：如果选择的条件不符合要求，第(I)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.(II)根据(I)中确定的/(x),求函数y=f(x)(x0,y)的值域.(16)解：(I)由题意得：-+=k-,ZZ,在区间(巳,空)上单调，6263T>2兀2362若选：Sine=Lne=工，G=6Z+2,得勿=2,符合题意，得：f(x)=sin(2x+-)266若选：法一：蒋3+e=m,机Z,可得(3=(m-Z)-g,即g=4(11-左)一2,TrTr可得3=2,则9符合题意，得：/(x)=sin(2x+-).66法二：若直接解出工=2一巳=Hn/=2,符合题意，则°=巳，符合题意，得：412646F(X)=Sin(2x+?).6JrJtTr7TE(II)(I)得/(x)=sin(2x+t),0WXWt=tW2x+2Wi,-±/(x)Wl,626662itI所以函数y=f(x)(X0,-)的值域为一,1.9.（2022平谷一模第16题）（本小题满分13分）在ANC中，6/=23,a1+c1-4iac=h1.（I）求NB；（II）再从条件、条件、条件这三个条件中选择一个作为已知，使4存在且唯一确定，求ABC的面积.条件：b=3：4条件：cosA=；条件：ABC的周长为4+2J.注：如果选择的条件不符合要求，第（II）问得0分：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.答案：解：（I）由/+/一缶c=/得且B=正，即COSB=立，因为0<3<乃，Iac22所以NB=生4分6（ID选择条件：因为COSA=士,所以SinA=355因为。=2有，由正弦定理_=，_=匕=生87分sinBsinA3又SinC=Sin(A+B)=SinAcosB+cosAsinB=10分所以AABC的面积S=LabSinC=出叵匕分22选择条件:因为445。的周长为4+2/，6f=23,即+c=4(D6分又。2+/一WaC=h2t即12+/-6c=b29分由解方程组b=c=212分所以AABC的面积S=JaCSinB=613分2立体几何1立体几何选填基础一、选择题1. （202203石景山一模04）设/是直线，生是两个不同的平面，则下列命题中正确的是A.若/a,/?,则a£B.若o,/1/7,则C.若。_1_尸，±a,贝"J./D.若a_LQ,IlIa,贝心_14【答案】B二、填空题2. （202204西城一模13）如图，在棱长为2的正方体ABCZ）-A4G。中，点E为棱CD的中点，点/为底面ABa）内一点，给出下列三个论断：A,F1BE;A尸=3；SAADF=2SAABF以其中的一个论断作为条件，另一个论断作为结论，写出一个正确的命题：.【答案】“若4尸，跖，则S皿=23W”或“若S-=2S-w贝UA尸，8七"2立体几何选填压轴一、选择题1.（202203朝阳一模10）在通用技术教室里有一个三棱锥木块如图所示，网VC两两垂直，VA=VB=VC=X（i:dm）,小明同学计划过侧面¼4C内任意一点P将木块锯开,使截面平行于直线VB和AC,则该截面面（单位：dm2）的最大值是A.14C亚4【答案】BBa4D.-4二、填空题1. （202203房山一模15）如图，正方体ABCQT1AGA的棱长为2，点O为底面ABCz）的中心，点尸在侧面BqCC的边界及其内部运动.给出下列四个结论：ROJ_AC；存在一点尸，DflHBxP；若Lop,则4ag尸面积的最大值为石；若尸到直线RG的距离与到点3的距离相等，则P的轨迹为抛物线的一部分.其中所有正确结论的序号.【答案】2. （202203丰台一模15）如图，在棱长为2的正方体A5CO-A4GA中，M,N分别是棱44,AA的中点，点P在线段CM上运动，给出下列四个结论：平面CMV截正方体ABCD-ABCR所得的截面图形是五边形；直线Bn到平面CMN的距离是等；存在点尸，使得/8/4=90。；尸。A面积的最小值是2.6其中所有正确结论的序号是.【答案】3. （202203门头沟一模15）如图，已知四棱锥P-ABCO的底面是边长为2的菱形，且ZDAB=-,PD=AD,P£>_L平面ABCr>,EO分别是RVB。的中点，E是线段必上的3动点，给出下列四个结论：ACJLO七；®FC=POx直线PO与底面A8CD所成角的正弦值为日；AEC面积的取值范围是冬乐.其中所有正确结论的序号是.【答案】4. （202203平谷一模15）设棱长为2的正方体A8C。-4旦GA,E是AD中点，点,N分别是棱A8,GA上的动点，给出以下四个结论：存在ENMG；存在MNl.平面ECG；存在无数个等腰三角形EMN;三棱锥C-MNE的体积的取值范围是任,3.33.则所有正确结论的序号是.【答案】3立体几何大题三、解答题1.(202203朝阳一模18)(本小题共14分)如图1,在四边形ABCD中，ACLBD,ACIBD=O,OD=OB=I,OC=2,E,F分别是A8,AO上的点，EFHBD,AClEF=H,A"=2,Ho=L将AAEF沿EF折起到aAE尸的位置，得到五棱锥4-88左，如图2.(I)求证：E尸_1_平面AHC；(II)若平面AyEF_L平面BCDFE,(i)求二面角O-A。H的余弦值；(ii)对线段A尸上任意一点N,求证：直线BV与平面ADC相交.解：(I)因为ACJ.08,EF/DB,所以ACjLE尸.所以4»，防，HCLEF.又因为A”u平面A"。，"Cu平面A”C,AlHHC=H,所以EF_L平面A”。.4分(II)(i)因为平面4£F_L平面Ba尸石，平面AEFl平面BCr)EE=E产，AHU平面4EF，AiH±EFf所以AH，平面BCDFE.因为HCU平面8CO/石，所以AH_LHC.又因为C_L所，如图建立空间直角坐标系H-xyz,则H(0,0,0),A1(0,0,2),C(0,3,0),2B(IJO),D(-U,0),F(-,0,0)3所以AC=(0,3,-2),DC=(1,2,0).设平面A1DC的一个法向量为=(x,y,z),lwA1C=O,3j-2z=0,则即wDC=O,x+2y=0.令z=3,贝!ly=2,=Y.所以=(T2,3).由(I)可知，£F，平面AHC,所以平面A1HC的一个法向量是雁=(1,0,0).所以CoS,=429IwIlmI716+4+929由题可知，二面角。一AC-H为锐角，其余弦值为生画.10分29(ii)设N(X,)，,Z)是线段A尸上一点，设AN=2A(tt0,l).1.2则(x,y,z-2)=l(一§,0,-2>解得X=(冗，y=0,Z=2-2.9所以NA=(l+l,l,2;l-2).2in因为NB"=-4(-2+1)+2+3(22-2)=-2-8<0，33所以N3"w0.所以直线BV与平面AoC相交.14分2.(202203海淀一模17)(本小题共14分)如图，在四棱柱ABCD-AgCQ中，底面ABCD是正方形.平面4ADDi_L平面ABCD,AD=2,AA1=A1D.(I)求证：AyDLAB；(II)若直线AB与平面AoG所成角的正弦值为浮，求A4的长度.【答案】(I)底面A38是正方形，:.ABLAD.又平面AADD11平面ABCD,平面A1ADD1)平面ABCD=AD,Au平面A3Cf), L平面AAo0, AQU平面AAQR,ADLAB.(II)取AO中点。，BC中息E,连接。A、OE, 底面AbCD是正方形，:.OE/AB,OElAD AB_L平面AAo0,/.OE_L平面AlADDi,.OE±OAy, AA1=A1D, .OAiIAD,/.OE,OD,OAi两两垂直，以0为原点,OE,0D,OA分别为，)'，Z轴正方向建立空间直角坐标系O-xyz.设OA1=a,(a>0)则A(0,-l,0),B(2,-l,0),D(0,1,0),A1(O,O,a),C1(2,2,a).则Ac=(2,2,(),ZM1=(0,-1m),AB=(2,0,0).设平面4OG的一个法向量为n=(x,y,z),nA1C1=2x+2y=0nDAx=-y+6zz=0令Z=L得X=a,y=cf：n=(-a,a,i)-设直线A3与平面A1DC1所成的角为。，.八IACIIABnI则sin=cos<AB,n>=MBhInI21I一2I即=Z.72×26Z2+1整理得q?=3,.a>0,*a，1(),(),3),A41=(O,1,3),A41=72+l2+()2=2,所以AA的长度为2.如图，四边形ABC£>是矩形，AAJ-平面ABC£>,Z)EjL平面ABC。，AB=DE=I,Af>=¾=2,点F在棱¼上.(I)求证：BF平面CDE;(II)求二面角C-PE-A的余弦值；(III)若点尸到平面PCE的距离为I，求线段AF的长.3(I)方法一：在矩形ABCQ中，ABHCD,;CDu平面CDE,ABU平面CDE, AB平面COE, 84_1_平面43。，£)E_L平面ABCQ,/.PADEt.DEU平面CDE,PA<z平面CDE, 24平面CoE,:PAAB=A,PA.ABU平面PAB, 平面PAB平面CoE, 3/U平面尸A3, BF平面CDE.方法二：在矩形A5C。中，ABHCD, Q4_L平面ABC£),OE_L平面438,.PADE,又,：CQU平面CDE,C)EU平面C£)E,CDDE=D,24U平面PA3,ABU平面PA5,PAAB=A,/.平面PAB/平面CDE, 5/U平面PAB, BF/平面CDE.(II)在矩形A38中，AB-LAD, 尸4J_平面ABCT：.PA±AB,PA±ADt ABtAD,PA两两垂直，如图建立空间直角坐标系A-xyz.则A(0,0,0),5(1,0,0),C(l,2,0),P(0,0,2),E(0,2,l).PC=(1,2,-2),EC=(1,(),-1).设平面PCE的一个法向量为n=(XXz),nPC=x+2y-2z=0则,n-EC=x-z=0令x=2,得y=l,z=2,/.11=(2,1,2).易知，AB=(L(),()是平面R4石的一个法向量,ABhn3由图可知，二面角C-PE4为锐角,2二面角C-PE-A的余弦值为一.3(Ill)设A/的长度为(02),则F(O,O,),RP=(O,O,2-4),FPn点F到平面PCE的距离为d=npl142。|即=,3335人解得4=或4=一(舍)，22A/的长度为之.2如图，在三棱柱ABC-AgG中，AA,_L平面ABC,ABlAC,AB=AC=AAy=1,M为线段AG上一点.(I)求证：BM1ABi；(II)若直线A耳与平面BCM所成角为四，求点A到平面BeM的距离.【答案】解：(D因为441_L平面ABC,所以A41±AB,AA1±AC.因为A3_LAC,所以ACJ_平面AAIM8.所以ACj_4片.因为在三棱柱ABC-AHCl中，ACHAxCx,所以A1C11ABx.又因为AAI=A8,所以四边形AA啰声为正方形。连接A1B,则Ag，A1.又因为AIbCAICl=A1,所以A3_L平面AAIG.因为BWU平面84CL所以A81J,8W.(6分)(II)因为A8,4C,AA,两两垂直，所以如图建立空间直角坐直角坐标系A-xyz.可得A(0,0,0),B(1,0,0),C(0,l,0),A1(0,0,D,Bl(l,0,l),C1(0,l,l).则BC=(-1,1,0),AB1=(1,0,1)，A=(1，°，-1).设AM二九4G(噫丸1)，则6M=%+AM=S+几AG=(TO,1)+4(0,1,0)=(TMJ).设=(X,y,Z)为平面BCM的法向量，nBC=0,-X+y=0则即nBM-0,r+y+z=0令X=1,则y=l,z=-,可得二(1,1,1一九)./soAB,n2-2则SIn=cos(A,n)=.=.4'/AB1w2×-2+32解得4=g,则”=(l,l,g).AiBn因为=一,113所以点4,到平面BeM的距离为.(14分)35.（202203丰台一模17）（本小题14分）如图，在直角梯形ABer）中，AB/CD,DAB=90o,AD=DC=-AB.以直线AB2为轴，将直角梯形ABC力旋转得到直角梯形ABEF,且AFJ_AD.（I）求证：£）尸平面BC石；（II）在线段）'上是否存在点?，使得直线AE和平面BC尸所成角的正弦值为2?若存在,6求出丝的值；若不存在，说明理由.DF【答案】证明：（I）由题意得EF/CD,EF=CD,所以四边形DCEF为平行四边形.所以DF/CE.因为Z平面BCE,CEU平面BCE,所以。F/平面BCE.4分（II）线段。/上存在点尸，使得宜线AE和平面BCP所成角的正弦值为i，理由如下：6由题意得AO,AB,A尸两两垂直.如图，建立空间直角坐标系A-Ayz.设AB=2,则40,0,0),H020),C(l,1,0),D(l,0,0),E(OJl),尸(0,0,1).所以AE=(OJ1),BC=(1,-1,0),BD=(1,-2,0),DF=(-1,0,1).设。P=lO厂(OWzlWl),则苏=访+苏=诟+/IB?=(1-2-2,4).设平面BCP的一个法向量为n=(x,y,z),所以n BC = O,小苏=0,-y=0,(l-)x-2y+z=0.令x=4,则y=4,z=1+4.于是=（九九1+4）.设直线AE和平面BCP所成角为。,由题意得Sin=|s<w,三>=1"=亍厂Nh-T=jw三>2÷2÷(l÷r6整理得3分一224+7=0,解得4=；或2=7.Gl1B11DP1所以丸=彳，即；3Dr3所以线段。尸上存在点尸，当尊=:时，直线和平面BCP所成角的正弦值为3.DF3614分证明：（I）由题意得石尸CD,EF=CD,所以四边形DCEF为平行四边形.荻以DFllCE.因为DFa平面BCE,CEU平面BCE,所以0尸一平面（H）线段。尸上存在点P,使得直线AE和平面3CP所成角的正弦值为2,理由如下：6由题意得A。，AB,A尸两两垂直.如图，建立空间直角坐标系A-Ayz.设AB=2,则A(0,0,0),8(0,2,0),C(IJO),0(1,0,0),£(0,1,1),尸(0,0,1).所以族=(OJ1),C=(1,-1,0),BD=(1-2,0),DF=(-1,0,1).设方=/lB?(0W；lWl),则证=诟+苏=而+2赤=(1-4-2,2).所以n BC = 0, n IsP = Qt设平面BCP的一个法向量为=(X,yZ),x-y=0,(-)x-2y+z=0.令X=Q则y=义，z=l+.于是照=（儿41+）.设直线AE和平面BCP所成角为6,.皿土卬.八I/TInAEI11+2I5由题意得Slne=Icos<,AE)I=-厂,、，二-wXe2÷A2÷(1÷A)26整理得3万_22义+7=0,解得l=;或l=7.因为OW41,11hDP1所以=彳，即-=.3Dr3所以线段。尸上存在点P,当M=J时，直线4E和平面BC0所成角的正弦值D3为。14分66. (202203房山一模16)(本小题14分)如图，在三棱柱48CAqG中，平面ABC,AB=BC=BB/I.(I)求证：AC/平面%G；(II)若AB_LBC,求：至与平面BAxCl所成角的正弦值:.直线